2023年北京市东城区高三一模考试数学试卷及答案解析

2023年北京市东城区高三一模考试数学试卷

一、单选题(本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合4={x∣%2一2<0},月.α∈4,则Q可以为

A.-2

B.-1

c∙l

D.√2

2.在复平面内，复数不对应的点的坐标是(3,-1),则Z=

A.l+3iB.3+tC.-3+jD.-l-3i

3.抛物线/=4y的准线方程为

A.X=1B.x=-lC.y=1D.y=—1

4.已知％>0,则X-4+3的最小值为

X

A.-2B.0C.1D.2√2

5.在△4BC中，ɑ=2√6,b=2c,CoSA=则S0BC=

A.∣√15B.4C.√15D.2√15

6.设m,n是两条不同的直线，α,B是两个不同的平面，且muα,a∕∕β,则"τnln"是

unlβ,,的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.过坐标原点作曲线y=短-2+1的切线，则切线方程为

A.y=XB.y=2xC.y=D.y=ex

8.已知正方形ZBC。的边长为2,P为正方形力BC。内部(不含边界)的动点，且满足成.丽=

0,则B.而的取值范围是

A.(0,8]B.[0,8)C.(0,4]D.[0,4)

9.已知的,a2,a3,a4,t⅛成等比数列，且1和4为其中的两项，则的的最小值为

1

D

-

A.—64B.—8C.778

10.恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成

就.其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了

天文学家的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，由下面表格中部分对数的近似值(精

确到0.001),可得N的值为

M2371113

IgM0.3010.4770.8451.0411.114

A.13B.14C.15D.16

二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)

11.函数/(x)=Yrq+Inx的定义域是.

12.在(％+»的展开式中，/的系数为60,则实数α=.

13.已知双曲线圣一，=l(α>0,b>0)的一个焦点为(代,0),且与直线y=±2x没有公共

点，则双曲线的方程可以为.

14.己知数列｛αzι｝各项均为正数，α2=3α1,Sn为其前n项和.若｛房｝是公差为：的等差数列，

贝Ik]=,an=.

15.己知函数f(x)=4SinGx+0)(4>0,0<3<兀)的部分图象如图1所示，4B分别为图

象的最高点和最低点，过4作X轴的垂线，交X轴于点4，点C为该部分图象与X轴的交点,将绘

有该图象的纸片沿X轴折成直二面角，如图2所示，此时MBl=√TU,则a=.

给出下列四个结论：

①WW

②图2中，AB-AC=5;

③图2中，过线段4B的中点且与48垂直的平面与X轴交于点C；

④图2中，S是△48C及其内部的点构成的集合.设集合7={Q6S∣∣4Q∣≤2},则7表示的区域

的面积大于也

zr

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题(本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=sinx+sin(x+9.

(I)求f。)的最小正周期；

(II)若X=黑函数y=f(x)-/(X+W)(0>0)的一个零点，求尹的最小值.

17.(本小题12.0分)

甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进

行了7次测试.每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀，两位同学的测试成绩如下

表：

次数学第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次

生

甲807882869593—

乙76818085899694

(1)从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次,求该次测试成绩超过90分的概率;

(Il)从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X的

分布列及数学期望EX；

(In)从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设F表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判

断数学期望Ey与(II)中EX的大小.(结论不要求证明)

18.(本小题12.0分)

如图，在长方体ABCD-Zi&CiDi中，AA1=AD=2,BDI和BlD交于点E,尸为4B的中点.

(I)求证：EF〃平面4。。送1：

(∏)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求

(i)平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值；

(ii)点Z到平面CEF的距离.

条件①：CEIB1D-.

条件②：BID与平面BCClBl所成角为也

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

19.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=ax2—xlnx.

(1)当&=0时，求/(X)的单调递增区间：

(H)设直线1为曲线y=f(x)的切线，当α≥∣时，记直线I的斜率的最小值为g(α),求g(α)的

最小值；

(In)当α>0时,设M={y∖y=f'(x),x∈(ɪ,ɪ)).N={y∖y=∕z(x),x∈(ɪ,ɪ)).求证：M(

N.

20.(本小题12.0分)

已知椭圆E：⅛+4=l(α>⅛>0)的一个顶点为A(0,1),离心率e=容

abɔ

(I)求椭圆E的方程；

(H)过点p(一百,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,4C分别与X轴交

于点M,N.

设椭圆的左顶点为D,求黑的值.

21.(本小题12.0分)

已知数表垢=(：：；,二：；；)中的项徇9=1,2;；=1,2,…,n)互不相同，且满足下列

条件：

①％∈{1,2,∙∙∙,2n)；

nι

②(一l)+i(αim-a2m)<0(m=1,2,…，n)∙

则称这样的数表①”具有性质P•

(I)若数表422具有性质P，且的2=4,写出所有满足条件的数表422,并求出由1+的2的值；

(II)对于具有性质P的数表&n，当的［+%2+・“+%〃取最大值时，求证：存在正整数k(l≤

k<n),使得c⅛k=2n；

(HI)对于具有性质P的数表4n,当n为偶数时，求%1+的2+“，+%"的最大值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】略

2.【答案】A

【解析】略

3.【答案】D

【解析】略

4.【答案】B

【解析】略

5.【答案】C

【解析】略

6.【答案】B

【解析】略

7.【答案】4

【解析】略

8.【答案】D

【解析】略

9.【答案】B

【解析】略

io.【答案】c

【解析】略

IL【答案】（0,1］

【解析】略

12.【答案】±2

【解析】略

13.【答案】/一9=1（答案不唯一）

【解析】略

14.［答案］ɪɪn—ɪ

424

【解析】略

15.【答案】√3②③

【解析】略

16.【答案】解：（I）因为

兀1√33√3-π

/(x)=Sinx+Sin(X+W)sinx+—sinx+—cosx=2sinx+/-cosX√r3sin(x+—)

所以/（%）的最小正周期为2兀

(H)由题设，y=/(%)-/(%+9)=HSin(%+^)-√^sin(x+V+8),由工建是该函数零

点可知，

vɜsin(^+看)-vɜsɪn(^+着+W)=。，即Sine+<p)=ɪ.

故(+0=(+2kτr,k∈Z或∖+w=与+2∕⅛,kEZ,

解得9=2kτr,kEZ或W=^+2kπ,kEZ.

因为9>0,所以0的最小值为半

【解析】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题.

17.【答案】解：(I)从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，有13种等可能的情形，

其中有4次成绩超过90分.则从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次,该次成绩超过90

分的概率为春

(H)随机变量X的所有可能取值为1,2,3.

clcl1

P(X=1)”一甲

cjcI3

Pi=”

P(X=3)=警J

则随机变量X的分布列为:

X123

131

P

耳耳耳

故随机变量X的数学期望EX=1×∣+2×∣+3×∣=2.

(III)EX>EY.

【解析】略

18.【答案】解:

连接ZDi,B1D1,BD.

因为长方体ABCD-&BiGA中，BBJ/。％且

BBl=DD1,

所以四边形BBlDlD为平行四边形.

所以E为BDl的中点，

在△4BDl中，因为E,F分别为BDI和AB的

中点，

所以EF∕∕4Dι∙

因为E尸，平面4。。出，也U平面4叫4,

所以EF〃平面

(II)选条件①：CE1B1D.

(Z)连接BiC.

因为长方体中=4。=2,所以BιC=2√Σ∙

在ACBDl中，因为E为的中点，CELB1D,

所以CD=B1C=2√2.

如图建立空间直角坐标系。-Xyz,因为长方体中4遇=AD=2,CD=2√2,

则。(0,0,0),/1(2,0,0),C(0,2√2,0),F(2,2√2,0),F(2,√2,0),β1(2,2√2,2),

F(l,√2,1)∙

所以方=(1,一√∑,l),CF=(2,-√2,0),CB=(2,0,0).

设平面CEF的法向量为Tn=(x1,y1,Zι),

则(m∙CE=0,f%ι-V2y1+Z1=0,

(m∙CF=0,12x1-V2y1=0.

令XI=1,则％=夜，z1=1,可得Jn=(L&,1■)•

设平面BCE的法向量为n=(X2，为*2)，

n,=0x

则［-f2-√2y2+Z2=θ<

In∙CB=0,^2X2—0-

令丫2=1，则*2=0，z2=V2.所以n=(0,1,V2).

设平面CEF与平面BCE的夹角为仇

则COSe=Icos<m,n>|=兽彗=监

所以平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值为苧

3)因为"=(0,√2,0).

所以点4到平面CEF的距离为d=陪1=1.

Iml

选条件②:BID与平面BCCl/所成角为a

连接％C.

因为长方体ABCD-AlBIGDl中，CnI平面BCGB1，BlCU平面8CG反,

所以

CD1B1C.

所以NDBlC为直线Blo与平面BCCIBl所成角，即NDBlC=

所以ADBlC为等腰直角三角形.

因为长方体中441=4。=2,所以BιC=2√Σ

所以

Cn=B1C=2√2.

以下同选条件①.

【解析】略

19.【答案】解：(/)当a=0时，/(x)=τlnx,定义域为(0,+8).

∕,(x)=-Inx-1,

令/'(X)=0，得X=：,

1

当Ke(Ow)时，∕,(%)>0,

当％eg,+8)时，f(χ)<0,

所以/(χ)的单调递增区间为(0占).

(H)令九(X)=/'(%)—2ax-Inx—1,

则∕√(%)=2α-g=W^∙

当α≥泄，令∕√(x)=0,得X=£

当％∈(0,或)时，∕ι,(x)<O,MX)单调递减;

当％∈e,+8)时，∕ιz(x)>0,九(X)单调递增；

所以当％=蚩时，九(X)最小值为g(α)=/i(ɪ)=ln(2α).

当QZl时，ln(2α)的最小值为1,

所以g(α)的最小值为1.

(HI)由(II)知广⑶在心月上单调递减，在号,勺上单调递增,

又广岛)=Ah⅛A⅛=^l^ln⅛

所以M=(ln(2a),i-ln⅛),/V=(ln(2a),-∣-lnɪ),

(一Alna)—(»1吟)=1底—1咤-1=ln3-1>0,

所以M呈N.

【解析】略

⅛r=L

c

20.【答案】解：(I)由题设，得=解得α=v3∙

2√.6

la+2

EΛ_2C

2

所以椭圆E的方程为会+V=1.

(∏)直线Be的方程为y-1=∕c(χ+√3).

由?28)'得(3忆2+l)x2+(6√3fc2+6k)x+9fc2+6√3k=0.

1%+Sy=ɔ

由A=(6√3fc2+6k)2-4×(3fc2+1)×(9∕c2+6√3k)>0.得k<0.

设BQ】,乃)，以必42)，则X1+&=—x∕2=⅞^∙

3kz+l3kz÷l

直线4B的方程为y=*二X+1.

xI

r

令y=0,得点M的横坐标为XM=一记T=~k(x^+v3y

同理可得点N的横坐标为XN=-a='屋、③.

XM+M=-⅛‰+整5)

ɪ2-I-2+6CyI+%2)

kXlX2+6(Xl+%2)+3

+6λ∕3∕c.∕QΛ6V3∕C^+6k、

]2(卞丁)+λ百(一量丁)

22

N9∕C+6√3∕cɪ46√3∕C+6∕cλɪɔ

ɜr+13r+1

因为点。坐标为(—g,0),则点。为线段MN的中点,

所嚅J=1

2,

【解析】略

21.【答案】解：(I)满足条件的数表42为G)，GJ),(3：)，所以由ι+的2的值分别为5,

5,6.

(11)若当由1+的2+-+%71取最大值时，存在l≤j≤n,使得α2j=2n.

由数表4九具有性质P可得j为奇数，

不妨设此时数表为M=(能鼠二/

①若存在由Hk为偶数，l≤∕c≤n),使得αυc＞的ι,交换的k和2n的位置，所得到的新数表也具

有性质P，

调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在l≤i≤n,使得t⅛=2n.

②若对任意的ant(k为偶数，l≤k≤n),都有的上＜的1，交换的2和的i