2023-2024学年陕西省汉中市高二年级上册期末数学（文）试题（含答案）

2023-2024学年陕西省汉中市高二上册期末数学(文)试题

一、单选题

1.自由落体运动的物体下落的距离S(单位：m)关于时间f(单位：S)的函数S=/⑺=；g/,

¾g=IOmZs2,则f=2时的瞬时速度是多少()m/s

A.10B.20C.30D.40

【正确答案】B

【分析】f=2时的瞬时速度是/'(2),求导，代入r=2即可求解.

【详解】f'(t)=gt,故f=2时的瞬时速度是r(2)=2g=2χlθ=2θm∕s.

故选:B.

2.在等差数列｛%｝中，设其前〃项和为S“，若4+勺=4,则S,=()

A.4B.13C.26D.52

【正确答案】C

【分析】利用等差数列的性质可得%+即=4+@=4,结合等差数列的求和公式可得结果.

［详解］j3+61=4+43=4,

.∙.S=13X=13x2=26,

13q'

故选：C.

3.下列函数的求导运算中，错误的是()

A.(χ2+3e')"=2x+3ejtB.(2SilU-3)'=2COSΛ

C(IYD(xcosxy-cosx-xsiar

L∙I=X\_).∖ΛVC>SΛ)—UUoA—AblIlA

uɪiʌj

【正确答案】c

【分析】根据求导法则依次计算得到ACD正确，fɪlɪʒ,B错误，得到答案.

UiuJX(1ΠΛ∙)^

【详解】对选项A：(χ2+3e*j=2χ+3e",正确；

对选项B：(2SinX-3)'=2cosx,正确;

,ɪ

对选项c：(J_1=二Z=___!_，错误；

IIrLrJ(InX)-MlnXy

对选项D：(XCOsX)'=cosx-xsinx,正确.

故选：C

4.定义在区间-；,4上的函数/(x)的导函数r(x)的图象如图所示，则下列结论正确的

B.函数/(x)在区间(1,3)上单调递减

C.函数〃x)在x=l处取得极大值

D.函数/(x)在X=O处取得极大值

【正确答案】A

【分析】根据函数的单调性和导数值的正负的关系，可判断A、B；根据函数的极值点和导

数的关系可判断C、D的结论.

【详解】在区间(1,4)上/'(x)>0,故函数”x)在区间(1,4)上单调递增，故A正确；

在区间(1,3)上/'(x)>0,故函数I(X)在区间。,3)上单调递增,故B错误;

当Xe(0,4)时，∕,(Λ)>0,可知函数"x)在(0,4)上单调递增，故x=l不是函数/(x)的极值

点，故C错误；

当x∈(-g,O)时，Γ(x)<O,/(x)单调递减；当xe(0,4)时，f∖x)>O,"x)单调递增，

故函数/(x)在X=O处取得极小值，故D错误，

故选：A.

5.在等比数列｛%｝中，q=｝q=2,则生与小的等比中项是()

A.-1B.1C.2D.+1

【正确答案】D

【分析】通过等比数列的通项公式计算进而可得答案.

【详解】因为生出=(αM(qd)=gx2=l,

所以生与知的等比中项是±1,

故选：D.

6.已知函数〃x)=2X-SinX,则下列选项正确的是()

A./(e)<∕(π)<∕(2,7)B./(π)<∕(e)<∕(2.7)

C./(e)<∕(2,7)<∕(π)D./(2.7)<∕(e)<∕(π)

【正确答案】D

【分析】求导，判断f(x)在(0,+8)上单调性，利用单调性比较大小.

【详解】因为函数"x)=2x-siιu,

所以/'(x)=2-cosx>0,

所以/(x)在(0,+巧上递增，

又因为2.7<e<7τ,

所以"2∙7)<"e)<∕(τt),

故选：D

7.已知命题。：“若6<α,则！>L';命题4：ita=x2-x,b=x-2,则α>6”.则下列命

ba

题是真命题的是()

A.P^qB.(-1P)Λ(->^)C.pv(f)D.(f)Vq

【正确答案】D

【分析】先利用特值法和作差法判定命题P,4的真假，再利用复合命题真假的判定方法判

断即可.

【详解】当6=T,α=l时，［<~,故命题P是假命题，

ba

因为α-6=f-x-(x-2)=(x-l)2+1>0,则a>b,所以命题4是真命题,

所以P八4是假命题，故A错误;

(M)A(F)是假命题,故B错误;

PV(「G是假命题，故C错误；

(R)Vg是真命题，故D正确，

故选：D.

8.己知S“是等差数列也｝的前"项和，若邑=15鸟=75,则54=()

A.40B.45C.50D.55

【正确答案】A

【分析】利用等差数列片段和得性质求解即可.

【详解】由题可知数列S2,S4-S2,S6-S4为等差数列,

m^WS2+(56-54)=2(S4-S2)

得15+(75-50=20-15),解得S,=40,

故选：A

9.下列命题中是真命题的是()

A."(x-l)(x+2)>0"是“言≥(F的必要非充分条件

B.Vx∈f0,—-∣,sirιγ+——的最小值是2

V2)SlnX

C.在一ΛBC中，“SinA〉SinB”是“/>夕的充要条件

D.“若Z√=αc,则"C成等比数列”的逆否命题

【正确答案】C

【分析】解不等式，根据充分条件与必要条件的定义可判断A；令r=sinx,根据对勾函数

的性质可判断B；根据正弦定理可判断C；取。=0,6=0,c=l,可得原命题为假命题，根据

原命题与其逆否命题的真假性相同可判断D.

【详解】对于A,解(X-I)(X+2)>0,可得χv-2或x>l,

Y—1

解一7≥0,可得XV—2或x±l,

x÷2

故“(犬-1)(尤+2)>0”是"三二川”的充分非必要条件，故A错误；

x+2

对于B,令f=sinx,因为Xe（O,,所以fw（θ,l）.

因为y=f+；在（0,1）上单调递减，故y=f+1>2,故B错误；

对于C,.ABC中，SinA>sin3o2RSinA>2Rsin3θα>6oA>3,其中R为ABC外接圆

的半径，故C正确；

对于D,取α=0力=0,c=l,满足〃=αc,但α,dC不成等比数列，

故命题“若从="c,贝U。，上C成等比数列''为假命题，故其逆否命题也为假命题，故D错误.

故选：C.

10.已知数列｛4｝中，¾=2×3-,则数列｛叫的前n项和为（)

9"

D.---1

2

【正确答案】B

【分析】根据｛4｝的通项公式，可得｛4；｝为等比数列，根据等比数列的求和公式进行求和

即可.

【详解】因为吗■=（4电］=9,且Y=4,

禽I¾）l2×3^）

所以｛项是首项为4,公比为9的等比数列，

所以｛项的前"项和为：4（；；,）=手

故选:B.

11.若α>0力>0,且函数"x）=2χ3∖χ2一法+2在X=I处有极值,则必的最大值等于（）

A.2B.3C.6D.9

【正确答案】D

【分析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为。得到。，匕满足的条件，利用二次

函数的性质求出必的最值.

【详解】由题意，求导函数f'（x）=6x2-〃-数

在x=l处有极值，所以/'(1)=0,即6—a—b=0,:.a+b=6,

.a>0,Z?>0,

.∖ab=a(6-a)=6a-a2=-(a-3)2+9,当4=3,。=3时，4。取得最大值9,

此时∕,(x)=6x2-ax-b=6X2-3X-3=3(X-1)(2X+I),

当χ>l时，∕<χ)>0,当-g<χ<l时，/'(χ)<0,

所以/(χ)在上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

因此满足χ=l是〃x)的极值点，

所以油的最大值等于9,

故选：D

12.已知定义在R上的函数"x)满足/(力―r(x)>O,且有"2)=2,则/(x)>2ei的解

集为()

A.(-∞,1)B.(→3O,2)C.(l,+∞)D.(2,+∞)

【正确答案】B

【分析】构造函数F(X)=电，应用导数及已知条件判断F(X)的单调性，而题设不等式等

e

价于*x)>尸(2),结合单调性即可得解.

【详解】设F(X)=翌，则F(X)=:，⑸e=∕(x∕(x)<0,

er(ele

二厂(X)在R上单调递减.

又“2)=2,贝∣JF(2)=y=马.

Vf(x}>2et^2等价于驾>4,即F(x)>F(2),

ee~

.∙.x<2,即所求不等式的解集为(—,2).

故选：B.

二、填空题

13.曲线y='+l∏x在x=l处的切线方程为.

【正确答案】y-ι=0

【分析】根据导数的几何意义，先求导得y'=-!+!，代入χ=l,求得切线斜率，再利用

X~X

X=I时y=l,结合直线方程即可得解.

【详解】首先求导可得y=-5+1,

所以曲线y='+hw在X=I处的切线斜率％=T+1=O,

X

又X=I可得y=l,

所以曲线y='+l∏χ在χ=l处的切线为y=ι,

X

即yT=0.

故y-1=0

14.当命题“对任意实数χ,不等式/+履+ι>o恒成立”是假命题时，则k的取值范围是

【正确答案】(F,-2]U[2,yo)

【分析】由“对任意实数X,不等式Y+也+l>0恒成立“求得k的取值范围，再根据其为假

命题求得上的取值范围的补集，即为最终所求的k的取值范围.

【详解】因为“对任意实数X,不等式f+fcc+l>O恒成立”，

则A=M2-4<0,即一2<Z<2,

又因为命题“对任意实数X,不等式/+丘+ι>o恒成立，，是假命题，

所以Z≤-2或后≥2.

故(-∞,-2]U[2,E)

x+y+5>0

15.若X/满足约束条件τ-y≤0,则z=2x-4y的最大值为.

y≤0

【正确答案】5

【分析】根据约束条件画出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解.

【详解】根据约束条件画出可行域(如图)，

1e

<+八5=0二

把z=2x-4y变形为y=得到斜率为:，在)'轴上的截距为随Z变化的一组平

2424

行直线.

17

由图可知，当直线y=：过点A时，截距最小，即Z最大，

244

fx+y+5=0,55

解方程组a,得点A坐标为(-。,-方,

[x-γ=022

所以Za=2X(-∣)-4X(-∣)=5∙

故5.

16.宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进

程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，在宝塔山的山坡4处测得NC4。=15。，从A

处沿山坡直线往上前进85m到达B处，在山坡B处测得NC8O=30°,NBCZ)=45。，则宝塔

CQ的高约为m.（√2≈1.4B√6≈2.45.结果取整数）

【正确答案】44

【分析】根据题意可得,.ABC为等腰三角形，即可得Aβ=BC=85,然后在ABCD中利用正

弦定理可求得结果.

【详解】因为NC4。=15。，ZCBD=30o,Z.CBD=ZGW+ZACB,

所以NACB=I5。，

所以NACB=NC40=15。，所以AB=3C=85,

因为NBCo=45。，

所以ZBDC=180。—NCBD-ZBCD=180。—30。—45。=105°,

sin105o=sin(45o÷60o)=sin45ocos60o÷cos45osin60o

√2√3√21√6+√2

=×--1--×—二--------

22224

BCCD

在ABCO中，由正弦定理得

SinZBDC一SinNCBD

CDsinABDC=SCsinZCBD，

所以CD∙sinlO50=85sin3O0

i√6+√2,1

CD------------=8Q5×-

42

所以CD=85X("-回J5X(2∙45T∙41)=44,

22

故44.

三、解答题

17.已知函数/(x)=X-HnX.

⑴当4=1时，求/(x)的极值；

(2)若/(x)在[l,y)上单调递增，求。的取值范围.

【正确答案】(1)极小值为F(I)=I,无极大值

(2)0≤l

【分析】(1)求导得到/(尤)=亍，确定函数的单调区间，根据单调区间计算极值得到答

案.

(2)/'(X)=Iq≥0在xe[l,+∞)上恒成立，得至∣Jα≤x,解得答案.

【详解】(1)当α=l时，/(x)=x-lnΛ,(X>O),/(χ)=l-i=-,令/。)=。得χ=ι,

XX

当Xe((U)时，r(x)<O,/(x)单调递减；

当X∈(l,+8)时，.f'(x)>O,/(X)单调递增.

所以f(x)的极小值为了⑴=1,无极大值.

(2)/'(x)=l-f≥O在xe[L+∞)上恒成立，即α≤x在x∈[l,+∞)上恒成立，所以a≤l.

18.汉中地处秦巴之间、汉水之源，绿水青山，物产丰富，自古就有“汉家发祥地、中华聚宝

盆”之美称.通过招商引资，某公司在我市投资36万元用于新能源项目，第一年该项目维护

费用为6万元，以后每年增加2万元，该项目每年可给公司带来25万元的收入.假设第〃年

底，该项目的纯利润为“叽(纯利润=累计收入一累计维护费一投资成本)

(1)写出的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利？

(2)经过几年该项目年平均利润达到最大？最大是多少万元？

【正确答案】(1)/(〃)=-/+20〃-36,该项目从第3年起开始盈利.

(2)经过6年该项目年平均利润达到最大，最大是8万元.

【分析】(1)由题意结合等差数列求和公式求得小>的表达式，然后由/(〃)>0,解不等式即

可；

(2)求得该项目年平均利润为g(〃)的表达式，结合基本不等式求解最值即可.

n(n-∖]C

【详解】(1)f(n)=25n-6II+-^-L×2-36=-/+20"36,

由f5)>0即-/+2O"-36>O,解得

所以，该项目从第3年起开始盈利.

(2)设该项目年平均利润为g(〃)，

则g(〃)=-〃一型+20=-("+迎)+204-2∖fl^+20=8,当且仅当〃=生，即n=6

nnHNft及

时取等号.

所以，经过6年该项目年平均利润达到最大，最大是8万元.

19.等比数列｛4｝的各项均为正数，且4+6生=1,%="”2，设2=log34,.

⑴求数列也｝的通项公式;

I

(2)已知数列g=歹求证：数列｛c,,｝的前〃项和S“<1.

【正确答案】(1也=-〃

(2)证明见解析

【分析】(1)根据等比数列基本量的计算即可求解，

1111

(2)根据放缩法得％=77诉<777二八=二一777,即可根据裂项求和进行求解・

(n+l)〃(枕+1)nn+1

【详解】（1）设等比数列｛q｝的公比为q,则4>0,

4+6qq=l1

由题意得22，解得q=q=不

axq-cιxq3

h,i.o11

--n=^n=∖o^-=-n

1111

(2)由题意，Cn=/二八2</,八=-----^Γ,

(n+l)〃(〃+1)nπ+l

C111IlI

•••S<11一一+----+...+-------=11--------<11

n223nπ÷1几+1

q尸a(SinC-SinA).­、Cɔ2a-ccosC、、一人

λ2λ0.在①X------------=c-b；@sin2A+sin2C-sin~B=SinAsinC;③一：—=---.这二个

SinC+sιnBbCOSB

条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.

在..ABC中，内角ARC所对的边分别是α,0,c,.

⑴求8；

(2)若。=4,求一/BC的周长的取值范围.

【正确答案】(I)W

(2)(8,12]

【分析】(1)选①或②：由正弦定理得到"+¢2-^2=αc,再由余弦定理得到C0S3=；,结

合3e(0,π),求出B=g；

选③：由正弦定理化简得到2sinAcos3-SinCcosB=SinBcosC,进而得到

1

2sinAcosB=SinA,cosB=-求出B=π7；

2f3

(2)由余弦定理结合基本不等式可得出q+c≤8,从而可求得/RC的周长的取值范围.

【详解】⑴选①，MSinC-SinA)-c-b,

sinC+sinB

SinA(SinC-SinA)

----------------------=sinC_SinB

sinC+sinB

.∙.SinAsinC-Sin2A=Sin2C-Sin2B

.,.sinΛsinC=sin2Λ+sin2C-sin2β

.,.ac=a2+c2-b2,又，a2+c2-h2=2accosB

ɪτι

：.cosB=-,又0v3vπ,B=—.

23

选②，sin2A÷sin2C-sin2B=sinAsinC

.,.a2+c2-h2=ac>又,ʃ+c2-⅛2=2dfccosB

1兀

.,.cosβ=—,乂0v8vπ,:.B――.

23

但42a-ccosC2sinA-sinCcosC

bcosBsɪnθCoSB

√.2sinAcosS-sinCcosB=sinBCoSC

/.2sinAcosB=sinCcosB+sin5cosC=sin(B+C)=sinA

QsinA≠O,.∙.cosB=-又OvBv兀，:.B=-.

293

(2)由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB,

・=16=片+c?一αc=(α+④一3αc,N(α+一。)=S；C),当且仅当Q=C=4时，取等

号.

.∙.(α+c)~≤64,.∙.α+c≤8,又α+c>4,

/.4<a÷c≤8,.∙.8<<7÷c+⅛≤12

ABC的周长的取值范围为(8,12卜

21.已知数列｛叫为等差数列，∕=3,4=2%+l,数列低｝的前"项和为S,,,且满足

25“+1=32.

⑴求｛%｝和色｝的通项公式:

⑵若C=".也,求数列｛q｝的前“项和为却

i

【正确答案】(IM=2〃-1,bn=3"-

(2)7；=(W-I)-3"+1

fS,,w=l

【分析】(1)列出关于首项和公差的方程组求得%;利用2=二c、.求得“；