人教A版高中数学 选修第二册 常考题型练习 18 等比数列范围最值及函数性质

专题18等比数列范围最值及函数性质

目录

【题型一】等比数列前n项积....................................................................1

【题型二】与通项和Sn有关的正负比较...........................................................3

【题型三】等比数列函数性质....................................................................5

【题型四】等比数列与范围......................................................................7

【题型五】等比数列最值........................................................................8

【题型六】恒成立求参..........................................................................IO

【题型七】等比数列复合型：“下标数列”........................................................12

【题型八】递推公式构造等比型.................................................................14

【题型九】递推：二阶等比数列.................................................................15

【题型十】等比数列文化应用题.................................................................17

培优第一阶——基础过关练.....................................................................19

培优第二阶——能力提升练.....................................................................21

培优第三阶——培优拔尖练.....................................................................25

热点题型归纳

【题型一】等比数列前n项积

【典例分析】

已知等比数列｛4｝满足q=32,q=-g,记/=%4α,,(n∈N+),则数列｛7；,｝()

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

【答案】A

【分析】求出等比数列｛q｝的通项公式4,进而求出再由数列最大项、最小项的意义判断作答.

【详解】依题意，等比数列｛4｝的通项公式4,="4i=32∙(-J"T=同二，

n(/j-ɪ)

1-1(-D2(-D3(-D,,^l(_])1+2+3++(n-l)(-1尸

〃(“一")

T=τ73(

11Z"7'2^'T-2〃一62-5)+(-4)+(-3)++(/»-6)

2Γ~r~22

■TI∕j(n-11)(Λ+∣XZ?-10)

由需=2-1L=25-"≥l知，"eN*∕≤5时，数列｛∣7j｝是递增的，"eN*,"≥6时，数列｛∣7j｝是

递减而,

于是得数列｛∣7J｝的最大项为|7；1=国1=2%而〃为奇数时，北>0,”偶数时，(<0,

所以4=2、'和7；=-2'5分别是数歹Ij｛瑁的最大项和最小项.

故选：A

【提分秘籍】

基本规律

可以类比前n项和求通项过程来求数列前n项积:

Ln=I,得aι

2∙n≥2时，a,,=?

7,(n=l)

所以a〃=V

【变式训练】

1.已知等差数列｛α,,｝,等比数列他,｝的前〃项和之积为22"4+22"∖L∕_2〃，设等差数列｛α,,｝的公差为4、

等比数列也,｝的公比为4,则以下结论正确的个数是()

①4=3②[=2③a=3④4=4

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】由题意设等差数列｛4｝、等比数歹∣J｛a｝的前〃项和分别为4?+8"，C-Cqn,因式分解得

22"∕+22"+7-2/=("2+2〃)(22"-1),从而得—<7(加+加)(4"一1)=("2+2〃)(4"-1),即可求解出4=4,

无法求解出q，4，d，可得答案.

【详解】显然等比数列也｝不是常数列，

设等差数列｛%｝、等比数列低｝的前〃项和分别为A"2+8”,C-Cq",

其中A,B,Cf4为常数，CqH0,q≠l,

2W+1222n

因为22〃/+2n-n-2n=(n+2π)(2-1),

即等差数列｛4｝、等比数列也｝的前n项和之积为(4+2n)(22n-l),

所以(A∕+M(C-C⅛")=(∕+2矶

所以-C(An2+‰)(√'-1)=(M2+2Π)(4,,-1),

所以q=4,—C4=l,—CB=2,所以不能判断出",仇川的值，故只有④正确.

故选：A

2..已知｛%｝为等比数列，伍“｝的前〃项和为S,,,前W项积为「，则下列选项中正确的是()

A.若5改2>邑⑼，则数列他“｝单调递增

B.T2022>T2a2l,则数列｛α,J单调递增

C.若数列⑸｝单调递增，K∣J⅛2≥‰.

D.若数列｛7J单调递增，≡¾022>¾02l

【答案】D

【分析】根据等比数列的前〃项和公式与通项公式可得组82>0与%)22>1,进而可得4、4取值同号，即可

判断A、B；

举例首项和公比的值即可判断C；

根据数列的单调性可得北>Zi，进而得到4>1，求出4≥1,即可判断D.

【详解】A：由S2022>S202],得O2022>O,即qq">">O,则4、Q取值同号,

若4<0,夕<0,则｛a,J不是递增数列，故A错误；

B：由心2>(⑼，得心22>1，即4产∣>1,则%、9取值同号，

若4<0,q<0,则数列｛“"｝不是递增数列，故B错误；

公比q=；，

C：若等比数列4=1,

所以数列｛S,,｝为递增数列，但¾)22</M,故C错误;

D：由数列化』为递增数列，得7L>7,τ,所以4>1,

即q≥l,所以内)22202021，故D正确.

故选：D

3.设正项等比数列｛4｝的前〃项和为S,,,q=9,《=l.记7>%⅛q,("=l,2,),下列说法正确的是()

A.数列｛q｝的公比为工B.S,≥g∙

1+lf

C.r,存在最大值，但无最小值D.τnan=(ʌ/ɜ)"^

【答案】C

【分析】根据题意，由4=9,4=1求出公比g,可判断A的正误；利用等比数列的前及项和公式求出S,,,

可判断B的正误；根据题意求出(,，可判断C,D的正误.

【详解】因为4=9,a,=∖,

所以正项等比数列(«„)的公比4满足才吟=",且q>O,

所以<7=g,故A错误；

9×ɪ-(ɜl

由等比数列的前"项和公式可得，c=-,∣(1T)27

LJII

1-42

因为1—(gj<l,所以S.<§，故B错误;

/J-I

因为q=q∕i=9x(g)

r∕(2+3-π)一，『+5〃

2l3n2+l++3n

所以7；=ata2an=3×3××3-=3^=32=32

易知空≤3,由指数函数单调性可知-H2+5n

0<32≤27,

所以7“存在最大值，但无最小值，故C正确;

-N2+5ιι-M2+5«--W2+3H+6

--------+3-πn~+3n+f)

τ3n2故D错误;

Tna,l=3~"^×3^=3

故选：C.

【题型二】与通项和Sn有关的正负比较

【典例分析】

已知数列｛〃〃｝是等比数列，其前〃项和为S”，则下列结论正确的是()

A.若4∕+a2>0,则“∕+α3>OB.若α∕+α3>O,则α∕+c∕2>0

C.若4∕>O,则S202∕>0D.若田>0,则S2020>0

［答案］C

【2■析】结合等比数列的有关知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】A选项，等比数列：-3,6,72,,满足4+%>0,但4+为<0,A错误.

B选项，等比数列:3,-6,12,,满足α∣+%>0,但4+出<。，B错误.

i-z,≡∣

C选项，al>0,若4=1,则52必=2。2同>0；若4/0,则S,02∣=qx--，此时1一4由与1一4同号,

ι-q

↑-a2°2'

所以$2021="∣x-—>0∙C正确.

ι-q

1-(-2产°

D选项,«1>0,若q=-2,则‰20=a×D错误.

l1-(-2)

故选：C

【变式训练】

1.设等比数列｛α,,｝的前〃项和为s“，其中"CN+,则下列说法正确的是()

A.若%>α∣>0,则α,,>0(〃=1,2,3....)

B.若03>α∣>0,则S">0(〃=1,2,3....)

C.若为+“2+4>“2+4>0,则S“>。(∏=1,2,3,...)

D.若%+%+q>%+4>0，则a”>0(〃=1,2,3....)

［答案］C

【3■析】根据等比数列通项公式和前〃项和公式分析首项田，公比4的范围即可得解.

【详解】设等比数列｛%｝(〃€N,)的公比q(q≠Q),

n

由”3>4>0,即01∕>q>0得q>o,g>］或,当q>0,q<-l,”为偶数时,an=alq^'<0,即A不

正确；

当q>O,q<-l,”为偶数时，q''>∖,S,,="二①<0,B不正确；

「q

ac2

由/+/+4>/+4>0，即ιJ+qq+4>aiq+ai>0得4>0,q>-∖,

当q>0,-l<q<0,〃为偶数时，a,,=α1√-'<0,即D不正确；

q>0,-l<q<0或OCqCI时，S11=^-——>0,q>O,q=l时，S11=nal>0,

ι-q

q>O,q>l时，q">∖,S,,="∣(j)=%/T)>0,所以“∕>0,q>-∖,q≠0,有&>0,即C正确.

l-qq-∖

故选：C

2.等比数列｛%｝各项均为实数，公比为心给出以下三个结论：①若q%<0,则4%<0;②若q+%<0,

且0,+%>0,则q<T；③若44川<0,Pl∣Jk+l-¾)(¾+1-¾+2)<O.其中所有正确结论的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】选项①，由的2<0可得”0,转化。3%=。羽分析可判断；

4

选项②，用基本量表示可得4(1+*<0,al(√+⅛)>0,分析即可判断；

选项③，由4M+∣<0,可得4<0,转化(4用一4,)(4+1-"“+2)=-(4+1-%)%，分析可得解

2

【详解】选项①，若q∕<0,则Xal>0,则q<0,⅛Λ3¾=ajq<O,正确；

2

选项②，若4+4<。，α3+α5>°>则4(l+∕)<0,at(q+√)>0

由于q2+q4>0,故q>0,即1+q?<0=0，<_[="<_],正确；

选项③,若44+∣<0,则附<0,则4<0,则(4+1-。“)(。“+1-4+2)=-(4+1-。“)%

由于%r%+ι,故于+「a."。,故(QM-%)(%+∣-%)=-(4,+∣-4,)2<7>0,错误

故其中正确结论的个数为2

故选：C

3.已知等比数列｛4,,｝的前"项和为S,,,下列一定成立的是()

A.若%>0,则52023>。B.若。3>。，则$2023<。

C.若%>0,则S2o22>OD.若/>°，则S2o22<O

【答案】A

【分析】根据题意，结合特殊值4=1,q=7,qw±l三类情况讨论求解即可.

【详解】解：当等比数列｛q｝的公比为4=1时，由%>0或4>。得6>0,进而S,,="4>0,故BD选项

不满足；

当4=-1时，由/>0得4>0，此时星023=4>0,由q>0得％<0,s2O22=°>故C选项不满足；

2

a(∖-a^∖

当qw±l时，由％>0得4>。，故当4«YO,-1)(-1,0)(0,1)(l,+∞)时，S,ιp.,ɪ—----------^>0，故A

1-4

选项满足.

a“2022)

由〃4=49’>。得4闯同号，故当4£(-00,-l)时，S=-------------->0;当夕E(-∞,-1)时，

20221-夕

%22=也二~^>0:当qe(0,l)时，$期=也二岂1>0；当qe(l,+∞)时，％”=攻工^>0.故

∖-q∖-qJq

§2022>。不恒成立，C选项错误.

故选：A

【题型三】等比数列函数性质

【典例分析】

设无穷等比数列｛4｝,则''0<%<4''是为递减数歹广的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由已知条件0<生<q可以得出等比数列公比的范围，然后结合通项公式判断｛/｝的单调性；反之，

举出反例说明｛q｝为递减数列但“。<%<4"不成立.

【详解】因为｛q｝为无穷等比数列，0<%<q,所以公比9满足o<q=S<ι,

a∖

所以有%>a,,+l=anq,即｛%｝为递减数列；

反之，若无穷等比数列｛《,｝是递减数列，则它的第一项和第二项可以为负，

如-:,-1'-2,TL2....所以不一定得到0<%<4,

所以是“｛4｝为递减数列”的充分而不必要条件，

故选：A.

【提分秘籍】

基本规律

比数列与函数关系：

(1)数列｛〃"｝是等比数列，‰=α∣qn^l,通项的为指数函数：即4"=“|必'；

n,

SJT=40二以=刍——^-q=r-τq'

(2)数列｛an｝是等比数列，Sn=IrJq…,Sn为r一国"型线性指数函数

【变式训练】

1.设｛4｝是等比数列，则”对于任意的正整数"，都有q+2>*'是"｛4｝是严格递增数列“()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

[答案]C

【1析】根据严格递增数列定义可判断必要性，分类讨论可判断充分性.

【详解】若｛4｝是严格递增数列，显然4+2>。“，所以“对于任意的正整数"，都有4"2>。“”是”｛%｝是严格

递增数列”必要条件；

2

an+2=a,,q>an对任意的正整数n都成立，所以｛4｝中不可能同时含正项和负项，

2

.∙.an>O,q>1,BPan>0,<∕>l,或为<0,q2<l,即a,,<0,0<g<l,

当可>0,q>l时，-^anq>an,即｛%｝是严格递增数列，

当α,,<0,0<q<l时，有44>%,BP«„+I>an,｛α,,｝是严格递增数列，

所以“对■于任意的正整数”，都有4+2>4”是"｛%｝是严格递增数歹『'充分条件

故选：C

2..在等比数列｛%｝中，已知q>0,Sa2-a5=0,则数列｛4｝为().

A.递增数列B.递减数列C∙常数列D.无法确定单调性

[答案]A

【3言】根据条件求出等比数列的公比，即可判断数列的单调性.

【详解】由8处-%=0,可知"=∕=8,

〃2

解得q=2.又4>0,所以数列｛%｝为递增数列.

故选：A

3.数列｛4｝是等比数列，首项为4,公比为q,则。是“数列｛4｝递减”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

[a>0[a<0

【分析】由4(q-1)<0,解得1“八、或'1,根据等比数列的单调性的判定方法，结合充分、必要

IqeKqHO)[q>↑

条件的判定方法，即可求解得到答案.

∖a.>0(a,<0.

【详解】由已知q(q-D<O,解得'"八、或<',,a,,=。4一,

M<l(q≠O)["1

此时数列｛《,｝不一定是递减数列，

所以4(4-1)<0是“数列｛4,,｝递减”的非充分条件；

[a,>0[a<0、

若数列｛%｝为递减数列，可得二I或λI，所以4z4一1<0,

[0<⅛<l[q>i

所以4(g-1)<0是“数列｛«„｝递减”的必要条件.

所以Fg-I)Vo”是“数列｛%｝为递减数列”的必要不充分条件.

故选：B.

【题型四】等比数列与范围

【典例分析】

已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q,则q可能的一个值是()

513

A.-B.ɪC.2D.-

222

【答案】D

【分析】先由三边构成等比数列求出4的范围，再逐一对照即可求解

【详解】由题意可设三角形的三边分别为巴，a,aq^aq≠d).因为三角形的两边之和大于第三边,

所以①当4>1时，~+a>aq,即/-q-l<0,解得ι<g<LL叵；

q2

2

②当0<g<l时，a+aq>-,gpq+q-l>0,解得二It占<q<l；

q2

又当g=l时，三边相等，三角形为等边三角形，满足条件；所以苴二l<q<±5；

22

√5-l2-√5_.∙.1<或二1,故B错误；

=--------<0,

.2~2222

l+√53-√5,2>上正，故C错误；

.2-n

222

3_l+√52-√5λ31+√53√5-l=^≡^>0.鼻旦,

=--------<0,/.—<--------，---------------故D正确

2222222222

所以4可能的一个值是3.故选：D.

【提分秘籍】

基本规律

1.涉及到首项和公比的不等式(组)关系。

2.一般情况下，不等式组可以参考“线性规划”知识

【变式训练】

1.5“为等比数列｛4｝的前"项和，al>0,Ss<3al+a2+a4,则公比4的取值范围是()

A.(-1,0)B.(0,1)

C.(-1,1)D.(-l,0)U(0,l)

【答案】D

【分析】根据题意，利用首项与公比表示出各项和，建立不等式求解即可.

【详解】因为知=αι(l+g+q2+q3+∕)<α∣(3+q+q3),且q>0,

所以d+qJ2<0,解得,又q≠0,

解得-1<”0或0<"1,故选：D

2.已知等比数列｛4｝各项均为实数，其前”项和为5“，则：“4>0”是“Saβ3>Sw22''的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】设公比为4,按照夕>1、4=1、0<4<1、q<0分类讨论，利用等价转化法可得答案.

【详解】设公比为4，

当9>1时，产2</。23,

q(>∕M)q(j∕022)

20232022

ι-17∖-q)<q(Jq)

Oal(产-产)<ooq>o,此时，“a,>0”是“Sz023>S2022”的充要条件;

I

当4=1时，S2023>S2022=2023o∣>2022al<=>q>°,此时,``ai>0"是"S2<β3>SXsn”的充要条件;

当O<g<l时，q2m2>q1023,

邑阳>$23。空心>当心=4。-产O>4("产)

∖-q∖~q

=a∣(g2022-g2°23)>0=4>0,此时,“a,>0”是“昆岫>%22”的充要条件;

当4<0时，/022>0,产<0,

20232022

⅛>S,,="一厂)>"一°)=q(L22_1≡)>o<=>β>O,此时，“4>O”是“S>除，”的充

302∖-q∖-q71w3

要条件，

综上所述：“4>0”是“邑侬>52022”的充要条件.

故选：C

3.已知等比数列｛叫的前5项积为32,l<a,<2,则4+争全的取值范围为()

【答案】D

【分析】利用等比数列性质求出生，进而求出公比二的取值范围并用d表示出q+尹与，然后根据对勾

函数的性质即可求解.

【详解】由等比数列性质可知，ala2a3a4a5=tzʒ=32=>¾=2,

因为l<q<2,所以寸=幺∈(1,2),从而《+g+牛=∙⅛+g+”=2(斗+@+1

424<y224<74

不妨令f=∕e(i,2),则3+冬=/(/)=1+!，由对勾函数性质可知，％)」+：在(1,2)上单调递减，

q4f4t4

故对于VY(1,2),f(2)<f(t)<f(l),l<∕(r)<4,从而l<-V+⅞∙<=,贝∣J3<4+∙⅜+3<Z

4q244242

故可+年+全的取值范围为卜，3故选：D.

【题型五】等比数列最值

【典例分析】

已知等差数列｛4｝的公差d>0,且%,«3-1,4。成等比数列，若4=5,S(I为数列｛a,,｝的前〃项和，则

25,,+2n+9

—~Z-的最小值为()

2

ɪɜ17

A.2∖∣3+3B.7C.—D.—

【答案】C

25+2〃+9

【分析】由题意4=5,%，%T，4。成等比数列，可得d=3,即可求出见,S“，代入一~~—,再结

41

合双勾函数性质可求出答案.

【详解】由于%，%-1，4。成等比数列，所以(%-1)2=生90，(4+4d-l)2=(α∣+d)∙(q+9d)

22

Λ(4J+4)=(5+J)∙(5+W),解得c/=3；.a“=3〃+2,.∖Sπ=1(3n+7«)

ɔcIOn÷O3W2+QJ?÷93?

所以“二二+,='+±+3,由双勾函数性质知y=〃+士在〃≥2∕eN*上单调递增，所以当

an-23〃〃n

3372S“+2〃+9∣3

〃=2时，y="+±取得最小值为：2+5==,所以一ii~L的最小值为二.故选：C.

az

n22n~2

【变式训练】

L在各项均为正数的等比数列｛%｝中，公比qe(0,l),若%+%=5,%∕=4，bn=∖^2an,数列低｝的前〃

项和为S”，则学+[+L+曳取最大值时，"的值为()

12n

A.8B.8或9C.9D.17

【答案】B

【分析】结合已知条件求得盘，由此求得打，进而求得S,,由求得正确答案.

n

24

a↑q+qq=5

aq∙aq5=4“1(∖V-'.

【详解】依题意《λλλ

=>ΛI=16,^=-,所以为=i6χ不=2-,⅛zj=Iog2an=5-n

q>u乙12)

q>0

4+S—nO—“qq—n

所以也｝是首项为4,公差为T的等差数列，所以Sz,=空|一%=尚上〃,字=2手

由2=2^≥0=14”≤9,"∈N*,所以号+=∙+L+2取最大值时，〃的值为8或9.

n212n

故选：B

2.等比数列｛%｝中，若/a；=d，贝∣J()

A.4+4与%+%都有最小值2

B.4+4与%+%都有最小值-2

C.当％＜。时％+%有最小值2,%+%有最大值-2

D.当%＜。时4+。8与%+%都有最大值-2

【答案】C

2

【分析】由等比中项的性质得到&=1，04+⅞=ɪ+?＞2,当见＜。时4＜0,%+%=L+q由均值不

等式得到最大值为-2.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为9,根据等比中项的性质得到：a2a;=a2a6ala=⅛=⅛,

得%=1,所以+4=4+42N2,等号成立的条件为q2=-!rnq=±l,4+&有最小值2:

Q夕

当仁＜0时q＜0,a5+a7=-+q≤-2,等号成立的条件为才=∙4=9=T,

qq

%+%有最大值—2.故选：C.

3.已知正项等比数列｛%｝的前八项和S“，满足S,-2Sz=3,则S6-S&的最小值为()

A.-B.3C.4D.12

4

【答案】D

3

【分析】根据题意，设该等比数列的首项为4,公比为4,利用5-2邑=3,可得出+%=〒：，

4q-1

则邑-$4=3(d—1)+士+2,再利用基本不等式求最值即可.

【详解】根据题意，设该等比数列的首项为生,公比为4,

若邑-2邑=3,则有

2

54-252=01+<⅞+α,+¾-2(01+02)=(03+04)-(al+02)=(⅛-l)(α1+α2)=3,

乂由数列｛4｝为正项的等比数列，则4>1,q2>l,

3

贝|]%+4=丁：，

q-1

贝∣J$6_S4=<¾+%=/X(4+/)=-ɪ×√=3×(，二1)+2(“二1)+1

√2-lq2-∖

3(√-l)+-^-η-+2≥6+3×2×^(<72-1)×-^-J=12,当且仅当d=2时等号成立，

即$6-S,的最小值为12.故选：D.

【题型六】恒成立求参

【典例分析】

已知数列中，其前八项和为S),,且满足5,,=2-%，数列,；｝的前n项和为Z,,若S:---l)%,≥O对

weN*恒成立，则实数2的值可以是()

38

A.--B.2C.3D.-

25

【答案】D

【分析】由5”=2-。“求出/，从而可以求7λ,再根据已知条件不等式恒成立，可以进行适当放大即可.

【详解】若"=1，则B=4=2-α∣,故α∣=l;

「Cl-ɪ

S—1—(1a11ɔ/r1

若"≥2,∏∈N*，则由｛"_得广=万，故％=齐F，Sn=一f-=2--

d222

π-l=~¾-∣u∏-∖乙1-1

2

1_1

所以”,,2=∕r,7h=T=9(4-与)，又因为S:-4-l)"7L≥O对neN*恒成立.

f1-Δ八F/

4

当z7=l时，则（2-1）2+/11（4-1）≥0恒成立，2≥-l

当∣”≥2,"∈N*时，2w^l≥2，θ<^∑τ≤^

所以泊3-产1<2,2<2÷1-≤-5,（113

（2—击）-×l（-lΓ养一击）≥0,（2一奈）T（T）H2+强）卜。

若〃为奇数，贝∣J4≥∕-y^>-3;若〃为偶数，贝∣j2≤∙j^13

-F∏-所以衣τ⅛7=s9

2+

3∖Tς'）§（2+；2"^l）3x2

所以，对“eN*（2—击）-Λ（-I）"g（4—J）≥0恒成立，必须满足一1≤∕L≤[

故选：D

【提分秘籍】

基本规律

数列恒成立，可以参考函数恒成立形式：n为自然数

⑴。/〃）恒成立<=»豕〃）加奴；

（2）γ∕5）恒成立<=⅛zg（"）加〃.

【变式训练】

1.已知数列｛4｝的通项公式为q=5-〃，其前〃项和为S,,,将数列｛4｝的前4项去掉其中一项后，剩下三

项按原来的顺序恰为等比数列｛"｝的前3项，记数列也｝的前〃项和为I,若对任意的〃zeN”，∏∈N^,

S“<（,,+/I恒成立，则实数4的取值范围是（）

A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.[6,+∞)D.(6,+∞)

【答案】D

【分析】利用等差数列及等比数列的前"项和得出S“和r“，再求出（SJu及区）*,进而求出实数;I的取值

范围.

【详解】解：由己知数列｛可｝的通项公式为。“=5-”,

所以⑸)s=S4=S5=lO.

数列｛%｝的前4项为4,3,2,I,所以等比数列也｝的前3项为4,2,所以4=4,q=g,

显然｛4｝是递增数列,且4≤（<8.

若对任意的〃?∈N,〃∈N',总有S“<1+2成立，则10v4+4,所以2>6.

故选：D.

2.已知数列｛4｝满足4+2=3q+「2q,（〃eN*）,且q=l,α2=4,其前〃项和为S,,,若对任意的正整数〃,

5,+2〃+处2"20恒成立，则机的取值范围是（）

A.∣.+∞JB.-∣,+∞1C.-∣,+∞1

D.[5,+力

【答案】C

【分析】先判断出数列｛4*,-“”｝为等比数列，从而可得其通项公式，通过累加法可得％,进而求得S,,,然

后由不等式恒成立得到结果.

【详解】由4+2=34用-2%得4,+2-4,+1=2（%-/）,

，数列｛。,向-4｝是以%=3为首项，2为公比的等比数列，

,l

∙'∙¾+ι-¾=3×2'^,

n2

二当〃≥2时，a„-a„_｝=3×2^,…，ay-a2=3×2,a2-al=3×1,

l×(l-2,,^')

将以上各式累加得=3×2,>^2++3×2+3×l=3×=3(2,,^l-l)>

1-2

1_Dn

:.an=3×2"-'-2,(当〃=1时，也满足)，.∙.S,,=30+2+22+…+2"τ)-2"=3x匕二-2"=3∙2"-2"-3,

,,,

⅛Sπ+2n+w∙2'>0,W3∙2"-2n-3+2rt+w∙2>O.

31133

.∙.3-2),-3+∕n∙2,,≥0.即机≥-3+f—≤ɪ.,∖m≥-3+-=--.

故，〃的取值范围是一T'+00)故选：c∙

3.已知数列｛%｝的前N项和为S,,,且满足34+32+…+3Z=若对于任意的xe[0,l],“cN",不

等式5“<-2/-(“+1)》+/-。+；恒成立，则实数a的取值范围为()

A.(-ŋɔ,-1]1.[3,+∞)B.(―∞,-1)(3,+00)

C.(-∞,-2][l,+∞)D.(-00,—2)D(1,+oo)

【答案】A

【分析】首先根据题意求出/="，从而得到S“<3：再由对于任意的XW[0』，〃wN",不等式

S,,<-2χ2-(α+l)χ+Y-α+g恒成立，得至IJ不等式2f+(α+l)χ・〃+α≤0在χ∈[θ,l]时恒成立，从而得到

,通过解不等式组即可求出实数"的取值范围,

2l

【详解】因为34+3%?+…+3"α,,="("eN*),所以n≥2时，3al+3α2+...+3"-aπ.l=n-l,

两式相减，得3"α,,=l("≥2),即4,(“22),又e时，3α,=l,所以4=g,

ILfiYl

因为G=:也适合所以为=3.所以S=3113川』JULL

333λ12y3)2

3

因为对于任意的xe[0,l].〃7*,不等式5“<-2/—(4+1口+/-4+3恒成立，

所以对于任意的xe[0,l],不等式35-2/-(4+1)》+片—。+3恒成立，

即对于任意的x∈[0,l],不等式2丁+(°+1方一储+。<0恒成立，

[/(O)≤Of-a2+a<O

所以只需，「八，即C(,ʌ2"，解得α≤-1或α≥3.

[/(l)≤0[2+(α+l)-/+4≤0

所以实数。的取值范围为(-∞