专题22独立性检验4种常见考法归类

专题22独立性检验4种常见考法归类思维导图核心考点聚焦考点一、用2×2列联表分析两分类变量间的关系考点二、用等高堆积条形图分析两类变量间的关系考点三、独立性检验的概念及辨析考点四、独立性检验的卡方计算1．分类变量这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两种我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类变量的取值可以用实数表示．2．2×2列联表在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存，我们将这类数据统计表称为2×2列联表，2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数．一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为y1y2合计x1aba＋bx2cdc＋d合计a＋cb＋da＋b＋c＋d3.等高堆积条形图等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果．4.临界值χ2统计量也可以用来作相关性的度量．χ2越小说明变量之间越独立，χ2越大说明变量之间越相关χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立．我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准．5．独立性检验基于小概率值α的检验规则是：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8286.应用独立性检验解决实际问题的大致步骤(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较；(3)根据检验规则得出推断结论；(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．1、(1)作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．计算时要准确无误．(2)利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将eq\f(a,a＋b)与eq\f(c,c＋d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a＋b)与\f(d,c＋d)))的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣．2、利用等高堆积条形图判断两个分类变量是否相关的步骤：3、独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列出列联表；(2)计算随机变量的观测值k，查下表确定临界值k0：(3)如果，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“X与Y有关系”．【注意】(1)通常认为时，样本数据就没有充分的证据显示“X与Y有关系”．(2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．(3)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．考点剖析考点一、用2×2列联表分析两分类变量间的关系1．（2023下·陕西宝鸡·高二校联考阶段练习）不可以判断两个变量是否有关系的是（

）A．散点图 B．列联表C．等高条形图 D．频率分布直方图【答案】D【分析】根据题意，依次分析选项的图、表，结合其统计意义，即可得答案．【详解】解：对于，根据散点图可以判断两个变量间相关性的强弱，故A正确；对于，对于列联表，计算的值，可以判断两个变量是否有关系，故B正确；对于，用等高条形图可以粗略地判断两个变量是否有关，故C正确；对于，频率分布直方图是反映样本的频率分布规律，不能反映是否相关，故D错误．故选：．2．（2023·云南昆明·校联考一模）考查棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：项目种子处理种子未处理总计得病32101133不得病192213405总计224314538根据以上数据，则（

）A．种子是否经过处理决定是否生病B．种子是否经过处理跟是否生病无关C．种子是否经过处理跟是否生病有关D．以上都是错误的【答案】C【分析】根据表格提供的数据作出判断.【详解】由列联表中的数据可知，种子经过处理，得病的比例明显降低，种子未经过处理，得病的比例要高些，所以可得结论：种子是否经过处理跟是否生病有关.故选：C3．（2023下·青海西宁·高二统考期末）第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，组委会安排100名志愿者担任对外翻译工作，在下面“性别与会法语”的列联表中，.会法语不会法语总计男ab40女12d总计36100【答案】【分析】根据题意，利用志愿者的总人数为100，列出方程，即可求解.【详解】根据表格中的数据，因为志愿者的总人数为100，所以，解得.故答案为：.4．（2023·高三课时练习）某校团委对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的.若根据独立性检验认为喜欢网络游戏和性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则被调查的学生中男生可能有人.（请将所有可能的结果都填在横线上）附表：，其中.0.0500.0103.8416.635【答案】45，50，55，60，65【分析】利用独立性检验表达列联表及观测值可解得答案.【详解】设男生有x人，由题意可得列联表如下，喜欢不喜欢合计男生x女生x合计若认为喜欢网络游戏和性别有关，且该推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则.∵，∴，解得，又x为5的整数倍，∴被调查的学生中男生可能人数为45，50，55，60，65.故答案为：45，50，55，60，65.5．（2023上·高二课时练习）下表是两所中学的学生对报考某类大学的意愿的列联表：愿意报考某类大学不愿意报考某类大学总计中学中学总计根据表中的数据回答：两所中学的学生对报考某类大学的态度是否有显著差异？【答案】有显著差异，且中学更愿意报考【分析】分别计算中学报考某类大学的比例，对比即可得到结论.【详解】中学愿意报考某类大学的比率为；中学愿意报考某类大学的比例为；，即中学愿意报考某类大学的比例比中学高了，两所中学的学生对报考某类大学的态度有显著差异，且中学更愿意报考.考点二、用等高堆积条形图分析两类变量间的关系6．（2023下·河北张家口·高二河北省尚义县第一中学校考阶段练习）观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据题意，由等高条形图的意义分析可得答案．【详解】根据题意，在等高的条形图中，当，所占比例相差越大时，越有把握认为两个分类变量，之间有关系，由选项可得：B选项中，，所占比例相差无几，所以最有把握认为两个分类变量，之间没有关系，故选：B7．（2023·贵州·校联考二模）为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才．某学校在不加重学生负担的前提下．提供个性、全面的选修课程．为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高条形图，根据条形图，下列结论正确的是（

）A．样本中不愿意选该门课的人数较多B．样本中男生人数多于女生人数C．样本中女生人数多于男生人数D．该等高条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数【答案】B【分析】根据等高条形图直接判断各个选项即可.【详解】对于A，由图乙可知，样本中男生，女生都大部分愿意选择该门课，则样本中愿意选该门课的人数较多，A错误；对于BCD，由图甲可知，在愿意和不愿意的人中，都是男生占比较大，所以可以确定，样本中男生人数多于女生人数，B正确，CD错误.故选：B．8．（2023·四川达州·统考一模）四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（

）A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数C．样本中选择物理学科的人数较多D．样本中男生人数少于女生人数【答案】C【分析】根据等高条形图的概念结合条件逐项分析即得.【详解】根据等高条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多，故C正确；根据等高条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数，故D错误；样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女生比例低，所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A错误；样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故B错误.故选：C.9．（2022下·吉林·高二吉林省实验校考阶段练习）为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男性40人，女性60人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（

）A．是否倾向选择生育二胎与户籍无关B．是否倾向选择生育二胎与性别有关C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数【答案】D【分析】结合所给比例图，依次分析判断4个选项即可.【详解】对于A，城镇户籍中选择生育二胎，农村户籍中选择生育二胎，相差较大，则是否倾向选择生育二胎与户籍有关，A错误；对于B，男性和女性中均有选择生育二胎，则是否倾向选择生育二胎与性别无关，B错误；对于C，由于男性和女性中均有选择生育二胎，但样本中男性40人，女性60人，则倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不同，C错误；对于D，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍有人，城镇户籍有人，农村户籍人数少于城镇户籍人数，D正确.故选：D.考点三、独立性检验的概念及辨析10．（2024上·天津红桥·高三统考期末）下列命题中①散点图可以直观地判断两个变量是否具有线性相关关系；②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；③回归分析和独立性检验没有什么区别；④回归直线一定经过样本中心点.其中正确的命题个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用散点图、回归直线、独立性检验的知识分析判断各个命题即得.【详解】散点图可以直观地判断两个变量是否具有线性相关关系，①正确；回归直线可以不经过散点图中的任何一个点，②错误；回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的分析，③错误；回归直线一定经过样本中心点，④正确，所以正确的命题个数为2.故选：B11．（2022下·山东烟台·高二统考期中）下列关于独立性检验的说法正确的是（）A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验B．独立性检验可以确定两个变量之间是否具有某种关系C．利用独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，根据小概率值的独立性检验，认为吸烟与患肺病有关系时，则我们可以说在个吸烟的人中，有人患肺病D．对于独立性检验，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大【答案】D【分析】根据独立性检验的意义分别判断各选项.【详解】对于A，独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，并非检验二者是否是线性相关，故错误；对于B，独立性检验并不能确定两个变量相关，故错误；对于C，是指“抽烟”和“患肺病”存在关联的可能性，并非抽烟人中患肺病的发病率，故错误；对于D，根据卡方计算的定义可知该选项正确；故选:D.12．（2022下·山东滨州·高二统考期末）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则的最小值为（）附：，附表：0.050.013.8416.635A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】由已知数据计算，根据独立性检验的结论，列不等式求的取值范围，得最小值.【详解】根据题意，不妨设，于是，由于依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，根据表格可知，解得，于是最小值为.故选：C13．（2023·全国·高二专题练习）在一项中学生近视情况的调查中，某校150名男生中有80名近视，140名女生中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时最有说服力的方法是（）A．平均数与方差 B．回归分析C．独立性检验 D．概率【答案】C【分析】近视与性别是两个分类变量，根据分类变量的研究方法确定答案.【详解】近视与性别是两个分类变量，在检验两个随机事件是否有关时，最有说服力的方法是独立性检验，故选：C.14．（2022上·广东东莞·高三校考阶段练习）根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（

）A．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过C．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过【答案】B【分析】根据找出对应的的值，并比较与卡方值得大小,进而由卡法的定义推出相应结论即可.【详解】因为时，所以，所以变量与不独立，且这个结论犯错误的概率不超过.故选:B.15．（2023下·高二课时练习）某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算，则认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过（

）A．0.1% B．1%C．99% D．99.9%【答案】B【分析】根据，即可判断结果.【详解】,认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过1%.故选：B16．（2023·全国·高二专题练习）为了研究高中学生中性别与对乡村音乐态度（喜欢和不喜欢两种态度）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝8.01，则所得到的统计学结论是认为“性别与喜欢乡村音乐有关系”的把握约为（）附：A．0.1% B．0.5%C．99.5% D．99.9%【答案】C【分析】根据题意结合临界值表判断即可【详解】因为，所以认为性别与喜欢乡村音乐有关系的把握有99.5%.故选：C17．（2023下·高二课时练习）在吸烟与患肺癌是否相关的研究中，下列说法正确的是（

）A．若，我们有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，则在100个吸烟的人中必有99个人患肺癌B．由独立性检验可知，当有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺癌C．通过计算得到，是指有95%的把握认为吸烟与患肺癌有关系D．以上三种说法都不正确【答案】C【分析】根据独立性检验的思想即可求解.【详解】若，我们有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，而不是在100个吸烟的人中必有99个人患肺癌，故A不正确；99%是指吸烟与患肺癌有关的概率，而不是吸烟的人有99%的可能患有肺癌，故B不正确，C正确，D不正确．故选：C考点四、独立性检验的卡方计算18．（2024上·吉林·高二长春市第二实验中学校联考期末）李连贵熏肉大饼是吉林省四平市极具传统特色的美味小吃，有着悠久的历史，创始于1908年，距今已经有着一百多年的历史了.李连贵熏肉大饼的制作方法十分考究，选用猪肉和面粉为主要原料，将猪肉制作成熏肉，在加上公丁香，肉䓕，沙仁等几十种配料謷煮，最后加入调料抹在饼内，夹肉而食，吃起来外酥里软，美味可口，是一道集美味和药膳于一体的美味佳肴，很多外地游客慕名前往四平品尝.某调查机构从年龄在岁的游客中随机抽取100人，对是否有意向购买熏肉大饼进行调查，结果如下表：年龄/岁抽取人数有意向购买熏肉大饼的人数(1)若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为购买熏肉大饼与人的年龄有关?年龄低于岁的人数年龄不低于岁的人数总计有意向购买熏肉大饼的人数无意向购买熏肉大饼的人数总计(2)用样本估计总体，用频率估计概率，从年龄在的所有游客中随机抽取3人，设这3人中打算购买熏肉大饼的人数为，求的分布列和数学期望.【参考数据及公式】，其中.【答案】(1)列联表见解析，购买熏肉大饼与人的年龄有关(2)分布列见解析，【分析】（1）根据所给列表，写出列联表，计算，利用独立性检验的基本思想，判断即购买熏肉大饼与人的年龄是否有关；（2）根据二项分布的计算公式，写出它的分布列，计算期望值(可直接用二项分布的期望值公式计算）.【详解】（1）列联表如下：年龄低于岁的人数年龄不低于岁的人数总计有意向购买熏肉大饼的人数无意向购买熏肉大饼的人数总计零假设为购买熏肉大饼与人的年龄无关.根据表中数据计算得：，所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即购买熏肉大饼与人的年龄有关，该推断犯错误的概率不超过.（2）由已知得，，，，，，.所以随机变量的分布列为:所以.19．（2023下·黑龙江大兴安岭地·高二大兴安岭实验中学校考期中）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学随机抽取了80名学生，按照性别和体育锻炼情况整理为如下列联表：性别锻炼合计不经常经常男生202040女生241640合计443680(1)依据的独立性检验，能否认为性别因素会影响学生锻炼的经常性；(2)若列联表中的所有样本观测数据都变为原来的10倍，再做第（1）问，得到的结论还一样吗？请说明理由；附：①，其中.②临界值表0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)不能(2)不一样，理由见解析【分析】（1）根据列联表中的数据，求得，再与临界值表对照下结论；（2）根据数据，求得，再与临界值表对照即可.【详解】（1）解：零假设为性别与锻炼的经常性无关，根据列联表中的数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即不能认为性别因素会影响学生锻炼的经常性.（2）由题意得，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，因此可以认为性别因素会影响学生锻炼的经常性，此推断犯错误的概率不大于0.05，得到的结论不一样.20．（2024上·江苏无锡·高三统考期末）为考察药物对预防疾病以及药物对治疗疾病的效果，科研团队进行了大量动物对照试验.根据100个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）药物疾病未患病患病合计未服用301545服用451055合计7525100(1)依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性；(2)用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物进行治疗.已知药物的治愈率如下：对未服用过药物的动物治愈率为，对服用过药物的动物治愈率为.若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的.记选取的3只动物中被治愈的动物个数为，求的分布列和数学期望.附：，0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)药物对预防疾病有效果.(2)答案见解析.【分析】（1）根据公式算出卡方，与表格中的数据比较即可.（2）结合全概率公式先求概率，每名志愿者用药互不影响，且实验成功概率相同，X服从二项分布求分布列和数学期望即可．【详解】（1）零假设为:药物对预防疾病无效果，根据列联表中的数据，经计算得到,根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，即认为药物对预防疾病有效果.（2）设A表示药物的治愈率，表示对未服用过药物,表示服用过药物由题，，，且，，.药物的治愈率，则，所以，，，，X的分布列如下表所示X0123P．21．（2024上·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考期末）篮球是一项风靡世界的运动，是深受大众喜欢的一项运动.喜爱篮球运动不喜爱篮球运动合计男性6040100女性2080100合计80120200(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如上列联表，判断是否有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关；(2)校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即.①求（直接写出结果即可）；②证明：数列为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小.0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828附：，.【答案】(1)有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关.(2)①；②证明见解析，第次触球者是甲的概率大.【分析】（1）直接带公式即可.（2）①根据题义写即可；通过分析与的概率关系式，再利用数列知识计算结果.【详解】（1）（1）根据列联表数据，经计算得,根据独立性检验：即有的把握认为喜爱篮球运动与性别有关.（2）①由题意得：第二次触球者为乙，丙中的一个，第二次触球者传给包括甲的二人中的一人，故传给甲的概率为，故.②第次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为，第次触球者不是甲的概率为，则从而，又，所以是以为首项，公比为的等比数列，故第次触球者是甲的概率大.22．（2024上·湖北武汉·高三统考期末）数学运算是数学学科的核心素养之一，具备较好的数学运算素养一般体现为在运算中算法合理、计算准确、过程规范、细节到位，为了诊断学情、培养习惯、发展素养，某老师计划调研准确率与运算速度之间是否有关，他记录了一段时间的相关数据如下表：项目速度快速度慢合计准确率高102232准确率低111728合计213960(1)依据的独立性检验，能否认为数学考试中准确率与运算速度相关？(2)为鼓励学生全面发展，现随机将准确率高且速度快的10名同学分成人数分别为3，3，4的三个小组进行小组才艺展示，若甲、乙两人在这10人中，求甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率.附：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828其中.【答案】(1)依据的独立性检验，数学考试中准确率与运算速度无关(2)【分析】（1）根据独立性检验相关知识直接计算判断即可；（2）记“甲在3人一组”为事件，记“甲在3人一组，且乙在4人一组”为事件，根据题意分别求出两事件概率，结合条件概率公式求解甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率即可.【详解】（1）零假设数学考试中准确率与运算速度无关，，依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即数学考试中准确率与运算速度无关（2）记“甲在3人一组”为事件，则需从除甲以外的9人中任选2人与甲形成一组，再从剩下7人中任选3人形成一组，最后4人形成一组，所以，记“甲在3人一组，且乙在4人一组”为事件，则需从除甲、乙以外的8人中任选2人与甲形成一组，再从剩下6人中任选3人与乙形成一组，最后3人形成一组，所以，由条件概率公式，则，即甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率为23．（2023下·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期末）微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众号．用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞．现从小明的微信好友中随机选取40人（男、女各20人），记录他们某一天行走的步数，并将数据整理如下表：步数性别0~20002001~50005001~80008001~10000>10000男12476女03962若某人一天行走的步数超过8000步被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”，(1)根据题意完成下面的列联表；积极型懈怠型总计男女总计(2)计算的值，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？本题参考：独立性检验计算公式：，其中．相关关系的可信度临界值表：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)表格见解析(2)2.506，有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关．【分析】（1）根据所给数据完成列联表即可；（2）计算出根据所给数据做出判断即可.【详解】（1）列联表如下：积极型懈怠型总计男13720女81220总计211940（2），因为，而观测值2.506对应的两组分类变量的无关概率超过0.1，则相关概率小于0.9，所以没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关．过关检测一、单选题1．（2023下·甘肃酒泉·高二统考期末）某学校食堂对高三学生偏爱蔬菜还是肉类与性别的关系进行了一次调查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，有的把握但没有的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关，则的观测值可能为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据已知条件可得的取值范围为，即可得正确选项.【详解】因为有的把握但没有的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关，所以的取值范围为，因此的值可能为．故选：C．2．（2023下·吉林白山·高二校联考期末）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，结论为（

）A．变量与不独立B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率超过0.01C．变量与独立D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01【答案】A【分析】直接利用独立性检验的知识求解.【详解】按照独立性检验的知识及比对参数值，当，我们可以得到变量与不独立，故排除选项C，D；依据的独立性检验，，所以变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过，故A正确，B错误.故选：A3．（2023下·江苏南京·高二统考期末）为了考查某种营养液对有机蔬菜的增产效果，某研究所进行试验、获得数据、经过计算后得到，那么可以认为该营养液为有机蔬菜的增产效果的把握为（

）附：临界值表（部分）A．以上 B．以上 C．以上 D．以下【答案】C【分析】根据独性检验的相关概念可得答案.【详解】因为，所以该营养液为有机蔬菜的增产效果的把握为以上.故选：C.4．（2023下·甘肃庆阳·高二校考期末）通过随机询问盐城市110名性别不同的高中生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由公式计算得：．参照附表，得到的正确结论是（

）附表：α0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】C【分析】根据独立性检验的实际运用判断即可.【详解】因为，所以有99%以上的把握（或犯错误的概率不超过1%的前提下）认为“爱好该项运动与性别有关”故选：C5．（2023下·福建漳州·高二统考期末）根据分类变量和的样本观察数据的计算结果，有不少于的把握认为和有关，则的一个可能取值为（

）0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879A．3.971 B．5.872 C．6.775 D．9.698【答案】D【分析】根据独立性检验卡方与列表比较即可；【详解】因为有不少于的把握认为和有关，所以，，满足题意，故选：D.6．（2023下·河南郑州·高二统考期末）下列四个命题中，正确命题的个数为（

）①甲乙两组数据分别为：甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；；乙：，29，34，35，48，42，46，55，53，55，67．则甲乙的中位数分别为45和44．②相关系数，表明两个变量的相关性较弱．③若由一个列联表中的数据计算得的观测值，那么有99%的把握认为两个变量有关．④用最小二乘法求出一组数据，的回归直线方程后要进行残差分析，相应于数据，的残差是指．

0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】求出两组数据的中位数判断①；利用相关系数的意义判断②；利用的观测值与要求的临界值对判断③；利用残差的意义判断④作答.【详解】对于①，甲组数据的中位数为45，乙组数据的中位数为，①错误；对于②，相关系数时，两个变量有很强的相关性，②错误；对于③，的观测值约为，那么有99%的把握认为两个变量有关，③正确；对于④，残差分析中，相应数据的残差，④正确，所以命题正确的序号是③④.故选：B.7．（2023下·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的，女性喜爱足球的人数占女性人数的，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（

）人0.100.050.010.0050.0012.7063.8415.6357.87910.828A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【分析】设出男性人数，列出列联表，算出的观测值表达式，列出不等式求解作答.【详解】设男性人数为，依题意，得列联表如下：喜爱足球不喜爱足球合计男性女性合计则的观测值为，因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，于是，即，解得，而，因此故选：B二、多选题8．（2023上·全国·高三专题练习）为考察一种新型药物预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中，由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（）附表：A．根据小概率值的独立性检验，分析认为“药物有效”B．根据小概率值的独立性检验，分析认为“药物无效”C．根据小概率值的独立性检验，分析认为“药物有效”D．根据小概率值的独立性检验，分析认为“药物无效”【答案】BC【分析】根据独立性检验的概念直接判断.【详解】因为，所以，所以根据小概率值的独立性检验，分析认为“药物无效”；根据小概率值的独立性检验，分析认为“药物有效”；故选：BC.9．（2023上·广东深圳·高三校考期末）深圳某中学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务绘出满意或不满意的评价，得到如表所示的列联表，经计算，则下列结论正确的是（

）满意不满意男3020女40100.1000.0500.010k2.7063.8416.535A．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为；B．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意：C．根据小概率值的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异；D．根据小概率值的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异.【答案】AC【分析】根据列联表计算男、女生对食堂服务满意的概率的估计值，即可判断A，B；根据独立性检验的原则，结合，与临界值表比较，可判断C，D.【详解】对于A，由列联表可知该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为，正确；对于B，该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为，即该学校女生比男生对食堂服务更满意，B错误；对于C，D，由于，故根据小概率值的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异；根据小概率值的独立性检验，不能认为男、女生对该食堂服务的评价有差异，C正确，D错误，故选：AC10．（2024上·山东德州·高三统考期末）下列四个表述中，正确的是（

）A．设有一个回归直线方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位B．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高C．在一个列联表中，根据表中数据计算得到的观测值，若的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大D．具有相关关系的两个变量的相关系数为，那么越接近于0，则之间的线性相关程度越高【答案】BC【分析】由线性回归方程的含义即可判断A，由残差的含义即可判断B，由卡方的性质即可判断C，由相关系数的定义即可判断D.【详解】A选项，因为＝3－5x，所以变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，故A错误；B选项，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故B正确；C选项，观测值越大则认为两个变量间有关的把握就越大，故C正确；D选项，越接近于1，则之间的线性相关程度越高，故D错误.故选：BC.11．（2023下·安徽合肥·高二统考期末）某制药公司为了研究某种治疗高血压的药物在饭前和饭后服用的药效差异，随机抽取了200名高血压患者开展试验，其中100名患者饭前服药，另外100名患者饭后服药，随后观察药效，将试验数据绘制成如图所示的等高条形图，已知，且，则下列说法正确的是（

）A．饭前服药的患者中，药效强的频率为B．药效弱的患者中，饭后服药的频率为C．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异D．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，不能认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异【答案】AC【分析】根据等高条形图即可得饭前饭后药效强和弱的人数，即可判断AB，计算卡方与临界值比较即可判断CD.【详解】对于A，饭前服药的100名患者中，药效强的有80人，所以频率为，故A正确；对于B，饭前服药的有20人药效弱，饭后服药的有70人药效弱，所以药效弱的有90名患者，饭后服药的频率为，故B错误；对于C，D，因为，故在犯错误的概率不超过0.01的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异，故C正确，D错误．故选：AC12．（2023下·吉林·高二校联考期末）某课外兴趣小组通过随机调查，利用列联表和统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关．计算得，经查阅临界值表知，则下列判断错误的是（

）A．每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生B．若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010C．有的把握认为“数学成绩优秀与性别有关D．在犯错误的概率不超过的前提下认为“数学成绩优秀与性别无关”【答案】ABD【分析】根据题意，由的意义即可得到结果.【详解】每100个数学成绩优秀的人中可能没有女生，也有可能有多名女生，已知数据不能确定结论，故A错误；若某人数学成绩优秀，已知数据不能判断他为男生的概率，故B错误；由以及可知，有的把握认为“数学成绩优秀与性别有关，即在犯错误率不超过的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”，故C正确，D错误.故选：ABD13．（2023·全国·模拟预测）某校有在校学生900人，其中男生400人，女生500人，为了解该校学生对学校课后延时服务的满意度，随机调查了40名男生和50名女生．每位被调查的学生都对学校的课后延时服务给出了满意或不满意的评价，统计过程中发现随机从这90人中抽取一人，此人评价为满意的概率为．在制定列联表时，由于某些因素缺失了部分数据，而获得如下列联表，下列结论正确的是（

）满意不满意合计男10女合计90参考公式与临界值表，其中．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828A．满意度的调查过程采用了分层抽样的抽样方法B．50名女生中对课后延时服务满意的人数为20C．的观测值为9D．根据小概率的独立性检验，不可以认为“对课后延时服务的满意度与性别有关系”【答案】AD【分析】根据题意计算男女比例，即可判断A选项；计算满意的总人数人数，根据男生满意人数即可得女生满意人数判断B选项；由列联表中数据计算的值即可判断C、D选项.【详解】A选项，因为在校学生中有400名男生，500名女生，随机调查了40名男生和50名女生，男女比例始终是4：5，所以采用了分层抽样的方法，故A正确；B选项，调查的90人中，对学校课后延时服务满意的人数为，其中男生满意的人数为，所以女生满意的人数为30，女生不满意的人数为20，故B错误；C选项，由B选项的分析，补全列联表如下：满意不满意合计男301040女302050合计603090由列联表可得，故C错误；D选项，：对课后延时服务的满意度与性别无关，由，根据小概率的独立性检验，没有充足的证据推断不成立，即不能认为“对课后延时服务的满意度与性别有关系”，故D正确．故选：AD．三、填空题14．（2023下·重庆·高二校联考期末）某市政府调查市民收入增减与旅游需求的关系时，采用独立性检验法抽查了5000人，计算发现，根据这一数据，市政府断言市民收入增减与旅游需求有关的可信度是%.附：常用小概率值和临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】【分析】由，对照数表即可得出结论.【详解】由，对照数表知，市政府断言市民收入增减与旅游变有关系的可信程度是.故答案为：15．（2023下·北京东城·高二统考期末）幸福感是个体的一种主观情感体验，生活中的多种因素都会影响人的幸福感受．为研究男生与女生的幸福感是否有差异，一位老师在某大学进行了随机抽样调查，得到如下数据：幸福不幸福总计男生638128766女生37246418总计10101741184由此计算得到，已知，．根据小概率值的独立性检验，（填“可以”或“不能”）认为男生与女生的幸福感有差异；根据小概率值的独立性检验，（填“可以”或“不能”）认为男生与女生的幸福感有差异．【答案】可以不能【分析】根据假设性检验中的值对比小概率值进行判断即可.【详解】由于，则根据小概率值的独立性检验，可以认为男生与女生的幸福感有差异由于，根据小概率值的独立性检验，不能认为男生与女生的幸福感有差异．故答案为：可以；不能.16．（2023下·海南·高二统考期末）某制药公司为了验证一种药物对治疗“抑郁症”是否有效，随机选取了100名抑郁症患者进行试验，并根据试验数据得到下列2×2列联表：用药未用药症状明显减轻3733症状没有减轻822根据表中数据，计算可得（结果精确到0.001），依据小概率值（填临界值表中符合条件的最小值）的独立性检验，可以认为该药物对治疗“抑郁症”是有效的.附：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】5.8200.05【分析】根据给定数表，求出的观测值，再结合临界值表，求出符合条件的作答.【详解】由列联表中数据得：，因为，所以.故答案为：；17．（2022下·福建福州·高二福州三中校考期末）为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：药物疾病合计未患病患病服用a50未服用50合计8020100若在本次考察中得出“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效”的结论，则a的最小值为．（其中且）（参考数据：，）附：，α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【答案】46【分析】根据公式列不等式求解．【详解】由题意可得，整理得，所以或，解得或，又因为且，所以，所以a的最小值为46.故答案为：46.18．（2023下·四川遂宁·高二校考期末）某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且，若有的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则的所有可能取值个数是个对工作满意对工作不满意男女附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】6【分析】由列联表及卡方公式列不等式求范围，结合题设即可确定值的可能个数.【详解】，解得，因为且，所以或或或或或.故答案为：6四、解答题19．（2024上·河北张家口·高三统考期末）某公司男女职工人数相等，该公司为了解职工是否接受去外地长时间出差，进行了如下调查：在男女职工中各随机抽取了100人，经调查，男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20．(1)根据所给数据，完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否接受去外地长时间出差与性别有关联？单位：人性别接受不接受合计男女合计(2)若将频率视为概率，用样本估计总体，从该公司中随机抽取5人，记其中接受去外地长时间出差的人数为X，求X的数学期望，附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，其中．【答案】(1)填表见解析；认为是否接受去外地长时间出差与性别有关联(2)【分析】（1）数据分析填写列联表，计算出卡方，与比较后得到答案；（2）得到，利用期望公式求出答案.【详解】（1）依题意，列出列联表如下：单位：人性别接受不接受合计男4060100女2080100合计60140200零假设为：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关，所以．根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．（2）由题意，接受去外地长时间出差的频率为，所以接受去外地长时间出差的概率为．随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，5，由题意，得，所以的数学期望．20．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）2023年秋末冬初，某市发生了一次流感疾病，某医疗团队为研究本地的流感疾病与当地居民生活习惯（良好、不够良好）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100人（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：良好不够良好病例组2575对照组4555(1)分别估计病例组和对照组中生活习惯为良好的概率；(2)能否有99%的把握认为感染此次流感疾病与生活习惯有关？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)0.45(2)有【分析】（1）根据病例组生活习惯为良好的频率，对照组为生活习惯为良好的频率，然后估计生活习惯为良好的概率从而可求解.（2）根据题意分别可知，，，从而求出，从而求解.【详解】（1）由调查数据，病例组为生活习惯为良好的频率，因此病例组为生活习惯为良好的概率的估计值为，对照组为生活习惯为良好的频率，因此对照组为生活习惯为良好的概率的估计值为.（2）由题意可知，所以，因为，所以有的把我说患有该疾病与生活习惯有关.21．（2024上·广东深圳·高三深圳外国语学校校联考期末）杭州第19届亚运会，中国代表团共获得201金111银71铜，共383枚奖牌，金牌数超越2010年广州亚运会的199枚，标志着我国体育运动又有了新的突破.某大学从全校学生中随机抽取了130名学生，对其日常参加体育运动情况做了调查，其中是否经常参加体育运动的数据统计如下：经常参加不经常参加男生6020女生4010(1)利用频率估计概率，现从全校女生中随机抽取5人，求其中恰有2人不经常参加体育运动的概率；(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为是否经常参加体育运动与性别有关联.参考公式：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)；(2)经常参加体育运动与性别没有关联.【分析】（1）由题设知抽取到不经常参加体育运动的女生人数服从，应用二项分布概率求法求概率；（2）写出列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验基本思想得到结论.【详解】（1）由表格知：经常参加与不经常参加体育运动的女生比例为，所以，抽取到不经常参加体育运动的女生人数服从，故恰有2人不经常参加体育运动的概率.（2）由题设得列联表如下：经常参加不经常参加男生602080女生40105010030130故，所以，依据小概率值的独立性检验认为经常参加体育运动与性别没有关联.22．（2024·四川绵阳·统考二模）绵阳市37家A级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长．绵阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：喜欢旅游不喜欢旅游总计男性203050女性302050总计5050100(1)能否有的把握认为喜欢旅游与性别有关？(2)将频率视为概率，从全市男性市民中随机抽取2人进行访谈，记这2人中喜欢旅游的人数为，求的分布列与数学期望．附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)有的把握认为喜欢旅游与性别有关(2)分布列见解析，【分析】（1）将表中数据代入的计算公式并将计算结果与比较大小，由此可知结果；（2）根据条件判断出，然后计算出在不同取值下的概率，由此可求分布列，根据分布列可求.【详解】（1）因为，所以有的把握认为喜欢旅游与性别有关.（2）由表中数据可知：从全市男性市名中随机抽取一人，该人喜欢旅游的概率为，由题意可知：，的可能取值为0,1,2.所以，，，所以的分布列为：所以（或者）.23．（2023上·江西·高三吉安一中校联考期末）为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空