专题13空间直线平面的垂直（知识梳理精讲）

专题13空间直线、平面的垂直知识点一线线垂直例1．（1）、（2022下·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）下列说法中正确的是（

）A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体叫圆台B．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱C．若一个平面内有无数个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行D．过直线外一点有无数条直线与该直线垂直【答案】D【分析】根据圆台的定义可判断A;根据棱柱的定义可判断B；根据平面的位置关系可判断C;根据线线垂直的含义可判断D.【详解】由圆台定义知，以直角梯形的一条直角边为轴旋转，其余三边旋转形成的面围成的旋转体是圆台，故A错误；由棱柱定义可知，棱柱是有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体，故B错误；若一个平面内有无数个点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面有可能相交，也可能平行，故C错误；在空间中，由于过直线外一点存在一个平面与该直线垂直，在该平面内过这个点的所有直线都和这条直线垂直，故过直线外一点有无数条直线与该直线垂直，故D正确，故选：D（2）、（2019·高一课时练习）已知直线平面，直线，则（

）A． B．C．异面 D．相交而不垂直【答案】A【分析】根据线面垂直的定义得解.【详解】由线面垂直的定义，若直线与平面垂直，则直线垂直与该平面内的任意一条直线，因此故选:A【点睛】本题考查线面垂直的定义，属于基础题.（3）、（2022下·广东江门·高一江门市第一中学校考期中）如图，长方体中，，，那么异面直线与所成角的余弦值是．【答案】【分析】设，由题意可求出，，又因为，所以即为异面直线与所成的角（或补角），再利用余弦定理求解即可．【详解】如图：设，，，又，，因为长方体中，所以，所以四边形是平行四边形，所以，即为异面直线与所成的角（或补角），在△中，，，，，故答案为：.（4）、（2010下·内蒙古包头·高二统考期中）如图，点，，，分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线与不是共面直线的图是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据正方体的结构特征以及两直线位置关系的判定方法，说明选项A和B中，选项C中与异面，选项D中与相交，即可得正确选项.得正确选项.【详解】对于A：根据正方体结构特点以及中位线的性质可知：，故，共面；故选项A不符合题意；对于B：根据正方体结构特点以及中位线的性质可知：，故共面；故选项B不符合题意；对于C：根据正方体结构特点可知：面，面，面，，所以是异面直线，则直线与不是共面直线，选项C符合题意对于D：根据正方体结构特点以及中位线的性质可知：，且，所以相交，故共面；故选项D不符合题意，故选：C.1．（2021·高一课时练习）设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b（

）A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能【答案】D【详解】如下图，若，则和相交；若，则和异面；若，则和平行；所以空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面．故选：D.2．（2019·高一课时练习）若表示直线，表示平面，下列结论中正确的是.①；②；③；④.【答案】①④【分析】根据线面垂直的性质，可判断①④；根据线线、线面位置关系，可判断②③，进而可得出结果.【详解】①中，因为，根据线面垂直的性质，即可得到，所以①正确；②中，因为，所以或，故②错误；③中，因为，所以或或与相交，故③错误；④中，因为，根据线面垂直的性质定理，即可得到，故④正确；故答案为①④【点睛】本题主要考查线线、线面位置关系相关命题的判定，熟记空间中线线、线面位置关系，以及线面垂直的性质定理即可，属于常考题型.3．（2022·高一课前预习）如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，则与所成的角是．【答案】【分析】根据题意得，所以与所成的角即为与所成的角或其补角，再根据条件分析求解即可.【详解】因为底面是平行四边形，所以，所以与所成的角即为与所成的角或其补角，又，所以与所成的角为，即与所成的角为.故答案为：.4．（2020下·高一课时练习）如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论：①与所在直线垂直；

②与所在直线平行；③与所在直线成60°角；

④与所在直线异面.其中正确结论的序号是（

）A．①② B．①③ C．③④ D．②④【答案】C【解析】根据正方体平面展开图，画出原正方体，标出各顶点，找平行线判断异面直线所成角，逐一判断，即可求解.【详解】画出原正方体如图所示，连接，，由图可知①②错误；，所以为等边三角形，所以③与所在直线成60°角是正确的；显然④与所在直线异面是正确的.综上，③④正确.故选：C【点睛】本题考查异面直线所成角，考查数形结合思想，属于基础题.知识点二线面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a⊂α,b⊂α))⇒l⊥α性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b例2、（2023上·上海·高二专题练习）如图，在三棱锥中，，是的中点，且.(1)求证：平面；(2)若，求证：平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的判定定理求证；（2）根据线线垂直，利用线面垂直定理证明.【详解】（1）因为，是的中点，所以.在中，，由已知，所以，所以.又平面，所以平面.（2）因为，是的中点，所以.由(1)知.又因为平面，所以平面.例3、（2023上·上海·高二专题练习）如图，在三棱锥中，平面．已知，分别为的中点．(1)求证：平面；(2)若点F在线段AC上，且满足平面，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明，，即可证明平面；（2）通过构造面面平行，从而推出线线平行，再利用三角形相似求解.【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以①，又为等腰三角形，且D为PB中点，所以②，又平面PBC，平面PBC，，结合①②，故平面，即得证.（2）取BE中点为M，连接，作图如下：在中，因为分别为中点，所以，又PE平面PEF，DM平面PEF，所以平面，由已知得：平面，且，平面，平面，所以平面平面；又平面平面，平面平面，所以，则，；因为，所以.【点睛】（1）第一问考查由线线垂直，证明线面垂直，难点是找出线线垂直；（2）本题考查由面面平行，推出线线平行，从而由三角形相似，推出线段的比值，本题中的做法值得借鉴.例4、（2023·四川成都·统考一模）如图，正四棱柱中，M为的中点，，.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)4【分析】（1）根据正四棱柱的几何性质确定线段长度，结合勾股定理可得，，再根据线面垂直判定定理即可证得结论；（2）根据三棱锥的等体积转化，结合体积公式求解即可.【详解】（1）如图，连接.正四棱柱中，M为的中点，，，，，，又，.，.同理可得.，平面，平面，平面.（2）由（1）知，，且平面..三棱锥的体积为4.例5、（2016上·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面.(3)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）连接，，只需证明即可，由中位线定理结合线面平行的判定定理即可得证.（2）只需证明，即可，由等腰直角三角形性质，线面垂直的性质以及判定定理即可得证.（3）利用转换法，只需求点到平面的距离和三角形的面积，由（2）的结论、点为的中点以及解直角三角形知识即可求解.【详解】（1）如图，连接，，四边形为矩形，为的中点，与交于点，且为的中点，又点为的中点，，又平面，且平面，平面.（2）直三棱柱满足，，又点为的中点，且面，面，所以，，又面，平面.（3）由图可知，，，，又三棱柱为直三棱柱，且，.，，点为的中点，所以.由（2）可知平面.所以点到平面的距离为，又点为的中点，所以点到平面的距离为，.例6、（2024·全国·模拟预测）如图1，已知是边长为4的正三角形，D，E分别为线段AB，AC的中点，连接BE，将沿DE翻折成四棱锥，使得点在底面BCED上的射影在线段BE上，如图2．(1)求证：；(2)求四棱锥的表面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据已知证明，，利用线面垂直的判定定理证明平面PBE，从而证明；（2）求出四棱锥各个面的面积即可求解．【详解】（1）记点在底面BCED上的射影为点，点在线段BE上，连接PO，则平面BCED，又平面，因为．又，，平面PBE，平面PBE，平面PBE，又平面PBE，．（2）如图所示，连接OD，平面，，，又，，故，，易知，，在中，由余弦定理得：，即，，，在中，，，所以，由正弦定理得：，得，则，又，在中，，所以，故，，，，故，所以，所以，，，，得，，，故，，由于，因此四棱锥的表面积．【点睛】证明线面垂直常用方法：（1）利用定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作；（2）利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；（3）利用面面垂直的性质：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，则这条直线与另一个平面垂直；（4）空间向量法：即证明直线的向量与平面的法向量平行，就可以说明该直线与平面垂直.例7、（2023·陕西·校联考模拟预测）三棱柱中，为中点，．(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据长度关系可知，进而可证平面，可得，再证平面，可得，即可证平面；（2）利用等体积法求点到平面的距离，进而结合线面夹角的定义运算求解.【详解】（1）由题意可知：，且为矩形，则，可得，且均为锐角，则，即，又因为，，平面，所以平面，由平面，则，由题意可得，，平面，所以平面，由平面，可得，且∥，则，又因为，，平面，所以平面.（2）连接，由题意可得：，因为平面，平面，可得，又因为，，，平面，则平面，可知点到平面的距离为，设点到平面的距离为，由可得：，解得，所以与平面所成角的正弦值为.知识点三面面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l⊂β))⇒l⊥α例8、（2023上·江苏南京·高二期末）正三棱柱的底面边长与侧棱长都是2，分别是的中点．(1)求三棱柱的全面积；(2)求证：∥平面；(3)求证：平面⊥平面．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）利用棱柱的表面积公式进行求解即可；（2）利用线面平行的判定定理进行证明即可；（3）利用面面垂直的判定定理证明即可.【详解】（1）因为三棱柱是正三棱柱，且棱长均为2，所以底面是正三角形，侧面均为正方形，故三棱柱的全面积为；（2）在正三棱柱中，因为分别是的中点，可知，又∥，所以四边形是平行四边形，故∥，又平面，平面，所以∥平面．（3）连，设与相交于，则由侧面为正方形，可知与互相平分．在中，，在中，，故，连，则．又，，连，则，又与相交于，，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．例9、（2023上·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，，，．(1)求证：平面平面；(2)若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）借助面面垂直的判定定理即可得；（2）由题意计算可得点所处位置，根据线面角的定义找到线面所成角后计算即可得.【详解】（1），，，，，平面，平面，平面，平面平面；（2）取的中点．连接、，由（1）知平面，平面，，如图，过点作，，，，，，，，，，由勾股定理可知，，平面，平面，，为的中点，，又，，平面，为直线与平面所成角，由（1）知，又，，，，，则，，，，直线与平面所成角的正弦值为．例10、（2023上·上海·高二专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点．(1)证明：平面；(2)证明：平面平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接交于点，由三角形中位线性质可得，根据线面平行的判定可证得结论；（2）由线面垂直的性质及正方形的性质，结合线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可证得结论.【详解】（1）连接交于点，连接，四边形为正方形，为中点，又为中点，，平面，平面，平面.（2）平面，平面，；四边形为正方形，；，平面，平面，平面，平面平面.例11、．（2023·四川凉山·统考一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，．(1)证明：平面平面；(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.（2）作出直线与平面所成角，解三角形求得所成角的正弦值.【详解】（1）在中，由，得，所以，则，，又，所以，即，因为，又平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）设的中点分别为，连接，因为，，，，所以，，即是平行四边形，则，由（1）题可知平面，所以，直线与平面所成角为，在中，则，，所以，直线与平面所成角的正弦值为．例12、（2023上·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，.(1)证明：平面平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）分别作的中点，证得，得到，再由，得到，根据线面垂直的