河北省张家口宣化一中2020-2021学年高二上学期1月月考数学试卷

2020-2021学年上学期宣化一中高二年级月考数学试卷（1月份）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）过点P(-2,m)和Q(m,4)的直线斜率等于1，那么m的值等于(    )A.1或3 B.4 C.1 D.1或4向量a=(2,1，x)，b=(2,y，-1)，若|a|=5，且aA.-1 B.1 C.-4 D.4在等差数列{an}中，若Sn为前n项和，2a7A.55 B.11 C.50 D.60位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为(    )A.a28h B.a24h C.a在公差不为零的等差数列{an}中，a1，a3，a7依次成等比数列，前7项和为35，则数列A.n B.n+1 C.2n-1 D.2n+1已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2A.x24-y212=1 B.点P是直线x+y-3=0上的动点，由点P向圆O：x2+y2A.22 B.322 C.2已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PFA.e12+e22=2 B.二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）下列说法正确的是(    )A.过点(x1,y1)，(x2,y2)两点的直线方程为y-y1y2-y1=x-x1x在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前nA.q=1 B.数列{Sn+2}是等比数列

C.S8=510 D.如图，设E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DCA.三棱锥D1-B1EF的体积为定值

B.异面直线D1B1与EF所成的角为60°

C.D1B1发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点(焦点)的距离之积为常数．已知：曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数A.曲线C过坐标原点

B.曲线C关于坐标原点对称

C.曲线C关于坐标轴对称

D.若点在曲线C上，则△F1三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）在等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x-3y+16=0为d2，则d1数列{an}的前n项和为sn=n2已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：x-y+10=0上．若动圆C过点(-5,0)，求圆C的方程______，存在正实数r=______，使得动圆C中满足与圆O：x2+y四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）已知直线l1：ax+2y+1=0，直线l2：x-y+a=0．

(1)若直线l1⊥l2，求a的值及垂足P的坐标；

(2)若直线l1//l2，求a的值及直线l1与已知抛物线C：y2=2px(p>0)上的点M(1,m)到其焦点F的距离为2．

(1)求C的方程；并求其焦点坐标；

(2)过点(2,0)且斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，求弦AB的长．

已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+16．

(1)求{an}的通项公式；

(2)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14．

(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元．写出an，bn的表达式；

(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，AB⊥AD，PA⊥底面ABCD，E为BP的中点，AB=2，PA=AD=CD=1．

(1)证明：EC//平面PAD；

(2)求二面角E-AC-P的正弦值．

已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过F1，F2的圆与直线x=-2相切．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知直线l交椭圆C于M，N两点；

(ⅰ)若直线l的斜率等于1，求2020-2021学年上学期宣化一中高二年级月考数学试卷（1月份）答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵过点P(-2,m)和Q(m,4)的直线斜率等于1，

∴k=4-mm+2=1，

解得m=1．

故选：C．

利用直线的斜率公式求解．

本题考查直线的斜率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线斜率计算公式的合理运用．

2.【解析】解：向量a=(2,1，x)，若|a|=5，

则22+12+x2=5，解得x=0；

又向量b=(2,y，-1)，且a⊥b，

则a⋅b=4+y+0=0，解得y=-4；

所以x+y=-4．

故选：C．

根据【解析】【分析】

本题考查了等差数列的性质和求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

利用等差数列的性质与求和公式即可得出．

【解答】

解：由等差数列{an}的性质可得：a6=2a7-a8=5，

则【解析】【试题解析】解：根据题意，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

该抛物线方程可写为x2=-2py(p>0)．

∵该抛物线经过点(a2,-h)，代入抛物线方程可得

a24=2hp，

解得p=a28h．

∴桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p=a28h．

5.【答案】B

【解析】解：由题意得，等差数列{an}中，a1，a3，a7依次成等比数列，

故a32=a1a7，

则(a1+2d)2=a1(a1+6d)，

故a1=2d，①

又数列7项和为35，

则7a【解析】【分析】

本题考查双曲线的简单性质，双曲线的标准方程，考查计算能力，属于基础题．

根据题意，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后得到双曲线的方程．

【解答】

解：∵双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，

△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，

∴c=2，

∵双曲线的渐近线为y=±bax，

，

即b2a2=3，c2-a2a2=3，

解得a=1【解析】解：∵圆C：x2+y2=4，

∴圆心C(0,0)，半径r=2．

由题意可知，

点P到圆C：x2+y2=4的切线长最小时，

CP⊥直线x+y-3=0．

∵圆心到直线的距离d=32，

∴切线长的最小值为：92-4=22．【解析】解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上

由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2m

①

由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a

②

又∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2

③

①2+②2得|PF1|2+|PF2|【解析】解：对于A，当x1≠x2时，过点(x1,y1)，(x2,y2)的直线斜率为k=y2-y1x2-x1，

方程为y-y1=y2-y1x2-x1(x-x1)，整理得(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0，

当x1=x2时，过点(x1,y1)，(x2,y2)的直线方程是x=x1，即x-x1=0，

满足(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0，

∴过(x1,y1)，(x2,y【解析】解：由题意，根据等比中项的性质，可得

a2a3=a1a4=32>0，a2+a3=12>0，

故a2>0，a3>0．

根据根与系数的关系，可知

a2，a3是一元二次方程x2-12x+32=0的两个根．

解得a2=4，a3=8，或a2=8，a3=4．

∵等比数列{an}是递增数列，∴q>1．

∴a2=4，a3=8满足题意．

∴q=2，a1=a2q=2.故选项A不正确．

an=a1⋅qn-1=2n．

【解析】解：如图所示，

三棱锥D1-B1EF的体积为V=13S△D1EF⋅B1C1=13×12×2×2×1=23为定值，A正确；

EF//D1C1，∠B1D1C1是异面直线D1B1与EF所成的角，为45°，B错误；

D1B1与EF不垂直，由此知D1B1与平面B1EF不垂直，C错误；

在三棱锥D1B1DC中，设D1到平面DCB1的距离为h，

VB1-D1DC=VD1-DCB1，即有13×2×【解析】解：由题意设动点坐标为(x,y)，

则(x+1)2+y2⋅(x-1)2+y2=a2，

即[(x+1)2+y2]⋅[(x-1)2+y2]=a4，

若曲线C过坐标原点(0,0)，将点(0,0)代入曲线C的方程中可得a2=1与已知a>1矛盾，

故曲线C不过坐标原点，故A错误；

把方程中的x被-x代换，y被-y代换，方程不变，

故曲线C关于坐标原点对称，故B正确；

因为把方程中的x被-x代换，方程不变，故此曲线关于y轴对称，

把方程中的y被-y代换，方程不变，故此曲线关于x轴对称，

故曲线C关于坐标轴对称，故C正确；

若点P在曲线C上，则|P【解析】解：∵在等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，

∴a4=13，a6=9，

∴a4+a6=22，又a4+a6=【解析】解：抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离，

所以过焦点F作直线4x-3y+16=0的垂线，

则该点到直线的距离为d1+d2最小值，如图所示；

由F(1,0)，直线4x-3y+16=0，

所以d1+d2=|4-0+16|42+(-3)2=4．

故答案为：【解析】解：a1=S1=1+1=2，

an=Sn-Sn-1

=(n2+1)-[(n-1)2+1]

=2n-1．

当n=1时，2n-1=1≠a1，

∴an=2,n=12n-1,n≥2．

【解析】解：依题意，可设动圆C的方程为：(x-a)2+(y-b)2=25，

其中圆心(a,b)满足a-b+10=0．

又∵动圆过点(-5,0)，∴(-5-a)2+(0-b)2=25，

解方程组a-b+10=0(-5-a)2+(0-b)2=25，可得a=-10b=0或a=-5b=5，

故所求圆C的方程为：(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y-5)2=25，

又由圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=|10|1+1=52，

则当满足r+5=d时，即r=52-5时，

动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2+y2=r2相外切．

由已知先设原的标准方程，再由已知条件建立方程组即可求出圆的圆心，进而可以求解；然后再求出圆O的圆心到直线l的距离，利用直线与圆外切的圆只有一个可求出此时圆O的半径，进而可以求解．

本题考查了求圆的方程以及直线和圆相切的问题，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．

17.【答案】解：(1)∵直线l1：ax+2y+1=0，直线l2：x-y+a=0，

当直线l1⊥l2时，a×1+2×(-1)=0，

解得a=2，

∴l1：【解析】(1)由垂直可得a×1+2×(-1)=0，解得a值可得直线的方程，联立方程可解交点坐标；

(2)当直线l1//l2时，a1=2-1≠1a，解得a值可得直线的方程，由平行线间的距离公式可得答案．

本题考查直线的一般式方程及平行垂直关系，涉及平行线间的距离公式，属基础题．

18.【答案】解：(1)由抛物线的方程可得其准线方程为x=-p2，

由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，

所以1-(-p2)=2，解得p=2，

所以抛物线的方程为：y2=4x，焦点F(1,0)．

(2)由题意可得直线l的方程为：y=x-2，设A(x1,y1)【解析】【试题解析】

(1)由抛物线的方程可得其准线方程，再由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，起床p的值，进而求出抛物线的方程及焦点坐标；

(2)由题意可得直线l的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，再由弦长公式可得弦AB的值．

本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合及弦长公式的应用，属于中档题．

19.【答案】解：(1)设等比数列的公比为q，

由a1=2，a3=2a2+16，得2q2=4q+16，

即q2-2q-8=0，

解得q=-2(舍)或q=4．

∴an=a1qn-1=2×4n-1=22n-1．

(2)【解析】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和，考查对数的运算性质，属于基础题．

(1)设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；

(2)把(1)中求得的{an}的通项公式代入bn=log2an，得到bn，说明数列{bn}是等差数列，再由等差数列的前n项和公式求解．

20.【答案】解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1-15)万元，第n年投入为800×(1-15)n-1万元．

所以，n年内的总投入为

an=800+800×(1-15)+…+800×(1-15)n-1=k=1n800×(1-15)k-1

=4000×[1-(45)n]；

第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+14)万元，

第n年旅游业收入为400×(1+14)n-1万元．

【解析】(1)依次写出第1年投入量，第2年投入量，等等，第n年投入量，从而求出n年内的总投入量an，再由第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+14)万元，归纳出第n年旅游业收入为400×(1+14)n-1万元．从而得出n年内的旅游业总收入bn．

(2)先设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由bn-an>0，解得n的取值范围即可．

本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．

21.【答案】解：(1)证明：如图，取AP的中点F，连结EF，DF，

∵BE=PE，PF=AF，∴EF-//12AB，

∵直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，PA=AD=CD=1，

∴CD-//12AB，∴CD-//EF，∴四边形EFDC是平行四边形，

∴EC//FD，

∵DF⊂平面PAD，EC⊄平面PAD，∴EC//平面PAD．

(2)解：如图，∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AP、AB、AD两两垂直，

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

A(0,0，0)，P(