河北省衡水中学2018-2019学年高三年级上学期四调考试数学（理）试卷

2018—2019学年河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（理）试题此卷此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1．下列命题正确的个数为①梯形一定是平面图形；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A．0B．1C．2D．32．已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{anA．52B．3C．72D3．已知双曲线my2-A．y=±3xB．y=±3xC．y=±14．如图，一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的线条爬行到点C，再由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B，则它可以爬行的不同的最短路径有A．40条B．60条C．80条D．120条5．函数f(x)=xA． B．C． D．6．若tan(xA．-2B．2C．34D．7．某县教育局招聘了8名小学教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名全科教师，需要分配到A,B两个学校任教，其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师，则分配方案种数为A．72B．56C．57D．638．一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．96π+36B．72π+48C．48π+96D．24π+489．已知函数f(x)=cosA．y=f(x)的图象关于点(π,0)中心对称B．y=f(x)既是奇函数，又是周期函数C．y=f(x)的图象关于直线x=πD．y=f(x)的最大值为310．如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为A．2000π9B．4000π27C．81πD11．已知y2=4x的准线交x轴于点Q，焦点为F，过Q且斜率大于0的直线交y2=4x于A,BA．476B．473C12．已知fx=x2,x≤0A．0,ln22∪C．e-1,+∞D．ln二、解答题13．数列{an}满足a1=6，（1）求证：数列{1（2）求数列{lgan}14．在四棱锥P-ABCD，AB//CD，∠ABC=900,BC=CD=PD=2，AB=4,PA⊥BD，平面PBC⊥平面PCD，M,N分别是（1）证明：PD⊥平面ABCD；（2）求MN与平面PDA所成角的正弦值.15．在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知b2（1）求角A的大小；（2）若ΔABC的面积SΔABC=253416．如图，直线AQ⊥平面α，直线AQ⊥平行四边形，四棱锥的顶点P在平面α上，AB=7，AD=3，AD⊥DB，AC∩BD=O,OP//AQ,AQ=2，M,N分别是AQ与CD的中点.（1）求证：MN//平面QBC；（2）求二面角M-CB-Q的余弦值.17．如图，椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2，离心率为32，过抛物线C2：x2=4by焦点F的直线交抛物线于M,N两点，当|MF|=74时，M点在x轴上的射影为F1（1）求椭圆C1和抛物线C（2）求λ的取值范围.18．已知函数f(x)=ax32-（1）求实数a的值；（2）令g(x)=|f(x)+f'(x)|，若存在不相等的两个实数x1,x2满足三、填空题19．已知向量m,n夹角为600，且|m|=120．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=21．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有______种.22．三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，ΔABC为正三角形，外接球表面积为12π，则三棱锥P-ABC的体积VP-ABC的最大值为2018—2019学年河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（理）试题数学答案参考答案1．C【解析】分析：逐一判断每个命题的真假，得到正确命题的个数.详解：对于①，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，所以该命题是真命题；对于②，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，所以该命题是假命题；对于③，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，是真命题；对于④，如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，所以该命题是假命题.故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查空间直线平面的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象能力.(2)对于类似这种空间直线平面位置关系的命题的判断，一般可以利用举反例的方法和直接证明法,大家要灵活选择方法判断.2．C【解析】【分析】利用等差数列前n项和公式，代入S8=4S4即可求出【详解】∵{an}是公差为1∴8解得a1=12【点睛】本题考查等差数列的通项公式及其前n项和公式的运用，是基础题。3．A【解析】【分析】先求出抛物线的焦点，进而知道双曲线的一个焦点，从而求出m，和双曲线的渐近线。【详解】∵抛物线x2=8y∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m∴双曲线的渐近线方程为y=±所以A选项是正确的.【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的标准方程及几何性质，是基础题。4．B【解析】试题分析：蚂蚁从A到C需要走五段路，其中三纵二竖，共有C52=10条路径，从C到B共有3×2=6条路径，根据分步计数乘法原理可知，蚂蚁从A到B可以爬行的不同的最短路径有考点：分步计数乘法原理.5．B【解析】f(x)=x2-f(-x)=则f(x)是偶函数又f故选B6．C【解析】【分析】将题干所给等式利用两角和差的正切公式展开，然后利用二倍角的正切公式求出tanx【详解】tan(x2+π4)+tan(x2-π【点睛】考查了三角函数公式的运用以及计算能力。7．A【解析】【分析】先将两个全科老师分给语文和数学各一个，再将新组成的语文老师和数学老师分给两个学校。【详解】先将两个全科老师分给语文和数学各一个，有C21种，然后将新的4个语文老师分给两个学校C32A22种，同样的方法将新的4【点睛】排列组合中多面手问题，要优先考虑多面手。8．D【解析】【分析】该几何体是由两部分组成的，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥，运用锥体体积公式可以求解.。【详解】该几何体是由左右两部分组成的锥体，左半部分是四分之一圆锥，其体积V左=14×13π∙62×8=【点睛】本题考查了组合体的三视图问题，以及锥体体积公式，需要平常多强化空间想象能力。9．C【解析】试题分析：对于A中，因为f(π+x)=cos则f(π-x)=cos(π-x)sin2(π-x)=cosxsin2x，所以f(π+x)+f(π-x)=0，可得y=f(x)=sinxsin2x，f(π2-x)=cos(π2-x)=2sinx(1-sin2x)g'(t)=2-6t2=2(1+3t)(1-3t)，所以当t∈(-1,-33)或t∈(33,1)时，g'(t)<0，函数g(t)为减函数；当t∈(-33,33)时，g'(t)>0，函数g(t)为增函数，因此函数g(t)的最大值为t=-1或t=33时的函数值，结合考点：三角函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查了三角函数的图象与性质及三角函数的最值问题，其中解答中涉及到三角函数的解析式、三角函数的奇偶性、三角函数的单调性和周期性等知识点的综合考查，着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数的图象的对称性等知识，体现了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10．B【解析】【分析】小圆柱的底面半径为r(0<r<5)，小圆柱的高分为2部分，上半部分在大圆柱内为5，下半部分深入半球内为h(0<h<5)，由于下半部分截面r,h,和球的半径构成直角三角形，即r2+h【详解】小圆柱的高分为上下两部分，上部分同大圆柱一样为5，下部分深入底部半球内设为h(0<h<5)，小圆柱的底面半径设为r(0<r<5)，由于r,h,和球的半径构成直角三角形，即r2+h2=52，所以小圆柱体积V=πr2h+5=π25-h2h+5，(0<h<5)，求导V'=-π（3h-5）(h+5)【点睛】先由几何关系找出体积表达式，再通过导数求最值是本题的关键。11．B【解析】【分析】首先设出A,B两点坐标，又A,B,Q三点共线，可以找出其坐标间的关系，然后利用∠AFB=600可以用余弦定理列出关系式，进而求出A,B两点坐标，即可求出弦长【详解】设A(x1,2因为kQA=kQB，即|AB|2=(x代入余弦定理|AB|x1+x2=103|AB|=(x【点睛】圆锥曲线题目要注意题中几何关系，利用余弦定理是解决本题的关键。12．D【解析】【分析】由于分段函数f(x)是减函数，从而知道当x>0时，f(x)=-x(e1-x+ax2-a)为减函数，此时导函数f'(x)≤0恒成立，从而求出a=1。再由于y=f(x)+bx有三个零点，也就是函数y=f(x)【详解】当x>0，f(x)=-x(e可得x>0时当0<x<1，e1-x-a≥0恒成立，可得a≤e1-x，而当x≥1，e1-x-a≤0恒成立，可得a≥e1-x，而故a=1.由题意知：y=f(x)与y=-bx图象有三个交点，当-b≥0时，只有一个交点，不合题意，当-b<0时，由题意知，x=-b和x=0为两个图象交点，只需y=f(x)+bx在(0,+∞)有唯一零点。x>0时，f(x)=-bx，即b=e令g(x)=e1-x+x2-1，g'(x)=-所以x∈0,1+ln2时，g'xg(x)minx→0时，g(x)→e-1，x→+∞时，g(x)→+∞，所以要使b=e1-x+只需b=ln22故选D.【点睛】零点问题是近年高考中常考题型，常常转化为构造两个函数交点问题，利用数形结合也是常见的方法。13．（1）见解析；（2）n【解析】【分析】（1）方程两边减3后，取倒数可化简得1an+1-3-1a【详解】（1）数列an满足：a1=6，a1an+1-3=所以，1a即，数列1an-3是以1（2）由（1）得1an+1-3所以，lg于是，T【点睛】本题主要考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、对数的运算及相加相消求和，属于中档题.14．（1）见解析（2）10【解析】【分析】（1）要证明直线PD⊥平面ABCD，只需要证明直线PD与平面ABCD内两条相交直线都垂直，通过题中条件分析证明PD分别垂直于BD和BC即可。（2）建立空间直角坐标系，通过找出平面PDA的法向量，利用空间向量法计算线面角的公式即可。【详解】（1）取PC中点为Q，则由CD=PD可得DQ⊥PC，因为平面PBC⊥平面PCD，所以DQ⊥平面PBC，故DQ⊥BC，而CD⊥BC，CD交DQ于D，所以BC⊥平面PDC，可得到BC⊥PD连接BD，在直角梯形ABCD中，易求得BD=22,AD=22则AD2+B又BD⊥PA，可得BD⊥平面PAD，所以BD⊥PD.又BC⊥PD，BC与BD交于B，所以PD⊥平面ABCD.（2）以D为原点，DA,DB,DP方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图的空间直角坐标系，则D0,0,0，A(22平面PAD的法向量为DB=(0,22,0)，【点睛】在立体几何题中，二面角、线面角等问题，常常可以通过建立空间直角坐标系利用法向量方法来做，关键在于建立合适的坐标系，找准坐标和法向量，确定所求角。15．（Ⅰ）A=π3；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）由余弦定理把已知条件化为2bccosA=accosC+c（Ⅱ）由三角形面积公式求得bc=25，再由余弦定理可求得b2+c2=50，从而得试题解析：（Ⅰ）因为b2+c即2bcosA=acos即2sinBcosA=∴2sinBcos∵0<B<π，∴sinB≠0，∴cosA=12，∵0<A<π（Ⅱ）∵SΔABC=12∵cosA=b2∴(b+c)2=50+2×25=100，即∴sinB+sinC=b⋅16．（1）见解析；（2）3【解析】【分析】（1）连接OM,ON，由题意可证得平面OMN//平面QBC，利用面面平行的性质定理可得MN//平面（2）过D作DZ//OP，以DA,DB,DZ所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面MCB的法向量为n1=(0,-1,2)，平面QCB的法向量为n2【详解】（1）连接OM,ON，底面ABCD为平行四边形，∵N是CD的中点，O是BD的中点，∴ON//BC∵M是AQ的中点，O是AC的中点，∴OM//QCON∩OM=O，BC∩QC=C，∴平面OMN//平面QBCMN⊆平面OMN，∴MN//平面QBC（2）由AQ⊥平面α，AQ⊥平行四边形ABCD，∴平面α//底面ABCD，OP//AQ，∴四边形PQAO为矩形，且PO⊥底面ABCD，AD⊥DB，过D作DZ//以DA,DB,DZ所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系（如图），由AB=7，AD=3，AD⊥DB，知DB=2∴D（0，0，0）、A（3，∴MB=（-3，设平面MCB的法向量为n1=(则n1取y1=-1，z1=2，设平面QCB的法向量为n2则n2取y2=-1，z2=1，∴二面角M-CB-Q的平面角θ的余弦cosθ=n1⋅【点睛】本题考查了立体几何中的判断定理和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.17．（I）x24+y2=1，x【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得得M(-c,74-b)，根据点M在抛物线上得c2=4b(74-b)，又由ca=32，得c2=3b2，可得7b2=7b，解得b=1，从而得c=3，a=2，可得曲线方程。（Ⅱ）设kON=m试题解析：（Ⅰ）由抛物线定义可得M(-c,7∵点M在抛物线x2∴c2=4b(74又由ca=3将上式代入①，得7解得b=1,∴c=∴a=2，所以曲线C1的方程为x24+y2（Ⅱ）设直线MN的方程为y=kx+1，由y=kx+1x2=4y消去y设M（x1则x1设kON=m，则mm'=y所以m'=-14m，设直线ON的方程为y=mx(m>0)，由y=mxx2=4y所以ON=由②可知，用-14m代替可得OM=1由y=mxx24所以OA=用-14m代替m所以λ==2m+12m≥2所以λ的取值范围为[2,+∞).点睛：解决圆锥曲线的最值与范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．18．（Ⅰ）a=23;（Ⅱ【解析】【试题分析】（1）依据题设条件借助导数的几何意义求解；（2）依据题设构造函数h(x)=2（Ⅰ）f'(x)=3a2x设切点坐标为(x0解得{（Ⅱ）g(x)=|23(则h'(x)=(x-1x)+(12h'(x)又可以写成(x+12x)+1-x因此h'(x)在(0,+∞)上大于0，h(x)在(0,+∞)上单调递增，又h(1)=0，因此h(x)在(0,1)上小于0，在(1,+∞)上大于g(x)={h(x),x≥1,-h(x),0<x<1,且g(x)在(0,1)上单调递减，在当x>1时，0<1记G(x)=g(x)-g(1记函数y=f'(x)的导函数为y=f''(x)，则G'(x)=f'(x)+f''(x)-1x2f'(1故G(x)在(1,+∞)上单调递增，所以G(x)>G(1)=0，所以g(x)-g(1不妨设0<x1<1<而0<x1<1，0<1x点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设置了两道问题，旨在考查导数工具在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。解答本题的第一问时，先对函数求导，再借助导数的几何意义建立方程组，通过解方程组使得问题获解；求解第二问时，先将问题进行转化，再构造函数h(x)=219．7【解析】由已知，根据向量数量积定义，得m⋅n=mncos60°=12n，又20．