2022-2023学年河南省濮阳市开发区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省濮阳市开发区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列各式中是二次根式的是（）

A.V8B.dC.√-2D.√^^（x<0）

2.若二次根式1/二名在实数范围内有意义，贝H的取值范围是（）

A.X≤3B.X≥3C.X<3D.X≠3

3.下列计算中，正确的是（）

A.C+C=CB.3>∕-5—2y∕~^5=ʌ/-5

-

C.λ∏L2÷√~6=2D.2+√3=2/3

4.在平行四边形力BeD中，∆B+∆D=140°,则乙4的度数为（）

A.60oB.70°C.80°D.110°

5.下列各组数是勾股数的是（）

A.2,3,4B,3,4,5C.4,5,6D.5,6,7

6.顺次连接任意四边形的各边中点,所得图形一定是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形

7.如图，在菱形ABCD中，AB=5,AC+BD=14,则菱形ABCC

的面积为（）

A.12

B.20

C.24

D.48

8.下面是小华设计的“利用直角三角形作矩形”的尺规作图过程.

已知:在Rt△力BC中，NABC=90°.

作法：如图②,

①分别以点4、C为圆心，大于TaC长为半径作弧，两弧相交于点E、F；

②作直线EF,直线EF交AC于点O；

③作射线B。，在8。上截取OD,使得。D=0B；

④连接4C,CD.

则四边形4BC。就是所求作的矩形.

根据小华设计的尺规作图过程，完成下面的证明.

证明：•；OA=①，OD=0B,

••・西边形ABCD是平行四边形(②)(填推理依据).

又∙∙∙∆ABC=90°,

四边形ABCD是矩形(③)(填推理依据).

①、②、③应该填的内容分别是()

A.OB、对角线互相平分的四边形是平行四边形、有一个角是直角的平行四边形是矩形

B.0C,对角线互相平分的四边形是平行四边形、有一个角是直角的平行四边形是矩形

C.。0、对角线互相平分的四边形是平行四边形、有一个角是直角的平行四边形是矩形

D.OC,有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线互相平分的四边形是平行四边形

9.如图，在综合实践课上，小李用四根长度相同的木条制作成一个能够活动的菱形学具.他

先将该学具活动成如图(1)所示的菱形，并测得NB=60。，AB=5cm,接着又将该学具活动

成如图(2)所示的正方形.从图(1)到图(2),关于点A、C之间的距离的说法正确的是()

A.增加5(√^Σ-I)CmB.增加ICTn

C.减少5(。一l)cmD.保持不变

10.若公ABC的三边长分别为α,b,c,下列条件：①乙4=Zfi—ZC；(g)α2=(ð+c)(b—c);

③乙4：ZS：ZC=3：4：5；④a：b：c=5：12：13.其中能判断4ABC是直角三角形的是()

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

二、填空题(本大题共5小题，共15.0分)

11.化简二次根式之的结果为.

12.已知y=√χ-ι+√1—x+4,贝Iky的平方根为

13.如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使NABC=

四边形4BC0的面积为.

14.在Rt△7!BC中，乙4=90。,4C=2,AB=1,BC=α,则代数式（α—1/+2α的值为

15.如图，在边长为6的正方形ABCO中，点M为对角线B。上一动点，.A

MEIBC于点E,MFICD于点尸，则EF的最小值为.

B

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题8.0分）

计算:

(1)5∣-ΛΛI4);

(2)√^48÷ΛΓ3-2ʃɪ

×>ra+(2√^2+√^3)2-

17.（本小题8.0分）

如图，己知四边形ABC。是平行四边形，E,F是对角线BD上两点，且DE=BR求证：AABE三A

CDF.

18.（本小题10.0分）

已知α=/亏+2，b=门-2,求下列代数式的值.

（l）α2-2ab+ð2;

（2）a2-h2.

19.（本小题9.0分）

在Rt△4Be中，ZC=90°,41、4B、Ne的边分别为a、b、c.

(1)若a：6=3：4,C=I0,求a,b的值.

(2)若c-a=4,b=16,求a的值.

20.(本小题10.0分)

如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子AC斜靠在右墙上，测得梯子顶端距离地面2米，

即AB=2米，梯子底端距右墙底端1.5米，即BC=1.5米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠在

左墙时，顶端距离地面2.4米，即DE=2.4米，则小巷的宽度为多少米？

21.(本小题10.0分)

如图，在平行四边形ABCD中，连接BD,E为线段4。的中点，延长BE与Co的延长线交于点F,

连接AF,乙BDF=90°.

(1)求证：四边形48。F是矩形：

(2)若40=5,BD=4,求CF的长.

22.(本小题10.0分)

观察下列运算：

由(C+i)(C-i)=ι,得已W=C-1；

⅛(∖Γ3+ΛΛI)(√3-y∕~2)=1.得V；P=C-

由(C+√^3)(C-ΛΓ5)=1.得7⅛%=C-C;

(1)观察上面的解答过程，请写出E5;,=；

(2)请你用含n(n为正整数)的关系式表示上述各式子的变形规律;

F++

(3)利用(2)中你发现的规律计算：1+√⅛T+7⅛Σ-√2023⅛∙2022

23.(本小题10.0分)

定义：有一个内角为90。，且对角线相等的四边形称为准矩形.

A

(I)如图1,准矩形力BCD中，/.ABC=90°,若AB=3,BC=6,求Bz)的长;

(2)如图2,正方形ABCD中,点E,F分别是边4D,AB上的点，且四边形BCEF是准矩形，求

证：CF工BE；

(3)如图3,准矩形4BC。中,NABC=90。，ZBAC=45。，AB=2,AC=DC,求这个准矩形

的面积.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4遮的根指数为3,不是二次根式；

B、「I的被开方数-1<0,无意义；

C、口的根指数为2,且被开方数2>0,是二次根式；

D、√^^的被开方数％<0,无意义；

故选：C.

根据二次根式的定义逐一判断即可.

本题考查了二次根式的定义：形如，G(α≥0)叫二次根式.

2.【答案】B

【解析】解：由题意得：2x-6≥0,

解得：X≥3,

故选：B.

根据二次根式有意义的条件可得2x-6≥0,再解不等式即可.

此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.

3.【答案】B

【解析】解：4、原式=「+2,故此选项不符合题意；

B、原式=，石，故此选项符合题意；

C、原式=式12÷6=∕I,故此选项不符合题意；

。、2与「不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；

故选：B.

根据二次根式加减法运算法则判断4、B和C,根据二次根式除法运算法则判断C,

本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式加减法和除法运算法则是解题关键.

4.【答案】D

【解析】解：•••四边形ABCD是平行四边形,

・•・乙B=乙D,AD//BC,

・•・zyl÷ZB=180°,

V+4。=140°,

・••Z-B-Z-D=70°,

・•・∆A=180o-Z,B=180°-70°=110°,

故选：D.

由平行四边形的对角相等、邻角互补，即可得出乙4的度数.

本题考查平行四边形的性质以及平行线的性质，掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质是

解答本题的关键.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足α2+°2=c2,则

三角形ABC是直角三角形.

根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案.

【解答】

解：4、不是，因为22+32片42；

B、是，因为32+42=52；

C、不是，因为42+52≠62；

D、不是，因为52+62W72.

故选:B.

6.【答案】D

【解析】解：如图，任意四边形ABCD的各边中点分别为E、F、G、H,

连接AC,

11

^]FG∕∕AC,FG=^AC；EH//AC,EH=^AC,

所以FG〃EH,FG=EH,

所以四边形EFGH是平行四边形，

故选：D.

连接4C,利用三角形中位线定理可得FG〃EH,FG=EH,最后根据平行四边形判定方法可得结

论.

本题考查了三角形中位线定理的应用，平行四边形的判定，熟练掌握三角形中位线定理和平行四

边形的判定定理是解题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：•••四边形4BCD是菱形，

ʌOA=^AC,OB=^BD,AC1BD,

.∙.∆AOB=90°,

.∙.O∕l2+OB2=AB2=25,

•••AC+BD=14,

OA+OB=7,

Λ(OΛ+OB)2=72=49,

即。炉+2A0∙OB+OB2=49,

・・・2。408=49—25=24,

1

λS菱形ABCD=E",∙BD=20/∙OB=24.

故选：C.

由菱形的性质得。A=；4C,OB=TBD,ACLBD,再由勾股定理得。摩+OB?=AB?=25,然

后求出04+OB=7,则(OA+08)2=49,得2。4∙OB=24,即可得出答案.

此题考查菱形的性质、勾股定理等知识，熟记菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半是解题的

关键.

8.【答案】B

【解析】解:根据作图可知:

证明：∙∙∙OA=OC,OD=OB,

四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），

又∙.∙∆ABC=90°,

二四边形ABCC是矩形（有一个内角为90。的平行四边形为矩形），

故选：B.

根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，有一个内角为90。的平行四边形为矩形，进而可以解

决问题.

本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，解决本题的关键是掌握基

本作图方法.

9.【答案】A

AB=BC,乙B=60°.

.∙.△力BC是等边三角形.

ʌAC—AB=5cm.

当学具由菱形变成正方形后，它们的边长不变.

即正方形的边长AB=BC=5cm.

在正方形ABCD中，连接AC.

•••4B=90°.

AC=VAB2+BC2=V52+52=5V-2cτn∙

二点4、C之间的距离变化为：增加了（5。一5）cm,即5（。一1）.

故选:A.

在菱形ABCD中求出对角线AC的长，在正方形4BCD中求出对角线的长，然后比较一下即可.

本题主要考查了正方形与菱形的性质，熟记正方形，菱形的性质是解题的关键.

10.【答案】C

【解析】解：①由乙4=NB-NC,可知：48=90。，是直角三角形.

②由ɑ2=(b+c)(b—c),可得α2+c2=%2,是直角三角形.

③由乙力：ZB：/C=3：4：5,可知不是直角三角形.

④由a：b；c=5：12：13,根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形.

故选：C.

根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可.

此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要

利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算.

U.【答案】φ

【解析】解分=%=关岛=等

故答案为：浮.

根据二次根式的分母有理化计算即可.

本题考查了二次根式的化简，熟记分母有理化方法是解题关键.

12.【答案】±2

【解析】解：由题意得：［：一1

解得：x=l,

把％=1代入已知等式得：y=4,

所以，xy=1×4=4,

故孙的平方根是±2.

故答案为：±2.

直接利用二次根式有意的条件得出％、y的值，进而得出答案.

此题主要考查了二次根式有意的条件，正确得出式的值是解题关键.

13.【答案］

【解析】解：•.・纸条的对边平行，即AB〃CC,AD//BC,

.∙∙四边形ABCn是平行四边形，

•••两张纸条的宽度都是3,

,"1S四边形ABCD=ABX3=BCX3,

：•AB=BC，

・・・平行四边形。是菱形，即四边形48CD是菱形.

如图，过作垂足为

AAEJ.BC,E,Jd/

•・・∆ABC=60°,/

・・・Z.BAE=90°-60°=30°,/H/

/BE/C

AB=2BE,//

222

在ZMBE中，AB=BE+AE1

即=，辟+32,

解得4B=2ΛΓ3,

λS四边形ABCD=ABX3=2√-3×3=6√-3.

故答案是：6>Λ3.

先根据两组对边分别平行证明四边形SBCD是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积

求出AB=BC,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形判定平行四边形4BC。是菱形；根据宽度是

3czn与乙4BC=60。求出菱形的边长，然后利用平形四边形的面积=底X高计算即可.

本题考查了菱形的判定与性质，根据宽度相等，利用面积法求出边长相等是证明菱形的关键.

14.【答案】6

【解析】解：在RtAABC中，Na=90。，AC=2,AB=1,

.∙.BC=√AB2+AC2=√l2+22=√~5>

•・,BC—α,

・•・a=V"5,

・•・(ɑ—I)2+2a

=α2-2α+1÷2α

=α2+1

=(>Λ5)2÷1

6.

故答案为：6.

根据勾股定理得BC=H，即可得α=/弓再把(α-l)2+2α化为α2+l的形式，把a=Y石代

入进行计算即可.

本题考查了勾股定理，代数式求值，解题的关键是掌握勾股定理并计算正确.

15.【答案】3√^I

【解析】解：如图，连接MC,

•••四边形ABCC是正方形，

乙BCD=90°,乙DBC=45°,

VMELBC,MFICD,

：.乙MEC=∆MFC=90°,

四边形MEC尸为矩形，

ʌEF=MC,

当MCJLB。时，MC取得最小值，

此时△BCM是等腰直角三角形，

：.MC=号BC=号X6=3√^2.

•••EF的最小值为3λΛ2;

故答案为：3ΛΛ^Σ∙

连接MC,证出四边形MEC尸为矩形，由矩形的性质得出EF=MC,当MC_L80时，MC取得最小

值，此时ABCM是等腰直角三角形，得出MC=苧BC=3/2,即可得出结果.

本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及最小值问题;

熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键.

2√-6-3√^;

IX√-30+(2√^+√-3)2

,J/X30+8+3+4√6

=√48÷3-2

=4-2<^6+8+3+4<^6

=15÷2√-6.

【解析】(1)分别化简各项，去括号，再合并；

(2)先计算乘法和除法，将括号展开，再合并.

本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则进行计算是关键.

17.【答案】证明：・•・四边形ABCD为平行四边形，

ΛAB//CD,AB=CD；

∆ABD=4CDF；

VBF=DE,

ΛBE=DF.

在△力BE和4Cor中，

AB=CD

乙ABD=乙CDF,

BE=DF

：,bABEdCDF(SAS).

【解析】利用平行四边形的性质，得到4B〃CD,AB=CD1进而得至IJ乙480=4CD凡利用S4S证

明三角形全等即可.

本题考查全等三角形的判定.熟练掌握平行四边形的性质，以及全等三角形的判定方法是解题的

关键.

18.【答案】解：(1)・・・a=y∕~5÷2，b=y∕~~5—2»

ʌα÷h=Λ∕-5+2÷y∕~~5—2=2^∕^5»a—b=(V-5÷2)—(V-5—2)=4»

・•・a2-2ab+b2=(α—h)2=42=16；

(2)α2—h2=(α÷h)(α—b)=2√-5×4=8√-5.

【解析】(1)先计算Q+b和Q-b的值，将原式分解因式，再将Q-b的值代入计算即可;

(2)将原式分解因式，再将以+b和Q-b的值代入计算即可.

本题考查了二次根式的化简与求值，注意利用因式分解，是使得问题能得以简算的关键.

19.【答案】解：（1）RtZiABC中，ZC=90°,乙4、乙B、/C的对边分别为a、b、c,且a：b=3：

4,

二设a=3x,贝IJb=4x.

∙.∙a2+b2=c2,即（3x）2+（4x）2=IO2,

解得X=2（负值舍去），

■■a=3x=6,b=4x=8；

（2）r△力BC中，NC=90。，乙4,ZB,NC的对边分别为a,b,c,

.∙.a2+b2=c2,

c—a=4,b=16,

.∙.a2+256=（a+4）2,

解得：a=30.

【解析】（1）设a=3x,则b=4x,再根据勾股定理求出X的值，进而可得出结论.

（2）根据勾股定理可得a,b,C的数量关系，再把已知条件代入即可求出a的值.

本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边

长的平方是解答此题的关键.

20.【答案】解：在RtAABC中，V∆ABC=90o,AB=2米，BC=I.5米，

.∙.AC=J22+1.52=2.5（米），

在RtAOEC中，∙.∙∆EDC=90o,ED=2.4米，EC=4C=2.5米，

.∙.CD=J2.52-2.42=0.7迷），

.∙.BD=CD+BC=0.7+1.5=2.2（米），

答：小巷的宽度为2.2米.

【解析】分另IJ在RtZiABC,RtZiDEC中求出AC,BC,CD即可.

本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

21.【答案】⑴证明：•••四边形力BCD是平行四边形,

.∙.AB//CD,

・∙・Z.ABE=Z-DFE,

∙.∙AE=DE,乙AEB=ZJ)EF,

・•・ZiAEB三ZkOEF(AAS),

・•・AB=DFf

-AB//DFf

；.四边形ABDF是平行四边形，

VBDF=90°,

•••平行四边形4B0F是矩形.

(2)由(1)得：四边形ABCF是矩形，AB=DF,

BF=AD=5,

.∙.DF=√BF2-BD2=√52-42=3-

则AB=DF=3,

•••四边形ABCD是平行四边形，

ʌCD=AB=3,

：.CF=CD+DF=3+3=6.

【解析】⑴证明△AEBzADEF(‹AAS),得AB=DF,则四边形ABDF是平行四边形，再由NBoF=

90°,即可得出结论；

(2)由矩形的性质得BF=AD=5,再由勾股定理得DF=3,然后由平行四边形的性质得CD=

AB=3,则CFCD+DF=6,即可解决问题.

此题重点考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的

判定与性质是解题的关键.

22.【答案】√-100-√^99

【