2021年高考数学一轮复习考点一遍过-直线、平面垂直的判定及其性

考点32直线、平面垂直的判定及其性质

受、考点解篌

线面位置关系的证明是高考的重点，常出现在解答题的第一问中，是容易得分的试题，我们必须掌握.

(1)以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.

理解以下判定定理：

•如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.

•如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.

理解以下性质定理，并能够证明：

•如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.

(2)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

知识整合

一、直线与平面垂直

1.定义

如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线/与平面a互相垂直.记作：图形表示

如下：

【注意】定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语.

2.直线与平面垂直的判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.

文字语言

简记为：线线垂直今线面垂直

1

图形语言

符号语言l-La,l-Lb,aua,bua,ab—P=>Z_L«

作用判断直线与平面垂直

【注意】在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相有直

线垂直，而不是任意的两条直线.

3.直线与平面垂直的性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行.

文字语言

简记为：线面垂直n线线平行

ab

图形语言7

aLa

符号语言>=Q〃Z?

bLa

①证明两直线平行；

作用

②构造平行线.

4.直线与平面所成的角

(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平

面的交点叫做斜足.

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90；一条直线和平面平行，或在平面内,

我们说它们所成的角等于0.因此，直线与平面所成的角a的范围是[0,m7T].

5.常用结论(熟记)

(1)若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线.

(3)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

(4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

二、平面与平面垂直

1.定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面a与平面夕垂直，

记作a,尸.图形表示如下：

2.平面与平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

文字语言

简记为：线面垂直=面面垂直

3i

图形语言

Z

符号语言/_La,1u)3na_L夕

作用判断两平面垂直

3.平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

文字语言

简记为：面面垂直今线面垂直

a

a

图形语言

J

aA-/3

a。=1

符号语言=>aA_/3

aua

aVI

作用证明直线与平面垂直

4.二面角

（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做三面用.

这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.

（2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于

棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.

（3）二面角的范围：［0,兀］.

5.常用结论（熟记）

（1）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直.

（2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

（3）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.

三、垂直问题的转化关系

点考向,

考向一线面垂直的判定与性质

线面垂直问题的常见类型及解题策略：

(1)与命题真假判断有关的问题.

解决此类问题的方法是结合图形进行推理，或者依据条件举出反例否定.

(2)证明直线和平面垂直的常用方法：

①线面垂直的定义；

②判定定理；

③垂直于平面的传递性(。〃6,aJ_c=/>_!_7)；

④面面平行的性质(a_La,工B)；

⑤面面垂直的性质.

(3)线面垂直的证明.

证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定

理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.

(4)线面垂直的探索性问题.

①对命题条件的探索常采用以下三种方法：

a.先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；

b.先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；

c.把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件.

②对命题结论的探索常采用以下方法：

首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设,

如果得到了矛盾的结果就否定假设.

典例引领

典例1已知两条直线W,两个平面a,",给出下面四个命题:

//f3,m//a,n±13nm1n；

②a1氏Iua,mu°=I工m

③a11/3,m11，a=n1(3；

@a.L/3,1-La,m///3=>I.Lm.

其中正确命题的序号是（）

A.①③B.②④

C.①④D.②③

【答案】A

【解析】对于①，过m做平面7与a交于。，

因为机//1,所以m//a,又

所以〃_La,aua,n±a,所以故①正确;

对于②，aL/3,lua,ntu/3,则/与根平行、相交或异面，故②不正确;

对于③，若加//","」。，则“J_a,又a//夕，则"_L〃，故③正确;

对于④，若7/，名机//齐，贝心与根平行、相交或异面，故④不正确,

综上，正确命题的序号为①③,

故选：A.

【点睛】本题考查了空间直线与平面的位置关系.重点考查了空间想象能力，属基础题.

对于①，根据线面平行、线面垂直的性质，可得①正确；

对于②，由条件可得/与加平行、相交或异面，即②不正确；

对于③，由空间线面关系可得③正确；

对于④，由条件可得/与加平行、相交或异面，即④不正确，得解.

典例2如图所示，A2D2和A4DC都是以。为直角顶点的等腰直角三角形，且NB2C=60。，下列说法中错

误的是

A.AD1平面8DCB.BD_L平面4DC

C.DC_L平面力BDD.BC1平面4BD

【答案】D

【解析】易知4。1BD,AD1DC,所以AD平面BDC,

又与均为以。为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB=AC,BD=DC=^AB.

又乙BAC=60。,所以ZVLBC为等边三角形,

故BC=2B=&BD,

所以N8DC=90。,即BD1DC.

所以BD1平面4DC,

同理。C1平面48D.

故选D.

变式拓展

1.如图，在以下四个正方体中，使得直线A5与平面CDE垂直的个数是（）

①①CD④

A.1B.2

C.3D.4

典例引领

典例3如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为2的正方形，。为线段AC的中点.

(1)求证：BD_L平面ACGAi；

(2)求证：直线力名||平面BCiO；

(3)设M为线段BG上任意一点，在内的平面区域(包括边界)是否存在点E,使CE1DM?请说

明理由.

【解析】(1)•.•三棱柱4BC-&B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形,

：.CCr1BC,CCt1AC,

：.CCt，平面ABC,

又,：BDu平面ABC,

CQ1BD,

又底面为等边三角形，D为线段4c的中点,

：.BDLAC,

又ACnCCi=C,

：.BD_L平面/1CG4.

（2）如图，连接BiC交BCi于点0,连接。£）,贝U。为BiC的中点,

是4c的中点,：.0D||ABr,

又。Du平面BCDABiC平面BGD,

直线4Bi||平面BQD.

（3）在△3C］。内的平面区域（包括边界）存在点E,使CE1DM,此时E在线段的。上，证明如下:

如图，过C作CE1GD,交线段于点E,

由（1）可知，BD_L平面4CG41，

又CEu平面4eq41，：.BD1CE,

由CE1CI。，BDCGfD=D,得CE1平面BQ。，

'：DMu平面BCD

ACE1DM.

变式拓展

2.如图，在四棱锥尸一A5CD中，PA±AB，AB//CD,AB±BC,AB=1,AD=AP=近,

CD=PD=2.

(1)求证：B4_L平面ABCD；

(2)求点A到平面BBC的距离.

考向二面面垂直的判定与性质

判定面面垂直的常见策略：

(1)利用定义(直二面角).

(2)判定定理：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.

(3)在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个

平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直.

典例引领

典例4已知在梯形48CD中，AB//CD,E,尸分别为底48,CD上的点，且EF14B,EF=EB=加=2,

EA=^FD,沿EF将平面4EFD折起至平面力EFD1平面EBCF,如图.

(1)求证：平面BCD_L平面BDF；

(2)若4E=2,求多面体48CDEF的体积.

【解析】(1)由平面4EFD_L平面EBCF,且DF1EF知。F1平面EBCF.

而。下U平面BDF,所以平面BOF上平面

由BF=26,BC=26,FC=4,可知5尸？+BC?=尸。2,即，BF,

又3Cu平面EBCF,

所以BC1平面BOF.

又BCu平面BCD,所以平面BCD1平面BOF.

(2)依题意知，多面体4BCDEF是三棱台ABE—OCF,

易得高为EF=2,

两个底面面积分别是2和8,

故体积为|x(2+8+723^8)=y.

典例5如图，直三棱柱4BC-4B1G中,D,E分别是的中点,4B=BC.

(1)证明:BQ〃平面&CD;

(2)证明:平面4EC1平面4CC14.

【解析】(1)连接4G，交41c于点0,连接DO,则。是4G的中点,

因为D是48的中点，所以OD〃BQ.

因为。。u平面AiCn,BGC平面4CD,

所以86〃平面410

(2)取力C的中点F,连接EO,OF,FB,

因为。是4G的中点，

所以。尸〃44i且OF=\^AV.

显然BE/-,且BE=豺&,

所以OF//BE且OF=BE,

则四边形BEOF是平行四边形.

所以EO//BF,

因为力B=BC,所以BF1AC.

又BF1CC1；

所以直线BF1平面4CC1&.

因为EO//BF,所以直线E。1平面

因为E。u平面&EC,

所以平面41EC1平面2CC141.

变式拓展

3.如图所示，在四棱锥尸—A3CD中，底面A8CO是菱形，ZDAB=60°,侧面PA。为等边三角形，其

所在平面垂直于底面ABCD.

(1)求证：AD±PB-,

(2)若E为BC边上的中点，能否在棱尸C上找到一点F使平面DE尸，平面ABC。？并证明你的结

论.

4.如图(1),在直角梯形ABCZ)中，AD//BC,NBAO=90。，AB=BC=-AD=2,E是的中点,

2

。是AC与BE的交点.将AABE沿BE折起到图(2)中AAiBE的位置，得到四棱锥Ai-BCDE

⑵

(1)求证：平面8cZ)E_L平面4OC；

(2)当平面AiBE_L平面BCL历时，求四棱锥4-0CDE的体积.

考向三线面角与二面角

求直线与平面所成的角的方法:

(1)求直线和平面所成角的步骤:

①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；

②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；

③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.

(2)求线面角的技巧：

在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的

依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等.

求二面角大小的步骤：

简称为“一作二证三求”.作平面角时，一定要注意顶点的选择.

典例引领

典例6正三棱柱A3C-4与G的所有棱长都相等，。是AC的中点，则直线与平面耳。C所成角的

正弦值为

34

A.-B.-

55

3

C.一

4

【答案】B

【解析】解法一：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知用DJ.平面ACD二四。，。。,

故△及DC为直角三角形.设棱长为1,则有=Y，与。=冷,。。=乎,

。1A/3V?V15

设A到平面B.DC的距离为h,则有匕_BQC=yBl-ADC-

,耳义"xS△片£»c=耳x耳。xSAADC,

1,,2

X-,.•用二-产

3832245

h4

设直线AD与平面耳。C所成的角为仇贝Usin8=——=-

AD5

解法二：在正三棱柱中，由。为AG中点可证用。，平面A41clC，如图，

又BQCD=D,平面4CD,.•./ADH为所求的线面角.

4A/5

设棱长为2,在中由等面积法得

4」

c4

・・・sinZADH=^=-=-

455

故选B.

典例7如图，直三棱柱ABC-451cl的底面是边长为2的正三角形，E,F分别是BC,CG的中点.

(1)证明：平面AEF7,平面4BCG；

(2)若直线A。与平面$所成的角为45。，求三棱锥尸-AEC的体积.

【解析】（1）因为三棱柱ABC-4gG是直三棱柱，

所以AE，33],

又E是正三角形ABC的边BC的中点，

所以因此AEL平面片3。。「

而AEu平面AEF,

所以平面AEF1平面B\BCC「

（2）如图，设A3的中点为D,连接4。,CD,

因为△ABC是正三角形,

所以CDLAB,

又三棱柱ABC-A^Q是直三棱柱,

所以CDLAA，因此CD,平面4A3与，于是NCA。是直线AC与平面AABB]所成的角.

由题设知/（洱。=45,所以4。=8「3

在RtZvlA。中，A4,=JAD?_AD?=VL

所以==—,

2・2

故三棱锥尸―AEC的体积等义曰=普.

变式拓展

5.已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2,则侧棱与底面所成角的余弦值为()

ACR1

32

口6

x_>•LJ.

36

6.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，_PCD为等边三角形，平面平面PCD,

PA1CD,CD=2,AD=3.

(1)求证：F*A_L平面PCD；

(2)求直线A£)与平面P4C所成角的正切值.

典例引领

典例8已知A8CD是正方形，E是的中点，将和△CfiE分别沿DE、CE折起，使AE与BE

重合，A、8两点重合后记为点P,那么二面角P—CD—E的大小为.

【答案】30

【解析】如图，取CO中点F,连接PF、EF.

C

D

'JEPLPD,EPLPC,PCD,J.EPLCD.

,:PC=PD,：.PF±CD,

又PFCPE=P,...C。，平面尸EF,

又EPu平面PEB,：.CD±EF,

/PFE为二面角P-CD-E的平面角.

设正方形ABC。的边长为2,

在Rt△跳尸中，PE=LEF=2,：.ZPFE=30°.

【名师点睛】(1)二面角的平面角的顶点是二面角棱上任意一点.为了解题方便，可以把其放在某一特殊位

置，这要具体问题具体分析.

(2)求二面角的关键是找出(或作出)平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂线法来作平面角，

即过二面角的一个半平面内且不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直

可找到二面角的平面角或其补角.

典例9在NIBC中，AB=4,AC=4V2,^BAC=45°,以AC的中线BD为折痕，将A4BD沿BD折起，如图所

示，构成二面角A—BD—C,在平面BCD内作CE1CD,且CE=/.

(1)求证：CE〃平面4BD；

(2)如果二面角A—BD—C的大小为90。，求二面角8—AC—E的余弦值.

【解析】(1)由4B=4,4C=4VXNB4C=45°得BC=4,

所以ATIBC为等腰直角三角形，

由。为力C的中点得BD1AC,

以AC的中线BD为折痕翻折后仍有BD1CD.

因为CE1CD,所以CE〃BD,

又CEC平面48D,8。＜2平面43。，

所以CE〃平面4BD.

(2)因为二面角A—BD—C的大小为90。，所以平面48。，平面BDC,

又平面48。C平面BDC=BD,A'D1BD,

所以4。J•平面BDC,因此4D1CE,

又CE1CD,A'DQCD=D,

所以CE1平面4CD,从而CE1A'C.

由题意4。=DC=2V2,

所以在RtAADC中，A'C=4.

如图，设4c中点为F,连接8尸，

因为48=BC=4,所以BF1AC,且8F=2百，

如图，设AE的中点为G,连接FG,BG,则尸G〃CE,

由CE1AC得FG1AC,

所以NBFG为二面角B-A'C-E的平面角,

如图，连接BE,在ABCE中，因为BC=4,CE=VX/BCE=135。，所以BE=届.

在RtAOCE中，DE=J(2V2)2+(V2)2=V10,

于是在RtAADE中，A'E=J(2/尸+(孤4=3位.

11133

在Aa'BE中，BG2=-AB2+-BE2——AE2=——,

2242

133

12+———y/6V6

所以在A8FG中，cosZBFG=22因此二面角B-A'C-E的余弦值为-

V

2X2A/3X—

2

变式拓展

7.如图，正方体A3CD-4耳G2的棱长为1,E、F分别为棱A。、的中点，则平面6口后歹与底面

8.如图，在五面体A8CZJE1尸中，E4_L平面A8CD,AD//BC//FE,AB1AD,M为EC的中点，AF=AB=BC

=FE=LAD.

2

(1)证明：平面AM£>_L平面CDE；

(2)求二面角A-CD-E的余弦值.

百点冲关充

1.已知三条不同的直线a、b、I,平面e,且a,bua,则“/_La,/_1_/?”是"/_1_。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.如图，在正方体A3CD-中，尸为线段48上的动点（不含端点），则下列结论不正确的为（）

A.平面平面8片P

C.AP±BCD.AP〃平面。。CC

3.用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体ABC。-A4GA的棱长为4,则

平面A与2与平面BCQ间的距离为（）

A.6B.逅

3

C.巫D.273

3

4.把边长为4的正方形ABC。沿对角线AC折起，当直线5。和平面ABC所成的角为60°时，三棱锥

。一ABC的体积为（）

A.-V2B.-76

33

C.-V6D.”

33

5.如图，在三棱锥C-A血中，84。与「G4D是边长为2的等边三角形，平面的与平面ACD所成

角为60。，点E为CD的中点，则异面直线与AE所成角的余弦值为（)

1

A.-D.----------

44

1

C.—

2

6.如图，已知P是矩形ABCD所在平面外一点，平面ABC。，E、P分别是A3,PC的中点.若

ZPZM=45°,则砂与平面ABCD所成角的大小是()

A.90°B.60°

C.45°D.30°

7.在四面体A5CD中，平面3CQ,BC±BD,AB=BD=2,石为CD的中点，若异面直线AC

与应;所成的角为60。，则BC=()

A.y[2B.2

C.2A/2D.4

8.如下图，梯形ABCD中，AD//BC,AD=AB^1,AD±AB,ZBCD^45，将AABD沿对角线BD

折起.设折起后点4的位置为4,并且平面43。，平面5CD.给出下面四个命题:

①A'OLBC；②三棱锥A—5co的体积为二；③CD，平面ABD；

2

④平面ABC，平面A'。。.其中正确命题的序号是（）

9.已知直线a,6,平面a,满足a1a,且b||a,有下列四个命题：①对任意直线cua,有cla；②存在直

线cCa,使clb且cla；③对满足au0的任意平面有。1a；④存在平面01a,使bld其中正

确的命题有.（填写所有正确命题的编号）

10.在四面体ABCD中，平面ABC,AB±AC,AB=4,AC=3,AD=1，E为棱BC上一

点，且平面仞£，平面5CD,则OE=.

7T

11.如图，在五面体A5CDEF中，AB//DC,NBAD=—,CD=AD=3,四边形A班E为平行四边

2

形，平面ABC。，FC=5,则直线A3到平面EFCD距离为.

12.如图，大摆锤是一种大型的游乐设备，常见于各大游乐园.游客坐在圆形的座舱中，面向外.通常，大摆

锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险.座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做

单摆运动.大摆锤的运行可以使置身其上的游客惊心动魄.今年元旦，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐在

点A处，“大摆锤”启动后，主轴06在平面戊内绕点。左右摆动，平面1与水平地面垂直，08摆动的

过程中，点A在平面夕内绕点3作圆周运动，并且始终保持。6，尸，Be/3,已知03=645,在“大

摆锤”启动后，下列4个结论中正确的是（请填上所有正确结论的序号）.

①点A在某个定球面上运动;

②线段AB在水平地面上的正投影的长度为定值;

③直线0A与平面«所成角的正弦值的最大值为叵；

37

④直线Q4与平面e所成角的正弦值的最大值为®12.

37

13.如图，在三棱锥P—A5C中，ACLBC,BC=6AP=CP,。是AC的中点，尸0=1,OB=2,

PB=5

(1)证明：3CJ■平面PAC；

(2)求点A到平面尸5C的距离.

14.如图所示，在四棱锥中尸—A5CD中，底面A3CD是边长为2的正方形，平面平面7W,AC

与交BD于点。.

(1)连接P0,试证明：PO±BD-,

(2)若G是尸。的中点，AG,平面PC。，求多面体A3CGP的体积.

15.如图，在四棱锥尸—A5CD中，底面ABCD为菱形，且NA3C=60°,AB=PC=2,PA=PB=42.

(1)证明：平面？AB_L平面ABC。；

(2)有一动点M在底面ABCD的四条边上移动，求三棱锥M-PAC的体积的最大值.

16.如图，四边形ABCD是圆柱。。的轴截面，点P在圆柱。。的底面圆周上，G是0P的中点，圆柱。。

的底面圆的半径。4=2,圆柱的侧面积为8J。，ZAOP=120°.

(1)求点G到直线的距离;

(2)求平面PAG与平面A4G的夹角的余弦值.

7T

17.如图，在五面体ABC/)所中，面ABCD是正方形，AD±DE，AD=4,DE=EF=2,且NEDC=-.

3

(1)求证：AO,平面CDEF；

(2)求直线8。与平面ADE所成角的正弦值；

(3)设加是CB的中点，棱AB上是否存在点G,使得MG//平面ADE?若存在，求线段AG的长;

若不存在，说明理由.

昌通高

1.[2020年新高考全国I卷】日号是中国古代用来测定时间的仪器，利用与唇面垂直的唇针投射到唇面的

影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为。），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面

所成角，点A处的水平面是指过点A且与垂直的平面.在点A处放置一个日唇，若辱面与赤道所在平

面平行，点A处的纬度为北纬40。，则号针与点A处的水平面所成角为

A.20°B.40°

C.50°D.90°

2.【2019年高考浙江卷】设三棱锥"8C的底面是正三角形，侧棱长均相等，尸是棱侬上的点（不含端

点）.记直线PB与直线AC所成的角为a,直线尸8与平面ABC所成的角为£,二面角尸-AC-8的平面

角为为则

A.P<y,a<yB./3<a,P<y

C.P<a,y<aD.a</3,y<p

3.【2020年高考全国II卷理数】设有下列四个命题：

pi：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

P2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.

P3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

P4：若直线/u平面a,直线机_L平面a,则机_L/.

则下述命题中所有真命题的序号是.

①Pl八P4②Pl八P2③「P2Vp3④fVf

4.【2020年高考全国I卷理数节选】如图，。为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，/正为底面直径,

AE=AD.AASC是底面的内接正三角形，尸为DO上一点，尸。=如。。.

6

（1）证明：上4_L平面PBC；

5.【2020年高考全国II卷理数节选】如图，己知三棱柱ABC-ALBCI的底面是正三角形，侧面BBCC是矩

形，M,N分别为8C,BiG的中点，P为AM上一点，过以。和P的平面交AB于E,交AC于尸.

（1）证明：AAi//MN,且平面4AMN_L平面EBiCiR

（2）设。为△A18C1的中心，若AO〃平面E81GF,且AO=A8,求直线©E与平面4AMN所成角的

正弦值.

6.【2020年高考江苏】在三棱柱ABC—48C1中，ABLAC,平面ABC,E,E分别是AC,8C的中

点.

(1)求证：EF〃平面AB1G；

(2)求证：平面ABC，平面ABC.

7.【2020年高考浙江】如图，在三棱台ABCDEP中，平面ACFD_L平面ABC,ZACB=ZACD=45°,DC=1BC.

(I)证明：EFLDB-,

(II)求直线与平面03c所成角的正弦值.

8.【2019年高考全国II卷理节选】如图，长方体ABCD-4SC1D1的底面ABC。是正方形，点E在棱AAi

上，BE±ECi.

(1)证明：BE,平面E81G；

9.【2019年高考全国III卷理节选】图1是由矩形AOEB,RtA48C和菱形BFGC组成的一个平面图形，其

中AB=1,BE=BF=2,ZFBC=6Q°,将其沿A8,BC折起使得BE与8尸重合，连结。G,如图2.

(1)证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面ABC,平面BCGE；

8C

G

图I图2

10.[2019年高考北京卷理节选】如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD,ADLCD,AD//BC,

PF1

PA=AD=CD=2,BC=3.E为尸。的中点，点尸在PC上，且正=§.

(1)求证：平面PAD；

11.【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC—AiBiG中，D,E分别为8C,AC的中点，AB=BC.

求证：(1)481〃平面。EG；

(2)BELC\E.

B

D

14.12018浙江】如图，己知多面体ABCAiBiCi,4A,BiB,CiC均垂直于平面ABC,ZABC=120°,AiA=4,

C1C=1,AB=BC=B1B=2.

(I)证明：ABi_L平面AiBiCi；

(ID求直线AG与平面所成的角的正弦值.

15.【2018新课标全国I理科】如图，四边形A3CD为正方形，E,E分别为AD,5c的中点，以DF为

折痕把△0FC折起，使点C到达点P的位置，且/用，斯.

(1)证明：平面，平面ABED；

(2)求。。与平面ABED所成角的正弦值.

P

E,

AB

最参考答案.

变式拓展

----------------

1.【答案】B

【分析】

①根据/A5C是正三角形，利用异面直线所成的角结合线面垂直的定义判断；②根据正方形对角线相

互垂直，利用线面垂直的判定定理判断；③根据AB与CE的夹角为60，再由线面垂直的定义判断；④

易知CEL平面ABD,得到WCE,同理ABLED,再利用线面垂直的判定定理判断.

【详解】

①因为‘-A5C是正三角形，所以AB与AC的夹角为60，又因为AC/AE。，所以A8与的夹角为

60，故错误；

②因为正方形对角线相互垂直，所以A3八CE,AB工ED,EDcCE=E,AB,平面CDE,故正

确；

③由①知与CE的夹角为60，故错误；

④因为CE，AD,CE，3£）,3£）cA£）=。，所以CE,平面钻£>,则AX八CE,同理ABLE。，

又EDcCE=E,所以A3,平面CDE,故正确.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查直线与平面垂直的判定与性质，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.

2.【答案】（1）证明见解析；（2）好.

3

【分析】

（1）根据线面垂直的判定定理，即可证明线面垂直；

（2）过点A作A/J_CD,垂足为口，根据题中条件，求出KTBCM上，设点A到平面尸的距

离为d,由等体积法，即可求出结果.

【详解】

(1)证明：：B42+AD2=4=P£>2>

，PA1AD

VPAIADPA±AB，ABcAD=A，Afil平面A3C。，AZ)u平面ABC。,

，AP，平面ABCD-

(2)过点A作AELCD,垂足为P，

c

在RtAAED中，AF=y/AD2-DF2=A/2^1=1

可得BC—1,

则

SABC=gxlxl=:,V=1X-X72=—

22户一板326

又BC上AB,BC1AP,ABIAP=A,ABI平面ABP，APu平面ABP，

8CL平面ABP

,/BPu平面

BCVBP,

在RtPAB中，BP=y/AB2+AP~=V1+2=V3'

则S^BCP=；xlxg=^

设点A到平面PBC的距离为d,

则匕="走=旦，

A-BPC326

有好d=丝,解得d=』S

663

故点A到平面PBC的距离为好.

3

【点睛】

本题主要考查证明线面垂直，考查由等体积法求点到面的距离，属于常考题型.

3.【答案】（1）证明见解析；（2）能，当尸为尸C的中点时，平面£）石尸_1_平面ABC。，证明见解析.

【分析】

（1）由PG_LAD,33,4£）可得40，平面尸68,因为Mu平面尸GB,所以

（2）当尸为PC的中点时，满足平面£）石尸，平面ABCD利用平面平面ABCD,可得PGL平

面ABCD,通过证明平面DEF//平面尸GB,可得平面DEF_L平面ABCD

【详解】

（1）证明：设G为AD的中点，连接PG,BG,BD,如图：

因为△B4。为等边三角形，所以PG_LAO.

在菱形ABC。中，ZZMB=60°,所以为等边三角形，

又因为G为A。的中点，所以BGLAO.

又因为5GPG=G,BG,PGu平面PG3,所以AO,平面PG8

因为QBu平面PGB,所以

（2）解：当尸为PC的中点时，满足平面平面4BCD

如图，设尸为PC的中点，则在一PBC中，EF//PB,Eba平面PGB,P2U平面PGS所以EF//

平面PGB,

在菱形ABC。中，GB//DE,DEa平面PG8,GBu平面PG8,所以OE7/平面尸G8,而所,£>£<=

平面DEREFcDE=E

所以平面。EFV/平面PGB,

由（1）得，PGLAD,

又因为平面E4D，平面ABC。，

平面PA。'平面ABCD=AZ）,PGu平面EW,

所以PG，平面ABC。，

而PGu平面PGB,

所以平面PGBL平面ABCD所以平面D砂，平面ABCD

【点睛】

方法点睛：证明垂直关系的方法有：

①证明线线垂直的常用方法：勾股定理、线面垂直的性质；

②证明线面垂直的常用方法：定义法、线面垂直的判定定理、面面垂直的性质定理；

③证明面面垂直的常用方法：定义法、面面垂直的判定定理、两平行平面中的一个垂直于一个平面，则

另一个也垂直于这个平面.

4.【答案】（1）证明见解析；（2）、女.

【分析】

（1）在题图（1）中，易得BE_LAC,即在题图（2）中，BE±AiO,BELOC,平面40C,然后

由CDHBE,利用面面垂直的判定定理证明.

（2）根据平面48£，平面8。区结合（1）得到40,平面BCDE,即4。是四棱锥4-OCDE的高，

然后再求得梯形。8£的面积，利用锥体的体积公式求解.

【详解】

（1）证明：在题图（1）中，因为=

2

E是的中点，ZBAD=90°,所以2E_LAC

即在题图（2）中，BE±AiO,BELOC,

所以BE_L平面AiOC.

又CD//BE,

所以平面4OC.

而COu平