2024年辽宁省沈阳市皇姑区中考一模考前数学学情调研试卷

2024中考辽宁省沈阳市皇姑区一模考前数学学情调研一．选择题（共10小题，共30分）1．式子x+2有意义，则x的取值范围是（）A．x＞0 B．x≥2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣22．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（）A． B． C． D．3．数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）A．B．C． D．4．下列运算正确的是（）A．a2•a4＝a8B．（﹣3a4）2＝6a6 C．4a6÷2a2＝2a4 D．a0＝15．如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（）A．14 B．13 C．12 6．已知2a2﹣a﹣3＝0，则（2a+3）（2a﹣3）+（2a﹣1）2的值是（）A．6 B．﹣5 C．﹣3 D．47．如图，在平面直角坐标系xOy中，若直线y1＝﹣x+a与直线y2＝bx﹣4相交于点P，则下列结论中：①a＜b；②当0＜x＜1时，y1＜y2＜0；③关于x，y的方程组y=-x+ay=bx-4所有正确结论的序号是（）A．①② B．①②③ C．①③ D．②③5题7题9题10题8．《孙子算经》记载：“今有长木，不知长短，引绳度之，余绳若干，屈绳度之，余绳二尺五寸，绳再屈量之，不足二尺五寸，木长几何？”大意是：用一根绳子去度量一根长木，余绳较多，将绳子对折后去量，绳子还剩余2.5尺，将绳子再次对折后再量，绳子则差2.5尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（）A．2（x+2.5）＝4（x﹣2.5） B．2x﹣2.5＝4（x﹣2.5） C．2x+2.5＝4x﹣2.5 D．2（x+2.5）＝4x﹣2.59．如图，在矩形ABCO中，点B的坐标是（1，3），则AC的长为（）A．3 B．5 C．3 D．1010．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度得到Rt△DEC，点D恰好落在边AB上．若∠A＝70°，则∠BCE的度数为（）A．20° B．40° C．60° D．80°二．填空题（共5小题，共15分）11．对多项式x4﹣4x2进行因式分解，结果为．12．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有实数解，则m的取值范围是：．13．如图，已知A，B的坐标分别为（1，2），（3，0），将△OAB沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到△DCE，若OE＝4，则点C的坐标为．14．如图，在直线l：y＝x﹣4上方的双曲线y=2x（x＞0）上有一个动点P，过点P作x轴的垂线，交直线l于点Q，连接OP，OQ，则△POQ面积的最大值是13题14题15题15．如图，菱形ABCD边长为4厘米，∠A＝60°，点M为AB的中点，点N是边AD上任一点，把∠A沿直线MN折叠，点A落在图中的点E处，当AN＝厘米时，△BCE是直角三角形．三．解答题（共8小题，共75分）16．（10分）计算：（1）（﹣1）2+|-2|+（π﹣3）0-4；（2）17．（8分）某校为了普及推广冰雪活动进校园，准备购进速滑冰鞋和花滑冰鞋用于开展冰上运动，若购进30双速滑冰鞋和20双花滑冰鞋共需8500元；若购进40双速滑冰鞋和10双花滑冰鞋共需8000元．求速滑冰鞋和花滑冰鞋每双购进价格分别为多少元？18．（9分）新颁布的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来，彰显劳动教育的重要性．为了解某校学生一周内劳动教育情况，随机抽查部分学生一周内课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图的图1和图2．请根据图中提供的信息，解答下面的问题：（1）求图1中m的值为，此次抽查数据的中位数是h；（2）求该校此次抽查的学生一周内平均课外劳动时间；（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校学生一周内课外劳动时间不小于3h的人数．19．（8分）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝18cm，BC＝40cm，CD＝44cm，固定∠ABC＝148°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果．（1）当悬臂CD与桌面l平行时，∠BCD＝°；（2）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）20．（8分）普陀山佛茶又称佛顶山云雾茶，具有提神解乏之功效和一定的药用价值．舟山某茶店用32000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的4倍．（1）A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？（2）当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进A，B两种等级茶叶共60盒，但购茶的总预算控制在36000元以内．若A等级茶叶的售价是每盒900元，B等级茶叶的售价为每盒250元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使获利润最大？最大利润是多少？21．（8分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD＝BD．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）已知tan∠ODC=247，AB＝40，求⊙22．（12分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高，2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a=-150，b=910②若a=-150时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为（2）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好起跳点达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．23．（12分）【问题初探】在数学活动课上，张老师给出如下问题：“如图1，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，求证：ABAC①如图2，小丽同学从结论出发给出如下解题思路：过点C作AB的平行线交AD的延长线于点E，运用等腰三角形和相似等知识解决问题．②如图3，小强同学从“AD是△ABC的角平分线”给出了另一种解题思路：在AC上截取AF＝AB，连接DF，过点C作DF的平行线交AD的延长线于点G，也是利用相似等知识解决问题．（1）请你选择一名同学的解答思路，写出证明过程．【类比分析】张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将两组线段比值问题转化为两三角形相似的对应边的比．为了帮助学生更好地领悟这种转化思想，张老师将问题进行了改编，提出下面问题，请你解答．（2）如图4，若△ACB的外角∠CAE平分线AD交BC的延长线于点D，求证：ABAC【学以致用】（3）如图5，在四边形ABCD中，AD=43，CB＝4，AB＝2，∠ABC＝90°，AD∥BC，BE平分∠ABC，求参考答案一．选择题（共10小题）1．D．2．D．3．B．4．C．5．C．6．D．7．C．8．A．9．D．10．B．二．填空题（共5小题）11．x2（x+2）（x﹣2）．12．m≤7且m≠3．13．(2，2)．14．3．15．1或2．三．解答题（共8小题）16．（1）2；（2）﹣2＜x≤1．17．解：设每双速滑冰鞋购进价格是x元，每双花滑冰鞋购进价格是y元，由题意，得30x+20y=850040x+10y=8000解得x=150y=200答：每双速滑冰鞋购进价格是150元，每双花滑冰鞋购进价格是200元；18．解：（1）4÷10%＝40（人），10÷40×100%＝25%．∴m＝25．中位数：（3+3）÷2＝3（h）．（2）4×1+8×2+15×3+10×4+3×540=3（答：该校此次抽查的学生一周内平均课外劳动时间为3h．（3）15+10+340×2000＝答：该校学生一周内课外劳动时间不小于3h的人数为1400人．19．解：（1）过点B作直线MN∥l，∵CD∥l，∴∠ABN＝90°，∵MB∥l，∴MN∥CD，∴∠BCD＝∠CBN＝148°﹣90°＝58°．故答案为：58°．（2）过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，则FN＝AB＝18cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥l，∵∠ABC＝148°，∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°，在Rt△CBN中，BC＝40cm，∴CN＝30•sin58°≈40×0.85＝34（cm），∴CF＝CN+NF＝34+18＝52，∴悬臂端点C到桌面l的距离约为52cm．20．解：（1）设B等级茶叶的每盒进价为x元，则A等级茶叶的每盒进价为4x元，根据题意得：320004x-解得：x＝200，经检验，x＝200是所列方程的解，且符合题意，∴4x＝4×200＝800．答：A等级茶叶的每盒进价为800元，B等级茶叶的每盒进价为200元；（2）设茶店再次购进m盒A等级茶叶，则购进（60﹣m）盒B等级茶叶，根据题意得：800m+200（60﹣m）≤36000，解得：m≤40，设茶店再次购进的两种等级茶叶全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（900﹣800）m+（250﹣200）（60﹣m），即w＝50m+3000，∵50＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝40时，w取得最大值，最大值为50×40+3000＝5000，此时60﹣m＝60﹣40＝20．答：再次购进A等级茶叶40盒，B等级茶叶20盒时，可使所获利润最大，最大利润是5000元．21．解：（1）直线CD与⊙O相切，理由如下：如图，连接OC，∵OA＝OC，CD＝BD，∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠DCB，∵∠AOB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ACO+∠DCB＝90°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，又∵OC为半径，∴CD是⊙O的切线，∴直线CD与⊙O相切；（2）∵tan∠ODC=24∴设CD＝7x＝DB，OC＝24x＝OA，∵∠OCD＝90°，∴OD=OC2∴OB＝32x，∵∠AOB＝90°，∴AB2＝AO2+OB2，∴1600＝576x2+1024x2，∴x＝1，∴OA＝OC＝24，∴⊙O的半径为24．22．解：（1）①∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，∵a=-150∴y=-∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y=-∴基准点K的高度h为21m；②∵a=-150∵运动员落地点要超过K点，∴x＝75时，y＞21，即-1解得b＞故答案为：b＞（2）他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a=-∴抛物线解析式为y=-当x＝75时，y=-∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．23．解：（1）证明：小丽同学，∵AB∥CE，∴∠BAD＝∠E，ABCE∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠E，∴AC＝CE，∴ABAC小强同学，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴△ABD≌△AFD，∴BD＝DF，∠ADB＝∠ADF＝∠CDG，∵DF∥CG，∴∠ADF＝∠G＝∠CDG，AFAC∴CD＝CG，