湖南省邵阳市2022-2023学年高三下学期二模数学试题 含解析

2023年邵阳市高三第二次联考试题卷

数学

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

3-i

1.在复平面内，复数-1+i（i为虚数单位）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】先化简复数为代数形式，再判断对应的点所在的象限即可.

【详解】依题意=J]+$（_>；）=-2τ,对应的点为（一2,-1）在第三象限.

故选：C.

2.已知集合Z=B=[m+l,2m-l].若“xe8”是“xeZ”的充分不必要条件，则机的取值

范围是（）

A.（-∞,3]B.（2,3]C.0D.[2,3]

【答案】B

【解析】

【分析】若“xeB”是“xeZ”的充分不必要条件，则BA,列出不等式组求解即可.

【详解】若”是“xeZ”的充分不必要条件，则BA,

阳+1<2加一1

所以』+12-2,解得2<m≤3,即加的取值范围是（2,3].

2加一1≤5

故选：B.

3.已知向量z=（l,3）,6=（1,-1）,C=（4,5）.若Z与5+形垂直，则实数2的值为（）

244

A.—B.—C.2D.----

19117

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量的坐标运算，垂直向量的坐标运算，可得答案.

【详解】由题意，⅛+∕lə=(l+4∕l,5Λ-l),由Z与否+4"垂直，则[倒+&)=0,

2

g[Jl+4Λ+3×(5Λ-l)=0,解得；I=历.

故选：A.

∣log5jr∣,0<X<5,

4.已知函数/(x)=<若存在实数X1,巧，X,%(%<%<X<X),满足

-cos—X,5≤x≤15.341234

(5J

/(xl)=∕(x2)=∕(x3)=∕(x4),则X]X2X3X4的取值范围是()

B.(0,100)D.(75,100)

【答案】C

【解析】

【分析】根据分段函数的性质，画出图象，即可图象以及函数的对称性即可求解临界位置，即可求解.

【详解】画出/(χ)的图象如下图：

—cos"=_cos]XJ

由题意可知

-Iog5xi=Iog5x2=>xlx2=1,由图象可知X3,X4关于直线

X=IO对称，所以X3+Z=2O,因此XlX2七5=WS，

当一CoSlFX3)=-COS(FX4)=1时，*3=5,兀=15,此时X3X4=75,

(π}(兀、八…1525”Q375

Izx

⅛-COS∣yX3I=-COsIyX4I=O⅛,X3=~^4=~'此时X3Z=，

当存在∣使得/(再)=/(工)/(》)(，时，此时

X,X2,Xi,X4(χ<X2<X3<X4)2=3=/(%)=4€°1)

X1X2X3X4=X3X4∈

故选：C

5.党的二十大报告提出全面推进乡村振兴.为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品

开设直播带货专场.该特色产品的热卖黄金时段为2023年2月1至4月1日，为了解直播的效果和关注度,

该电商平台统计了已直播的2023年2月1日至2月5日时段的相关数据，这5天的第X天到该电商平台专

营店购物人数ρ（单位：万人）的数据如下表：

日期2月1日2月2日2月3日2月4日2月5日

第X天12345

人数y（单位:万人）75849398100

依据表中的统计数据，该电商平台直播黄金时间的天数X与到该电商平台专营店购物的人数J（单位：万人）

具有较强的线性相关关系，经计算得，到该电商平台专营店购物人数V与直播天数X的线性回归方程为

y=6Ax+a.请预测从2023年2月1日起的第38天到该专营店购物的人数（单位：万人）为（）

A.312B.313C.314D.315

【答案】C

【解析】

【分析】根据回归直线过样本中心，建立方程，可得参数，即可得答案.

-1+2+3+4+5、-75+84+93+98+100C八

【详解】由题意,X=-------------------=3,y--------------------------------=90，

55

将（3,90）代入「=6.4%+。，可得90=6.4x3+α,解得α=70.8,

线性回归直线方程为j=6.4x+70.8,将x=38代入上式，j=6.4χ38+70.8=314∙

故选：C.

χ2

6.己知椭圆、+

l（α>b>O）的左、右焦点分别为耳，F2,半焦距为c.在椭圆上存在点尸使得

ab2

.f=∙∕w，则椭圆离心率的取值范围是()

sin/-PFxF1sin^PF2F1

A.[√2-l,l)B.(√2-l,l)C,(θ,√2-l)D.(θ,√2-l]

【答案】B

【解析】

cSinZPF2F,IPGlIPGlll2ac

【分析】由正弦定理及椭圆定义得一=.=EV=C，得俨片=一丝，结合

1l

aSinZPF1F2∖PF2∖2a-\PF]∖'a+c

仍居∣e(α-c,α+c),得关于e的不等式，从而求出e的范围.

,accSinNPF,KIPEjIPKl,,2ac

【详解】由二~=-~>得一=.=3—EFT，得zIPKl=-------，

11

sinAPFxF2sinZPF2F1aSmZPFlF2∖PP2∖2α-∣尸用Q+C

又IP£Ie(α—c,α+c),贝IJa-c<------<a+c,

a+c

a2-c1<2ac<(α+c)2,BPe2+2e-1>O>

又ee(O,l),.∙.ee(ʌ/l-L1).

故选：B.

7.如图所示，在矩形力BC。中，AB=BAD=I,/尸_L平面力SCD,且Z/7=3,点E为线段CO

(除端点外)上的动点，沿直线NE将A。/E翻折到AD'ZE,则下列说法中正确的是()

A.当点E固定在线段CQ的某位置时，点。C的运动轨迹为球面

B.存在点E，使/81平面。'/E

C.点A到平面BCE的距离为坦

2

√B√io^

D.异面直线E尸与SC所成角的余弦值的取值范围是

【答案】D

【解析】

【分析】当点E固定在线段CD的某位置时，线段/E的长度为定值，AD'LD'E,过。，作。'HlZE于

点”，，为定点，。力的长度为定值，由此可判断A；无论E在CD(端点除外)的哪个位置，AB均

不与ZE垂直，即可判断B；以刀，AD'万∙为X，y，Z的正方向建立空间直角坐标系，求出平面BCE

的法向量为兀由点A到平面BC尸的距离公式d=jηψ1求解，即可判断C；设E(j3∕l,l,θ),Λ∈(0,1),

利用向量夹角公式求解，即可判断D.

选项A：当点E固定在线段CQ的某位置时，线段ZE的长度为定值，AD'1D'E-过。，作。7/，ZE于

点，，”为定点，D'H的长度为定值,且在过点”与ZE垂直的平面内，故。C的轨迹是以4为圆

心，为半径的圆，故A错；

选项B：无论E在CO(端点除外)的哪个位置，46均不与/E垂直，故ZB不与平面ZO'E垂直，故B

错；

选项C：以方，而，刀为x,y,z的正方向建立空间直角坐标系，则4(0,0,0),F(0,0,3),5(√3,θ,θ),

C(√3,l,θ).

BC=(0,1,0),BF=(-√3,0,3),AB=(√3,0,0)，

,、n-BC=y=0_-

设平面BCF的法向量为"→=(x,κz),.∙.<一—L，取〃=(百r,0/)，

nBF=-y∣3x+3z=0

则点A到平面BCF的距离为d故C错;

选项D：设E("M,0),Λ∈(O,1),元=(0,1,0),丽=卜后,—1,3),设收与BC所成的角为

故D正确.

故选：D.

8.若不等式In(X-I)≥0对任意xe[2e+l,+e)恒成立，则正实数f的取值范围是()

ln2In2+1ln2ln2+l

A,--------+∞B.,+8C.

2e+l92e+l2e+l,2e+l

【答案】B

【解析】

【分析】由题意得加隆6心卜山(》—1)恒成立，令/(x)=xe'(x>l),贝∣J∕(fx"∕(ln(x-1))恒成

立，利用/(x)的单调性可得及NIn(X-1)在χN2e+l时恒成立，即f≥电9二D(XN2e+l)恒成立，构

造函数g(x)=蛇二D(X≥2e+l),由其单调性得g(x)≤g(2e+l)=也±ɪ,即可得出答案.

X2e+1

【详解】因为xN2e+l,忙”一(1一B)In(X—1)≥0恒成立，

即rxe,γ>(x-l)ln(x-l)=eM(I)∙In(x-1)恒成立.

令f(x)=xex(x>O),则/(ZX)≥∕(ln(x-1))恒成立.

因为/"(x)=(x+l)e'〉0恒成立，故/(x)单调递增，

所以∕xNIn(X-1)在χ≥2e+l时恒成立，

.∙.t>In(X7)(X>2e+1)恒成立.

ln(x-l)

令g(x)=(x≥2e+1)»

X

,/∖——In(X-I)

g(尤)一-一:x-(x-l)ln(x-l)

X2X2(x-l)

令〃(X)=X-(X-I)In(X-I)(X≥2e+l),则〃'(x)=-ln(x-l)<O

.∙."x)单调递减.・・・/z(x)<〃(2e+l)=2e+l—(2e+l—l)・ln(2e+l—1)=1—2eln2=l—eln4<0,即

F(X)<o,

.∙.g(x)单调递减，故g(x)≤g(2e+l)=绊里.

则正实数，的取值范围是用?,+001.

2e+lJ

故选：B.

【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数法：分离出函数中的参数，问题转化为求新

函数的最值或范围.若αN∕(x)恒成立，则α≥∕(x)gt;若α<∕(x)恒成立，则α≤∕(x)mπl;②最值

法:通过对函数最值的讨论得出结果.若∕3≥0恒成立，则/(x)mm≥0;若/(x)≤0恒成立，则f(x)ma≤°;

③分段讨论法：对变量X进行分段讨论，然后再综合处理.

二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分)

—1———■3——

9.在正方体力3CE>-44GA中，AE=-AAi,CF=-CCi,则()

A.NEBF为钝角

B.AD1VAxC

C.ED〃平面BQ尸

D.直线EF与平面BBxCxC所成角的正弦值为I

【答案】BCD

【解析】

前.而______

【分析】建立空间直角坐标系，通过计算cosNBER=Illl判断A；通过计算位•苹=O判断B；

∖BE∖∖BF∖

求出平面与。尸的法向量通过验证由G=O判断c；皮是平面的一个法向量，借助向量夹

角公式可判断D.

【详解】令44∣=4,以。为原点，分别以所在直线为XZ轴建立空间直角坐标系，如图.

5(4,4,0),£(4,0,1),F(0,4,3),砺=(0,-4,1),旃=(-4,0,3)，

BEBF3

CoSNBER=同时=《而＞0,则NEBR为锐角，故A错误；

∙.∙/(4,0,0),Z)l(0,0,4),A1(4,0,4),C(0,4,0)西=(-4,0,4),1^=(-4,4,-4)，

.∙.∕D∣∙&C=-4x(—4)+0x4+4x(—4)=0,/.AD11A1C,故B正确;

Z)(0,0,0),5l(4,4,4),5,F=(-4,0,-1),JS1D1=(-4,-4,0),ΛD=(-4,0,-1),

nBF=0f-4x-z=0

设平面BQ尸的法向量为万=(x∕,z),.∙.1

万.丽=o,[_4x_”=0

不妨设X=1,则y=-l,z=-4,”=(L-I,-4)，

.∙.^5.^=-4×l+0×(-l)+(-l)×(-4)=0,

.∙,EDln>又EDa平面B∣D∣F,则Ez)〃平面用。尸，故C正确；

OCJ_平面88cle,则皮=(0,4,0)是平面64GC的一个法向量，又而=(-4,4,2)，

EFDC]62

则直线EF与平面BBlGC所成角的正弦值为,,=--=-,故D正确.

EF^DC6x43

故选：BCD.

10.若函数/(x)=2cos<ur(cos5—sin5)-l(ω>0)的最小正周期为兀，则()

A.∕j一二]=一如B./(x)在号]上单调递增

[24)2124」

JΓJT

C.7(x)在0,y内有5个零点D./(X)在一H上的值域为

【答案】BC

【解析】

【分析】根据二倍角公式化简/(X)=后cos05+由周期可得/(x)=√Σcos12x+Ej,代入即

可判断A,根据整体法即可判断BD,令/(x)=0,根据CoS(2x+：)=0即可求解满足条件的零点，即可

判断C.

【详解】

/(x)=2cos69x(cos^x-sin0>x)-l=2cos26υx-2cos6υxsin^x-l=cos269x-sin269x=也CGS26υx+—

由最小正周期为兀，可得兀=Tɪn/=1,故/(x)=JIcos(2x+：),

对于AJ卜鼾岳。S注+；卜属吟当故A错误;

Tr37Γτr/TT7TT

对于B当x∈时，2x+-∈—⊂[π,2π],止匕时/(x)单调递增，故B正确;

对于C,令/(x)=JΣcos(2x+S=O=>cos(2x+ɪj=O,

TrirTrSTT

所以2x+一=±一+2hτnX=—+Aπ,或X=-----+kτι,k∈Z,

4288

当XeOW时，满足要求的有Xʤ萼,χ=等,χ=挈,χ=孚，故有5个零点，故C正确;

2OO8OO

对于D,当x∈-时，2x+：e一:《，则CoS(2x+：)e-ɪ,l,⅛,/'(%)∈[-1,Λ∕2J,所

以D错误.

故选：BC.

11.已知点P为定圆。上的动点，点A为圆0所在平面上的定点，线段4尸的中垂线交直线OP于点。，

则点。的轨迹可能是()

A.一个点B.直线C.椭圆D.双曲线

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据分类讨论思想，分点A在圆内、圆上、圆外三种情况，结合椭圆、双曲线的定义，可得答案

【详解】分以下几种情况讨论：设定圆。的半径为R,

①当点A在圆。上，连接04,则IoH=IoH,所以点。在线段工尸的中垂线上，由中垂线的性质可知

∖AQ∖=∖PQ∖.

又因为点0是线段NP的中垂线与OP的公共点，此时点。与点。重合，

此时，点0的轨迹为圆心。；故A正确；

②当点A在圆。内，且点A不与圆心。重合，连接Z。，由中垂线的性质可得=尸

所以，|。旬+1。。I=IoZl+1。Pl=IoPl=R〉|。4

此时，点。的轨迹是以点出。为焦点，且长轴长为R的椭圆，故C正确；

③当点A在圆。外：连接N。，由中垂线的性质可得IoH=|00|,

所以，||例一IQOII=II叫一∣03==R<,

此时，点。的轨进是以点力,。为焦点，且实轴长为尺的双曲线.故D正确.

故选：ACD.

12.已知函数/(x)=e'ln(x+l),/'(X)是/(;V)的导数，则()

A.函数y=∕'(x)在(0,+功上单调递增

B.函数y=∕'(x)有唯一极小值

C.函数V=/(X)-X在(TO)上有且只有一个零点，，且

D.对于任意的X1,∕«°，+8)，/(Xl+》2)>/(否)+/(9)恒成立

【答案】ABD

【解析】

【分析】对函数求导，利用二次导函数的正负判断导函数函数的单调性，进而判断选项A,B；构造函数，

利用导数求解函数的单调性并证明不等式，进而判断选项C5D.

【详解】∕,(x)=ejt∙ln(l+x)+ex,——=evIn(1+%)+——,

1+X1+X

g(x)=∕'(x)=e'In。+》)+=；则")="hψ+χ)+=-宙

21

设力(X)=l∏(l+x)-I-------------------------

l+χ(l+χ)

122X2+1

力'(X)=>0.

1+7(l+x)^"(l+x)3(l+x)3

则函数MX)在(―1,+8)上单调递增，A(x)≥Λ(0)=l>0,因此g'(x)〉0对任意的Xe(O,+8)恒成立,

所以g(x)在(0,+e)上单调递增，故选项A正确;

又M—g)=—ln2+4—4<0,所以/?(—g)7(0)<0,则存在α∈(-；,0),使得Ma)=0.在xe(-l,α)

时，/?(x)<0；xe(α,+oo)时，Λ(x)>0；

所以函数/'(X)在(Ta)单调递减，在(α,+s)单调递增,

故/'(X)有唯一极小值，故选项B正确；

令加(X)=/(x)-x=evln(x+l)-x,-l<%<0,

则加'(x)=e*ln(l+x)+∙j-----1=∕,(x)-l,

所以函数W(x)在(Ta)单调递减，在(a,+8)单调递增，

且"(0)=0,则有加(α)<0.

又wj,(e2-1)=ee1(—2+e2)—1>ec^l∙e—1=ec—1>0»

因此存在Xoe(片2-l,α),使得加'(x0)=0,

当一l<x<xf)时，m(x)>0,当XO<x<0时，∕√(x)<0,

于是得函数〃[(x)在(T,x0)上单调递增，在仇,0)上单调递减，则加(XO)>"(0)=0.

又w(e^3-l)=-3ec",^'-e^3+l<-3e^'-e^3+1<0.

从而存在唯一fe(e-3-l,Xo),使得加«)=0.

显然当f<x<O时，加(χ)>0,当一l<χ<∕时，加(x)<0.

II1ʌ1,1、

又〃ZJe1n2+Ξ,令WzXx)=I1n》一万(工一?,

V/()=l-l--L

γx,X2Ix1

因此函数V(X)在(0,+8)上单调递减，“扑V⑴=0,

有哈翳2)_3ɪ

4Ve

即/＜一；＜0,从而函数机(X)=/(x)-X在x∈(T,0)上有唯一零点fw(-l,-g

函数v=∕(χ)-χ在(T,0)上有且只有一个零点f，且.€卜1,一3),故选项C错误;

XI>0,X2>0,

X_X=v2

/(x1+^2)~/(I)/(2)e"**In(I+玉+W)-e'ln(l+x1)-eʌln(l+x2),

JC+X2ArX2

设θ(X)=/(x+x2)-/(x)-/(x2)=eln(l+x+x2)-eln(l+x)-eln(l+x2),x>o,

则0'(X)=e'+上ln(l÷x+x)d-------------evln(l÷x)+---=g(ɪ+^)""^(x)

21+X+X^y1+X2

由选项A知,g(x)在(0,+的上单调递增，而x+%2>x>0,则g(x+%2)>g(x)，

即有o'(x)=g(x+x2)-g(x)>0，因此函数e(x)在(0,+8)上单调递增，

*(须)>0。，即有〃再+&)>

^(0)=∕(x2)-∕(0)-∕(x2)=-∕()=/(XI)+∕(Λ2),

所以对任意的X],e(0,+°o),总满足/(x∣+X2)>∕(x∣)+∕(x2),故选项D正确.

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法：证明不等式/(x)>g(x)(或/(x)<g(x))转化为证明/(x)-g(x)>O(或

/(χ)-g(χ)＜o)，进而构造辅助函数人(X)=/(χ)-g(χ);

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结论构造辅助函数.

三、填空题(本大题4小题，每小题5分，共20分)

13.若α>0,b>0,a+b=9,则36理+ci@的最小值为____.

ab

【答案】8

【解析】

【分析】由已知条件变形史+@=%土2+3=4+丝+3，然后利用基本不等式求解.

abahab

【详解】若。>0,b>09a+b=9,

则迎+@=%地+巴=4+竺+3≥4+2、但W=8,当且仅当。=6,6=3时取等号，

ababab∖ab

则史+3的最小值为8.

ab

故答案为：8.

14.在数学中，有一个被称为自然常数(又叫欧拉数)的常数eχ2.71828.小明在设置银行卡的数字密码

时，打算将自然常数的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个2相邻,

两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有个.

【答案】36

【解析】

【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.

【详解】如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，

两个2捆绑看作一个元素与7,1全排列，排好后有4个空位，两个8插入其中的2个空位中，注意到两个

2,两个8均为相同元素，

那么小明可以设置的不同密码共有A；∙Cj=36.

故答案为：36.

15.已知直线/是曲线y=ln(x—2)+2与y=ln(x-l)的公切线，则直线/与X轴的交点坐标为.

【答案】(五詈，0)

【解析】

【分析】利用导数求得函数的切线方程，由题意，建立方程组，可得答案.

【详解】设直线/与曲线V=In(X+2)+2和y=ln(x-l)分别相切于4(x∣∕J,8(%,外)两点，

分别求导，得V=',4=一匚，

x-2x-1

故Ay-[ln(x∣-2)+2]=------(ɪ-ɪɪ),整理可得V=x+ln(x-2)+2---——.

-1

X1—2,x∣2X12

ɪɪJQ

同理得/号―In(X「1)=K(X―芍)，整理可得'=**+山小—1)一道

因为直线/为两曲线的公切线,

113

所以《Xj—2%2—ɪ,解得V2

5

ln(x1-2)+2--^4-=ln(x2-l)--^-芭

X]Nɪ2

3+ln2

所以直线/的方程为y=2x—3-ln2,令y=0,则X=-----

2

则直线/与X轴的交点坐标为

故答案为:8M

16.已知数列｛%｝满足q=2,阳由=2("+2)4("∈N"),设数列｛%｝的前〃项和为S”，则数列｛α,,｝

的通项公式为凡=，S.+2

【答案】①.(M2+n)∙2,(^,②.(〃2-〃+2"

【解析】

2(〃+2),利用累乘法得%=%χ"χ2χ…x-£=(∕+").2"T,通过错位相

【分析】由题得NiL=

%Mqa2%

减法求得S,,,进而得出答案.

2(w+2)

【详解】因为〃4,+∣=2(〃+2)%,且q=2κθ,所以争

n

则当〃≥2时,

a.a,a32x32x42×(π+l)

ll-2n2,,I

al=a,×^×-×∙∙∙×——=2×-----×-X--…---XT——e-n(π+l)∙2^'=(M+W)∙2^.

«1aI%12(〃-1)

又当〃=1时，q=2符合上式,

故生=(〃2+")∙2"T.

由S“=q+%+∙∙∙+α,,=(1X2)X20+(2X3)X2∣+…+〃(n+1)∙2"T①

2S,,=lχ2χ2∣+∙→(〃-1"2"T+”("+I)?"②

,,2,,lΠl23,r

φ-(2)^-Sn=2-M(∕7+l)∙2+4∙2'+6∙2+∙∙∙+2H∙2^=-M(W+1)∙2+(l∙2+2∙2+3∙2+∙∙∙+n∙2).

令Z,=I∙2∣+2∙22+32+…+〃2,③

Λ27；,=1∙22+2∙23+∙∙∙+(H-1)∙2,,+H∙2Λ+',④

,,+l

③一④得一7；=2∣+Q2+23+…+2")—小2向=2(；_；)_〃.2向=(-w+l)∙2-2

Λ/；,=(/?-l)∙2n+'+2.

故_5,=_〃(〃+1>2"+(〃―1)2川+2,

则S“=(〃2_〃+2).2"-2,即5.+2=(〃2_〃+2).2".

故答案为：(〃2+〃)∙2"τ,(〃2一〃+2)∙2".

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.已知S“为数列｛q｝的前“项和，α∣=2,Sn+i=Sn+4an-3,记6.=l0g2(%-1)+3.

(1)求数列也,｝的通项公式；

(2)已知q,=(T)”"•鲁人，记数列｛.｝的前〃项和为7；,求证：Tll≥^.

4Pn+l21

【答案】(1)a=2"+l("eN")

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)利用S“与%的关系，整理数列｛4｝的递推公式，根据构造法，可得通项，可得答案；

(2)写出数列｛q,｝的通项，利用裂项相消，可得北，分奇偶两种情况，可得答案.

【小问1详解】

由SX=SZ,+乜一3,得SN—S“=M—3.

∙∙∙%+∣=44”一3,贝IJ4+1T=4(。“一1)∙Λαl-1=2-1=1,

数列是以1为首项，4为公比的等比数列，

22

.∙.%-1=4'i=2-(〃∈N*).∙.∙bn=Iog2(α,,-1)+3,

2n2

bιι=log22^+3=2"+l("eN'

【小问2详解】

4+1

∙∙∙cz,=(-ιy"

b,b,+ι

------2"+2----=∙-f—!—+―!-]

・••If"(2tt+l)(2n+3),72(2〃+12n+3)

Λ7；=c1+c2+c3+-+Cn

ɪ

2

12

当〃为奇数时,>—>

621

当〃为偶数时，η,=∣[∣-τ47∣-｛北｝是递增数列，∙∙∙4,z心

2132"+3J2137J21

综上得：ζ,>∣r.

18.人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空100百m的点尸处，一架无人机正

在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍.已知位于点C西南方向的草从A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹

正盯着其东偏北15。方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为45。，拍摄羚羊的俯角为60。，假

设4,B,C三点在同一水平面上.

(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离48的长度；

(2)若此时猎豹到点C处比到点8处的距离更近，且开始以25m∕s的速度出击，与此同时机警的羚羊以

20m∕s的速度沿北偏东15。方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑600m,试问猎豹这次捕猎是

否有成功的可能?请说明原因.

【答案】(1)分类讨论，答案见解析；

(2)不能捕猎成功，原因见解析.

【解析】

【分析】(1)根据题意，作图，结合图中的几何元素，利用三角函数以及正弦定理，结合分类讨论思想，

可得答案；

(2)由题意作图，设出时间，利用余弦定理，整理方程，利用零点存在性定理，可得答案.

【小问1详解】

由题意作图如下:

则Z^PC=45°,ZCBP=60o,/"C=45°—15°=30°

PCPC

AC==100√3m,BC==IOOm.

tanNAPCtanZCBP

ACBC

由正弦定理,可得sinNABC=~

SinNABCsinZ.BAC2

因此NNBC=60°或120。,

当N∕8C=60。时，4CB=90。，猎豹与羚羊之间的距离为ZB=4AC?+BC?=20Om,

当48C=120°,ZACB=30。=NBAC,猎豹与羚羊之间的距离为力B=BC=IOOm.

【小问2详解】

由题意作图如下:

设捕猎成功所需的最短时间为/,

在AAS。中，BQ=20z,AQ=25t,/8=200,ZABQ=UOo.

由余弦定理得：625r=400』+20()2-2x20/X2OOX

整理得：9∕2-160∕-1600=0∙

方法1：设/(7)=9/—160/—1600,显然/(0)<0,/<0,

因猎豹能坚持奔跑最长时间为24s,且/（24）=-256<0.

.∙.猎豹不能捕猎成功.

19.如图所示，在四棱锥尸—48CZ）中，底面ZBCD是等腰梯形，AB//CD,ZB=28=4.平面PZB，

平面Z88,O为48的中点，ZDAOΛAOP=60o,OA=OP,E,F,G分别为6C,PD,PC

的中点.

（1）求证：平面尸CD_L平面ZFG3；

（2）求平面尸。E与平面/8CD所成锐二面角的正切值.

【答案】（1）证明见解析

⑵短

5

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直判定定理以及性质定理，结合面面垂直判定定理，可得答案;

（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量计算公式，可得答案.

【小问1详解】

如图所示，取力。的中点，，连接HP,

在等腰梯形48CZ)中，AB1/CD,/8=4,CD=2,ZDAO60°.

为/8的中点，即有四边形Sa)O是平行四边形,

/.ODUBC,NDOA=ZCBO=NDAO=60°.

.∙.AiOZO为正三角形，.∙.ZD=2,HDlAO.

在A"。尸中，OA=OP=2,NZOP=60°,

，△/。尸为边长为2的正三角形，.∙.ZP=2,PHLAO.

.,.AP=AD,又尸为Fo的中点，.∙.∕77,PD∙

VHDlAO,PHLAO,HDCPH=H,HD,PHu平面PHD，

4。J■平面尸〃。，即/8人平面PM).「PDu平面PHD，.「NB，尸£>.

而G为尸C中点，则FGHCD/1AB,又；4Fc4B=4,AF,AFGB,：.PDmAFGB.

,：PDU平面PCD,：.平面PCD1平面AFGB.

【小问2详解】

•/PH±AB,平面PASL平面ZBCZ),平面P48C平面/BCD=ZB,PHU平面P4B，

.*.PH_1_平面Z8CD,

...由(1)知，PH,HD,48两两垂直,

以，为坐标原点，HD,HB,HP所在直线分别为X轴，y轴，Z轴建立如图所示空间直角坐标系,

3

则H(0,0,0),∕(θ,θ,√3),Z)(√3,θ,θ),E,,U,

22/

于是而=(0,0,√J),P5=(√3,0,-√3),DE当⅛

设平面PDE的法向量为«=(x,y,z)，

vɜɪ_ʌ/ɜz-0,

亢PD=O,

则万(也,

则一即《√35取x=5,=5,5b

n-DE=0,------%+—y=0,

22

设平面PDE与平面ABCD所成锐二面角为θ,

•/丽为平面ZBC。的一个法向量,

.∙.cos。=卜OS瓦丽〃'H"5√35

√53'

.∙.Sine=Jl—cos?。=芝,tan6=∙^∙=迫

√53cos。5

，平面PDE与平面48CZ)所成锐二面角的正切值为空.

5

20.为响应习近平总书记“全民健身”的号召，促进学生德智体美劳全面发展，某校举行校园足球比赛.根

据比赛规则，淘汰赛阶段，参赛双方有时需要通过“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如

下：

①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜:

②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：

第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为2:0,则不需要再踢第5轮）；

③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不

进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出.

假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.

（1）假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的

左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确，左右两边将球扑出的可能性为工，中间方向

5

3

扑出的可能性为三∙若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前4次扑出点球的个数X的

5

分布列和数学期望.

（2）现有甲、乙两队在淘汰赛中相遇，需要通过“点球大战”来决定胜负.设甲队每名队员射进点球的概

32

率均为一，乙队每名队员射进点球的概率均为彳，若甲队先踢，求甲队恰在第4轮取得胜利的概率.

43

4

【答案】（1）分布列见解析，数学期望为一；

9

、125

（2）——

768

【解析】

【分析】（1）根据二项分布的概率计算公式即可求解

（2）根据前3轮比分为1:0,2:0,2:1,3:1,3:2时，结合相互独立事件的概率乘法计算公式即可逐

一求解.

【小问1详解】

p（每次扑出点球）=-×-×-+-×-×-+-×-×-=-.

3353353359

X的所有可能取值为0,1,2,3,4....P（X=0）=C；x1*x]∣∙）=黑牛.

P(X=I)=CI

P(X=2)=C；

P(X=3)=0

P(X=4)=C：

.∙.X的分布列

X01234

40962048384321

P

65βT6561656165616561

14

.∙.E(X)=4xg=3

【小问2详解】

若甲队恰在第4轮取得胜利，则前3轮结束时比分可能为1:0,2:0,2:1,3:1,3:2.分别记前3轮

比分为1:0,2:0,2:1,3:1,3:2且甲队恰在第4轮取得胜利，事件分别为儿B,C,D,E.

311

X-X-=--------

SX卧眇窗43768

23

P(B)=C；X

p(c)=c3×(∣)×rc3×r(∣)×lxr⅛=⅛

尸(0=[Rχc;XgX2

P(E)=G)xC；X(I)=急=费

故尸（甲队恰在第4轮取得胜利）=—+—+—+—+—=—

768768768768768768

125

.∙.甲队恰在第4轮取得胜利的概率为——.

768

X2

21.已知双曲线C：J—=l（0<α（10,6）0）的右顶点为A,左焦点E（—c,0）到其渐近线队+即=0的

Crb2

距离为2,斜率为g的直线∕∣交双曲线C于4B两点,且Ha=qe.

（1）求双曲线C的方程；

（2）过点T（6,0）的直线4与双曲线C交于P,。两点，直线“产，/0分别与直线x=6相交于M,N两

点，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

【答案】（1）工一竺.=1

94

(2)以线段MN为直