云南省普洱市宁洱哈尼族彝族自治县普洱中学2024-2025学年高三上学期开学考试 数学试题（含解析）

2025届高三上学期开学摸底考试数学试卷（考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.若，则（）A. B. C. D.3.已知向量，，则（）A.2 B.3 C. D.4.已知数列是等比数列，若，，则的值为（）A. B. C.4 D.165.已知，，则（）A. B. C. D.16.已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（）A. B. C. D.7.已知函数区间上单调递增，则实数a的范围是（）A. B. C. D.8.设函数，若，且，，的最小值为（）A.9 B. C.5 D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.随机变量X服从正态分布，若，则（）A. B.C. D.10.下列说法正确的是（）A.已知随机变量X服从二项分布，则B.设随机变量X服从正态分布，若，则C.已知一组数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它的第70百分位数为7D.若事件A，B满足，，，则事件A，B相互独立11.已知数列，下列结论正确的有（）A.若，，则B.若，，则C.若，则数列是等比数列D.若为等差数列的前n项和，则数列为等差数列三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.设是等差数列，且，，则数列的前10项和______.13.曲线在处的切线方程为______.14.双曲线的左、右焦点分别是，，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若为正三角形，则双曲线的离心率为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知为等差数列的前n项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前10项和.16.（15分）随着AI技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用.某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业.开学时进行了入学测试，随机抽取了100名学生统计得到如下列联表：使用智能辅导系统未使用智能辅导系统合计入学测试成绩优秀202040入学测试成绩不优秀402060合计6040100（1）判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；（2）若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为X，求X的分布列及数学期望.附：，其中.0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.63517.（15分）如图所示，在直四棱柱中，底面是平行四边形，点M，N分别在棱，上，且，.（1）求证：平面；（2）若，，，求二面角的大小.18.（17分）已知双曲线的中心为坐标原点O，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直.（1）求双曲线的标准方程；（2）若过点的直线l与双曲线交于E，F两点，的面积为，求直线l的方程.19.（17分）已知函数的图象过点，且.（1）求a，b的值；（2）求函数的极值.2025届高三上学期开学摸底考试数学答案1.D【分析】利用指数函数的单调性求得集合M，再求交集即得.【详解】由可得，因在R上为增函数，故，则，故.故选：D2.A【分析】利用复数的运算法则计算即可.【详解】由，得，所以，所以.故选：A.3.A【分析】先利用向量线性运算的坐标表示求得，再求其模.【详解】根据题意，，所以.故选：A4.D【分析】根据等比数列的性质运算即可.【详解】因为是等比数列，所以，所以.故选：D.5.C【分析】运用两角和差的正弦公式，结合同角三角函数关系式中商关系进行求解即可.【详解】由，由，可得，所以.故选：C6.B【分析】设圆柱的底面半径为r，圆锥的母线长为l，依题意得到求得，继而求出圆锥的高，最后求即得.【详解】设圆柱的底面半径为r，因为圆柱轴截面是正方形，所以圆柱的高为2r，依题意圆锥的底面半径为r，设圆锥的母线长为l，因为圆锥与该圆柱的侧面积相等，所以，解得，则圆锥的高为，圆柱的体积，圆锥的体积，所以.故选：B7.D【分析】根据在上单调递增，有恒成立，参变分离求在区间上最大值，进而求出a的范围.【详解】解：因为函数的导函数为，并且在上单调递增，所以在上恒成立，即，则，即恒成立，，因为在上最大值为1，所以.故选：D8.B【分析】根据条件得到，将变形为，再利用基本不等式即可求出结果.【详解】因为，，所以，即，又，，所以，当且仅当，即，时取等号，故选：B9.AB【分析】由正态曲线的对称性和题设条件易得，可知A，B正确，C错误；对于D，只需判断，结合正态曲线的特征即可排除D.【详解】对于A，由知是1和3的中间值，故，故A正确；对于B，C，在正态分布中，，故B正确，C错误；对于D，当时，，由正态曲线的特征可得，，所以D错误.故选：AB.10.AD【分析】根据根据二项分布知识可判断A，根据正态分布知识可判断B，根据百分位数可判断C，根据条件概率知识可判断D.【详解】因为随机变量X服从二项分布，则，故A正确；因为随机变量X服从正态分布，则对称轴为，，故B错误；这组数据的第70百分位数为，故C错误；因为，所以，所以事件A，B相互独立.故选：AD.11.ABD【分析】A.利用累加法求和，即可判断；B.利用构造法，构造为等比数列，求通项公式，即可判断；C.利用公式，即可求解通项公式，判断选项：D.根据等差数列前n项和公式，结合等差数列的定义，即可判断选项.【详解】对于选项A，由，得，则，故A项正确；对于选项B，由，得，所以为等比数列，首项为，公比为2，所以，所以，故B项正确；对于选项C，因为，当时，，当时，，将代入，得，所以，所以数列不是等比数列，故C项错误.对于选项D，设等差数列的公差为d，由等差数列前n项和公式可得，所以与n无关，所以数列为等差数列，故D项正确.故选：ABD.12.100【分析】依题意可得，即可求出公差d，再根据等差数列求和公式计算可得.【详解】因为，所以，所以的公差，又，所以.故答案为：10013.【分析】首先求出切点坐标，再利用导数求出切线的斜率，最后利用点斜式求出切线方程；【详解】解：当时，，即切点坐标为∴则曲线在处的切线方程为，即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.14.【分析】由条件确定a，b，c的关系，化简求离心率.【详解】∵为正三角形，∴，又，∴∴，∴∴，（舍去）故答案为：.15.（1）（2）【分析】（1）由题意列出方程组求出首项、公差即可；（2）化简表达式，由裂项相消法即可求解.（6分）【详解】（1）设等差数列的公差为d.因为，且，所以，解得，所以.（7分）（2）由（1）得，所以，所以，所以.16.（1）没有（2）分布列见解析，【分析】（1）计算卡方后与3.841比较大小即可得；（2）借分层抽样的性质可得5人中成绩优秀的人数，再得出X的取值可能后计算相应的概率即可得其分布列，即可得其期望.（6分）【详解】（1）∵，∴没有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；（9分）（2），∴5人中2人成绩优秀，3人成绩不优秀，X的取值可能为0、1、2，∴，，，∴分布列为：X012P∴.17.（1）见解析（2）【分析】（1）连接，交于E，取的中点F，连接，，由题意可得、，由线面平行的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，求出平面的一个法向量为、平面的一个法向量为，利用即可得解.（6分）【详解】（1）证明：如图所示，连接，交于E，取的中点F，连接，，由，，故，且，故四边形为平行四边形，所以，由底面是平行四边形可得E为AC中点，所以，所以由平面，平面，所以平面；（9分）（2）因为，，所以，由，得，以D为原点，以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，由，令，得，设平面的一个法向量为，由得，由，所以二面角的大小为.【点睛】本题考查了线面平行的判定及利用空间向量求二面角，考查了空间思维能力和计算能力，属于中档题.18.（1）（2）或.【分析】（1）设所求双曲线方程为，，把点代入，即可得出答案.（2）根据题意设直线l的方程为，联立直线与双曲线的方程，分别用点到直线的距离公式，弦长公式，三角形面积公式，建立方程，即可得出答案.（5分）【详解】（1）因为双曲线C的两条渐近线互相垂直，所以双曲线C为等轴双曲线，所以设所求双曲线方程为，，又双曲线C经过点，所以，即，所以双曲线的方程为，即.（12分）（2）根据题意可知直线l的斜率存在，又直线l过