2023年高考数学理一轮复习教学案第7章7-4基本不等式

7.4基本不等式

【考试要求】

1.掌握基本不等式及常见变型.

2.会用基本不等式解决简单的最值问题.

【知识梳理】

I.基本不等式：√^≤竽

(1)基本不等式成立的条件：4>0,b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当β≡女时取等号.

(3)其中皆叫做正数”，力的算术平均数，√7叫做正数“，人的几何平均数.

2.几个重要的不等式

22

(l)a+b^2ab(gf⅛≡R).

(2)^+∣>2(α,b同号).

(3)6z⅛≤∣^—―J-(〃,⅛∈R).

层+庐、

⑷》⅛∈R).

以上不等式等号成立的条件均为a=b.

3.利用基本不等式求最值

(1)已知X,y都是正数，如果积封等于定值P,那么当X=)'时，和x+y有最小值2√R

(2)已知X,y都是正数，如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积盯有最大值;S?.

注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J"或"X")

(1)不等式向W”)与标W皇等号成立的条件是相同的.(×)

(2)y=x+1的最小值是2.(×)

(3)若x>0,)>0且无+y=xy,则Ay的最小值为4.(√)

(4)函数y=sinx+V^：,x∈(^0,号的最小值为4.(×)

【教材题改编】

1.已知x>2,则x+1行的最小值是()

A.ɪB.2C.2√2D.4

答案D

解析∙.”>2,

ΛX+-¼=X-2+-¼+2≥2Λ/(χ-2)-二+2=4,

χ-2x-2∖∣'7χ-2

当且仅当X—2=」入，即x=3时，等号成立.

X—2

2.函数y=4—X—1(x<0)()

A.有最小值2B.有最小值6

C.有最大值2D.有最大值6

答案B

解析y=4+(-x)+/、

≥4+2^(-χ)∙θ)=6.

当且仅当一X=-L,即》=一1时取等号.

-X

3.若a,⅛∈R,下列不等式成立的是.

-⅛,a、c

9zx+声2；

②HW学

喘WM

答案②③

解析当£为负时，①不成立.

当ab<O时，④不成立.

题型一利用基本不等式求最值

命题点1配凑法

例1(l)(2022∙乐山模拟)设Oae,则函数y=4x(3-2x)的最大值为()

99

A4B.4C，2D.9

答案C

解析y=4x(3-2x)=2∙2x∙(3-2x)

3”斗∣.

当且仅当2r=3—2x,即X=］时取等号,

39

当X=Z时，Jmax=2-

29

(2)若xq,则√(x)=3x+l+不工有()

A.最大值OB.最小值9

C.最大值一3D.最小值一3

答案C

2

解析・・“q,

3χ-2<0,

9

J(x)=3χ-2+^-^+3

^9^

=-(2-3x)+-j+3

≤~2^J(2-3x)∙^%+3=-3.

91

当且仅当2—3X=丁一一即工=一微时取.

2-3X3

X2—2χ+2

(3)(2022・绍兴模拟)若781,则y=*7~的最大值为

答案-1

解析因为一l<r<l,则0<l-χ<2,

1(I-χ)2+l

于是得丫=一

21—X

当且仅当一x=占,即x=°时取"=”,

—ɔɪ-1—2

所以当尸。时，有最大值T

命题点2常数代换法

21

例2（2022,重庆模拟）已知α>0,⅛>0,且〃+力=2,则［+五的最小值是（）

A.IB.2

99

CwDi

答案C

解析因为4>0,⅛>0,且α+8=2,

所以"2-=ɪ，

所以W+∕=*"+6)(1+/)

=≡⅛÷D

昌χ(2+∣)4

当且仅当4〃=飘2，等号成立.

命题点3消元法

例3（2022.烟台模拟）已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为.

答案6

解析方法一（换元消元法）

由已知得9—（x+3y）=∕x∙3ywg（三∕）,当且仅当χ=3y,即x=3,y=l时取等号.

即（x+3y>+12（x+3y）-108-0,

令x+3y=f,则00且产+⑵―10820,

得/26,即x+3y的最小值为6.

方法二（代入消元法）

9—3y

由x+3y+xy=9,得X=]+v，

9一3)，La9-3y+3y(l+y)

所以x+3y=2=ι

ι+y+y

9+3y23(l+y)2—6(l+y)+12

=l+y=1+y

=3(1+y)+花-62213(1+y)∙备一6

12-6=6,

当且仅当3(l+y)=H,即y=l,x=3时取等号,

1十y

所以x+3y的最小值为6.

延伸探究本例条件不变，求孙的最大值.

解方法一9~xy=x+3y^2∖∣3xy,

・，.9一孙22y∣3xy,

令t，，/>0,

Λ9-∕2≥2√3Λ

即∕2+2√3r-9≤0,

解得0‹7W小,

Λ-∖∕^≤√3,Λxγ≤3,

当且仅当冗=3y,即x=3,y=l时取等号，

Axy的最大值为3.

方法二Tx=］工J

9~3y9y~3y1

・・刀=百?产下旷

-3°，+++15。+1)—12

y+1

12

=-35H)-币∙+15

≤-2^3(y+l)∙-^-+15=3.

1?

当且仅当3(y+l)=Fγ,即y=l,x=3时取等号.

y十1

Axy的最大值为3.

【备选】

1.(2022•哈尔滨模拟)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,则当x+y取得最小值时，y等于()

A.16B.6C,18D.12

答案B

解析因为x>0,γ>0,2x+8y=xy,

≥10+21—^=10+2X4=18,

∖JyX

2xSy

=x=12,

当且仅当，>一”‘叱=6时取等号'

^2x÷8>j-xy=O,

所以当x+y取得最小值时，y=6.

一/

2.已知函数式X)=WX<—1),则()

A.於)有最小值4B.兀V)有最小值一4

C.40有最大值4D.7U)有最大值一4

答案A

因为x<—1,所以x+l<0,—(x+1)>0,

所以式x)22√I+2=4,

当且仅当一(x+1)==■二八,即x=-2时，等号成立.

故7U)有最小值4.

思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.

(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.

(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代

换的方法；三是消元法.

2

跟踪训练1(1)已知函数火X)=UY+x(2x>l),则4X)的最小值为

5

-

2

析

11

-十-

22

113

当且仅当一Ly=即九=1时取.

・；人¥）的最小值为

⑵(2022•襄阳四中月考)若实数x>l,且x+2y=3,则占+一7的最小值为________

NX1z,yɪ

答案4

解析令x—l=%2y-1=〃，

则zn>0,n>0且m+n=x~1÷2y-1=1,

'',^∖+2y-l^m+n

=(⅛+5)(m+")

rjm

=2+'+'N2+2=4,

mn

当且仅当A=?,即M7="=T时取"=".

.'•一的最小值为4.

X-12y—1

题型二基本不等式的常见变形应用

例4（1）（2022•宁波模拟）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世

西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形

实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点尸在半圆。上，点C在直径AB上，

KOF1.AB,设4C=α,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为（）

A.-^-^y[ah(a>0fb>0)

B.a2+h2^2y[ah(a>0,⅛>0)

CWy[Σi>(a>O,⅛>0)

解析由图形可知，O∕7=%8=∕α+3,

OC=/(〃+与—6),

在RtAOC尸中，由勾股定理可得，

CF=N吟研+方）,

♦:CF20F,

・，・q；（〃2+庐）+b）（α>0,b>0）∙

（2）（2022・广州模拟）已知OVZ<1,⅛>1,则下列不等式中成立的是（）

I,一4ab

ʌ*a+b^+h

B.y∣m>v2金

Va-rb

C.y∣2cι1+2b2<2y[ab

D.a÷b<∖∣2a2+2b2

答案D

解析对于选项A,因为0<α<l,⅛>1,

所以（〃+方）2=〃2+2〃〃+方2>4”仇故选项A错误；

对于选项B,√^>T⅛=⅛T.故选项B错误；

a~vb

Y-Ilɪ

a+τb

对于选项C,y∣2（a1÷b2）>yj2×2ab=2y[ab,

故选项C错误；

对于选项D,2Λ2+2b2>a2+2ab+b2=（a+b）2,

所以a+b<y^2a2+2b2,故选项D正确.

【备选】

若a,0∈R,且">0,则下列不等式中，恒成立的是（）

A.a2+b2>2abB.a+b^2y[cib

Cb。

-Ill2r

C~Q÷τ>b^7y∣=a^bD~a÷Tb≥2

答案D

解析a2+b2^2ab,所以A错误；

ab>O,只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，

所以当〃<0,〃<0时，B错误；同时C错误；

月或与都是正数，根据基本不等式求最值，

价能2正殍2,故D正确.

思维升华基本不等式的常见变形

⑴H安性牛

27I—/+b7∣a2+b2

(2)^—j^≤∖^⅛≤2^ʌ/-2-(。>0，⅛>0).

士+石v

跟踪训练2（l）（2022∙浙南名校联盟联考）已知命题p：a>h>O,命题q：一弓一〉（丁厂J2,则P

是夕成立的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析Va>b>O,则cr+b1>2ab,

:•2（，+b2）>a2÷⅛2+Iab,

2（/+⅛2）>（∏+⅛）2,

.半哂

，由〃可推出q,

当4<0,b<0时，命题q成立，

如a=-1,匕=—3时，1^"'I=5>（^W^2=4,

工由9推不出P，

:∙p是q成立的充分不必要条件.

（2）（2022•漳州质检）已知小人为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是（）

ʌ,-ɪB1+1

a+bab

c2C2

C•祠DQK

答案B

解析Ta,匕为互不相等的正实数，

・ɪɪ'2

・2+5

2____2_=_1____2

a+bz2y∕aby/ab^ylab9

I2∣~2~12

7声KE韬G

.∙.最大的是!+S

柯西不等式

柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(CaUChy,1789—1857)发现的，

故命名为柯西不等式.柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证

明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的

技巧可以达到事半功倍的效果.

1.(柯西不等式的代数形式)设〃，b,cfd均为实数，则(/+∕)(c2+d2)N(αc+机/，当且仅

当qd=bc时，等号成立.

推广一般情形：设〃2,,•*,a,l9h∖fbi,…，⅛n∈R,

2

则(H+〃归---F底)(易÷⅛H-----卜山)2(〃]bi+a2b24------卜anbn)(当且仅当⅛∕=0(f=1,2,…,n)

或存在一个实数使得a=kb®=1,2,…，〃)时，等号成立).

2.(柯西不等式的向量形式)设〃，夕为平面上的两个向量，则IaIWl2∣"∕∣,其中当且仅当/?是

零向量，或存在实数4,使以=S时等号成立.

3.(柯西不等式的三角不等式)设无1,yι,X2,y2,工3,>3为任意实数，则：

√(Λ∣—X2)2+Cyi-J2)2+√(X2-X3)2+GJ2-ʃɜ)2

K(U-X3)2+(Ji->3)2.

一、利用柯西不等式求最值

例1已知X,y满足x+3y=4,则4/+)2的最小值为.

64

答案37

解析(x+3y)2W(4f+y2)Q+9),

464

所以4x2+y2216X万=为，

当且仅当y=12x时，等号成立，

64

所以4%2+γ2的最小值为方.

22

例2已知正实数X,yfZ满足％+y+z2=l,正实数α,b,C满足标+序+/=%则Oχ+

by+cz的最大值为.

答案3

解析(G+b)，+czyW(〃2+/+，)・(f+y2+z2)=9,

/.6zx+⅛y+cz≤3,

当且仅当〃=3x,b=3y,c=3z时取"="，

.∖ax+by+cz的最大值为3.

例3函数y=54χ-1+/10-2%的最大值为.

答案6√3

解析y2=(5√ʒPT+√10-2Λ)2=(5√^ς71+√2∙√5TX)2≤(52+2)(χ-1+5-χ)=108,当且仅

当X=TW时等号成立，

二、利用柯西不等式证明不等式

例4已知防，Cl2,b∖,岳为正实数，求证：(。仍1+。2岳乂曹+韵》3+。2)2.

当且仅当加=历时，等号成立.

2

例5已知α∣,他，…，斯都是实数，求证：^(6n+^2∏------∖-an)^c∏+d-∖-----∖-art.

证明根据柯西不等式，有(1~+1?~1∣~1∕)(α:+α2∏-----F*)2(1Xm+1XazH-------H

1X*2,

所以+"2------1^小F≤ατ+⅛H-----Fα∏.

课时精练

1.下列函数中，最小值为2的是()

2

A.y=x÷~

_X2+3

C.y=ev+e-χ

D.y=logu÷logγ3(0<x<1)

答案C

2

解析当x<0时，y=x+^<O,故A错误;

f+3/7-rT--Ξ1

产再Γ√+后ɪ上,

当且仅当后=舟，

即/=-1时取等号，

Vx2≠-1,故B错误；

y=ex+e^∙t>2-√ev∙eA=2,

当且仅当dc=e~x,

即X=O时取等号，故C正确；

当x∈(0,l)时，y=log3Λ<0,故D错误.

2.(2022・汉中模拟)若”>0,人>0且2n+b=4,则必的最大值为()

A.2B.^C.4D.；

答案A

解析4=2α+⅛^2√2^⅛,

即2,y∣2ab,平方得6Z⅛≤2,

当且仅当2a=6,即α=l,b=2时等号成立，

：.ah的最大值为2.

3.(2022•苏州模拟)若a,b是正常数，a≠b,x,>,∈(0,+o°),则幺+2三("]”),当且仅

Xyx∣y

当W=?时取等号.利用以上结论,函数犬X)=各7⅛∙,χw(θ,或取得最小值时X的值为()

ʌlB∙IC坐D.∣

答案A

2949

解析©q+E=五+E

-25

当且仅当高2=∙3⅛,即x=12时等号成立.

2%1—2xJ

4.(2022•重庆模拟)已知x>2,y>∖,(》一2)。-1)=4,则x+y的最小值是()

A.ɪB.4

C.7D.3+√Γ7

答案C

解析,.'x>2,y>∖,(X—2)(y-1)=4,

Λx+γ=(x-2)+(γ-1)+3

›2√(χ-2)(γ-l)+3=7,

x=4

当且仅当/时等号成立.

Iy=3

19

5.已知函数yu）=%+MG<1）,下列结论正确的是（）

A.y（x）有最大值，

B.y（x）有最大值一日

B

c.7U）有最小值下

7

D.4X）有最小值W

答案B

解析Λv）=⅞i+⅛+∣=-^+⅛ɔ+∣≤-2^P⅛+∣=-⅛,当且仅当X

=-5时等号成立.

6.已知函数知幻=f_：+4*>°）'则（）

A.於）有最大值3B.大幻有最小值3

c../U）有最小值;D.兀0有最大值（

答案D

解析於）=缶7

___L_r_J__1

X

4

当且仅当x=*即x=2时等号成立，

.∙J（x）的最大值为;.

7.（2022•济宁模拟）已知4,6为正实数，则“，2”是“MW16”的（）

A.充要条件

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由α,。为正实数，

Λa+b^2∖[ab,当且仅当a—b时等号成立，

若HWI6,可得由Wf*=呼W2Φ=2,故必要性成立；

Cl-T-D2y∣abZ乙

当α=2,⅛=10,此时-⅛W2,但H=20>16,故充分性不成立,

a~tb

因此“黑是316”的必要不充分条件.

8.己知正实数mb满足a>O,b>O,且“+6=1,则下列不等式恒成立的有()

①2。+2哮2啦；②/+/<1；

(3)~+∣<4;④α+:>2.

A.①②B.①③

C.①②④D.②③④

答案C

解析V2u+2^2√2^=2√Fi^=2√2,当且仅当α=6时取等号，；.①正确；

"."a1+b2<a2+b2+2ab=(a+b)2^∖,

②正确；

当且仅当α=b时取等号，.∙.③错误;

V6f>0,⅛>0,a+h=∖f

.".OVa<1,

Vβ+⅛2ʌy∑i=2,当且仅当α=l时取等号，

/.6Z+~>2,④正确.

9.若0<无<2,则小/4—Λ2的最大值为.

答案2

解析V0<^<2,

/.周4—X2=-∖∕Λ2(4-X2)≤'+；^^~=2,

当且仅当JC2=4-X2,即X=啦时取.

10.若α>0,。>0,Igα+lgb=lg(q+6),则cι+〃的最小值为

答案4

解析依题意出?=。+仇.∙.n+b=αbW

CJrJ,,一(α+b)2

即6t÷⅛≤----4----

Λtz+⅛≥4,当且仅当α=b时取等号，

.∖a+b的最小值为4.

19

11.已知两个正实数X,y满足x+y=2,贝吐+缶的最小值为________

ʌʃII

套□案荥—3

解析因为正实数X,y满足x+y=2,

所以尹l⅛+*⅛+(y+i)]

K>θ÷⅛i÷⅛

y+19/16

Xy+1τ,

即x金尸飘，等号成立.

12.（2021.天津）若α>0,b>0,贝++/+匕的最小值为

答案2√5

解析Vα>0,b>0,

'A⅛+⅛≥2∙'2

当且仅当I=/且差=8,即α=%=正时等号成立，

∙'.^+^+⅛的最小值为2∙√Σ

13.（2022∙南京模拟）若实数X,y满足f+j2+孙=1,则x+y的取值范围是（）

3,3J

3'3」

答案A

解析∙.∙χ2+y2+孙=IoD=(X+y)2—1,

又∙.∙孙W

Λ(χ+γ)2-1≤θyɪ)2,令χ+y