2023-2024学年辽宁省大连市高二年级下册期中数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年辽宁省大连市高二下学期期中数学模拟试题

一、单选题

1.己知A：=C13,则W=（）

A.6B.7C.8D.9

【正确答案】C

【分析】根据排列组合公式得到日F=诉而，解得答案.

【详解】A：=C；3,即正方=（f!x3Y故〃—2=3!=6,故〃=8.

故选：C

2.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图.

3535

3030

2525

2020

1515

IO1<)

55

00

51015202530355IO1520253035

相关系数为勺相关系数为r2

3535

3030

2525

2020

1515

IOIO

55

00

5IO1520253035

相关系数为A相关系数为小

下面关于相关系数的比较,正确的是（)

A.r4<r2<rλ<r3B.r2<r4<rl<r3C.r2<r4<r3<rxD.r4<r2<r3<ry

【正确答案】C

【分析】根据散点图的分布可得相关性的强弱，即可比较大小.

【详解】由图可知：好4所对应的图中的散点呈现正相关，而且弓对应的相关性比G对应的相关性

要强，故0<4<4,J〃所对应的图中的散点呈现负相关，且根据散点的分布情况可知弓<4<。，

因此G<4<4<4,

故选：C

3.同时抛掷两枚质地均匀的硬币（忽略客观因素对其的影响），如果已经知道有一枚硬币正面朝上,

那么这两枚硬币都是正面朝上的概率是（）

A.-B.ɪC.ɪD.不确定

432

【正确答案】B

【分析】先列举出“有一枚硬币正面朝上”的基本事件，再找出“硬币都是正面朝上”的事件个数，即

可求解

【详解】同时掷两枚质地均匀的硬币，事件“有一枚硬币正面朝上''包含的基本事件有：（正，正），（正,

反）（反，正），共3种，

其中“两枚硬币都是正面朝上”只有1种，

所以有一枚硬币正面朝上，那么这两枚硬币都是正面朝上的概率是g,

故选：B

4.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.甲、乙等5名杭州亚运会志愿者到

羽毛球、游泳、射击、体操四个场地进行志愿服务，每个志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿

者，若甲去羽毛球场，则不同的安排方法共有（）

A.6种B.60种C.36种D.24种

【正确答案】B

【分析】根据已知条件可知，肯定有一个场地是两个人，该问题分为两类，一类是羽毛球场两人，

一类是羽毛球场只有1人，运用分类加法及分步乘法计数原理求解即可.

【详解】①羽毛球场安排2人，除甲外的其余4人每人去一个场地，不同安排方法有A：种，

②羽毛球场只安排1人（甲），其余4人分成3组（211）再安排到剩余3个场地，不同安排方法有

种，

所以不同的安排方法有A：+C；A；=24+36=60种.

故选：B.

5.（x+2y+z）”的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（）

A.72项B.75项C.78项D.81项

【正确答案】C

【分析】由多项式展开式中的项为丘"√V,即α+b+c∙=ll（α,6,c∙N0）,将问题转化为将2个隔板和

11个小球分成三组，应用组合数求项数即可.

【详解】由题设，多项式展开式各项形式为依"y"z，且α+6+c=ll（α,6,c≥0）,

故问题等价于将2个隔板和11个小球分成三组，即C⅛=78.

故选：C

6.用0,L2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间

的五位数的个数是()

A.28B.26C.24D.22

【正确答案】A

【分析】分别讨论夹在中间的偶数数字为O和不为O两种情况，结合捆绑法、特殊位置优先的方式来

求解即可.

【详解】当夹在中间的偶数数字为O时，满足题意的五位数个数为A汰；=12个；

当夹在中间的偶数数字不为O时，将其与L3看作一个整体，则有A；A；=4种情况；

再将这个整体和另一个不为O的数字挑选一个排在首位，其余数字任意排序，共有A；A；=4种情况,

则满足题意的五位数有4x4=16个；

，满足题意的五位数共有12+16=28个.

故选：A.

7.设随机变量X~N(O,l)J(x)=P(X..x),其中x>0,则下列等式成立的是()

A./(2x)=2∕(x)B./(-%)=1-∕(Λ)

C.P(X,,x)=2/(X)-ID.P(IXI>x)=2-f(x)

【正确答案】B

【分析】根据随机变量X服从标准正态分布N(0,l),得到正态曲线关于x=0对称，再结合正态分布

的密度曲线定义，由此逐一分析四个选项，即可得到答案.

【详解】解：因为随机变量X~N(0,l),

所以正态曲线关于直线X=O对称，

因为/(x)=P(X..x)(x>0),

所以根据正态曲线的对称性可得/(T)=P(X<x)=l-∕(x),故选项B正确；

因为/(2X)=P(X..2x),2∕(x)=2P(X..x),所以选项A错误；

P(X就)=1-P(Xx)=1-∕(x),故选项C错误；

尸(|X∣>X)=P(X>X或X<-X)=2∕(x),故选项D错误.

故选：B.

8.某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜保鲜分装，以每份10元的价格销售到某生鲜超市，该生

鲜超市以每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格

卖给顾客(根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜全部低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进

货).该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天前8小时的销售量(单位：份)，制成如下表格(注:

x,yeN*,且x+y=30）：

A.{24,25,28,29}B.{26,27,28,29}C.{20,21,22}D.{25,26,27,28)

【正确答案】B

【分析】根据题设表格数据写出购进17份有机蔬菜利润4、购进18份有机蔬菜利润的分布列，进

而求出各自期望，由Eq)>E(〃)及题设条件，求X的范围即可.

【详解】设该生鲜超市购进17份有机蔬菜时利润为3购进18份有机蔬菜时利润为",

则&的分布列如下表所示:

657585

1X90-x

P

ToToo100

1γQQ—Y

所以E(4)=65χ-+75X—+85×--------=83-0.1%.

10100100

〃的分布列如下表所示:

760708090

1X375-%

P

ToIoo20100

jγ3JC_γ

所以£(〃)=60x—+70χ∕-+80χ3+90χ上—=85.5-0.2x.

v71010020100

由题意知，E(ξ)>E(η),即83-0.1x>85∙5-0.2x,解得x>25,

又x+y=3。且χ,y∈N*,则25v%≤29且XWN即X的取值集合是{26,27,28,29}.

故选：B.

二、多选题

9.设A,8为两个随机事件，若P(A)=g,P(B)=;,下列命题中，正确的是()

7

A.若A,B为互斥事件，P(A+B)=-

7

B.P(A+B)≥正

C.若P(AB)=则A,B为相互独立事件

D.若A,B为相互独立事件，则尸(屋B)=J

【正确答案】AC

【分析】根据互斥事件的概率公式，结合相互独立事件的概率公式进行判断即可.

7

【详解】若A,B为互斥事件，P(A+B)=P(A)+P(B)=-,所以选项A正确；

77

若Ac3w0时，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(Ar)B)=--P(AB)<-,所以选项B不正确;

因为P(A)∙P(B)=P(AB),所以选项C正确；

若A,B为相互独立事件，P(A∙B)=P(A)∙P(B)=(1-⅛×1=∣,所以选项D不正确，

故选：AC

10.下列说法中，正确的命题是()

A.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数，•的值越接近于1

B.E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=2Z5(X)

C.已知随机变J服从正态分布尸C<3)=0.6,则P(1<J<3)=O.1

D.以模型y=cd'去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设Z=In)，，将其变换后得到线性方程

z=0.4x+3,则c,%的值分别是舒和0.4

【正确答案】CD

【分析】利用相关系数与线性相关程度的关系可判断A选项的正误，利用期望和方差的性质可判断

B选项的正误，利用正态分布的性质可判断C选项的正误；利用对数的运算可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数，的绝对值越接近于1,故A

选项错误；

对于B选项，由期望和方差的性质可得E(2X+3)=2E(X)+3,Z)(2X+3)=4f>(X),故B选项错

误；

对于C选项，已知随机变&服从正态分布N(1,U),P(⅞<3)=O.6,则P(1<J<3)=O.6-0.5=01，

C选项正确；

对于D选项，在等式y=ce"两边取对数得Iny=InC+辰，即z=fcv+lnc=0.4x+3,

；J：二°：，解得=0,,D选项正确.

Unc=3[c=e

故选：CD

M22n

11.⅛(1-2X)^=a0+aλx+a2x++6Z2wx,贝IJ()

2a

A.OU=IB.ZIql=I

/=O

2

C.∑(C∙)=qnD.

i=0/=I'

【正确答案】AC

【分析】对于A,赋值法求/；对于B,分析奇偶项系数的符号，再应用赋值法求£|q|；对于C,

1=()

2«H

由(1+x)2"=(1+x)"(1+x)"分析含X"项的系数即可证;对于D,赋值法求Z%,结合A、B分析求X%

i=0Z=I

即可.

【详解】对于A：当X=0,则%=1,A正确；

对于B:由展开式通项为*=q,,(-2x)r=(-2)rqχ,

2n

r

故为奇数时ar<0,r为偶数时ar>0,则Z同=att-at+a2-a,+...-¾,,1+a2n,

/=0

当户-1时有个同=9",B错误；

/=0

2ππ,

对于C：由(1+x)"=(l+x)(l+x)=(C>C>+...+C>')(Cθ+C>+...+C>"),

所以含x”页的系数为c：c：+c!∣c：τ+…+c：：c：=©)2+C)2+…+(C；)2=f(c!,)2,

/=0

则S(C)2=CMC正确；

i=0

对于D：当χ=l时有f>j=4+6+...+%,=l,结合A、B分析有EX=/4，D错误；

/=0/=12

故选：AC

12.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=W2的汹(例如IOIO0),其中A的

各位数中%(%=1,2,3,4,5)出现。的概率为鼻，出现1的概率为:，记X=4+/+%+4+%,则当

ɔɔ

程序运行一次时()

A.X服从超几何分布B.P(X=I)=白

C.X的均值E(X)=5D.X的方差O(X)=E

【正确答案】BCD

【分析】根据二项分布的定义可判断A的正误，利用二项分布可判断B的正误，利用公式计算出X

的期望和方差后可判断CD的正误.

【详解】由二进制数A的特点知，每一个数位上的数字只能填0,1且每个数位上的数字互不影响,

故X的可能取值有0,1,2,3,4,5,且X的取值表示1出现的次数，

由二项分布的定义，可得X故A错误；

故。(X=D=C(I)IH=上故B正确；

(OIO91ι∩

因为X85,所以E(X)=5X2=MO(X)=5x.xg=?

故C正确，D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13.己知P(A)=O.6,P(B∣A)=0.5,P(BB)=O.2,那么P(B)=

19

【正确答案】0.38/—

【分析】根据条件概率公式即可求解.

【详解】因为P(A)=O.6,所以尸(N)=O.4,

因为尸(BIA)=⅛^=0∙5,所以P(AB)=0.5P(A)=O.3,

r\A)

因为尸(*)=需

=0.2,所以P(∙B)=0.2P(X)=O.08,

所以P(B)=P(AB)+P(AB)=0.38.

故答案为.0.38

14.已知“为正数，的展开式中各项系数的和为1,则常数项为.

【正确答案】60

【分析】先利用已知条件求出参数。，再展开式的通项公式找出常数项，然后用公式计算即可.

【详解】因为丁|Or-qj的展开式中各项系数的和为1,且“为正数，

所以Vx/-；)=1,则4=2,

故(2X-L)的展开式的通项为小=C：∙(2x严卜I)=(-l)t∙26^*∙C*∙x6^2t,

令6—2人=-2,解得％=4,

所以的展开式中常数项为r或=60,

故60.

15.在某次考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(Io(Uo0).已知参加本次考试的学生有IoOO

人，则本次考试数学成绩在70分至110分之间的学生大约有人.(参考数据：

P{<μ-σ<X<〃+Cr)XO.6827,P^μ-3σ<X<//+3σ)≈0.9973)

【正确答案】840

【分析】利用正态分布的对称性及三段区间的概率求P(7O<X<H0)=P(μ-3σ<X<μ+σ),进而

估计区间人数.

【详解】由题设〃=IoOQ=IO,

所以P(70<X<110)=P(∕∕-3σ<X<∕∕+σ)=玳〃二笫工X<〃+初)+'(匕<τ<X/"er)=。用4,

2

所以考试数学成绩在70分至110分之间的学生大约有I(XX)X0.84=840人.

故840

16.已知集合M={x∣l≤x410,"∈N'},对它的非空子集A,将A中每个元素%都乘以(-1)'再求和,

如A={l,4,7},可以求得和为(T)∣xl+(-l)4χ4+(-l)7χ7=-4,则对〃的所有非空子集，则这些和

的总和为.

【正确答案】2560.

【分析】根据题意，将M中所有非空子集分类考虑，将所有非空子集中的含有1的总个数确定好，

从而可求其和，同理求得含有2,3...10的部分的和，问题即可解决.

【详解】Mɪ{x11≤X≤1(),X∈7V}={1,2...10),

.∙.M中所有非空子集含有1的有10类：

①单元素集合只有{1}含有1,即1出现了C；次；

②双元素集合只有1的有{∣,2},{l,3},...{l,10},即1出现了C；次；

③三元素集合中含有1的有{1,2,3},{1,2,4},...{1,9,10},即1出现了C；次,

⑩含有10个元素{1,2,…,10},出现了C；次;

.•」共出现C；+C；+.“+C；=29,

同理2,3,4,…10都出现2*»次，

二M的所有非空子集中，这些和的总和是

29∙[(-l)'+2×(-l)2+...+(-I)10]=29×5=2560.

故答案为.2560

本题主要考查集合的子集以及组合式的应用，考查了分类讨论思想的应用，意在考查灵活应用所学

知识解决问题的能力，属于难题.

四、解答题

17.已知(W7+3χ2)”的展开式中，各项系数之和比它的二项式系数之和大992,

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式中有理项.

22

【正确答案】(l)90χ6,270户;

(2)90/,243ΛJ0.

【分析】(1)首先利用各项系数之和4"，它的二项式系数之和2"，求出〃=5,写出(杨百+3/『的

二项展开式通项7；“=35-簿""6’，进而得到展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，代入通项

求解即可；

44

(2)由(1)知，7；M=3"'C；J)一丁，则展开式中有理项即为Io-Ir为有理数，此时r=O,厂=3,

进而求出展开式中有理项即可.

【详解】(1)依题意，令x=l,则二项式各项系数之和为(JF+3X12)"=4",

又展开式中各项的二项式系数之和为2"，

4"-2"=992,即(2"丫-2"-992=0,

解得2"=-31（舍去）或2"=32,二〃=5,

.∙.(VX7+3X2)的二项展开式通项&I=G(M7J(3χ2广=35TqXm丁,

由于〃=5为奇数，••・展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，

53lr36

即I=35-2CU"一产=270户,τi=3^C^""=90X；

44

5rr

(2)由(1)知，η,+l=3-q√°^-则展开式中有理项即为1。-§厂为有理数，

50llr0

，当「=。时，T1=3^CθΛ'^°=243√,

当r=3时，(=90χ6,

，展开式中有理项为90χ6,243XIO∙

18.如图是某采矿厂的污水排放量y(单位：吨)与矿产品年产量X(单位：吨)的折线图:

(2)并据(1)的结果判断是否可用线性回归模型拟合y与尤的关系？若可用线性回归模型拟合y与X

的关系，请建立y关于X的线性回归方程，并预测年产量为10吨时的污水排放量.若不可用线性回

归模型拟合y与X的关系，请说明理由？(若ld>0∙75,则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟

合)

χjf

∑(,-)(yi-y)∑χiyi-nχy

r

相关公式=二,，=TJn一

Jtl(XLX)∑(y.-y)JtlXiJ∑y"~y

VZ=Ii=lV/=IV»=1

〃/〃__

.Σ(均-矶y。)Σxiyi-nxy

参考数据：√03≈0.55,√(λ9≈0.95.回归方程§=队+6中方=-----——=∙2⅛---------

Z=Ir=l

^>=y-%x

【正确答案］⑴“095；

⑵可用线性回归模型拟合V与X的关系；3=0∙3X+2∙5;5.5

【分析】(1)代入数据，算出相关系数「；

(2)将r的绝对值与0.75比较，即可判断可用线性回归模型拟合了与X的关系，从而求出回归方程,

求出当X=Io时的值，即为预测值.

【详解】(1)由折线图可知：x=∣×(2+4+5+6+8)=5,γ=∣×(3+4+4+4+5)=4,

5

Za-可(％-59=3+0+0+0+3=6,

I=I

力(七一5)2=9+1+0+1+9=20,∑(y,-y)2=1+0+0+0+1=2,

Z=I/=J

所以"S=网'°电

(2)由(1)可知，”0.95,

因为Ir∣>0.75,所以可用线性回归模型拟合y与X的关系.

^6ʌ

b=—=0.3,a=y-bx=4-0.3×5=2.5)

所以回归方程为a=0∙3x+2∙5,

当X=I()时，9=5.5,

所以预测年产量为W吨时的污水排放量为5.5吨.

19.在2023年春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众

度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销、直

播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系.

(1)现对某时间段10()名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据：

选择甲公司直播间购物选择乙公司直播间购物合计

用户年龄段19-24岁4050

用户年龄段25-34岁30

合计

请将表格补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关？

(2)若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能地从甲、乙两家中选

一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一

天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为().8,求小李第二天去乙直播间购物的概率.

n{ad-bc)^

参考公式：Z2κ其中"=α+∕j+c+d.

(α+6)(c+d)(α+c)(6+d)

/临界值表:

p(∕ez)0.100.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

【正确答案】(1)列联表见解析，有，理由见解析

【分析】(I)根据题中信息完善2x2列联表，计算出/的观测值，结合临界值表可得出结论；

(2)记事件A:小李第一天去甲直播间，事件8:小李第二天去甲直播间，利用全概率公式可求得事

件8的概率.

【详解】(1)解：2x2列联表如下：

选择甲公司直播间购物选择乙公司直播间购物合计

用户年龄段19-24岁401050

用户年龄段25-34岁203050

合计6040100

所以，/J00X叱3。-2。XIO)L6.667>10.828,

502×60×40

所以，有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关.

(2)解：记事件A:小李第一天去甲直播间，事件8:小李第二天去甲直播间，

则P(A)=P(可=；，P(BlA)=得，∕5(ψ)=p

由全概率公式可得P(B)=P(A)∙P(8∣4)+P0卜尸(8同=gxV+gx[=∙∣.

3

因此，小李第二天去乙直播间购物的概率为二.

20.猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.规则如下：参赛选手按第一关，第二关,

第三关的顺序依次猜歌名闯关，若闯关成功依次分别获得猜公益基金IOoo元，2000元，3000元，当

选手闯过一关后，可以选择游戏结束，带走相应公益基金；也可以继续闯下一关，若有任何一关闯

关失败，则游戏结束，全部公益基金清零.假设某嘉宾第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分

别是?，I.ɪ.该嘉宾选择继续闯关的概率均为;，且各关之间闯关成功与否互不影响.

4322

(1)求该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率；

(2)求该嘉宾获得的公益基金总金额的分布列及均值.

【正确答案】(1)=；(2)分布列见解析，均值为1125元.

16

【分析】(1)事件A="第一关闯关成功且获得公益基金为零”，4="第一关闯关成功第二关闯关失败”,

4="前两关闯关成功第三关闯关失败”，

求出P(A)与P(A)，利用互斥事件的加法公式即可得P(A)；

(2)写出该嘉宾获得的公益基金总金额X为随机变量的所有可能值，计算出对应的概率，即可得分布

列及均值.

【详解】(1)事件A="第一关闯关成功且获得公益基金为零”，4="第一关闯关成功第二关闯关失败”,

4="前两关闯关成功第三关闯关失败”，

显然A/与Az互斥，S.A=A∣+A2,

3121312111

P(A)=W∙5∙(iγ)=g,尸(4)=屋5§5•。-5)=而，

113

P(A)=P(Λ÷A)=P(Λ)÷P(A)=-+-=—,

118IoIo

所以该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率为白3；

Io

⑵该嘉宾获得的公益基金总金额X为随机变量，X的可能值为0,1000,3000,6000,

37313

P(X=O)=Q——)+P(A)=-,P(X=IOOO)=——=-

416428

31211312111

P(X=3000)=-------------=-,P(X=6000)=-----------------=—,

423284232216

所以X的分布列为:

X0100030006000

73ɪ1

P

记8816

7311

X的均值为：E(X)=O•—+1000•-+3000•-+6000•—=1125(元).

168816

21.某药厂研制了治疗某种疾病的新药，该药的治愈率为p,现用该药给10位病人治疗，记被治愈

的人数为X∙

(1)若X=8,从这10人中随机选2人进行用药访谈，求被选中的治愈人数y的分布列;

⑵已知Pe(0.75,0.85),集合A=M概率P(X=A)最大｝,且A中仅有两个元素，求E(X).

【正确答案】(1)答案见解析

90

⑵一

Il

【分析】（I）根据超几何分布的概率计算，可求得概率，即得分布列；

（2）根据二项分布的概率公式列出不等式组，求得满足集合A的人的范围，结合条件确定P的值,

继而根据二项分布的均值求得答案.

【详解】（1）由题意知，y的所有可能取值为o,ι,2,

则”=。）=袅〜"=D=等=/"=2）璀噜

J】。“y（）“J。”

P(X=Z)WP(X=Z-I)

⅛'P(X=k)≥p1x=k+∖y

CM(I-P严≥C"τ(l-p)∣τ