中学教资考试《数学学科》高频考点

中学教资考试《数学学科》高频考点

目录

第一模块数与代数........................................................................1

第一章方程...........................................................................1

第二章函数...........................................................................4

第三章不等式.........................................................................5

第二模块图形与几何......................................................................6

第一章解析几何.......................................................................6

第三模块统计与概率......................................................................9

第一章统计...........................................................................9

第二章概率..........................................................................11

第四模块高等数学.......................................................................16

第一章极限..........................................................................16

第二章导数与微分....................................................................20

第三章积分..........................................................................23

第四章空间解析几何与向量代数.......................................................27

第五章多元函数微分..................................................................33

第六章级数..........................................................................35

第五模块线性代数.......................................................................37

第一章行列式........................................................................37

第二章矩阵..........................................................................38

第三章线性空间与线性变换...........................................................41

第四章向量组的线性相关性...........................................................42

第五章线性方程组....................................................................44

第六章正交矩阵......................................................................46

第六模块概率论与数理统计..............................................................47

第七模块数学史.........................................................................50

第八模块课程与教学论..................................................................53

第一章义务教育课标..................................................................53

第二章高中课标......................................................................56

第三章数学教学论....................................................................59

第四章案例分析......................................................................62

第五章教学设计......................................................................64

第一模块数与代数

第一章方程

【高频考点11二元一次方程组的解法

解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程，

再解出未知数。

（1）代入消元法

将方程组中的一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中去，这就

消去了一个未知数，得到一个解。

（2）加减消元法

利用等式的性质，使方程组中两个方程中的某一个未知数的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加

（减），以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。

【经典例题】

1.简述二元一次方程组有哪些解法，并对其步骤进行简单说明。

【参考答案】

①代入消元法；

用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：

（1）在方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个

未知数；（2）将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一

元一次方程，求得一个未知数的值：（4）将这个求得的未知数的值再代入关系式，求出另一个未知数的值；

（5）写出方程组的解。

②加减消元法

用加减法解二元一一次方程组的一般步骤：

（1）确定消元对象，并把它的系数化成相等或互为相反数的数：（2）把两个方程的两边分别相加或

相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4）

将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值；（5）写出方程组的解。

【高频考点2】高次方程的解法

1.±1判根法

在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于0,则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次

项系数之和，则-1是方程的根。求出方程的±1的根后，将原高次方程用因式分解法分别除以（X-I）或（x+l）,

1

降低方程次数后依次求根。

注：常数项算在偶次项系数当中。

2.常数项约数求根法

根据定理：“如果整系数多项式α∕"+%τx"'+…+qx+α。可分解出因式「X-。，即方程

。,了'+。1£1+―+。/+即=0有有理数根多(尸、。是互质整数)，那么，P一定是首项系数对的约数，

。一定是常数项4的约数”。常数项约数求根法有两种类型：第一种类型：首项系数为1。对首项(最高

次数项)系数为1的高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，

就是方程的根。依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求解；第

二种类型：首项系数不为K对首项系数不为1的高次方程，首先以首项系数为“公因数”提取到小括号

外，然后对小括号内的方程的常数项列出公约数。特别注意此时代入方程验算的值一定是?而不是。，因

为此时原方程的因式是网-Q,其余的解法步骤同首项系数为1的解法步骤相同。

3.倒数方程求根法

定义:系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。如：αx4+川+ex?+公+e=0,其中，a=e,

b=d或者a=-e,b=-d。

性质1：倒数方程没有零根；

性质2：如果。是方程的根，则上也是方程的根；

a

性质3：奇数次倒数方程必有一个根是-1或者1,分解出因式(X-I)或(X+1),降低一个次数后的方程

仍是倒数方程。

【经典例题】

1.求解方程12X4-56X3÷89χ2-56x+12=0的实数根。

321

【答案】XA=-fX2=—yX3=2,X4=—

【解析】原方程化为1214+1)-56俨+，+89》2=0,显然，上述方程中x≠0,两边除以∕≠o得

12^X2+4)—56(%+，)+89=0ox+-=y,则/+-!^=(χ+∙l)-2=j?一2,代入上面方程得

2

12(√-2)-56y+89=0,BP12y-56y+65=0,即(6y-13)(2y—5)=0,/.ʃɪ=y,y2=10由M=V得

2

I1a32515

,=x1

x+-=,即(2x—3)(3x-2)=0,..x1=ɪ,x2y°由歹2=5得*^———>即2』—5x+2=O,即

1321

(x—2)(2X-I)=O巧=2,x4=-o故原方程的根为W=],/当=2,X4=5。

2.解方程4X4-18X3+28X2-18X+4=0的实数根。

【答案】1；22

2

【解析】由题意可知xW0,原方程化为T+28X--18*+4=0,可得_18x+28-更+3=O,

XXX

则4i+I1-18(x+」]+28=0,令x+L=/,x2+-^-=t2-2,则4(*-2)-18/+28=0,化简得

4/—18/+20=0,解得α=2,t2=—o当/=2时，X+—=2,则/—2x+l=0,解得西=/=1;当Z=*

2X2

2

时，X+'=*,2x-5x+2=O,解得巧=2,x4=-o故原方程的解为1；2」。

%23422

【高频考点3】绝对值方程

L定义：绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对值方程。

2.解题步骤：去掉绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的方程来解。

3.不同类型绝对值方程的解法：

(1)形如何+b∣=c(α≠O)的绝对值方程的解法：

①当c<0时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；

②当C=O时，原方程变为IaX+b∣=0,即〃x+b=O,W∙Wx=--;

③当c>0时，原方程变为QX+b=C或QX+b=-c,解得X=-~~■或X='--o

aa

(2)形如∖ax+b∖=cx+d(ac≠0)的绝对值方程的解法：

①根据绝对值的非负性可知cx+c∕≥O,求出X的取值范围；

②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ox+6=ex+d和双+6=-(CX+d)；

③分另Il解方程QX+力=cx+d和OX+b=—(CX+d)；

④将求得的解代入cx+d≥O检验，舍去不符合条件的解。

(3)形如IQX+"=∖cx+d∖^ac≠0)的绝对值方程的解法：

①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ox+6=CX+d或ar+b=-(CX+d)；

②分别解方程QX+6=CX+c∕和or+ft=-(ex+J)o

3

(4)形如∖x-a∖+∖x-h∖=c(a<h)的绝对值方程的解法：

①根据绝对值的几何意义可知：∖x-a∖+∖x-h∖≥∖a-h∖；

②当c<∣4-4时，，方程无解；当c=∣"b网，，方程的解为α≤x<Z?;当c>∣4一”时，分两种情况：当

时，原方程的解为X="+'-C；当χ>z,时，原方程的解为χ="+''+c,

22

【经典例题】

1.方程∣x+5∣-∣3x-7∣=l的解有()个。

A.lB.2

C.3D.无数

【答案】B

7117

【解析】当x≥,时，原方程可化简为x+5-3x+7=l,解得X=U符合题意；当-5<X<,时.，原方

323

T,

程可化简为x+5+3x-7=l,解得x=±符合题意；当x≤-5时，原方程可化简为r-5+3x-7=l,解得

4

ITI]H

X=-1,不符合题意；所以X的值为U或即方程的解有2个。故本题选B。

222

2.解绝对值方程卜-2|+卜+7∣=11。

【答案】x=-8或x=3

【解析】当X≤-7时，X—2<O,X+7≤O,原方程化为：(2-x)+(-x-7)=11,解得：x=-8；当-7<x≤2

时，x-2<0,x+7>0,原方程化为(2-x)+(x+7)=ll,该方程无解；当x>2时，x-2>0,x+7>0,

原方程化为(x-2)+(x+7)=ll,解得：χ=3o即原方程的解为X=-8或X=3。

第二章函数

【高频考点】函数的单调性

在公共定义域内：

增函数/(x)+增函数g(x)是增函数；

减函数/(x)+减函数g(x)是减函数；

增函数/(X)-减函数g(x)是增函数；

减函数/(X)-增函数g(x)是减函数。

4

【经典例题】

1.设函数/(x),g(x)的定义域都为R,且/(x)是增函数，g(x)是减函数，则下列结论正确的是()0

A∙∕(x)∙g(x)是增函数BJ(X)∙g(x)是减函数

Cj(X)-g(x)是增函数D.∕(x)+g(x)是减函数

【答案】C

【解析】根据单调性法则：①增函数+增函数=增函数；②减函数+减函数=减函数；③增函数-减函数

=增函数；④减函数-增函数=减函数。故本题选C。

2.设函数/(x)是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是()。

A√(x)+/(τ)是偶函数且是增函数B.∕(x)+∕(τ)是偶函数且是减函数

CJ(X)-/(-x)是奇函数且是增函数D.∕(x)-∕(-x)是奇函数且是减函数

【答案】C

【解析】设F(X)=/(x)-∕(-x),∙.∙∕(x)是定义在R上的增函数，.∙∙∕(-x)是定义在R上的减函数,

从而-y(τ)是定义在R上的增函数，,F(x)=/(x)_/(r)是在(_8,+8)上的增函数，∙.∙F(x)=∕(x)-

ʃ(-ɪ),.∙.F(-x)=∕(-x)-∕(x),贝UF(x)=-F(-x),二函数F(X)为奇函数，且在(-8,+8)上的增函数。

故本题选Co

第三章不等式

【高频考点】重要不等式

(1)设4、b是两个正数，则空2称为正数。、b的算术平均数，而称为正数。、b的几何平均数。

2

(2)均值不等式：若α>0,⅛>0,则α+b≥2疝，即厘≥√^,当且仅当α=b时，"=”成立。

2

(3)常用的基本不等式：a2+b2≥2ab,ab≤^γ-;H≤(等J,且卢≥(等J。

【经典例题】

1.(1)已知x>0,y>0,z>0,证明：与+W+4∙≥,+L+L.

XyzXyz

(2)已知α>l,ft>l,c>1,且QbC=8,Iog6a∙Iog2a+Iogcb∙Iog2b+Iogflc∙Iog2c≥k

求实数%的最大值。

5

【答案】（1）证明见解析；（2）3

【解析】(1)证明：由χ>o,v>o,得斗+1≥2,库工=2,即斗+L≥2,同理二+1≥2,W+L*2,

XyNXyXXyXyzyzxz

以上三式相力口，得斗+W+^+L+L+1≥2+2+乙（当且仅当x=y=z时取等号），故∙⅞+二+2

XyzyzXyzXxyz

≥L+L+1°成立。

Xyz

-lo-g-；--a十Jog；,b十,噫,C_log82十∣IogC2十、log。2

(2)IOgZ)a∙log2a+logt.b∙log2b+IOgaCIog2C根据

Iog2blog,clog,alog：2log；2log；2

11

ubw++++=log*,÷log/+logc=log2欣=log?'=3,所以，k<3,

⅞l⅞l⅞t⅛I⅞J⅛I22

故实数左的最大值为3。

2.证明不等式：a,b,c∈R,a4÷⅛4+c4≥abc(α+⅛÷c)ŋ

【答案】见解析

44224422444222222

【解析】•・•/+/≥2",b+c≥2bc,c+a≥2ca9：.2(a+6+c)≥2(α⅛+bc+ca),

4442222222222122222

BPa+⅛+c≥ab+bc+cao又/b?+b/≥2ab%,bc+ca≥2abc,ab+ca≥2abe≡Λ

2^a2b2+b2c2+c2tz2)≥2{ab2c+abc2+a1be),KPa2b2+b1c2+c2tz2≥abc+A+c),/.d4+A4+c4≥

Qbe,(α+6+c)o

第二模块图形与几何

第一章解析几何

【高频考点1】圆的方程

1.标准方程：（x-a）2+（ʃ-6）2=r2,其中，（〃，h）——圆心，r——半径。

2.一般方程：X2+y2+Dx+Ey+F=0,(θ2+E2-4尸>0)

DEDZ

-----9-----圆心，γ=^:1-ʧ一半径。

222

x=a+rcosθ,、L、W

3.参数方程:.,(ab)---圆l心，r----半径r。

y=b-^-rsinθt

6

【经典例题】

若/,8两点分另IJ在圆/+/-6x+16V-48=0和χ2+∕+4χ-8N-44=0上运动，则/,8两点距

离的最大值是()。

A.13B.32

C.36D.38

【答案】B

【解析】本题考查圆上的动点问题。将圆V+∕-6x+16y-48=0化为标准方程，得

(X-3)2+(J^+8)2=121,所以该圆是以M(3,-8)为圆心,半径q=11的圆。同理可得J+/+4x-8y-44=0

的圆心为N(-2,4),半径4=8,所以两圆的圆心距为Nl=J(3+2)2+(-8-4>=^,因为工、g两点分

别在圆M、圆N上运动，所以当/、B在直线AW上，且M、N两点在4、8之间时取最大值。此

时，1481.=^+^+1^5=11+8+13=32°故本题选B。

【高频考点2】圆锥曲线

1.椭圆

χ2V2

(1)标准方程：^τ+⅛=l(a>6>0)

ab

(2)定义域：{x∣-α≤x≤α};值域：{y∣-b≤y≤6};

(3)长轴长2α,短轴长26,焦距2c,a2=b2+C2；

2

(4)准线方程：x=±<°

C

2.双曲线

(1)标准方程：—7-~y=ɪ(^>0,⅛>0);

(2)范围：≤-α}；{y∣y∈R};

(3)实轴长2α,虚轴长26,焦距2c,c2=a2+b2；

(4)准线方程：x=±-yO

3.抛物线

(1)标准方程：y2=2px(p>0),P为焦参数；

⑵焦点：通径MM=2p;

(3)准线：x=-E；

2

7

（4）焦半径：∣^F∣=x1+ɪ,过焦点弦长∣4δ∣=玉+々+p。

【经典例题】

已知抛物线y=1χ2,如图，抛物线在点尸（X。，K））（Xo≠0）处的切线尸7与y轴交于点”,点光源放在

抛物线焦点尸（0,1）处，入射光线FP经抛物线反射后的光线为尸。，即NFPM=NQPT,求证：光线P。与

y轴平行。

【答案】（见解析

【解析】证明：如图，因为/=gx,代入与可得k=g/，根据点斜式方程可得切线方程为y=半∙X-手,

即当X=O时，y=Λχl=-y0,所以FN=为+1。过尸点做准线的垂线交于点E,设尸点切线方程交y轴

于M,即尸E〃歹轴，连接ME,因为PF=PE=M）+1,即可得PF=PE'=EW=%+1，所以在AFN尸中，

NFMP=NFPM,又因为尸E〃夕，所以NFMP=NMPE,由已知可知NFPM=NQP7,综上可得

NMPE=NQPT,因此AP、。三点共线，故尸0平行于y轴。

8

第三模块统计与概率

第一章统计

【高频考点】统计学中的几个基本概念

(一)平均数

一般地，如果有〃个数X],孙…X"，那么，了=L(Xl+X?+…+工")叫做这〃个数的平均数，亍读作‘‘x拔"。

n

(二)中位数

L定义：将一组数据按大小顺序依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)

叫做这组数据的中位数。

2.中位数的算法：设样本有〃个数据，按大小顺序依次排列后，

(1)〃为奇数，第"ɪ个数据为中位数；

2

(2)〃为偶数，第四与巴+1个数据的平均数为中位数。

22

3.特点：

(1)中位数仅与数据的排列位置有关，不受某些数据变动的影响；

(2)当一组数据中的个别数据变动较大时，中位数能较好的反映数据的集中趋势。

(三)样本方差

样本中所有个体现，々，…，斗与样本平均数斤的差的平方的平均数叫做样本方差，用S?表示。方差反

映了一组数据的波动情况。方差越大，数据的波动越大，越不稳定；方差越小，数据的波动越小，越稳定。

2ΛX2

s=1[(x∣-X)^+(x2-X)^+...+(O-^)J

常用结论：

若”的平均数为于，贝的平均数为衣+。

x∣,x2,,XIJ(OXl+6),(αx2+⅛),,(OX“+6)6

【经典例题】

1.在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分为10分的选做题，学生可以从48两道题目中任

选一题作答。某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划

从900名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名学生的选做题的成绩随机编号

为OO1,002,900«

(1)若采用随机数法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读数，每

次读取三位随机数，一行数读完之后接下一行左端写出样本编号的中位数。

9

052693706022358515139203515977

595678068352910570740797IO8823

099842996461716299150651291693

580577095151268785855487664754

733208111244959263162956242948

2699616553583778807042IO506742

321755857494446716941465526875

87593622412678630655130827Ol50

1529393943

（2）若采用分层随机抽样，按照学生选择Z题目或8题目，将成绩分为两层，且样本中选择/题目的

成绩有8个，平均数为7,方差为4；样本中选择8题目的成绩有2个，平均数为8,方差为1。试用样本

估计该校900名学生的选做题得分的平均数与方差。

【答案】（1）667；（2）平均数为7.2；方差为3.56

【解析】（1）由题意知：读取的编号依次是512,916（超界）,935（超界）,805,770,951（超

界），512（重复），687,858,554,876,647,547,332。将有效的编号由小到大排序，得332,

512,547,554,647,687,770,805,858,876,样本编号的中位数为竺上竺ɪ=667。（2）

2

设样本中选择N题目的成绩的平均数为亍，方差为S?;样本中选择8题目的成绩的平均数为歹，方差为「，

则方=7,S2=4,歹=8,t2=∖,.∙.样本的平均数为一ɪ-于+〃-p=&x7+』x8=7.2,方差为

8+28+2"55

『yx[s2+（x-7,2）2][r+（＞_7.2『卜》[4+（7-7.2）2卜U[l+（8-7.2H=3.56。.•.该校900

名学生的选做题得分的平均数约为7.2,方差约为3.56。

2.甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人，甲班的平均成绩为80.5分，方差

为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360。那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多

少？

【答案】平均分是82.5分，方差为442.78

【解析】设甲班50名学生的成绩分别是q,出，…，牝。，那么甲班的平均成绩、权重和方差分别为

丽=妇生t⅛=8O.5（分），WL"，J=8口OW依二XJ+…+侬。-J=500。设乙班

50490R50

10

40名学生的成绩分别是件为…，b40,那么乙班的平均成绩、权重和方差分别为,=）+:+…+%=85

‘分）‘明糕’SLT）FUr→（D=3600如果不知道…..…和

砧％只知道甲、乙两班的平均成绩、权重及方差，全部90名学生的平均成绩应为

X=M⅛¾p+WILXL=×80.5+×85=82.5（分）。而全部90名学生的方差为s?=再[s备+品-可〔+

22

Wz,[⅛+（xz,-x）j«因此，52=%%,+（弓,_可2]+卬乙1方+任乙_亍）2]=I^X[500+（80.5-82.5）]+

40「………∖2l50×500+50×4+40x360+40x6.25,“一

—×[360+（85-82.5）J=----------------------------------------------≈442.78。

第二章概率

【高频考点1】古典概型

1.特点

（1）所有可能出现的基本事件为有限个:

（2）每个基本事件发生的可能性相等。

2.概率公式

（）=事件[包含的基本事件的个数=机

（所有基本事件的个数^7

【经典例题】

1.甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成

两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（）。

【答案】D

【解析】根据题意，分两种情况讨论：①甲、乙在同一组：[=1；②甲乙不在同一组，但相遇的概

3

率：/ɔ=-×l×l=lo则甲、乙相遇的概率为尸=1+1=1。故本题选D。

23226362

2.盒子中装有编号为1-7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的标号之积为偶数的概率为（）。

【答案】C

11

【解析】7个球选出编号之积为偶数，则有两种情况，一种是从3个偶数中选择两个，概率为与=1,

C；7

另一种是从3个偶数中选择一个‘4个奇数中选择一个‘概率为C1吾C1=4,'则所求概率为1;+54=与5。故本

题选C。

【高频考点2】条件概率

1.概念：对事件Z和8,在已知事件8发生的条件下，事件/发生的概率，称为8发生时才发生的条

件概率，记为P(H8)。

2.概率公式：P",)=';;1,其中尸(8)>0。

【经典例题】

1.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为当下雨的概率为耳，既吹东风又下雨的概率

为三。则在吹东风的条件下下雨的概率为()。

98

-B-

1H

A.C

28

--

5D.9

【答案】D

【解析】设事件4表示“该地区四月份下雨”，8表示“四月份吹东风”，则尸(∕)=L11,P(B)=-O,

8

8

故

本选

P(ZB)=卷，从而吹东风的条件下下雨的概率为P(A∖B)=:胃-30=-题D

99O

30

2.设M,N为随机事件，P(N)>0,且条件概率P(MN)=1,则必有()»

A.P(Λ∕UN)>P(M)B.P(Λ∕UN)>P(N)

C.P(Λ∕UN)=PMD-P(MUN)=P(N)

【答案】C

【解析】由已知可得PwM=黑?

=1,所以P(MN)=P(N),所以P(MUN)=

P(M)+P(N)-P(MN)=P(M).故本题选C。

【高频考点3】离散型随机变量

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L概念：对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机

变量。

2.离散型随机变量的分布列

设离散型随机变量J可能的取值为不吃,…X,,…，J取每一个值x,(i=l,2,…)的概率为P(J=X,)=p,,

则随机变量0≤p,≤1,i=1,2,…的概率分布(简称。的分布列)为：

•••...

演X2Xi

…•••

P4P2Pi

分布列具有如下性质：

(1)0<p.<1>z=L2,∙∙∙；(2)pi+P2^—=1。

3.离散型随机变量的期望(均值)：E(g)=p吊+p/?+…+P占+…

4.离散型随机变量的方差：

。⑶=PGi-E(/Y+Pi&-£C))2+…+P,(x,-E(⅞))^

【经典例题】

1.已知随机变量J~N(2,4),则叫€+1]=()。

A.1B.2

C.0.5D.4

【答案】A

【解析】∙.∙J~N(2,4),.∙.D⑷=4,.•.。(*+1]=[。团=1。故本题选人0

2.设X为随机变量，且X〜8(〃，p),若随机变量X的数学期望E(X)=1,D(y)=∣,则P(X=2)

()O

旦D128

A.B.-----

3125625

C.—D.21

25625

【答案】B

【解析】由E(Ar)=1,f>(X)=g,贝,初(I-P)=*，解得〃=5,p=g,P(X=2)=CH-

[1一，丫=四。故本题选B。

(5)625

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【高频考点4】独立事件

(-)相互独立事件

1.概念：事件力的发生对事件8的发生没有影响，同样事件8的发生对事件/的发生也没有影响，则

这两个事件称为相互独立事件。

2.特征:如果事件止和8独立,则尸(45)=P(Z)P(8)。

(二)独立重复试验

1.概念：一次试验中，事件/发生的概率为p。相同条件下，独立、重复进行了"次试验，称作〃次独

立重复试验。

2.概率公式：〃次独立重复试验中，事件力发生的次数记为g(<=O,l,…，〃)，则事件/恰好发生4次的

k

概率为:P(ξ=k)=CPYI-p)"'(0≤λ≤n)o

此时称随机变量J服从二项分布，记作J〜8(〃，0)。

【经典例题】

1.甲、乙两人向同一个目标射击，击中目标的概率分别为0.6、0.7。假定两人同时射击时击中与否是相

互独立的。若每人射击一次，求：

(1)两人都中靶的概率；

(2)甲中乙不中的概率；

(3)目标被击中的概率。

【答案】(1)0.42(2)0.18(3)0.88

【解析】记事件/为“甲击中目标”，事件3为“乙击中目标”，则两人都中靶记为ZB,甲中乙不

中记为Z7，目标被击中记为C,由两人同时射击时击中与否是相互独立的可得：(1)尸(48)=尸(N)•尸(8)

=0.6x0.7=0.42；(2)P(^β)=P(^)∙P(β)=0.6x0.3=0.18：(3)P(C)=1-P(^)∙∕5(β)=l-0.4×0.3=0.88。

2.从1,2,3,4,5,6这六个数字中，每次任意取出一个数字，有放回地取两次。设事件”为“第一

次取出的数字为4”，8为“两次取出的数字之和等于7”。

(1)用合适的符号写出样本间；

(2)判断力与8是否相互独立。

【答案】(1)Ω={(z,y)∣∕,y=1,23,4,5,6)；(2)是

【解析】(1)用(i,力(i,)=1,2,3,4,5,6)表示有放回地取两次数字所得的一个结果，则样本空间为

Ω={(/,y)∣∕,y=1,2,3,4,5,6)；(2)由(1)知基本事件总数〃=36。又Z={(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(45),(46)},

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8={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}».∙.P(J)=A=I,P(B)6、。而48=((4,3)}o.∙.