高中数学新课标人教A版必修第一二册教材解读第九章统计章整体解读

PAGE第九章统计统计学有多种不同的定义，综合来说，统计学是收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学．作为专门研究有效收集和分析数据的科学，可以说凡是一个实际问题涉及数据处理，都应该利用统计学方法去分析和解决．统计方法不仅有用，对于理解周围的世界经常也是不可或缺的，它提供了对许多现象获得新见解的方法．现在统计学已深入到科学、技术、工程和现代社会生活的各个方面．尤其当我们进入大数据时代和“互联网＋”时代，作为研究数据分析的重要数学技术，统计学方法在相关领域的应用已成为数学应用的主要方法．统计素养已成为一名效率公民的基本素养．从新中国成立以来，在中学数学课程中，统计经历从无到有、从描述统计到推断统计、从选修变为必修的过程，其要求和地位都在不断提高．《课程标准2021年版》把“概率与统计”与“函数”“代数与几何”并列作为高中数学课程内容主线之一，并贯穿必修、选择性必修和选修整个数学课程．除了在初中统计基础上进一步学习数据收集和整理的方法、数据直观图表的表示方法、数据统计特征的刻画方法外，要求能用样本的统计特征推断总体的统计特征，包括单变量总体集中趋势参数、离散程度参数、取值规律和百分位数的估计，双变量总体的相关关系、一元线性回归模型和独立性的推断．相比初中统计以描述统计为主，高中统计以推断统计为主，更加强调数据的随机性．在统计的学习过程中，应让学生感悟在实际生活中进行科学决策的必要性和可行性；体会统计思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的差异；通过实际操作、计算机模拟等活动，积累数据分析的经验．通过统计的学习，还应帮助学生建立正确的随机观念，养成通过数据来分析问题的习惯，学会抓住事物的主要因素等，发展数据分析、数学建模、逻辑推理、数学运算和数学抽象等数学学科核心素养，实现统计的教育价值．一、本章内容安排统计是通过数据分析来解决问题的，数据分析的过程体现了统计解决问题的基本思路．因此，让学生了解这个过程，对整体把握统计学科的特点，理解具体的数据分析方法和应用数据分析方法解决实际问题都是非常重要的．数据分析的过程存在多种不同的划分，《课程标准2021年版》对数据分析过程的划分如下：虽然在不同的数据分析过程划分中，划分的环节数、每个环节提法等不完全一致，但都遵循从收集数据到分析数据再到得出结论的基本过程．本章内容主要根据数据分析的基本过程进行安排，把学习内容分为三节．“9．1随机抽样”主要学习收集和整理数据的方法；“9．2样本估计总体”主要学习分析数据的方法，包括数据直观图表的表示方法和数据统计特征的刻画方法等，以及根据样本数据的统计特征估计总体的统计特征；“9．3统计案例公司员工的肥胖情况调查分析”是对前两节所学知识的综合应用．本章的知识结构如下：二、突出数据分析的基本过程，在过程中学习数据分析方法为了达到有效分析数据的目的，统计中会用到各种数据分析的方法，每个数据分析环节都有各自专属的数据分析方法，例如数据收集有随机抽样方法，数据分析有各种数字特征等，这些方法构成了统计研究和学习的主要内容．虽然很多具体的数据分析方法是针对数据分析过程中的某一个环节的，但其方法的合理性要放在整个数据分析过程中去理解．例如，一种抽样方法好坏要通过其抽取的数据对总体估计的效果进行评价，一个数字特征的选取合适与否取决于是否达到最终的统计目的等．因此，要理解数据分析方法的合理性，不能只针对某个环节孤立地进行学习，而应该放在数据分析的过程中进行学习．本章不管是抽样方法的学习，还是样本估计总体的学习，都尽可能通过具体案例的完整解决，让学生经历数据分析的基本过程，在基本过程中来学习数据分析的方法，理解数据分析的思路，并运用所学知识和方法解决实际问题．例如，简单随机抽样方法属于数据收集的内容，教科书并不是直接介绍简单随机抽样方法的定义和不同实现方法，而是设置了以下的问题：问题1家具厂要为树人中学高一年级制作课桌椅，事先想了解整个年级学生的平均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度．已知树人中学高一年级有712名学生，如果要通过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高，应该怎么抽取样本？这是一个以估计总体均值为目的的抽样调查问题，但问题的解决需要经历数据分析的整个过程．在这个问题的解决过程中，不仅学习简单随机抽样方法的实现，还要通过总体均值和样本均值的比较，评价简单随机抽样方法的效果，体会简单随机抽样方法的特点．三、结合典型案例学习数据分析方法统计学是一门应用性很强的学科，它的概念和方法产生的动力基本都来自解决实际问题的需要．与建立在概念和定义基础上，通过演绎方式进行研究的数学其他分支不同，统计学是建立在数据基础上，通过归纳方式研究随机现象，通过数据分析解决问题．因此，统计的学习有别其他数学分支，需结合具体案例，由具体问题驱动学习，在问题的解决中体会数据的随机性，学习统计的概念和方法，积累数据分析的经验．而且结合具体案例还可以克服由于概念和方法的抽象性带来的理解困难．因此，结合具体案例介绍概念和方法是统计教科书编写的一个主要原则．由于统计的概念和方法都有各自的特点和适用范围，因而根据不同内容的特点，选择典型的案例就成为一个关键的问题．在中学阶段，案例的典型性不仅要体现统计概念、方法引入的必要性和解决问题的适切性，案例的背景还要符合学生的认知特点，有助于理解相关的概念和方法．教科书要尽量采用学生熟悉的案例背景，通过设计恰当的统计问题，在问题的解决中学习有关统计知识．例如，教科书在学习具体的抽样方法前，通过全国人口调查这个案例引入统计调查中涉及的一些基本概念．一方面，全国人口调查是学生比较熟悉的真实统计调查案例，让学生感受统计学科的重要性和应用性．另一方面全国人口调查不仅有普查，还有抽样调查，除了可以引入全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量等基本概念外，通过了解全国人口调查实施普查和抽样调查的背景及原因，可以进一步明确两种抽样方式的特点，以及抽样调查的必要性，帮助学生建立和完善有关统计调查的概观知识．这对后续进入具体随机抽样方法的学习是非常必要的．又如，教科书以同一个案例背景贯穿简单随机抽样和分层随机抽样的学习．在简单随机抽样问题1的基础上，教科书在随机分层抽样中设置了以下问题：问题2在树人中学高一年级的712名学生中，男生有326名、女生386名．能否利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法，减少这种“极端”样本的出现，从而提高对整个年级平均身高的估计效果呢？教科书之所以采用“调查一个学校高一年级的平均身高”作为抽样调查的案例，主要考虑在通常情况下，对于一所学校的高一年级的学生数，既有进行抽样调查的必要性，又有进行全面调查的可行性，即获得总体均值是可行的，这使教科书后续比较样本均值与总体均值，进而评价随机抽样的效果显得比较自然．而两种抽样方法的学习使用同一案例背景，只是改变男生、女生人数这个条件，不仅有利于比较两种抽样方法的效果，而且有利于理解两种抽样方法的联系与区别．四、加强数据分析方法的形成过程，体现方法的合理性在数据分析方法中会用到很多数学的工具，如果不了解数学符号和公式背后的统计思想和数学原理，容易把统计学习变成纯粹的画图列表、公式计算等程序性操作，学生体会不到数据分析方法的合理性．方法引入的必要性，可以通过合适的案例背景来体现，而体现方法的合理性，则需要加强从直观想法到数学表达的转化过程，这个过程也是积累数据分析经验的过程．体现了方法的必要性和合理性，不仅使得知识的产生显得自然，也有利于学生更好地把握方法的本质．本章数据分析方法中，数学工具的使用主要是在用数字特征刻画数据的统计特征中．对于数字特征，主要是要理解其统计含义．有些数字特征的定义形式比较简单，其统计含义相对比较容易理解．例如，平均数刻画了一组数据平均水平，众数是一组数据最典型的代表，极差刻画了一组数据的波动范围等．但有些数字特征的数学表达相对复杂，其统计含义有时并不能一目了然，例如中位数、方差、标准差，尤其是分层抽样的方差公式．对于数字特征，往往是先有刻画数据某一方面的特征需要，再根据需要定义数字特征的．如果了解数字特征定义的目的是刻画数据哪一方面的特征，不仅有助于学生理解数字特征的统计含义，而且有利于理解数字特征定义的形式．例如，如果学生了解了中位数是把一组数据按大小分成个数相等两部分的那个数，就很容易理解中位数为什么要根据数据的个数，分奇偶两种情况进行定义．又如，方差和标准差都可以用来刻画一组数据离散程度，它们的公式初看起来都比较复杂，但了解了它们定义的过程，就容易理解它们在刻画数据离散程度上的特点，以及之所以定义成现在这种形式．为了让学生更好地理解方差和标准差的统计含义，积累数据分析的经验，教科书详细呈现了方差概念的形成过程．教科书首先通过比较两名射击运动员成绩稳定性，让学生体会定义数字特征刻画数据离散程度的必要性．通过分析，把刻画一组数据的离散程度问题逐步转化为刻画与平均数的“平均距离”大小的数学问题．在数学中，距离可以有多种定义，教科书先呈现学生最容易想到的“绝对值距离”，由于绝对值的数学性质不够好，为了避免含有绝对值，又引入“平方和距离”，以此作为刻画数据的离散程度的数字特征，即方差．这个从统计直观到数学表达逐步优化的数据分析过程，在数字特征的定义中具有一般意义，积累的经验有助于理解选择性必修中样本相关系数的定义．五、加强信息技术与统计的融合1．培养学生使用信息技术的意识和初步能力统计是通过数据分析解决问题的．在数据分析中经常会涉及数据的整理、可视化表示、计算等数据处理，尤其当样本量比较大时，工作量就会变得非常大．运用计算器、计算机等信息技术工具，不仅可以实现快速、准确地列表、画图、计算等数据处理，而且能使大量人工难以完成的数据处理变成可能．会使用信息技术处理数据是现代统计学习的重要组成部分．在高中统计的学习中，应该培养学生使用信息技术的意识和初步能力．为了给学生在统计学习中运用信息技术提供支持，在高中统计的起始章，教科书安排选学栏目“信息技术应用统计软件的应用”，集中介绍电子表格和R两款软件的基本统计功能，其中电子表格软件是使用比较普遍且具有一定统计功能的办公软件，而R软件则是统计专业人员中使用普遍且免费的专业统计软件．在后续统计的章节中，教科书结合有关内容，在适合使用的信息技术的地方，以边注的形式对给予提示．2．利用信息技术提高教学的效率和质量信息技术既是现代统计的组成部分，也是统计学习的有效辅助手段．通过合理使用信息技术，可以把学生从机械、烦琐的数据处理中解放出来，把更多精力集中于统计概念和方法的理解，从而提高教学的效率和质量．例如，绘制频率分布直方图涉及数据的分组、频率的计算、图形的绘制等大量工作，用统计软件可以快速绘制出不同组距和组数的直方图，节约重复计算、机械性操作的时间，把更多的精力花在直方图信息的提取上．又如，平均数、方差等特征数的计算，在学生已经知道如何计算的情况下，统计软件的使用就可以大大节约时间，进而把更多的精力花在理解特征数的统计含义上．3．通过随机模拟直观解释数据分析方法的合理性统计是研究数据收集和分析数据的科学，其研究重点是如何有效地收集和分析数据，所有数据分析方法都是为了达到这个目的．这里的“有效”既包括人力、物力、时间的节省，也包括估计精确度和可靠度的提高．在没有足够概率理论知识刻画估计的精确度和可靠度时，如何让学生了解样本和总体的关系，体会数据分析方法的科学性就成为统计内容呈现的重点．