2022-2023学年安徽省合肥市工商贸职业高级中学高二数学理测试题含解析

2022-2023学年安徽省合肥市工商贸职业高级中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（

）A.0

B.

C.2

D.参考答案：C略2.设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A3.将八位数135（8）化为二进制数为（）Ａ1110101（2）Ｂ1010101（2）Ｃ1011101（2）Ｄ1111001（2）参考答案：C略4.设全集，集合，，则下图中的阴影部分表示的集合为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B5.设＞1，则，，的大小关系是

（） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜

D．＜＜参考答案：C6.△ABC中，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB等于

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B7.样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为（）A． B． C． D．2参考答案： D【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】由样本平均值的计算公式列出关于a的方程，解出a，再利用样本方差的计算公式求解即可．【解答】解：由题意知（a+0+1+2+3）=1，解得a=﹣1，∴样本方差为S2=[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=2，故选：D．【点评】本题考查用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差，属基础题，熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键．8.双曲线上的点P到左焦点的距离是6，这样的点有（

）A.3个

B.4个

C.2个

D.1个

参考答案：A9.设

，，则有（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D10.已知点在平面内，并且对空间任一点，

则的值为

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.参考答案：2略12.已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为．以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．参考答案：13.设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为_________________．参考答案：14.设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，，成等比数列．参考答案：,.【考点】类比推理；等比数列的性质．【分析】由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．下面证明该结论的正确性．【解答】解：设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，则T4=b14q6，T8=b18q1+2++7=b18q28，T12=b112q1+2++11=b112q66，∴=b14q22，=b14q38，即（）2=?T4，故T4，，成等比数列．故答案为：,.15.圆柱形容器内盛有高度为3cm的水，若放入三个相同的珠（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm.参考答案：16.写出命题“”的否定：

．参考答案：17.（4分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx的最大值为_________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图,在△ABC中,∠ABC＝45°,∠BAC＝90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC＝90°.

(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；(2)若BD＝1,求三棱锥D－ABC的表面积.参考答案：(1)∵折起前AD是BC边上的高,∴当△ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB.又DB∩DC＝D.∴AD⊥平面BDC.∵AD⊥平面ABD,

∴平面ABD⊥平面BDC.(2)由(1)知,DA⊥DB,DB⊥DC,DC⊥DA,DB＝DA＝DC＝1.∴AB＝BC＝CA＝.从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝×1×1＝.S△ABC＝×××sin60°＝.

∴表面积S＝×3＋＝.19.(本小题满分13分)已知、，求证：参考答案：略20.某工厂制造一批无盖长方体容器，已知每个容器的容积都是9立方米，底面都是一边长为2米，另一边长为x米的长方形，如果制造底面的材料费用为2a元/平方米，制造侧面的材料费用为a元/平方米，设计时材料的厚度忽略不计．（1）试将制造每个容器的成本y（单位：元）表示成底面边长x（单位：米）的函数；（2）如何设计容器的底面边长x（单位：米）的尺寸，使其成本最低？参考答案：【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）设长方体容器的高为h（h＞0），依据题意知2xh=9，所以h=，从而写出该容器成本y（单位：元）表示成底面边长x（单位：米）的函数；（2）利用基本不等式，即可得到所求的最值和对应的x的值．【解答】解：（1）设长方体容器的高为h（h＞0），依据题意知2xh=9，所以h=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣3分容器的侧面积为4h+2xh，容器底面积为2x，所以y=4ax+a（4h+2xh）=2a（2x+）+9a（x＞0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分（2）令f（x）=2x+（x＞0），所以2x+≥6，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分当且仅当2x=，即x=时，函数取得最小值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12分答：当容器底面边长为米时，其成本最低．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分21.如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，，，面，设为中点，点在线段上且．

（1）求证：平面；

（2）设二面角的大小为，若，求的长．参考答案：解：（Ⅰ）由，得，．又面，所以以分别为轴建立坐标系如图．则设，则．设，得：．解得：，，，所以．

……..5分所以,，．设面的法向量为，则，取．因为，且面，所以平面．

……..9分（Ⅱ）设面法向量为，因为，，所以，取．

……..11分由，得．，，所以． …..15分略22.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的上下顶点分别为,是椭圆上异于的任一点,直线分别交轴于点,证明:为定值,并求出该定值；(3)在椭圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（1）由题意：，解得： 所以椭圆

(2)由（1）可知,设,

直线:,令,得;

直线:,令,得;