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文档简介
2022-2023学年安徽省合肥市工商贸职业高级中学高二数学理测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.设正实数满足,则当取得最小值时,的最大值为(
)A.0
B.
C.2
D.参考答案:C略2.设,则“”是“”的( ) A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件参考答案:A3.将八位数135(8)化为二进制数为()A1110101(2)B1010101(2)C1011101(2)D1111001(2)参考答案:C略4.设全集,集合,,则下图中的阴影部分表示的集合为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B5.设>1,则,,的大小关系是
() A.<< B.<< C.<<
D.<<参考答案:C6.△ABC中,若a、b、c成等比数列,且c=2a,则cosB等于
(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B7.样本中共有五个个体,其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1,则样本方差为()A. B. C. D.2参考答案: D【考点】BC:极差、方差与标准差.【分析】由样本平均值的计算公式列出关于a的方程,解出a,再利用样本方差的计算公式求解即可.【解答】解:由题意知(a+0+1+2+3)=1,解得a=﹣1,∴样本方差为S2=[(﹣1﹣1)2+(0﹣1)2+(1﹣1)2+(2﹣1)2+(3﹣1)2]=2,故选:D.【点评】本题考查用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差,属基础题,熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键.8.双曲线上的点P到左焦点的距离是6,这样的点有(
)A.3个
B.4个
C.2个
D.1个
参考答案:A9.设
,,则有(
)A、
B、
C、
D、参考答案:D10.已知点在平面内,并且对空间任一点,
则的值为
(
)
A.
B.
C.
D.
参考答案:A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k=________.参考答案:2略12.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为.以a,b为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________.参考答案:13.设n为正整数,f(n)=1+++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,观察上述结果,可推测一般的结论为_________________.参考答案:14.设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8﹣S4,S12﹣S8,S16﹣S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4,,,成等比数列.参考答案:,.【考点】类比推理;等比数列的性质.【分析】由于等差数列与等比数列具有类比性,且等差数列与和差有关,等比数列与积商有关,因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时,类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列.下面证明该结论的正确性.【解答】解:设等比数列{bn}的公比为q,首项为b1,则T4=b14q6,T8=b18q1+2++7=b18q28,T12=b112q1+2++11=b112q66,∴=b14q22,=b14q38,即()2=?T4,故T4,,成等比数列.故答案为:,.15.圆柱形容器内盛有高度为3cm的水,若放入三个相同的珠(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是____cm.参考答案:16.写出命题“”的否定:
.参考答案:17.(4分)函数f(x)=sin2x+sinxcosx的最大值为_________.参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°.
(1)证明:平面ADB⊥平面BDC;(2)若BD=1,求三棱锥D-ABC的表面积.参考答案:(1)∵折起前AD是BC边上的高,∴当△ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB.又DB∩DC=D.∴AD⊥平面BDC.∵AD⊥平面ABD,
∴平面ABD⊥平面BDC.(2)由(1)知,DA⊥DB,DB⊥DC,DC⊥DA,DB=DA=DC=1.∴AB=BC=CA=.从而S△DAB=S△DBC=S△DCA=×1×1=.S△ABC=×××sin60°=.
∴表面积S=×3+=.19.(本小题满分13分)已知、,求证:参考答案:略20.某工厂制造一批无盖长方体容器,已知每个容器的容积都是9立方米,底面都是一边长为2米,另一边长为x米的长方形,如果制造底面的材料费用为2a元/平方米,制造侧面的材料费用为a元/平方米,设计时材料的厚度忽略不计.(1)试将制造每个容器的成本y(单位:元)表示成底面边长x(单位:米)的函数;(2)如何设计容器的底面边长x(单位:米)的尺寸,使其成本最低?参考答案:【考点】基本不等式在最值问题中的应用.【分析】(1)设长方体容器的高为h(h>0),依据题意知2xh=9,所以h=,从而写出该容器成本y(单位:元)表示成底面边长x(单位:米)的函数;(2)利用基本不等式,即可得到所求的最值和对应的x的值.【解答】解:(1)设长方体容器的高为h(h>0),依据题意知2xh=9,所以h=,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣3分容器的侧面积为4h+2xh,容器底面积为2x,所以y=4ax+a(4h+2xh)=2a(2x+)+9a(x>0)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分(2)令f(x)=2x+(x>0),所以2x+≥6,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分当且仅当2x=,即x=时,函数取得最小值.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12分答:当容器底面边长为米时,其成本最低.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分21.如图,四棱锥的底面ABCD是平行四边形,,,面,设为中点,点在线段上且.
(1)求证:平面;
(2)设二面角的大小为,若,求的长.参考答案:解:(Ⅰ)由,得,.又面,所以以分别为轴建立坐标系如图.则设,则.设,得:.解得:,,,所以.
……..5分所以,,.设面的法向量为,则,取.因为,且面,所以平面.
……..9分(Ⅱ)设面法向量为,因为,,所以,取.
……..11分由,得.,,所以. …..15分略22.在平面直角坐标系中,已知椭圆的左焦点为,且椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆的上下顶点分别为,是椭圆上异于的任一点,直线分别交轴于点,证明:为定值,并求出该定值;(3)在椭圆上,是否存在点,使得直线与圆相交于不同的两点,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由.参考答案:解:(1)由题意:,解得: 所以椭圆
(2)由(1)可知,设,
直线:,令,得;
直线:,令,得;
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