广西壮族自治区北海市乾江中学高二数学理联考试题含解析

广西壮族自治区北海市乾江中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知区域M：x2＋y2≤4，区域N：－x≤y≤x，随机向区域M中投放一点．该点落在区域N内的概率为()A.

B.

C.

D.参考答案：A2.已知两定点F1(-1,0)、F2(1,0),则命题甲：是与的等差中项,命题乙：动点P的轨迹是椭圆，则甲是乙的

(

).A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．非充分非必要条件参考答案：A3.已知双曲线，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B4.命题“若A∩B=A，则AB的逆否命题是（

）A．若A∪B≠A，则AB

B．若A∩B≠A，则ABC．若AB，则A∩B≠A

D．若AB，则A∩B≠A参考答案：C略5.下列函数中，既是偶函数，且在区间内是单调递增的函数是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D6.观察式子：……，由此可归纳出的式子为

A．

B．

C．

D．参考答案：C7.已知点在图象上，则下列点中不可能在此图象上的是A． B． C． D．参考答案：B8.如果平面a外有两点A、B，它们到平面a的距离都是，则直线AB和平面a的位置关系是（）Ａ、平行

B、相交 C、平行或相交

D、ABìa参考答案：C略9.若复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是 ()A．－1－iB．－1＋i

C．1－i

D．1＋i参考答案：A略10.设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为,P为抛物线上一点,PA⊥,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=（

）．

A.

B.8

C.

D.16参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为． 参考答案：﹣3【考点】定积分． 【专题】计算题． 【分析】由图可知f（x）=0得到x的解确定出b的值，确定出f（x）的解析式，由于阴影部分面积为，利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可． 【解答】解：由图知方程f（x）=0有两个相等的实根x1=x2=0，于是b=0， ∴f（x）=x2（x+a），有， ∴a=±3． 又﹣a＞0?a＜0，得a=﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】考查学生利用定积分的方法求平面图形面积的能力． 12.若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V=．参考答案：R（S1+S2+S3+S4）【考点】类比推理；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．故答案为：R（S1+S2+S3+S4）．13.二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）．应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度_____．参考答案：14.已知x,y满足,则的最大值为

.参考答案：１４15.在空间四边形中,,若,则的取值范围是________.参考答案：16.数列的前项和为，,．(Ⅰ)求；（Ⅱ）求数列的通项；（III）求数列的前项和．

参考答案：数列的前项和为，,．(Ⅰ)求；（Ⅱ）求数列的通项；（III）求数列的前项和．解：(Ⅰ)；……………1分……………2分（Ⅱ），，，…3分

相减得

，…4分,即……………5分对于也满足上式……………6分数列是首项为2，公比为的等比数列，…7分．……8分（III）……………9分……………10分相减得，…11分………12分…13分……………14分

略17.若不等式组

表示的平面区域是一个三角形及其内部，则的取值范围是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段[40，50），[50，60），…，[90，100]，画出如如图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题： （1）求70～80分数段的学生人数； （2）估计这次考试中该学科的优分率（80分及以上为优分）、中位数、平均值； （3）现根据本次考试分数分成下列六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第六组）为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差大于30分（以分数段为依据，不以具体学生分数为依据），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率． 参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【专题】计算题；概率与统计． 【分析】（1）根据条形统计图1求出70～80分数段的学生人数频率，乘以60即可确定出人数； （2）求出80分及以上学生人数，确定出优生率，找出中位数，平均值即可； （3）根据题意得出所有等可能的情况数，找出“最佳组合”数，即可确定出选出的两组为“最佳组合”的概率． 【解答】解：（1）根据题意得：60×[1﹣（0.005+0.010+0.015×2+0.025）×10]=18（人）； （2）成绩在80分及以上的学生有60×（0.005+0.025）×10=18（人）， ∴估计这次考试中该学科的优分率为×100%=30%； 该学科40～50分数段人数为60×0.01×10=6（人）；50～60分数段人数为60×0.015×10=9（人）；60～70分数段人数为60×0.015×10=9（人）； 70～80分数段人数为18人；80～90分数段人数为60×0.025×10=15（人）；90～100分数段人数为60×0.005×10=3（人）； ∴估计这次考试中位数为70～80分数段，即75分； 平均值为（45×6+55×9+65×9+75×18+85×15+95×3）=71（分）； （3）所有的组合数：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），即n=5+4+3+2+1=15， 符合“最佳组合”条件的有：（1，4），（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，6），即m=6， 则P===． 【点评】此题考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率，中位数，平均数，弄清统计图中的数据是解本题的关键． 19.（12分）已知等比数列的前项和为，且是与2的等差中项，等差数列中，，点在直线上．⑴求和的值；⑵求数列的通项和；⑶设，求数列的前n项和．参考答案：解：（1）由得：；；；由得：；；；（2）由┅①得┅②；（）将两式相减得：；；（）所以：当时：

；故：；

又由：等差数列中，，点在直线上．得：，且，所以：；

（3）；利用错位相减法得：；20.已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，抛物线与双曲线交点为，求抛物线方程和双曲线方程．参考答案：【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点，可得p=2c，再利用抛物线与双曲线同过交点，求出c、p的值，进而结合双曲线的性质a2+b2=c2，求解即可．【解答】解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p=2c．设抛物线方程为y2=4cx，∵抛物线过点，6=4c?．∴c=1，故抛物线方程为y2=4x．又双曲线过，∴=1．又a2+b2=c2=1，∴a2=或a2=9（舍）．∴b2=，故双曲线方程为：4x2﹣=1．21.已知函数f（x）=x3﹣2x2﹣4x．

(1)求函数y=f（x）的单调区间；

(2)求函数f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值和最小值．

参考答案：（1）解：∵函数f（x）=x3﹣2x2﹣4x，

∴f′（x）=3x2﹣4x﹣4，

由f′（x）＞0，得x＜﹣,或x＞2，

由f′（x）＜0，得﹣＜x＜2，

∴函数y=f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣），[2，+∞）；单调减区间是[﹣，2]．

（2）解：由f′（x）=3x2﹣4x﹣4=0，

得x1=﹣，x2=