2022年广西壮族自治区桂林市湘江中学高二数学理测试题含解析

2022年广西壮族自治区桂林市湘江中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，真命题为（

）A．若与所成角相等，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则参考答案：D2.已知函数的导函数的图象右图所示，那么函数的图象最有可能的是下图中的

参考答案：B3.函数满足，当时，，则在上零点的个数为

A．1005

B．1006

C．2011

D．2012参考答案：B4.设点是曲线上任意一点，其坐标满足，则取值范围为（

）A．[0,2]

B．[1,2]

C．[1,+∞)

D．[2,+∞)参考答案：D点是曲线，即上任意一点，其坐标(x,y)也满足，，表示椭圆内部部分，可行域如图，可得，即，则取值范围为[2,+∞)，故选D.

5.下列给出的赋值语句中正确的是（

）A．3=A

B．

M=-M

C．

B=A=2

D．

参考答案：B6.已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），∴=1，∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．故选：B．7.已知||=2||≠0，且关于x的方程x2+||x+·=0有实根，则与的夹角取值范围是（

）A.[0,]

B.[,π]

C.[,]

D.[,x]参考答案：B由题意得，所以，又，所以，选B.【点睛】求平面向量夹角公式：，若，则8.圆与直线相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（***）

A．B．C．D．参考答案：A略9.函数的图象如图所示，则的解析式可能是（

）A．

B.C．

D．参考答案：B略10.下边程序运行的结果是

（

）A．17

B．19

C．21

D．23参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数有极值的充要条件是▲．参考答案：12.已知向量=（0，﹣1，1），=（4，1，0），|λ+|=且λ＞0，则λ=

．参考答案：3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据所给的向量坐标写出要求模的向量坐标，用求模长的公式写出关于变量λ的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的限制，把不合题意的结果去掉．【解答】解：∵=（0，﹣1，1），=（4，1，0），∴λ+=（4，1﹣λ，λ），∴16+（λ﹣1）2+λ2=29（λ＞0），∴λ=3，故答案为：3．13.已知

.参考答案：9或114.在△ABC中，若，则△ABC的面积S是

。参考答案：15.在等腰梯形中,已知,动点和分别在线段和上,且,则的最小值为

.参考答案：16.设椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，如果在椭圆上存在一点p，使∠F1PF2为钝角，则椭圆离心率的取值范围是．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】由∠F1PF2为钝角，得到?＜0有解，转化为c2＞x02+y02有解，求出x02+y02的最小值后求得椭圆离心率的取值范围．【解答】解：设P（x0，y0），则|x0|＜a，又∠F1PF2为钝角，当且仅当?＜0有解，即c2＞x02+y02有解，即c2＞（x02+y02）min．又y02=b2﹣x02，∴x02+y02=b2+x02∈[b2，a2），即（x02+y02）min=b2．故c2＞b2，c2＞a2﹣c2，∴＞，即e＞，又0＜e＜1，∴＜e＜1．故答案为：．17.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为．参考答案：2【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0，所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0，可得c2=m2+m+4，最后根据双曲线的离心率为，可得c2=5a2，建立关于m的方程：m2+m+4=5m，解之得m=2．【解答】解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0，b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为，∴，可得c2=5a2，所以m2+m+4=5m，解之得m=2故答案为：2【点评】本题给出含有字母参数的双曲线方程，在已知离心率的情况下求参数的值，着重考查了双曲线的概念与性质，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，O为坐标原点，点M（，）在双曲线上．（1）求双曲线C的方程．（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且?=0，求|OP|2+|OQ|2的最小值．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由渐近线方程可得关于a、b的一个方程，再把点M（，）代入双曲线的方程又得到关于a、b的一个方程，将以上方程联立即可解得a、b的值；（2）利用?=0得x1x2+y1y2=0、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式即可求出．【解答】解：（1）双曲线C的渐近线方程为y=±x，∴b=a，双曲线的方程可设为3x2﹣y2=3a2．∵点M（，）在双曲线上，可解得a=2，∴双曲线C的方程为=1．（2）设直线PQ的方程为y=kx+m，点P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣12=0∴（*）x1+x2=，x1x2=，由?=0得x1x2+y1y2=0，把y1=kx1+m，y2=kx2+m代入上式可得（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，∴（1+k2）?+km?+m2=0，化简得m2=6k2+6．|OP|2+|OQ|2=|PQ|2=24+当k=0时，|PQ|2=24+≥24成立，且满足（*）又∵当直线PQ垂直x轴时，|PQ|2＞24，∴|OP|2+|OQ|2的最小值是24．19.如图,在三棱锥A—BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边,且AD＝,BD＝CD＝1,另一个侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B—AC—D的余弦值；（3）在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30o角？若存在，确定CE大小；若不存在，说明理由．参考答案：(1)坐标法，以D为原点，直线DB，DC为x，y轴，……1分可得．

AD⊥BC……

4分(2)平面ABC、ACD的法向量取n1＝(1，1，－1)、n2＝(1，0，－1)，可得cos<n1，n2>＝.

……8分(3)存在，CE＝1．设E(x，y，z)可得＝(x，1，x)，又面BCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，由cos<，n>＝cos60o，得x＝.

＝(，0，)

CE＝1……12分Ks5u

略20.已知（）的展开式中各项的二项式系数和为64.（Ⅰ）求展开式中二项式系数最大的项；（Ⅱ）求展开式中的常数项.参考答案：（Ⅰ）由展开式中二项式系数和为64，得，所以.所以展开式中二项式系数最大的项为第四项.因为的展开式的通项公式为，所以，即展开式中二项式系数最大的项为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，且的展开式中的常数项为，含的项为，所以中的常数项为.21.在直角坐标系中直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：.（1）求直线l的普通方程及曲线C直角坐标方程；（2）若曲线C上的点到直线l的距离的最小值.参考答案：（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）.【分析】(1)直接利用参数方程和极坐标方程公式得到答案.(2)计算圆心到直线的距离，判断相离，再利用公式得到答案.【详解】解：（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为

（2）曲线的圆心到直线的距离所以直线与圆相离，则曲线上的点到直线的距离的最小值为【点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程，将圆上的点到直线的距离转化为圆心到直线的距离是解题的关键.22.（本小题满分12分）设函数.(1)求的单调区间;(2)若当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数.参考答案：解

：（1）函数的定义域为.

由得;

2分

由得,

3分则增区间为,减区间为.

4分(2)令得,由(1)知在上递减,在上递增,

6分由,且,

8分时,

的最大值为,故时,不等式恒成立.

9分(3)方程即.记,则.由得;由得.所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1)

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