2023年高考数学抢分（新高考专用）7 概率与离散型随机变量的期望与方差（6大题型）（解析版）

秘籍07概率与离散型随机变量的期望与方差

中高考预测，

概率预测☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题、解答题☆☆☆☆☆

考向预测全概率公式

事应试秘籍

概率属于解答题必考题大多考察两方面，一个是超几何分布与二项分布的区别，还有就是线性回归方

程与独立性检验。小题中新教材新加的全概率公式和条件概率是重点，当然古典概型和相互独立事件的判

断以及正态分布也是需要熟练掌握的。

【题型一】条件概率

一般地，当事件B发生的概率大于0时（即尸（B）＞0）,已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件

概率，记作P（A|8）,而且P（4|8）=霭.

境典例剖析

1.（多选题）（2023•江苏南京•南京师大附中校考一模）已知事件48满足P（A）=0.5,尸（B）=0.2,则

（）

A.若则P（AB）=0.5B.若A与B互斥，贝”（A+B）=0.7

C.若A与B相互独立，则可历）=。9D.若P（5|A）=0.2,则A与8相互独立

【答案】BD

【详解】解：对于A,因为尸（A）=0.5,P（8）=0.2,BeA,

所以P（AB）=P（3）=0.2,故错误；

对于B,因为A与8互斥，所以「（A+5）=P（A）+P（B）=0.5+0.2=0.7,故正确;

对于C,因为P（8）=0.2,所以尸（豆）=1一0.2=0.8,所以「（A豆）=0.5x0.8=0.4,故错误；

对于D,因为尸（8|A）=0.2,即-（"）=0.2,所以P（AB）=0.2xP（A）=0.1,

P（A）

又因为P（A）xP（8）=0.5x0.2=0.1,所以P（A8）=P（A>P（8）,

所以A与8相互独立，故正确.

故选：BD

2.（2023•江苏南通•统考模拟预测）随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受市民重视，小

李早上上班的时候，可以骑电动车，也可以骑自行车，己知小李骑电动车的概率为0.6,骑自行车的概

率为0.4,而且在骑电动车与骑自行车条件下，小李准时到单位的概率分别为0.9与0.8,则小李准时到

单位的概率是.

【答案】0.86##”【详解】由题意可得，小李骑电动车准时到单位的概率为咛=0.6x0.9=0.54；

骑自行车准时到单位的概率为鸟=0.4x0.8=0.32；

则小李准时到单位的概率是尸=片+6=0.86.

3.（2023•江苏南京•南京师大附中校考一模）三个元件“，b,。独立正常工作的概率分别是勺，P］,A

把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒工，T2,心中（一盒接一个元件），

各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是.

7\

-I

【答案】利+鸟6-牝《

【详解】由题意，元件“，h,。不正常工作的概率分别为（1-4）,（1一巴），（1-片）

电路正常工作的条件为刀正常工作，T2,T,中至少有一个正常工作，

（1）若T2,心接入的元件为a,b,c或a,c,b,

则此电路正常工作的概率是.11-（1-£）（1-A）］=+利-他巴；

（2）若刀，T2,4接入的元件为b,a,。或"c,a,

则此电路正常工作的概率是小口一（1一幻（1-6）］=4£+£打一平^；

（3）若（，T2,4接入的元件为c,。，或c,b,a,

则此电路正常工作的概率是A11—（1-[）（1-£）]=6吕+-勺4A

因为0<[<鸟<吕<1,

所以KE+P\P「P\PF\<68+8A<^+鸟鸟-“2P3，

所以此电路正常工作的最大概率是《勺+鸟鸟-P、P风

故答案为：P^+P^-P^P,

Q名校模拟

1.（多选题）（2023•江苏徐州•徐州市第七中学校考一模）已知随机变量X服从正态分布N（l,3?）,则下列结

论正确的是（）

A.E（X）=1,Q（X）=9B.若尸（X>2）=p,则尸（0<X41）=；-p

C.尸（X>l）=gD.随机变量y满足2X+y=4,则£（y）=4

【答案】ABC

【详解】因为X~N（13）,所以E（x）="=l,O（X）=o-2=9,A正确；

因为尸（X>2）=尸（X<0）=p,所以尸（O<XMl）=；-0,B正确；

因为〃=1,所以尸（X>l）=g,C正确；

因为2X+y=4,所以y=4—2X,

所以E（y）=E（4-2X）=-2E（X）+4=2,D错误，

故选:ABC.

2.（2023•浙江•校联考模拟预测）已知随机事件A,B,P（4）=!，P（B）=^-,P（A\8）=],则2（用A）=________.

344

7

【答案】-7

lo

【详解】依题意得P（A|8）=g^=:,所以尸（AB）=3p（5）=jx9=2

P（B）444416

3

T697

故尸（例A）=1-布’所以P⑻A)=l-尸网4)=兀.

3-

3.（2023•上海徐汇•统考二模）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加高中社会实践活动，高中社会实践活动共

有博物馆讲解、养老院慰问、交通宣传、超市导购四个项目，每人限报其中一项，记事件A为"4名同学所

报项目各不相同"，事件B为“只有甲同学一人报交通宣传项目，则尸（A|8）=.

【答案】I

【详解】P幽岑，尸（B）q,故P（A|8）=需4

故答案为：

4.（2023・天津•校联考一模）为了组建一支志愿者队伍，欲从3名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人

聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人至少有一名男志愿者"的前提下"抽取的3人中全是男志愿者”的概率

是,若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则E（X）=.

11-5/|

【答案】

19

【详解】设事件A="抽取的3人至少有一名男志愿者"，事件8="抽取的3人中全是男志愿者〃

3等吟“噌则…二得自斯

即在“抽取的3人至少有一名男志愿者"的前提下"抽取的3人中全是男志愿者”的概率是看

X可取0,1,2,3,P(X=0)=||=q，P(X=l)=萼=K

尸(X=2)=卑=2,p(x=3)=4=L

C；20C：20

0x14-1x9+2x9+3x130,「

则E(X)=------------------------------=—=1.5

2020

故答案为：—；1.5

【题型二】全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式

■—般地，设45A2,…5A”是一组两两互斥的事件,A1UA2U…UAn=Q,且P（Ai）＞0,i=l,2,…，n,则对

任意的事件BUQ,有

P(B)=2尸(A,)P(BA)

我们称上面的公式为全概率公式.

*贝叶斯公式：

一般地，设A.&，A,是一组两两互斥的事件，有2Vz

且P(A)>0,i=l,2,,n，则对任意的事件B±Q,P(B)>0有

P⑻A”P(AJP⑻AJ="P(AM⑻AJH,2,n

，⑻EP(A,.)P(B|A,.)

1=1

学典例剖析

1.(2023・湖北•荆泉中学校联考二模)据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%,

在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%,则不吸烟患肺癌的概率为()

A.0.025%B.0.032%C.0.048%D.0.02%

【答案】A

【详解】设不吸烟患肺癌的概率为x,

贝IJ0.2x0.004+0.8%=0.001,

解得x=0.00025=0.025%.

故选：A

2.(2023•上海嘉定•统考二模)已知某产品的一类部件由供应商A和B提供，占比分别为1；和2;，供应商A提

供的部件的良品率为0.96,若该部件的总体良品率为Q92,则供应商B提供的部件的良品率为.

【答案】0.9

【详解】记随机取一件产品由供应商A提供为事件M,由供应商8提供为事件N,为良品为事件C,

17

则尸(M)=：,P(N)=§,P(C|M)=0.96,P(C)=0.92,

Io

由P(C)=P(M)P(C|M)+P(N)P(C|N),即().92=；xO.96+：P(C|N),解得P(C|N)=0.9,

即供应商8提供的部件的良品率为0.9.

故答案为：0.9

3.（2023•广东茂名•统考二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈•马尔可夫得名，其过程具备"无记忆”的性

质，即第”+1次状态的概率分布只跟第"次的状态有关，与第n-1,〃-2,〃-3-一次状态是“没有任何关系的”.

现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个

球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为X“，甲盒中恰有1个黑球的概率为4,恰有

2个黑球的概率为也.

⑴求X1的分布列；

（2）求数列｛%｝的通项公式；

⑶求X“的期望.

【答案】⑴答案见解析

c32/1V

（2）a"=5+5V9）

（3）1

【详解】（1）（1）由题可知，X1的可能取值为0,1,2.由相互独立事件概率乘法公式可知：

^（^=0）=-x-=-；P（X1=1）=言+^^/（乂=2）=§X§=3，

故X1的分布列如下表:

X1012

252

p

999

(2)由全概率公式可知：

尸(X,,M=1)

=p(X“=1)•P(Xz=1|X„=1)+P(X„=2)-P(X„+I=l|x„=2)

+P(X„=O)P(X„+1=I|X„=O)

=(2+泊卜(")+(别P(X”=2)+N|卜(X“=0)

522

=sP(x“=i)+J(x.=2)+j(x“=0),

yJJ

522

即：=§%+§4+§(1-4-纥),

所以4+1=-3《,+三，

所以凡+WO

又4=尸(X|=1)=],

所以，数列卜为以为首项，以-!为公比的等比数列,

[JJJ>r

(3)由全概率公式可得:

P(X,向=2)

=P(X„=1)-P(X„+1=2|X„=1)+P(X„=2)-P(X„+,=2|X„=2)

+P(X„=O)-P(X„+I=2|X„=O)

=(汨｝P(X"=1)+(311P(X"=2)+0/(X“=0),

21

即：%=3%+/，

rr,,,1、2(32(1丫、

所以%='+§-+---

向n

所以2+l-g+g

=-[/»„--+-],

3"55

又…出=2)=1

y

所以4_"+gx2」__L=o,

9545

所以2

所以它3)

所以E(X“)=4+为+0(l-a,-bn)=an+2bn=l.

f名校模拟

1.（2023•浙江杭州•统考二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，

在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我

们的序列状态是…，X-X-,X,,X,+1,那么X”时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X,,即

P（X,+I|-,X,„2,X,_„X,）=P（X,+I|X,）.

现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型.

假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%,且每局赌赢可以赢得1元，每

一局赌徒赌输的概率为50%,且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束

赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的8元，赌徒停止赌博.记赌徒的

本金为A（AeN*,A<B）,赌博过程如下图的数轴所示.

0.50.5

,A-\AA+\,

AV_1——1——1_L-LW_L

0B

0.50.5

当赌徒手中有〃元〃eN）时，最终输光的概率为P（〃），请回答下列问题:

（1）请直接写出尸（0）与P⑻的数值.

（2）证明｛2（〃）｝是一个等差数列，并写出公差d.

⑶当A=100时，分别计算3=200,8=1000时，P（A）的数值，并结合实际，解释当时，P（A）的

统计含义.

【答案】⑴P（0）=l,P（B）=0

⑵证明见解析；）

⑶3=200时，P（A）=50%,当5=1000时，尸（A）=90%,统计含义见解析

【详解】（1）当〃=0时，赌徒已经输光了，因此P（O）=I.

当〃时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率P（B）=0.

(2)记M：赌徒有〃元最后输光的事件，M赌徒有〃元上一场赢的事件,

P(M)=P(N)P(M|N)+P(N)P(M|N),

即尸(〃)=!•P("-I)+4P("+I),

22

所以P(n)-P(n-l)=P(n+l)-P(n),

所以｛P(〃)｝是一个等差数列，

设P(〃)-P(〃-l)=d,则P(〃-l)-P(n_2)=d,,P(l)-P(O)=d,

累加得P(〃)-P(0)=初，故P(B»P⑼=Bd，得4=-1,

B

、A

(3)4=100,由P(〃)—P(0)=加/得尸(A)—P(0)=Ad,即尸(A)=l-\

B

当8=200时，P(A)=50%,

当B=1000时,P(A)=90%,

当8-8时，P(A)fl,因此可知久赌无赢家,

即便是一个这样看似公平的游戏，

只要赌徒一直玩下去就会100%的概率输光.

2.(2023•广东佛山•统考二模)有〃个编号分别为1,2,〃的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，

其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取

一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是,从第l个盒子中取到白球的

概率是.

【详解】记事件A表示从第《=1,2,,〃)个盒子里取出白球，则尸(4)=1，P(A)=I-/>(A)=1-

所以P(4)=尸(A4)+P(*)=P(A)尸⑷A)+尸⑷P(4同等滑

P(4)=P(4)P(A|4)+P%)网阕4)=尸(4)X：+P闾x„(4)+g=果

尸(4)=P(A)P(4闯+P(4)尸⑷4)=P(A)x|+P(&xg=；p⑷+：,

进而可得尸(4)=gp(A,i)+g,P(A„)-1=1[P(A,->)-1])

A=

乂P（A）-：=:，,（&）一;=2，P（2）-11P（A）-g,

ZOZloZJ[_z_

所以[尸（4）-U是首项为"公比为《的等比数列，

I2J63

所以P（4）3=3。），即尸⑷=3电4,

故答案为：,

9

3.（2023•广东梅州•统考二模）有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分

别生产3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%,现从这批产品中

任取一件，则

（1）取到次品的概率为

（2）若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为

0.053/^-18

【答案】

100053

【详解】设任取一件产品来自甲厂为事件A、来自乙厂为事件为、来自丙厂为事件4,则彼此互斥，且

AD&D&=C,

A、30003a%、30003»,、40002

PNZ(A)=----------------=一，P(4)=----------------=—,P(A,)=-----------------=—

“3000+3000+400010-3000+3000+40001033000+3000+40005

设任取一件产品，取到的是次品为事件B,

则P(B)=P(A,B)+P(A2B)+P(4B)

=P（A）P（5|A）+P（&）P（5|&）+P（A）尸（以4）

33253

=-x6%+—x5%+-x5%=--=0.053

101051000

如果取得零件是次品，那么它是来自甲厂生产的概率为

p(A^)_m)^|A)fox6%

=18

尸（4忸）=

P(B)P(B)5353

1000

1Q

故答案为：0.053,—

【题型三】离散型随机变量的分布列和概率性质

设离散型随机变量X的分布列为:

…・・・

XXIX2XiXn

.・・

PP\P2•••PiPn

则(l)Pi》O,i=l,2,…，n；

(2)pi+p2H-------1-pH------Hp"=l；

(3)E(X)=xi/7i+x2〃2H-------1-xWi-l----------l-X"为；

(4)D(X)=(为一E(X))2『十——E(X))2〃+“・+(*—E(X))2%.

随机变量的数学期望与方差

⑴如果E(〃)和EQ)都存在，则EY+〃)=E(Q+E(〃).

(2)若〃=aj+b,则E(n)=aE(O+b,D(>i)=a2D(c).

(3)期望与方差的转化：£>©=£(3)一(£■©>.

岁|典例剖析♦

1.（2021•黑龙江哈尔滨•哈师大附中校考三模）下面说法情送的是（）

A.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的：

B.利用频率分布直方图计算的样本数字特征是样本数字特征的估计值；

C.两个相关变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1;

D.在分层抽样的过程中，哪一层的样本越多，该层中个体被抽取的可能性越大.

【答案】D

【详解】对于A中，离散型随机变量的各个可能值表示的事件时彼此互斥的不会同时发生，所以A正确；

对于B中，利用频率分布直方图计算的一般数字特征是样本数字特征的估计值，所以B正确：

对于C中，两个相关变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近与1,所以C正确；

对于D中，在分层抽样的过程中，哪一层的样本即便越多，该层中个体被抽到的可能性也是相同的，所以D

不正确.

故选：D.

2.（2023•河南新乡•统考二模）已知随机变量X的分布列为

【答案】D

171

【详解】由题可知，-+m+--2m=l,解得〃?=；,

362

则£（X）=0X1+2XL+4XL3.

3263

故选：D.

（多选）3.（2023・辽宁大连•校联考模拟预测）下列结论中，正确的有（）

A.数据1,2,4,5,6,8,9的第百分之60分位数为5.

B.已知随机变量X服从二项分布若E（3X+1）=6,则“=5.

C.已知回归直线方程为》=良+1.8,且元=2,5=20,则6=9.1.

D.对变量x与y的统计量/来说，/值越小，判断“x与y有关系”的把握性越大.

【答案】BC

【详解】对于A项，7x60险4.2,所以第百分之60分位数为6,故A项错误；

对于B项，因为X所以E（X）="p=g〃，

所以E（3X+1）=3E（X）+1="+1=6,解得：〃=5,故B项正确；

对于C项，回归直线必过样本中心可得：20=26+1,8）解得：方=9.1，故C项正确；

对于D项，由独立性检验可知，/值越大，判断"x与y有关系”的把握性越大，故D项错误.

故选：BC.

?名校模拟

（多选）1.（2023•辽宁锦州•统考二模）已知我市某次考试高三数学成绩X〜N（80,36）,从全市所有高三学

生中随机抽取6名学生，成绩不少于80分的人数为丫，则（）

1V_on

A.P（X>80）=4B.三吧服从标准正态分布

236

c.o（r）=3D.p（r>3）=^

【答案】AD

【详解】X~N（80,36）,故〃=80,a2=36,b=6,

对选项A：根据正态分布的对称性得到P（X280）=；,正确；

对选项B：服从标准正态分布，错误：

6

对选项C：尸（X480）=g,则故£>a）=6xgx（l-£|=|,错误;

P（y>3）=叱］

对选项D：正确.

故选：AD

2.（2023・山西运城•统考二模）现在世界正处于百年未见之大变局，我国面临着新的考验，为增强学生的爱

国意识和凝聚力，某学校高二年级组织举办了“中国国情和当今世界局势"的知识对抗竞赛，主要是加深对新

中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得的成就和最新世界经济、政治时事的

了解.组织者按班级将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组织者随机从

准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等.比赛得分规则为：选

手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分；选手抢到试题但回答错误或没有回答得。分，对方选手

得5分；2道题目抢答完毕后得分多者获胜.已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回

答正确的概率为彳2，乙回答正确的概率为三4，两名选手回答每道试题是否正确相互独立.2道试题抢答后的

各自得分作为两位选手的个人总得分.

⑴求乙总得分为10分的概率;

⑵记X为甲的总得分，求X的分布列和数学期望.

337

【答案】⑴丽

23

⑵分布列见解析，£（X）=y

【详解】（1）由题意，乙得10分的基本事件有｛乙抢到两题且一道正确一道错误或没有回答｝、｛甲，乙各抢

到一题都回答正确｝、（甲抢到两题都回答错误或没有回答｝

所以乙总得分为10分的概率P=2x±1x4，±1x1±+2J1x4±x±1x2±+±1x1±11=337

252525232323900

（2）由题意得，甲的总得分X可能取值为0,5,10,15,20

P(X=0)=ixlxlxl+2xixlxlxl+ixlxlx^=^

232323252525900

…u、c1111c141117

r(X=5)=2X—X—X—X—+2x—X—X—X—=---•

25232525150

n”s、c12111111c1214349c11121

P(X=10)=2x—X—X—X—4-—X—X—X—+2x—X—X—X—=---；P(X=15)=2x—x—x—x—=—

232325252325900252315

P(X=20)=lxjx|xj=l.

分布列如下:

X05101520

289173491£

P

900150900百9

―…、八289u17s349«12123

斯.以E(X)=0x---+5x----F10x----F15x1-20x—=—,

9001509001593

3.(2023・安徽•校联考二模)近年来，一种全新的营销模式开始兴起一一短视频营销.短视频营销以短视频

平台为载体，通过有限时长，构建一个相对完整的场景感染用户，与用户产生吸引、了解、共鸣、互动、

需求的心理旅程.企业通过短视频作为营销渠道，打通新的流量入口，挖掘受众群体，获得新的营销空间.某

企业准备在三八妇女节当天通过"抖音"和"快手"两个短视频平台进行直播带货.

⑴已知小李3月7日选择平台"抖音"、"快手"购物的概率分别为0.6,0.4,且小李如果第一天选"抖音"平台，

那么第二天选择"抖音"平台的概率为0.6；如果第一天选择"快手"平台，那么第二天选择"抖音"平台的概率

为0.7.求3月8日小李选择“抖音”平台购物的概率；

⑵三八妇女节这天，"抖音”平台直播间进行秒杀抢购活动，小李一家三人能下单成功的概率分别为P,2p,

0.5,三人是否抢购成功互不影响.若X为三人下单成功的总人数，且E(X)=1.7,求p的值及X的分布列.

【答案】(1)0.64

(2)0.4；分布列见解析

【详解】(1)设4="第一天选择‘抖音‘平台"，B尸"第一天选择，快手，平台"，4="第二天选择，抖音，平台”，

则P(A)=0.6,P(4)=0.4,P(&⑷=0.6,P(&14)=0.7,

贝iJP(4)=P(A)P(A2lA)+P(4)P(4|g)=0.6x0.6+0.4x0.7=0.64.

(2)由题意得，X的取值为0,1,2,3,

且尸(X=0)=(1—p)(l-2p)(l-0.5)=p,2-13p+-1,

1,

P(X=])=^(1-2/7)(1-0.5)+(1-/?)-2/7-(1-0.5)+(1-/?)(1-2/7)0.5=--/?2,

3,

P(X=2)=p-2p.(l-0.5)+(l-p)-2p0.5+p-(l-2/7)-0.5=-p-p2,

?(X=3)=/?-2pO.5=p2,

所以E(X)=；_p2+2(|p_p2)+3/=o5+3p=i7,解得

故X的分布列为

X0123

P0.060.340.440.16

【题型四】二项分布

二项分布：一般地，在〃次独立重复试验中，设事件4发生的次数为用在每次试验中事件/发生的概率为

P，则事件］恰好发生〃次的概率为P(X=4)=C/(l-p)"T,4=0,1,2,…，n,则称随机变量X服从二

项分布，记作p),并称0为成功概率.

事件N发生的概率

事件/没生的款率

乃'A：/>!**(尸(其中…㈤

试怆总次政

事件/发生的次数

二项分布的数学期望与方差：若X〜B(n,p),则E(X)=〃p.D(X)=np(1-p)

胃典例剖析

1.(2023•河南•洛阳市第三中学校联考模拟预测)32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，

每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少

于10名，则业余棋手队获胜.已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为：，每名业余棋手与乙比赛获胜

的概率均为!，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为()

4

A.24B.25C.26D.27

【答案】A

【详解】设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X,选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为Y-.

设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为小则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32-n.

X所有可能的取值为0,1,2,…，n,则*~81,£|,E(X)=；；

y所有可能的取值为0,1，2,…，32-〃，贝1」丫-8（32-〃,［）,£"）=%三，

所以获胜的业余棋手总人数的期望E（x+y）=E（x）+E（y）=§>7+y—P=」H^-I-06zio,解得〃*24.

故选：A.

（多选）2.（2023•湖北•统考二模）以下说法正确的有（）

A.某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10,3,8,3,2,18,7,4,则该样本数据的第50百分

位数为5.5

B.经验回归直线¥=%+》至少经过样本点数据中的一个点

C.若尸（B|A）=0.3,尸（B）=0.3,则事件A,8相互独立

D.若随机变量4~《21,；）,则尸0=女）取最大值的必要条件是％=10

【答案】AC

【详解】A：数列从小到大为2,3,3,4,7,8,10,18,则8x50%=4,故第50百分位数为34+7=5.5,正确；

B：回归直线不一定过样本点，但必过样本中心，错误；

C：山尸（AB）=P（例A）P（A）,贝"（4）=^^;,故尸（A）尸（8）=「（普:£）=P（AB）,

r\D|A）r（D|A）

所以事件A,B相互独立，正确；

D：由%要使*=%）取最大值，

只需CW取最大，显然当化=10或11时C%最大，故左=10是P（J=A）取最大的充分条件，错误.

故选：AC

3.（2023•全国•东北师大附中校联考模拟预测）调查问卷中常常涉及到个人隐私或本人不愿正面回答的问题,

被访人可能拒绝回答，即使回答，也不能期望答案是真实的.某小区要调查业主对物业工作是否满意的真实

情况，现利用"随机化选答抽样"方法制作了具体调查方案，其操作流程如下：在一个箱子里放3个红球和2

个白球，被调查者在摸到球后记住颜色并立即将球放回，如果抽到的是红球,则回答"你的性别是否为男性？"

如果抽到的是白球，则回答“你对物业工作现状是否满意？”两个问题均用"是"或"否"回答.

⑴共收取调查问卷100份，其中答案为"是"的问卷为60份，求一个业主对物业工作表示满意的概率，已知

该小区共有业主500人，估计该小区业主对物业工作满意的人数；

（2）现为了提高对物业工作满意的业主比例，对小区业主进行随机访谈，请表示不满意的业主在访谈中提出

两个有待改进的问题.

（i）若物业对每一个待改进的问题均提出一个相应的解决方案，该方案需要由5名业主委员会代表投票决

定是否可行.每位代表投赞同票的概率均为;，方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，并最终解决该问

题，求某个问题能够被解决的概率P。；

（ii）假设业主所提问题各不相同，每一个问题能够被解决的概率都为无，并且都相互独立.物业每解决一

个问题，业主满意的比例将提高一个百分点.为了让业主满意的比例提高到80%,试估计至少要访谈多少位

业主？

【答案_】⑴；3，375人

4

17

⑵（i）—；（ii）至少要访谈48位业主

O1

【详解】⑴记：事件A="业主对物业工作表示满意"，则「（4祥+":=黑=2伊）==,

55210074

3

所以，500x^=375（人），

4

故该小区业主对•物业工作表示满意的人数约为375人：

（2）（i）由已知得，每位代表投赞同票的概率均为:，

方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，所以《=（：[£|:6]+砥（£]4・|+^[£[=3，

故某个问题能够被解决的概率4=S17;

O1

（ii）设至少要访谈"位业主，由（1）知，该小区业主对物业工作满意的概率为33,

4

要使业主满意的比例提高到80%,则有

|1--|x—x2>（80%--|xioo^>n>—»47.6,

I4）81I4j17

故至少要访谈48位业主.

学名校模拟

1.（2023・安徽安庆•校联考模拟预测）体育课上，体育老师安排了篮球测试，规定：每位同学有3次投篮机

会，若投中2次或3次，则测试通过，若没有通过测试，则必须进行投篮训练，每人投篮20次.已知甲同

学每次投中的概率为g且每次是否投中相互独立.

⑴求甲同学通过测试的概率;

（2）若乙同学每次投中的概率为|且每次是否投中相互独立.设经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮

训练的投篮次数之和为X,求X的分布列与均值；

⑶为提高甲同学通过测试的概率，体育老师要求甲同学可以找一个"最佳搭档"，该搭档有2次投篮机会，

规定甲同学与其搭档投中次数不少于3次，则甲同学通过测试.若甲同学所找的搭档每次投中的概率为

夕（0＜。＜1）且每次是否投中相互独立，问：当p满足什么条件时可以提高甲同学通过测试的概率？

【答案】⑴g

（2）分布列见解析，合410

⑶”（川

【详解】（1）由条件知甲同学通过测试的概率为

（2）由（1）可知甲同学没有通过测试的概率为

22

根据题意乙同学通过测试的概率为C；x（|jx；+C：x停）=称,

所以乙同学没有通过测试的概率为1-9207,

2727

则X=0,20,40,

因尸（x=。）毛碟吟

…171201

P（X=20）=—x----1—x—=一

'72272272

、177

P（X=40）=—x—=——

'722754

于是X的分布列为:

X02040

107

P

27254

所以E（X）=0xW+20x，+40xN=..

V72725427

（3）由题意知甲投中1次，其搭档投中2次的概率为C；xTx（；Jxp2=|p2：

甲投中2次，其搭档至少投中1次的概率为：

x；x[c；p（l-p）+p[=«2p-p2）；

所以甲同学通过测试的概率为[□/+a（22-/）+101

88、7848

根据题意可知;p+1>g,则p>:,

又pe（O,l），

所以当Pe（；，1）时.，可以提高甲同学通过测试的概率.

2.（2023•湖南常德,二模）某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A,B,C=

款软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数

⑴从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率；

⑵从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选A,B

两款软件学习的概率都是!，且他们选择A,B,C任一款软件都是相互独立的，设这三名学生中下午自习

时间选软件c的人数为3求g的分布列和数学期望.

【答案】⑴913

OO

（2）分布列见解析,E⑷=2

【详解】（1）解：由题知，从这12人中随机抽取2人，共有C2=66种可能情况，

记"这2人恰好来自同一班级"为事件A,

则事件A包含的可能情况有：6+C；+C；+C；=3+1+3+6=13种,

13

所以，P（A）=—

oo

（2）解：由题知，&的可能取值为0』,2,3,

因为选A,B两款软件学习的概率都是!，且他们选择A,B,C任一款软件都是相互独立的

0

112

所以，他们选择C款软件学习的概率是1-7-7=!

663

所以，这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为48（3彳）

所以，%=。）=嚅MV，P（I）=4|J©吟心

尸（g=3）=c；停词Y

3.（2023•湖南株洲•统考一模）2023年亚运会在中国杭州举办,开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预定，

亚奥理事会规定：开幕式门票分为A、B两档，当预定A档未成功时，系统自动进入8档预定，己知获得A

档门票的概率是:，若未成功，仍有。的概率获得8档门票的机会;而成功获得其他赛事门票的概率均为5,

542

且获得每张门票之间互不影响.甲预定了一张A档开幕式门票，一张赛事门票；乙预定了两张赛事门票.

⑴求甲乙两人都没有获得任何门票的概率；

⑵求乙获得的门票数比甲多的概率.

【答案】⑴二3

呜

【详解】（1）由题意可得：预定一张开幕式门票不成功的概率《=（1成功的概率为

设甲获得的门票数为X,则X的可能取值为0,1,2,

故尸(X=o)=1n/v211

|x(i和(x=i)=MLM—,P(X=2)=—x—=—

I10'7525217525

故X的分布列为:

X012

3j_]_

P

Io25

设乙获得的门票数为y,则y42,g）,

故尸(y=0)=(j；I14

故y的分布列为:

313

故甲乙两人都没有获得任何门票的概率p=p（x=。）叩=。）=而3,

（2）由（1）可得：乙获得的门票数比甲多的概率

3131117

p=p(x=o)p(y=i)+p(x=o)p(y=2)+p(x=i)p(y=2)=—x-+^x-+-x-=—

【题型五】超几何分布

超几何分布列

「k「n-k

在含有M件次品的N件产品中，任取〃件，其中恰有X件次品，则25=期=2",-0,1,2,…，m,

其中，/=min{M,”}，且〃WN,MWN,w,M,NWN"©.

X01…m

✓~»00x-»/n「n-m

"4N-M

P.・・

1C'N

若随机变量X的分布列具有上表的形式，则