完整高等数学考试题库(附答案)

完整)高等数学考试题库(附答案)

高数》试卷1(上)

一.选择题(将答案代号填入括号内，每题3分，共30

分)。

1.下列各组函数中，是相同的函数的是()O

A)f(x)=ln(xA2)和g(x)=21nx

B)f(x)=|x|和g(x)=xA2

C)f(x)=x和g(x)=xA2/x

D)f(x)=2|x|和g(x)=l/x

答案：A

2.函数f(x)=ln(l+x)在x=0处连续，则a=()。

A)1

B)0

C)-1

D)2

答案：A

3.曲线y=xlnx的平行于直线x-y+l=O的切线方程为()。

A)y=x-l

B)y=-(x+l)

C)y=(lnx-l)(x-l)

D)y=x

答案：C

4.设函数f(x)=|x|,则函数在点x=0处()o

A)连续且可导

B)连续且可微

C)连续不可导

D)不连续不可微

答案：A

5.点x=0是函数y=x的()。

A)驻点但非极值点

B)拐点

C)驻点且是拐点

D)驻点且是极值点

答案：A

6.曲线y=4|x|/x的渐近线情况是O。

A)只有水平渐近线

B)只有垂直渐近线

C)既有水平渐近线又有垂直渐近线

D)既无水平渐近线又无垂直渐近线

答案：B

7jf(l/xt)dx的结果是()o

A)f(l/x)+C

B)-f(x)+C

C)f(-l/x)+C

D)-f(-x)+C

答案:C

8jex+i(-x)dx的结果是O。

A)arctan(eAx)+C

B)arctan(eA(-x))+C

C)ex-eA(-x)+C

D)ln(ex+eA(-x))+C

答案：D

9.下列定积分为零的是()o

A)JTI/4△兀/2sinxdx

B)fOA7i/2xarcsinxdx

C)f-2Al(4x+l)/(xA2+x+l)dx

D)fOA?i(xA2+x)/(eAx+eA(-x))dx

答案：A

10.设f(x)为连续函数，则Jf(2x)dx等于()o

A)f(l)-f(O)

B)f(2)-f(0)

C)f(l)-f(2)

D)f(2)-f(l)

答案:B

二.填空题(每题4分，共20分)。

1.设函数f(x)=eN-2x-l),x±0,x在x=0处连续，则a=l.

2.已知曲线y=f(x)在x=2处的切线的倾斜角为TI/4,则

3.y=xA2/(x+l)的垂直渐近线有1条。

AAAA

4.f(x3+2x)/(x2+l)dx=f(x-l)dx+f(x2+l)/(x2+l)dxo

5.设y=f(x)是由y=x^3-xA2+x-1旋转一周所得至U的曲线，

贝1]Jf(x)dx=J(x人3-x人2+x-1)dx/27i。

l.B2.C3.A4.A5.D6.B7.C8.B9.D10.C

二。填空题

1.1/22.1/33.21n|x+l|-21n|x-l|4.arctan(x+l)+C5.2/3

三。计算题

1.(1)eA2(2)1/6

2.y'=l/(x+y-l)

3.(1)l/21n|x+l|-l/21n|x-3|+C(2)ln|xA2-aA2|+ln|x+a|+C(3)

-eA-x(x+2)+C

四。应用题

1.略

2.S=5/2

一.改错题

6.以下结论正确的是(B)函数y=f(x)导数不存在的点，一定

不是函数y=f(x)的极值点。

7.设函数y=f(x)的一个原函数为xe,则f(x)=(B)2x-eo

8.若Jf(x)dx=F(x)+c,则Jsinxf(cosx)dx=(B)-F(sinx)+co

9.设F(x)为连续函数，则J(f(l)-f(x))/xdx=(C)2(f(2)-f⑴)。

10.定积分1badx(a<b)在几何上的表示为(C)矩形面积(a-

b)xl.

二.填空题

1.设f(x)=(l-cosx)/(xA2),在x=0处连续，则a=2.

2.设y=sinx,贝Idy/dx=cosx。

3.函数y=x/(x人2-1)的水平和垂直渐近线共有2条。

4.不定积分xlnxdx=xlnx-x+C。

5.定积分］(-1)人1dx/(xA2sinx+1)=TI/2.

三.计算题

1.求下列极限：

①lim(l+2x)7i/2

lim(1+2X)(7I/4)/(XTI/4)

2兀/兀=2

@limx—>+oo(l/x-arctanx)

limx^-+oo(1-xarctanx)/(xA2(1+arctanA2x))

limx一+oo(1-arctanx/x)/(x(1+arctanA2x))

0/oo=0

2.由y=l-xe得e=l-y/x,对两边求导可得：

de/dx=-y/xA2

代入e=l-y/x,#y--x/(x-y)o

3.求下列不定积分：

@tanxsecA3xdx=-l/2secx+C

®fydx=l/21n(xA2+aA2)+C

③Jx人2exdx=xA2ex-2xex+2ex+C

四.应用题

1.已知f(x)在［0,2兀］上连续，J.fOA27if(x)dx=7i,则

fOA7if(x)dx=7i/2.

证明：由于f(x)在［0,2利上连续，故f(x)在［0两和［兀,2兀］上

也连续。则有：

0人2兀f(x)dx=10人兀f(x)dx+［兀a271f(x)dx

由于f0A27if(x)dx=7i,故有：

OA7lf(X)dx=7l/2-f7lA27lf(X)dx

又因为f(x)在［兀,2兀］上连续，故存在c£［7i,27i］,使得

J兀人2兀f(x)dx=2兀f(c)o代入上式可得：

0A7lf(X)dx=7l/2-27lf(C)

由于f(x)在［0,2兀］上连续，故f(c)也存在，故Jo、f(x)dx存

在。因此，证毕。

1.作出函数y=(2/3)x-x的图像(表格如下)。

xIy

3|2

211

1|0

010

11-1

2|-2

31-3

2.计算由两条抛物线：y=x2和y=-x2所围成的图形的面积。

解：两条抛物线的交点为(0,0)和(0,1),对称轴为y轴。因

此，所求面积为：

int_{-l}A{0}(-xA2-xA2)dx+\int_{0}A{l}(xA2-xA2)dx=\int_{-

1}A{1}xA2dx=\frac{2}{3}$$

1.满足初始条件y(l)=e的特解。

2.原式=lim(x->3)(x+3)/(x人2-9)=1/3.

3.原式=lim(x->8)(l+l/x)A(2x)=eA2.

4.y-(x+2)A2/2,y'(0)=l/2,dy=-sin(x)eAcos(x)dx,

y=ex+y(l+y,-y/x)o

A

5.原式=lim(X->2)(x-2)cos(X)+C/x2=2C/4+1=1/2+C。

6.原式=S=(l/3)x%3)+(l/2)x人(2)+C。

7.特征方程1人2+61+13=0,解得r=-3±2i,所以y=eA(-

3x)(Clcos2x+C2sin2x)0

8.原式=1(eAx)/(x-l)dx=ln|x-l|eAx+C,由y(l)=O可得C=-e,

所以y=(x-l)/(xe)+l/eo

一、选择题

1.函数y=ln(l-x)+(l/(x+2))的定义域是(-2,1)。

2.极限lim(eAx/x)的值是+oo。

3.极限lim(x->l)(sin(x-1)/(1-x”2)的值是1/3.

二、填空题

A

1.满足初始条件y(l)=e的特解为y=e(x-l)/(x-l)o

2.原式=lim(x->3)(x+3)/(x人2-9)=1/3.

3.原式=lim(x->ooXl+l/x)A(2x)=eA2.

4.y-(x+2)A2/2,y'(0)=l/2,dy=-sin(x)eAcos(x)dx,

y=ex+y(l+y,-y/x)o

5.原式=f(eA(2x))/(2x)dx=l/(eA2-1)。

三、XXX

l.y'=(x+2)人2/2,y'(0>l/2,求y的解析式。

AAA

解：y'=(x+2)2/2,y'(0)=l/2,所以y=(l/3)x3+(l/2)x2+C0

代入y'(0)=l/2可得C=l/2,所以y=(l/3)xA3+(l/2)xA2+l/2.

2.求lim(x->l)(sin(x-1)/(1-x)A2)的值。

解：将sin(x-l)/(l-x)A2化简为-sin(x-l)/[(x-l”2*(l+x-l)],

再将x-1替换为t,原式变为-lim(t->0)(sin(t)/tA2),这是一个标

准的极限形式，解得值为1/3.

3.求y'=-(y/x)sin(x)+cos(x),y(7c/2)=l的特解。

解：将y'=-(y/x)sin(x)+cos(x)改写为y'+(l/x)sin(x)y=cos(x),

AA

然后乘以e(f(l/x)sin(x)dx)=eln|x|=x,得到xy'+sin(x)y=xcos(x)0

解这个一阶线性微分方程得到y=(l/x)eA(-

fsin(x)/xdx)[fx*cos(x)eA(fsin(x)/xdx)dx+C]o由y(7i/2)=l可得

C=0,代入得到y=(x/ji)eA(-

AA

fsin(x)/xdx)[f7i/2x*cos(x)e(fsin(x)/xdx)dx]0

高数》试卷5(上)

、选择题（每小题3分）

1、函数y=2+x+l/lg(x+l)的定义域是O.

A、(-2,-1)U(,-8)B、(-l,)U(,-g)C、(-l,)n(,-8)D、(-l,+8)

2、下列各式中，极限存在的是().

A、limcosxB、limarctanxC、limsinxx-oox—oox—ooD、

xlim一+oo(2-l/e)

3、limxfx)(l+x)x=().

A、eB、e2C、ID、1/e

4、曲线y=xlnx的平行于直线x-y+l=0的切线方程是O.

A、y=xB、y=(lnx-l)(x-l)C,y=x-lD、y=-(x+l)

5、已知y=xsin3x,贝Udy=O.

A、(-cos3x+3sin3x)dxB、(sin3x+3xcos3x)dxC、

(cos3x+sin3x)dxD、(sin3x+xcos3x)dx

6、下列等式成立的是O.

A、fxadx=l/xa-l+CB,faxa+ldx=axlnx+CC>y2+21-

x2=CD、cosxdx=sinx+Cfl/(l+x2)

7、计算esinxsinxcosxdx的结果中正确的是O.

A、esinx+CB、esinxcosx+CC、esinxsinx+CD、

esinx(sinx-l)+C

8、曲线y=x2,x=0,x=l,y=l所围成的图形绕y轴旋转

所得旋转体体积V=().

A、TI/6B、兀/12C、TI/20D、兀/30

9、设a>0,贝1]Ja2-x2dx=O.

A、aB、兀/2C、a2D、;ia2/4

10、方程()是一阶线性微分方程.

A、xy'+ln2y=0B,y，+exy=x2C、(l+x)y'-ysin(y)=0

D、xy'dx+(y-6x)dy=0

二、填空题(每小题4分)

1、设f(x)={ex+l.x<0.ax+box>0},则有limf(x)=,

limf(x)=；

答案：-l.a+b+1

2、设y=xe,则y"二;

答案：0

3、函数f(x)=ln(l+x)在区间[-1,2]的最大值是,最小

值是一;

答案：ln3.0

4、Jx-ll/(l+x2)dx=o

答案：-ln2

3cos(x)dx=3sin(x)+C；

5、微分方程丫"-3丫'+2丫=的通解是y=CleA2x+C2eAx；

计算题：

1、求极限lim(x->l)[(13-2)/(x-l)+(x-2)]=11；

2、求y=l-xA2arccosx的导数，利用链式法则和反三角函

数的导数公式，得到y'=