2022-2023学年河南省南阳市新野县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省南阳市新野县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列式子正确的是（）

A.v'49=±7B.(—•\/~3)2———3C.2-\/-3—AAS=2D.XV-2=y]~6

2.关于X的方程尤2+jn比一小2=一5的一个根是4,那么772的值是（）

A.-3或4B.—3或7C.3或4D.3或7

3.如图，点D为△ABC边力B上任一点，DE〃BC交力C于点E,连接BE、CD相交于点

F,则下列等式中不成立的是（）

.ADAE

A•丽=诙

口DE_DF

D.-=--

BCFC

「DEAE

C.—=—

BCEC

nEFAE

L).——=——

BFAC

4.如图，在△ABC中，zC=90°,乙4=15。，点。是/C上一点，连接

Z-DBC=60°,BC=2,则40长是()

A.4

5.如图，在4X4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都「

।

在这些小正方形的顶点上，则的值为（）〉

C.2

D.3

6.关于工的一元二次方程0-2）/+2%+1=0有实数根，则根的取值范围是（）

A.m<3B.m<3C.m<3且THW2D.m<3且mW2

7.某超市在“国庆黄金周”期间开展有奖促销活动，每买100元商品，可参加抽奖一次，中奖的概率为5

小明这期间在该超市买商品获得六次抽奖机会，则小明（）

A.能中奖一次B.能中奖二次C.至少能中奖一次D.中奖次数不能确定

8.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABPs/X添加一个条件，不正

确的是（）

A.^ABP=乙CB.乙APB=^ABC

厂AP_ABnABAC

D.——=——

^'AB~ACBPCB

9.若抛物线y=/+b%+c的顶点在无轴上，且不等式%2+力％+c〉7n的解集为Xv—1或%>3,则m的值

为（）

A.4B.3C.2D.1

10.二次函数y=口一+法+0的图象如图所示，下列结论中正确的有（）

①abc<0；②/-4ac<0；③2a>b；④（a+c）2<b2.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.一元二次方程式。+1）=0的解是.

12.如图，在正方形ABC。中，E为/。的中点，连接BE交AC于点F.若48=6,则4

ZEF的面积为

BC

13.如图，斜坡4B的坡度是1：2,如果点B离地面的高度8c是3米，那么斜坡

4B的长度是米.

14.如图，随机闭合开关X，S2,S3中的两个，能让灯泡发光的概率是.

15.已知二次函数y=a/-4a久+3a,若当时，y的最大值是4,则a的值为.

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题8分)

计算：一O•(2+门)+(2--(sin45°)-1.

17.(本小题9分)

已知关于X的方程(k-l)x2+(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实数根.

(1)求k的取值范围；

(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程/一4x+k=0与/+6久一1=o有一个相同的根，求

此时m的值.

18.(本小题9分)

己知：如图，在ATIBC中，AB=AC,点。、E是边BC上的两个点，且BO=DE=EC,过点C作CF〃28交

4E延长线于点F，连接FD并延长与交于点G.

(1)求证：AB=4BG；

(2)连接4D,如果N4DG=乙B,求证：DC2=AC-CF.

A

19.(本小题9分)

如图大楼48和大楼CD相距140米，在大楼CD的顶端有一信号发射塔DE,已知大楼48的高为120米，在大

楼底4处测得大楼CD的顶端。的仰角为60。，在大楼4B的顶端B处测得发射塔的顶端E的仰角为45。，求发射

塔。E的高度.(73~1.7)

20.(本小题9分)

I

建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为A2,4,A4,女生分别记为B，B2,a.学

校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动.

(1)若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是;

(2)若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是4或名的概

率.(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)

21.(本小题9分)

某商店开始时，将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件，店方想采用提高售价的

办法来增加利润.经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件.

(1)如果涨价3元，每天的销售利润是多少？

(2)如何定价，使每天所得的利润最大？最大利润是多少？

22.(本小题10分)

如图，直线八y=—x+2与抛物线C：y=一乂+4相交于点a,B两点.

(1)求/,8两点的坐标.

(2)将直线，向上移矶a>0)个单位长度后，直线/与抛物线C仍有公共点，求a的取值范围.

(3)点P为抛物线上位于直线4B上方的一动点，过点P作直线4B的垂线段，垂足为Q点.当PQ=苧时，求

点P的坐标.

23.(本小题12分)

下面是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容.

例2如图，在RtAABC中，乙4cB=90。，CD是斜边4B上的中线.EA

求证：CD=3AB.1\/

证明：延长CD至点E,使DE=CD,连结4E、BE.

BC

请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程.

(1)如图②，直角三角形4BC纸片中，^ACB=90°,点。是4B边上的中点，连结CD,将△4CD沿CD折

叠，点4落在点E处，此时恰好有CE若8c=3,那么CE=—.

(2)如图③，在AABC中，4D是BC边上的高线，CE是4B边上的中线，G是CE的中点，CD=4E.若4B=

10,DG=2,贝UCOSNBCE=

图②图③

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：X.=7,所以a选项不符合题意；

3.(—4)2=3,所以B选项不符合题意；

C，2^J~3—=V-3,所以C选项不符合题意；

D.y/~3XV-2=V3X2=YE,所以。选项符合题意.

故选：D.

根据算术平方根的定义对a选项进行判断；根据二次根式的性质对B选项进行判断；根据二次根式的加减法

对C选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对D选项进行判断.

本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、加减法法则是解决问

题的关键.

2.【答案】B

【解析】解：4是方程/+加久-m?=一5的一个根，

二把4代入原方程，得4?+4m-m2=-5,

即病_4m-21=0,

解得,m=一3或7,

故选：B.

根据方程的解的含义，把4代入原方程，方程成立，故42+4巾-M2=一5,即爪2一4爪一21=0,解关于

HI的方程即可.

本题考查了一元二次方程的解，就是令方程成立的未知数的值，根据方程解的意义，求待定系数的值，是

常见的考题.

3.【答案】C

【解析】解：-：DE//BC,

"~DB~~EC'

故A正确；

EDFs〉BCF,

•.*.—DE=_—DF,

BCFC

故3正确;

•••△ADE〜工ABC,

••丽―标"说’

故。错误；

..里_丝AE__DE_

'~BF~~BC9~AC~~BC"

tEF__AE_

•'~BF=AC9

故。正确，

故选：c.

由DE〃BC根据平行线分线段成比例定理得黑=等，可判断A正确；

UD匕C

由4EDFf8CF根据相似三角形的对应边成比例得等=*,可判断B正确；

BCFC

由△ADEsAABC得饕=喋HM，可判断C错误；

BCACEC

由空=三，AEDE得空=竺，可判断£,正确.

BFBCAC=BCnBFAC

此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，找到相似三角形的对应线段是解题的

关键.

4.【答案】A

【解析】解：NC=90。，Z.DBC=60°,

.­.Z.BDC=90°-ADBC=30°,

BD=2BC=4,

•••zX=15°,

•••4ABD=4BDC-ZX=15°,

•••Z4=4ABD=15°,

AD=BD—4,

故选：力.

根据直角三角形的两个锐角互余可得NBDC=30。，可得BD=2BC=4,然后利用三角形外角的性质可得

乙ABD=15°,从而可得NA=AABD=15°,即可解答.

本题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：由网格以及勾股定理可得，

AB=V22+22=2-\/-2,BC=VI2+I2=V-2»AC=V32+l2=V10,

・•・+BC2=8+2=10=AC?,

・•.△ABC是直角三角形，且乙48c=90。，

t3.ri.Z-BAC=—r=—,

ADL

故选:B.

根据网格构造直角三角形，利用勾股定理求出三边的长，进而由勾股定理的逆定理得出直角三角形，由锐

角三角函数的定义可求出答案.

本题考查解直角三角形，掌握勾股定理，勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键.

6.【答案】D

【解析】解：••・关于久的一元二次方程⑺一2)久2+2久+1=。有实数根，

m—20且0,即2?—4x(m—2)x120,解得m<3,

m的取值范围是巾<3且m丰2.

故选：D.

根据一元二次方程a/+。久+©=0(a丰0)的根的判别式△=b2-4ac的意义得到m-2力。且A20,即

22-4x(m-2)xl>0,然后解不等式组即可得到根的取值范围.

本题考查了一元二次方程a/+6久+c=0(a40)的根的判别式△=炉-4ac：当△>0,方程有两个不相

等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有实数根.

7.【答案】D

【解析】解：根据随机事件的概率定义判定，中奖次数不能确定.

故选：D.

本题考查概率公式，解答此题要明确概率和事件的关系：

①P(4)=0为不可能事件；

②PQ4)=1为必然事件；

③0<P(&)<1为随机事件.

由于中奖概率为，说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生.

8.【答案】D

【解析】解：4、当乙48P=NC时，又•••乙4=乙4,-.AABP-AACB,故此选项错误；

B、当乙4PB=时，又•••〃=〃，.MABPFACB,故止匕选项错误；

C、当会=黎时，又,•・NA=N4.•.△4BPSA4CB,故此选项错误；

D、无法得至以ABPSAACB,故此选项正确.

故选：D.

分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可.

此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键.

9【答案】A

【解析】解：•・・抛物线y=x2+bx+c的顶点在无轴上，

•••b2—4c=0,

b2

••・c=

,.,不等式％2+bx+c>zn的解集为％<—1或%>3,

•••x=-1或％=3是关于%的方程%2+/）%+c-m=0的解，

庐

1—b+-——m=0

4，

（9+3b+^-m=0

解得F=I2-

i?n=4

・•.m的值为4,

故选：A.

根据抛物线y=x2+bx+c的顶点在无轴上得出c=—，再根据不等式％2+bx+c>?n的解集为X<一1或

4

x>3可以得出x=-1或久=3是关于光的方程/+bx+c-m=0的解，然后解方程组即可求出zn的值.

本题考查了二次函数与不等式（组）以及二次函数与一元二次方程的关系，关键是对二次函数性质的掌握.

10.【答案】A

【解析】解：•••抛物线开口向下，抛物线与y轴交点在y轴正半轴，

a<0,c>0,

••・抛物线对称轴在y轴左侧，

b<0,

•••abc>0,

故①错误.

•.•抛物线与x轴有2个交点，

b2—4ac>0,

故②错误.

由图象对称轴可得—1〈一把<0,

2a

va<0,

2a<b,

故③错误.

当％=1时，yV0,即a+h+c<0,

当久=—1时，y>0,即a—b+c>0,

・•・(a+b+c)(a—h+c)=(a+c)2—62<0,

(a+c)2<b2.

故④正确.

故选：A.

由图象可得a,b,c的符号，从而判断①，由图象与x轴交点个数可判断②，由对称轴直线x=-/的取值

范围可判断③，把x=1和x=-1分别代入函数可求得(a+c)2与62的关系，从而进行判断.

本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是熟练掌握二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程

及不等式的关系.

11.【答案】x=0或一1

【解析】解：x(x+1)=0,

・•・x=0或久+1=0,

・•・x=0或久=—1,

故答案为：久二0或一1

根据因式分解法即可求出答案.

本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型.

12.【答案】3

【解析】解：•・・四边形ABC。是正方形，

.・.AD=BC=AB=6,AD//BC,

・・・E为AO的中点，

AE=1AB=3,

•・•AE//BC,

AEF^ACBF,

.蛙_空_3_工

••丽―丽一片一5'

•••SME尸：^LABF=1：2，

111

•••^^AEF=3S^ABE=§乂5、3*6=3・

故答案为：3.

由正方形的性质可知AE=3,AD//BC,则可判断△AEFSACBF,利用相似三角形的性质得到黑=黑=

BFBC

然后根据三角形面积公式得到S-EF=也语・

本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判

定是解题的关键.

13.【答案】3A/-5

【解析】解：•••斜坡4B的坡度i=1：2,

.BC_1

"'AC~2'

・••从点B测得离地面的铅垂线高度BC是3米，

31

'''AC=2

解得：AC=6,

则斜坡4B的长为：y/AC2+BC2=V62+32=3=（米）.

故答案为：3A.

先利用坡度的定义，求出水平宽度力C的长，再利用勾股定理得出斜坡4B的长度.

本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理.掌握坡度的定义是解题的关键.坡度是坡面

的铅直高度八和水平宽度2的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写

成？=1：zn的形式.

14.【答案】|

【解析】【分析】

本题考查求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件

的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等.

列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率.

【解答】

解：所有可能出现的结果有：（Si，S2）,（Si，S3）,（52,S3）共3种，

其中能让灯泡发光的有：(S1，S2),(S1，S3)2种，

•••能让灯泡发光的概率：P=g=京

OD

故答案为：|.

15.【答案】《或一4

【解析】解：,；二次函数y=ax2—4ax+3a=a(x—2)2—a

••・抛物线的对称轴是直线久=2,

1•11<x<4,

・・・当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴直线x=2右侧y随x的增大而增大，

当x=4时y有最大值，

aX(4-2)2—a=4,解得a=—,

当a<0时，抛物线开口向下，x=2时y有最大值，

ax(2—2/-a=4,解得a=-4.

故答案为：(或-4.

先求出抛物线的对称轴是直线久=2,然后分a>。和a<0两种情况讨论，根据函数增减性即可求出a的

值.

本题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.

16.【答案】解：原式=(2-3)+(2+1-272)-72

=2-3+2+1-2A/-2—V-2

=2-3<2.

【解析】利用平方差公式对算式进行处理并将相应的特殊角的三角函数值代入算式，按照相关的运算法则

进行运算即可.

本题综合考查了二次根式的运算和特殊角的三角函数值.在进行二次根式混合运算的时候，可以适当地运

用乘法公式简化运算.不注意运算顺序是进行二次根式混合运算的过程中容易出错的地方.特殊角三角函

数值是中学数学的重要内容也是常考知识点，需要重点记忆.

17.【答案】解：(1)△=(2k-3)2-4x(fc-l)(/c+1)

=4fc2-12/c+9-4fc2+4

=-12k+13,

•••方程(k-1)/+(2k—3)久+k+1=0有两个不相等的实数根，

-12k+13>0,

解得：k<

又,:fc-10,

・•.k<装且k丰1时，方程有两个不相等的实数根；

(2)•••k是符合条件的最大整数，

•••k=0,

x2—4%=0,

x—0或4,

当久=0时，x2+mx—1=0无意义；

当久=4时，42+4m-1=0

15

m=-y-

【解析】本题考查的是一元二次方程的定义与一元二次方程根的判别式，一元二次方程J/+必+C=

0(a。0)的根与△=b2—4ac有如下关系：①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0

时，方程有两个相等的两个实数根；③当△<()时，方程无实数根.上面的结论反过来也成立.

(1)求出一元二次方程根的判别式，根据题意列出不等式，解不等式即可；

(2)根据题意确定k的值，计算即可.

18.【答案】证明：(1)・・・BD=DE=EC,

・•.BE=2CE,CD=2BD,

•・•CF//AB,

ABE^LFCE,△BGD^LCFD,

.殁_堂BG_BD_1

''~FC~'CE~~FC~~CD~2,

即AB=2FC,FC=2BG,

AB=4BG；

(2)•••Z.GDA=乙B,/-DAG=乙BAD,

・•.△DAG〜△BAD,

•••Z-AGD=乙ADB,

Z-B+Z-GDB=Z-ACB+Z.CAD,

又•・.AB=AC,乙GDB=(CDF,

•••Z-B=Z-ACB,

••・乙CDF=Z.CAD,

•・•CPUAB,

••・Z-BCF=Z-B,

•••Z-DCF=Z-ACD,

，△ACD~〉DCF,

tcp^_AC_

•'~CF=~CD，

DC2=AC-CF.

【解析】(1)由8D=DE=EC知BE=2CE,CD=2BD,由CT//A8证△FCE,ABGD〜ACFD得

学=萼=2,裳=黑=/即4B=2FC,FC=2BG,即可得证；

FCCEFCCD2

(2)由NGDA=NB,/.DAG=A.BAD,VEADAG^^BAD,可得N2GD=NADB,gpzfi+ZGDB=/.ACB+

ACAD,结合NB=NACB得NCDF=NOW,再由CF//AB得，继而知NDCF=N4CD,即可证△力。。“小

DCF,即可得证.

本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形外角性质和平行线的性质及边角的转化得出三角

形相似所需要的条件是解题的关键.

19.【答案】解：延长B处的水平线交CD于F,

由题意知：AC=BF=140米，

在^ACD中，DC=ACtan60°=1400米，

在ABEF中，EF=BFtan45°=140,

FC=AB=120,DF=CD-CF=（140■一120）米,

CE=EF+CF=140+120=260（米），

DE=CE-CD=260-140A43«22（米），

答：塔DE的高度约为22米.

【解析】延长8处的水平线交CD于尸，利用解直角三角形解题即可求解.

本题考查解直角三角形的应用，能作辅助线构造直角三角形是解题的关键.

20.【答案】解：(1)|;

(2)画树状图如下：

BiB?B3B[B?B3Bi场BjBiB?B?

共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是4或%的结果有6种,

二抽得的2位学生中至少有1位是4或4的概率为盘=

【解析】【分析】

此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以

上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

(1)直接由概率公式求解即可；

(2)画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是4或%的结果有6种，再由概率

公式求解即可.

【解答】

解：(1)若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是5,

故答案为：5；

(2)见答案.

21.【答案】解：(1)如果涨价3元，

则每天售：100—3x10=70(件)，

每件单价为13(元)，

•••涨价3元利润为：13x70-70x8=350(元)；

(2)设涨价x元，利润为y元，

则每天售：100-10x(件)，

每件单价为：10+久(元)，

.­.y=(100-10x)(10+x)-8(100-10x)

=-10x2+80x+200,0<x<10

=-10(%-4)2+360,

.•.当x=4时y有最大值，最大值为360元，

即涨价4元利润最大，最大利润是360元.

【解析】(1)直接根据题中的逻辑关系即可求解；

(2)题中等量关系为利润=(售价-进价)x售出件数，根据该等量关系列出函数关系式，再的函数关系式配

方，根据配方后的方程式即可求出y的最大值.

本题考查了二次函数的应用，准确理解题目中的逻辑关系及正确列出二次函数是解题的关键.

22.【答案】解：(1)令—％+2=--^x2—x+4)

解得x—±2,

.•.点4的坐标为(2,0),点B的坐标为(—2,4).

(2)由题意可得y=-x+2+a,

(y=—x+2+a

联立1

[y=--x2—x4

1

--%2Q+2-a=0,

•・•直线，与抛物线C仍有公共点.

4=o-4x(-1)x(2-a)>0,

a<2,

0<a<2；

(3)作PE1x轴于点E,交AB于点D,作PQ14B于Q,

••,点2的坐标为(2,0),点B的坐标为(一2,4),

2.DAE=4ADE=/.PDQ=45°,

在RtAPQD中，^PDQ=Z.PQD=45°,

PQ=DQ=苧，

PD=JPQ2+DQ2=L

设点P的坐标为(t,一?2一t+4),点。的坐标为(t,-t+2),

***PD=——t2—t+4—(―t+2)=——t2+2,

即一4-2=1,解得t=

•••点P的坐标为(YI,3-或(―3+72).

【解析】(1)令—％+2=——比+4,解得x=±2,即可求得点力的坐标为(2,0),点B的坐标为(一2,4).

(2)先得出平移后的直线I的解析式，与抛物线的解析式联立成方程组，即可得到-2/+2-a=0,根据

题意得到/=