2023年高考数学理一轮复习教学案第2章2-6指数与指数函数

2.6指数与指数函数

【考试要求】

1.理解有理数指数幕的含义，了解实数指数箱的意义，掌握指数恭的运算性质.

2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.

3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.

【知识梳理】

1.根式

(1)如果/=a,那么工叫做a的〃次方根，其中〃>1,且"∈N'.

(2)式子解叫做根式,其中〃叫做根指数，a叫做被开方数.

(3)(锯;)"=目

n

当n为奇数时，^∖[a=af

nr—1a，a20,

当刀为偶数时，y[aπ=Ia∖=]

[—a,a<0.

2.分数指数悬

m

正数的正分数指数第，加=胃(吩0,m,∕7∈N∖∕7>1).

--1I

正数的负分数指数塞，α〃=—7=-----(a>0,加，∕7∈N∖∕7>1).

θ"正，

0的正分数指数幕等于LO的负分数指数幕没有意义.

3.指数幕的运算性质

aa=a+s∙,(a')s=εΓ;(ab)l^=a'Zf(a>O,b>0,r,s∈R).

4.指数函数及其性质

(1)概念：函数y=a'(a>0,且aWl)叫做指数函数，其中指数X是自变量，函数的定义域是R,a

是底数.

(2)指数函数的图象与性质

a>l0<a<l

vIV=Ox

图象(0,1)

定义域R

-值域(0,+∞)

性质过定点(0,1),即x=0时，y=l

当x>0时，y>l；当x<0时,y>l；

当求0时，O<X1当x>0时，0<j<l

在(一8,十8)上是增函数在(-8,+8)上是减函数

【常用结论】

1.指数函数图象的关键点(0,1),(1,a),(—1,ɪj.

2.如图所示是指数函数(l)y=H,(2)∕=⅛',(3)y=c',(4)y=<∕的图象,则c>0>l>a>6>0,即在

第一象限内，指数函数尸H(a>0且a≠l)的图象越高，底数越大.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打"J"或"X”)

(1)¾4)-----4---,=-4.(X)

(2)21,∙26=2t(X)

(3)函数y=3∙2，与y=2"'都不是指数函数.(√)

(4)若a"<a"(a>0,且a≠l),则水〃.(X)

【教材题改编】

1.化简闻(—5)2「的结果为()

A.5B.√5

C.~y∣5D.-5

答案B

_3232χ3I

解析原式=(源户=(5§户=5§==5之=/.

2.函数f(x)=a^'+2(a>0且a≠l)的图象恒过定点.

答案(1,3)

ɪ3

3.已知a=(∙∣);少=(3)一,C=(T)一,则AC的大小关系是

答案c<b<a

解析∙∙∙y=(∣∙)是R上的减函数，

,即a>Z>>l,

又

c<Ka.

题型一指数幕的运算

例1(1)(2022•沧州联考)(ɪɔ2——__(a>o,,>)=

J"。")z0

⑷(0.1)^1∙(α3∙⅛^3)i

gG8

答案7

□

33_3

i

ts^2∙4aV28

解析原式=-----i~L=m

ɔ_£□

10a2h2

33

1J/+/5—3

⑵若χ2+X2=3(χ>0),则\\・

X2+X-2-2

答案I

解析由X?+xE=3,

两边平方，得x+χf=7,

再平方得V+χT=47,

・・・/+尸一2=45.

33ɪɪ

户+”=(X2)3+(X5)3

ɪɪ

=(Xa+x5)(χ-l+χ7)

=3X(7-1)=18.

33

X2+X-3_1

X2+X-2-2=3,

【备选】

巧痂

（2022•杭州模拟）化简(a>0,6>0)的结果是()

ba才β

A.-

BWc∙7D∙7

答案B

3ɪɪ

而42痂a1b∙a^b^

解析-11IIɪ

ɪ\_b

（。万）4γ（〃“步）'∙a3・川

a

2+l-I÷lI+i-2-l

出63〃33

a

思维升华(1)指数哥的运算首先将根式、分数指数幕统一为分数指数募，以便利用法则计算，还

应注意：

①必须同底数基相乘，指数才能相加.

②运算的先后顺序.

⑵当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

跟踪训练1(1)已知a0,则丫。34〃2，。化为()

15

ʌ.庐B.庐

解析原式=(23)^—1+|3—πI+(26)2=4—1+π—3+2=π+8.

题型二指数函数的图象及应用

例2(1)已知实数a,b满足等式202Γf=2022：下列等式一定不成立的是()

A.a=Δ=0B.水伙0

C.0＜水力D.（K伙a

答案C

解析如图，观察易知，水伙0或0＜伙，或a=6=0.

(2)若函数F(X)=I2-21有两个零点，则实数6的取值范围是—

答案(0.2)

解析在同一平面直角坐标系中画出y=∣2'-2∣与尸6的图象，如图所示.

当(K伙2时，两函数图象有两个交点，从而函数/■("=12,—21-6有两个零点.

的取值范围是(0,2).

【备选】

在同一直角坐标系中，指数函数y=g),二次函数y=a∕—法的图象可能是()

答案B

解析指数函数尸的图象位于X轴上方，据此可区分两函数图象.二次函数尸a*—H=

(ax—1))x,有零点一,0.

a

A,B选项中，指数函数，在R上单调递增，故§1,故A错误，B正确.

C,D选项中，指数函数y=g)在R上单调递减，故°<如，故C，D错误.

思维升华(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平

移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.

(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.

跟踪训练2⑴(2022•陕西汉台中学月考)己知函数F(X)=(X—a)(xi)(其中a>li)的图象如图

所示，则函数g(x)=a'+6的图象是()

答案A

解析由图象可知，伏一1,0〈水1,

所以函数g(x)=a'+6是减函数,

g(O)=l+⅛<O,所以选项A符合.

⑵函数f(x)=af的图象如图所示,其中a,6为常数，则下列结论正确的是()

ʌ.a>l,仅0

B.a>l,b>0

C.O<X1,⅛>0

D.0<a<l,仅0

答案D

解析由/(x)=Hi的图象可以观察出,

函数f(x)=a*i在定义域上单调递减，

所以0<水1.

又f(O)=a-"<a",所以一核0,即伏0.

题型三指数函数的性质及应用

命题点1比较指数式的大小

例3(1)(2022•永州模拟)若a=0.3"7,6=0.7",,c=1.2°',则a,b,C的大小关系是()

A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.a>c>b

答案B

解析,/函数y=0.3"在R上是减函数，

Λ0<0.3o∙7<O.3°3<0.30=l,

又：幕函数7=/,在(0,+8)上单调递增,

0.3<0.7,

Λ0<0.3O-3<O.703,ΛO<a<Δ<l,

而函数尸1.2'是R上的增函数,

ΛC=1.20∙3>1.2D=1,.,.c~>b>a.

(2)(2020•全国II)若2'-2<3-'-37则()

A.In(J-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0C.In!Λ­y∣>0D.InIX—y∣<0

答案A

解析设函数F(X)=2'—3;

因为函数y=2'与尸一3一,在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增.

原式等价于2--3-^<2∙,-3Λ

即f(x)<f(y),所以XC%即y—x>0,所以A正确，B不正确.

因为IX-H与1的大小关系不能确定，所以C,D不正确.

命题点2解简单的指数方程或不等式

例4(1)(2022•长岭模拟)己知y=4*-3∙2*+3的值域为[1,7],则X的取值范围是()

A.[2,4]B.(一8,0)C.(0,1)U[2,4]D.(-∞,0]U[l,2]

答案D

解析∙.∙y=4'-3∙2v+3的值域为[1,7],

Λ1≤4Λ-3∙2*+3≤7.

.∙.TW2W1或2W2W4.

ΛA≤O或1≤%≤2.

(2)当(KK4时，方程a'='a>0且a≠l)有解，则实数a的取值范围是

2X

答案(4,+∞)

解析依题意，当XG(θ,0时，y=a"与y=：有交点，作出/=：的图

象，如图,

[d>∖,

所以《ɪ解得a>4.

[di>2,

命题点3指数函数性质的综合应用

例5已知函数f(x)=2&f(〃为常数)，若f(x)在区间[2,+8)上单调递增，则"的取值范围

是.

答案(一8,4]

解析令a，则z=∣2x—加在区间全+8)上单调递增，在区间(一8,号上单调递

减.而y=2'是增函数，所以要使函数f(x)=23"在[2,+8)上单调递增，则有^W2,

即加&4,所以"的取值范围是(一8,Γ.

【备选】

1.下列各式比较大小不正确的是()

A.1.72∙5>1.TC.1.7a3>0.93'

答案A

解析・・・尸1.7'为增函数，・・・L725<L73,故A不正确;

2⅛r7=(;)为减函数,

24

>[3)=2,故B正确;

V1.703>l,而0.9*∈(0,1),

Λ1.703>0.93-1,故C正确;

32

Z

•亨F为减函数，・•・1『<

2

又尸户在(0,+8)上单调递增,

22

r审

322

，rr图，故D正琳

2∙(2。22・泸州模拟)己知函数4)=e'/若F(T)+/■⑸W则实数a的取值范围是

答案[-2,1]

解析因为F(X)=e'—士，定义域为R,

e

f∖-χ)=e^'r--^=±-e'=-F(X)，

ee

所以f(x)=e'一'为奇函数.

e

又因为f(x)=e"一2在R上为增函数，

e

所以f(a-2)+/'(a2)≤0=>f(a-2)

≤—f(a)=f(a-2)≤f(—a?),

即a—2≤-a2,a2+a-2≤0>

解得一2Wa<l.

思维升华(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较

大小还可以借助中间量.

(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等

问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

跟踪训练3⑴设而，A∈R,贝广水"”是“⑸r>l”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析(牙"

.,./77-/XO,Λ∕ZKZ7.

故“水是的充要条件.

2

1∖ΛT-4A+3

-]，若f(x)有最大值3,则a的值为

[ɜj

答案1

解析令g(x)=ax'一4x+3,

则f(x)=(9""，

∙.∙f(x)有最大值3,

∙∙.g(χ)有最小值一1，

fa>0,

则上a-4]解得a=L

课时精练

4

1.(2022•佛山模拟)已知a=2§,b=45,c=5’，则()

A.c<XaB.a<Xc

C.灰水。D.c<a<b

答案A

422

解析因为H=2^=4',6=41

22

所以a=4'>4'=b,

2j_j_

因为b==(46)15=409615,

I-L—

C=5彳=(55)记=3125百，则b>c.

综上所述，a>b>c.

2.若函数F(X)=H的图象如图所示，则()

A.a>l,Z>>l

B.a>l,O<⅛<l

C.0<a<l,⅛>1

D.0<a<l,0<⅛<l

答案D

解析根据图象，函数f(x)=a6是单调递减的,

所以指数函数的底数ae(0,1),

根据图象的纵截距，令X=0,y=l-⅛∈(0,1),

解得b≡(0,1),

即a∈(0,1),⅛∈(0,1).

3.已知函数F(X)=e'-e-,则函数F(x)()

A.是偶函数，且在(0,+8)上单调递增

B.是奇函数，且在(0,+8)上单调递减

C.是奇函数，且在(0,+8)上单调递增

D.是偶函数，且在(0,+8)上单调递减

答案A

解析Vf(x)=e'—e^

Λ∕∙(-χ)=e>—bτ=e∣*-e^,=∕U),

函数F(X)=e"一e-'为偶函数,

当x∈(0,+8)时，f(χ)=e'-e-'=e'-S

；函数y=e"在(0,+8)上单调递增，函数y='在(0,+8)上单调递减，

e

.../'(入)=/一院'在(0,+8)上单调递增，

即函数即力=e`一院*在(0,+8)上单调递增.

4.(2022•福建三明一中检测)函数F(X)=a*(a>0,aWl)在区间［1,2］上的最大值是最小值的2

倍，则a的值是()

11

-C-2

22D.

答案B

解析当a>l时，函数单调递增,

/(x)<≡=2∕(x)*ll,

Λ/(2)=2/(1).

:•甘=∙2a,.∙.a=2;

当0<水1时,函数单调递减,

f(x)αax=2f(x)min,

・・・f⑴=2f⑵，:∙a=2甘,Λ,a=∣,

综上所述，a=2或a=；.

5'函数尸aTa>(),且收1)的图象可能是()

答案D

解析当血时，尸HT为增函数，且在y轴上的截距为(KlT1,此时四个选项均不对；当

(K水1时，函数y=a'—:是减函数，且其图象可视为是由函数F=a"的图象向下平移哭>1)个单位

长度得到，选项D适合.

6.(2020•新高考全国I)基本再生数吊与世代间隔7是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再

生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫

情初始阶段，可以用指数模型：/(t)=e”描述累计感染病例数/(t)随时间公单位：天)的变化规

律，指数增长率r与%,7近似满足后=l+r∕:有学者基于已有数据估计出%=3.28,7=6.据此,

在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为Gn2^0.69)()

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

答案B

解析由吊=l+r7,%=3.28,7=6,

由题意，累计感染病例数增加1倍，

则/(t2)=2/(幻,即e°∙38"=2e°∙3M,

所以e°∙38("f)=2,即0.38(z⅛-力)=ln2,

,In20.69C

PrrJrκLl/­)——3=--------J≈e---------⅜:18

加外210.380.38

7.已知a>0,

(«3∙∕J^')2-a2-b3

(ab5Y

_!IIL

a5・京∙Q'•6

Iʒ

aβ∙bβ

LLJ1l,ʒ

6Zi^3^6.⅛3+2^^=l

a≤X0,

8.己知函数F(x)=<的值域是[—8,1],则实数a的取值范围是

ɪ+2%,0≤%≤4

答案[-3,0)

解析当OWXW4时，Λx)∈[-8,1],

当aWx<0时，f(ʃ)∈一"，—1),

所以一"，-1)[—8,1],

即一8≤—~<—1,即—3≤a<0.

所以实数a的取值范围是[-3,0).

9.已知函数F(X)=O∙H(其中a,，为常数，且a>0,aWl)的图象经过点力(1,6),8(3,24).

⑴求f(x)的解析式；

(2)若不等式S'+[J)'—0》O在(-8,1]上恒成立，求实数0的取值范围.

解⑴因为/U)的图象过点4(1,6),5(3,24),

b∙刘=6,

所以所以a=4,

b•才=24.

又a>0,所以a=2,6=3.

所以F(X)=3•2：

(2)由(1)知a=2,6=3,

则当X£(—8,1］时,

1,)+(彳)'一启°恒成立，

即辰G)+(")在(-8,1］上恒成立.

又因为尸曲与7=(；)在(-8,1］上均单调递减，所以尸出+椒在(-8,1］上也单调递

减，所以当X=I时，y=6}+Q)有最小值/所以人畜即0的取值范围是(一8,I.

10.已知定义域为R的函数f(x)=a'—α-l)a->(a>0且a≠l)是奇函数.

(1)求实数A的值；

(2)若F(I)〈0,判断函数f(x)的单调性，若f(序-2)+FW)>0,求实数0的取值范围.

解(I)："%)是定义域为R的奇函数，

Λ/(O)=a-［k-1)aI)=I-(A-I)=0,

.∙.k=21

经检验A'=2符合题意，；.4=2.

(2)f(x)=ajr-a^x(a>O且a≠l),

V∕(l)<0,

；.a—，<0,又a>0,且a≠l,

a

Λ0<a<l,

而尸=a"在R上单调递减，y=a-'在R上单调递增，

故由单调性的性质可判断Ax)=H—aC在R上单调递减，

不等式/■(后一2)+/■(㈤>0

可化为f(πf-2)>Λ-∕ri),

.∖m—2<—m,即πf+∕n—2<0,

解得一2〈欣1,

.∙.实数加的取值范围是(-2,1).

11.已知(Xa<ZKl,贝∣J()

I

A.(l-a)*>(l-a)t

b

B.(l-a)4>(l-a)2

C.(l+a)*>(l+⅛)i

D.(l-a)*>(l-⅛)6

答案D

解析因为(Ka〈1,所以0<l-aG,

所以y=(l-a)'是减函数，又0〈伙1,

所以[>6,吟,

b

所以(1-α)"<(1—a)",(1—a)"〈(一)2,

所以AB均错误;

又l<l+a<l+⅛,

所以(l+a)%(l+拉,<(1+6)’,

所以C错误;

因为0〈1一伙1一水1,

所以(l-a)”>(l—a)t>(l-6)",所以D正确.

12.(2022•南京模拟)若直线y=2a与函数y=∣a'T∣(a>0,且a#l)的图象有两个公共点，则a

的取值范围是()

A.(θ,ɪ^u(1,+∞)B.(θ,

C.Q.1)D.(1,+∞)

答案B

解析①当a>l时，由图象得0<2a<l,

Λ0<a<~,

∙.∙a>l,此种情况不存在；

②当0〈水1时，由图象得(X2a<l,

Λ0<a<^,

".'0<a<l>Λ0<a<^.

13.(2022•西安模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美

誉，用其名字命名的“高斯函数”：设XdR,用[x]表示不超过X的最大整数，则y=[x]称为高

θτ-11

斯函数，也称取整函数，例如：[—3.7]=-4,[2.3]=2.已知f(x)=F7一弓，则函数y="(x)]

e十12

的值域为()

A.{0}B.{-1,0}

C.{-2,-1,0}D.{-1,0,1)

答案C

e,-1\_

解析f(x)

e'+l2

et+l-21

e*+l2

⅛4

VΘΛ>O,Λex+l>l,

2

A0<?+T<2,

.,2

,,-2<-?+T<0,

.∙"(χ)∈Vð'

.∙.[F(x)]为一2或一1或O.

14.如果函数y=a"+2a'—l（a>0,a≠l）在区间[-1,1]上的最大值是14,则a的值为

答案3

解析令a'=3则尸才'+2罚一1

=f+2t-l=(t+iy-2.

当a>l时，因为x∈[—1,1],

所以z∈ɪ.a

ɑ

又函数y=（t+l）"-2在La上单调递增,

a

所以‰x=(a+1)2—2=14,

解得a=3（负值舍去）