单片机原理与应用第一章第二章

第一章线性代数方程组（消元法）历史上，线性代数的第一个问题是关于解线性代数方程组（1-1）的问题（1-1）我们就从消元法解最简单的二元线性代数方程开始讨论这一应用非常广泛的课题，从而看出研究矩阵的必然性第一节解线性代数方程组的消元法二元线性代数方程组高斯–若尔当消元法一、二元线性代数方程组在平面直角坐标中，二元线性方程的图像（坐标能满足方程的点集）是条直线。例如方程在将他的两个解及在坐标平面上用点表图1-1示后，连线既得此方程的图像（图1-1）。事实上，此直线上任意一点的坐标正是该方程的一个解，反之，以方程的任意一个解作为坐标，也正是这直线上的一个点。这样从几何上也看出一个二元线性方程有无限多解的事实。在实际问题中常要对同时出现的若干个线性方程作为一个整体来考虑，需求出满足所有方程的未知数，这就是解线性代数方程组。例如将（1-2）（1-3）这两个方程作为整体来讨论，就成一线性方程组（systemoflinearequation）,（1-2）是方程组的第一个方程，而（1-3）是第2个方程，对于线性方程组，其重要的求解方法是消元法，即通过对方程组做同解变形（或称等价运算或变形），使各个方程变成分别各含一个未知数（也称变量），并能求出其值，从而得到整个方程“组”的解，这个解当然地应该也是由数组表示的。方程组的等价变形有一下三类：1.交换组内任意两个方程的次序（编号）；(交换)2.任意一方程乘一非零常数；（数乘）3.任意一方程经数量倍（即在两端乘同一常数）后加到另一方程去。（倍加）例1

试用方程组等价变形法，解方程组（1-2）（1-3）线性代数方程组的解有三种可能的情形：具有确定的解；无解；或者有无限多个解。例2

试用方程组等价变形，解方程组（1-3）（1-4）例3

试用方程组等价变形，解方程组（1-3）（1-5）如图1-2(a)、(b)、(c)分别显示例1、2、3三个二元线性方程组解的三种状况之几何意义：2x-3y=-4yxox+y=3(a)一对相交直线有唯一公共点2x-3y=-4yxo-4x+6y=2(b)一对平行直线无公共点2x-3y=-4yxo-4x+6y=8(c)一对重合直线每一点都是公共点图1-2二、高斯-若尔当消元法将未知数个数相等的多个线性方程看成一个整体，称为线性方程组。若一个方程组含有m个方程、n个未知数，常简称为m×n方程组。m×n方程组的解应是n维数组，将解数组各个分量依序代未知数时能使m个方程全部成立。回顾上一段，用三类等价运算解2×2方程组的过程，这里是依照这样的目标进行的：通过三类等价运算，先用第1个方程，将方程组第1个未知数在各个方程中的系数变成只在第1个方程中成1，其他方程中全为0；再用第2个方程第2个未知数在各个方程中的系数变成只在第2个方程中成1，其他方程中全为0，如此等等。由于整个过程只是通过方程组等价运算变各个方程的系数，为简化计算，可省写未知数，用列表形式凸现其系数的变化过程。可将的计算重现于下：表1给出的的原始方程组，（row）是方程的系数，方程的系数，方程右端的常数组成。r1是第1行r2是第2行是而常数列（column）由xy常数列r1113r22-3-4表1xy常数列r1113r2´0-5-10表2经等价运算r1×（-2）+r2，得经运算r2´×（-1/5）得r1113r2˝012表3经运算r2˝×（-1）+r1得r1´101r2˝012表4第1个未知数x列的位置成第2个未知数y列的位置成因原方程组与表四代表的方程组同解，故这就是方程组的解，或者说此时常数列位置成为方程组的解这样求方程组解的方法称为消元法(elimination)或一般称为高斯-若尔当(Gauss-Jordan)消元法。

通过以上各例可看出,与2×2方程组一样，对一般的m×n线性方程组，其解的情况也有三种：有唯一确定的解，有无限多个解，或者无解

,三者必居其一。第二章矩阵定义1

m

n

个元，排成

m

行

n

列（横称行，纵称列）的矩型阵列（表）称为维是m

n的矩阵(matrix)简称为m

n[型]矩阵.一、矩阵概念(2-1)常用大写黑斜体字母如A、B、C，·····记之，必要时也可以以下标来区别不同的矩阵，如A1，A2，·····在书写矩阵时，也有将的m

n矩阵写作３×４矩阵这个３×４矩阵，有a21=15，a33=14在叙述普遍规律或从前后文容易明确时，一般就不特别指所涉及矩阵的维，而在必要时常用表明A是m

n矩阵

二、一些特殊的矩阵m=n

的情形，此时称之为n

阶方阵或

n

阶矩阵。从矩阵的形状看，遇到最多的是在中另外，只有一列（即n=1）或一行（即m=1）的矩阵也常碰到.

(2)行矩阵和列矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵(也称为行向量).如A=(a11a12…a1n).如

只有一列的矩阵称为列矩阵(也称为列向量).

(3)上三角阵与下三角阵对于方阵，若其非零元只出现在对角线及其上（或右）方，就称为上三角[形矩]阵（uppertriangularmatrix）,有时用U或R(right)表示。如：是4阶上三角阵。值得注意的是，对角线下（或左）方的元必为零，而其他元可以是零也可以不是零。相反，非零元只出现在对角线及其下（或左）方的方阵为下三角[形矩]阵(lowertriangularmatrix)记作L(left).如是个3阶下三角阵一般而言，对n阶矩阵A=[aij]，当且仅当i>j且aij=0时A为上三角阵；而当且仅当i<j且aij=0时A为下三角阵；[矩]阵（diagonalmatrix）,一个既是上三角又是下三角的矩阵称为对角

(4)对角阵亦即对角阵是非零元只能在主对角线上出现的方阵.如是个3阶的对角阵.显然，由对角线元就足以确定对角阵本身，故常将这对角阵记作D=diag(12,3,4).而diag(δ1,δ2,·····,δn

)表示一组对角元分别为δ1,δ2,·····,δn的n阶对角阵，详细写出就是当然允许某些δ等于零。（2-4）ndiagdddL),,,(úúúúûùêêêêëéndddLMMMLL0000002121def量δ时称为标量[矩]阵(scalarmatrix),当一对角阵的对角线元全相等，等于某个常

(5)标量阵特别称δ=1的标量矩阵为单位[矩]阵,或称幺[矩]阵(identitymatrix),以I或E来记。必要时在其下角标明阶数，如（2-4´）在对许多实际问题作数学描述时，都要用到矩阵的概念，三、矩阵问题的例这里讨论几个简单的例子。例1

（通路矩阵）a省两个城市a1,a2和b

省三个城市b1,b2,b3的交通联结情况如图2-1所示，每条线上的数字表示联结该两城市的不同通路总数。由该图提供的通路信息，可用矩阵形式表示（称之为通路矩阵），以便存贮、计算与利用这些信息。a1a2b1b2b341322现有a1a2b1b2b3通路矩阵C的行表示a省的城市，列是b省的而cij表示ai与bj间的通路数。工厂中常用管道联结各种设备，于是也可用一矩阵表明各设备间的连通情况.图2-1城市，例2

（价格矩阵）四种食品（food）在三家商店（shop）中，单位量的售价可用以下矩阵给出：F1F2F3F4S1S2S3（2-5）这里的行表示商店，列为食品，分量就是第2种食品在3家商店中的3个售价。例如第2列3个基本运算一定义在定义矩阵运算之前，先规定矩阵相等的含义。定义相等

设A是m×n矩阵，B是s×t矩阵,A=[aij],B=[bij]

，则当m=s,n=t且aij=bij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)时，称矩阵A与B相等，记作A=B.这就是说两个行、列数分别相同且有同样位置的元全都对应相等的矩阵是相等的。可以看出，引进矩阵记号可简化表达，用一个矩阵等式可表达很多个数量等式。定义2

数乘若A是m×n矩阵，α是个数，则αA（或Aα）是用数α乘A的每一个元而形成的m×n矩阵，即若

则例如若则定义加法若A=[aij]和B=[bij]是两个m×n矩阵则将其每一对i-j元相加，矩阵称为矩阵A与B的和，记作A+B形成一新的m×n即例如定义中蕴含了只有同维矩阵才能相加的条件，故在认为记号“A+B

”有意义时，即已承认了A与B是同维的事实.

把矩阵A与B之差A–B

定义成A+（-1）B

.式中当然认为是先进行数乘运算（-1）B

的.把元全为零的矩阵称为零矩阵，记作O则对任意一矩阵A，有A=A+O=O+A以及A–A=A+(–1)A=O若用–A表示A的加法逆，则–A=(–1)A常将矩阵的数乘及加法统称为线性运算。的形式，这样做将有利于理解解的“结构”利用线性运算可将上章的解表示成定义转置把给定m×n矩阵A的各行作为相同序号的列，形成一个新的矩阵，称为A的转置（transpose）,记作AT或者A´。显然AT是n×m矩阵，例如例2

（续）若欲购买第i种食品xi个单位，(i=1，2，3，4),可表示成一个3维的总价向量x=[x1,x2,x3,x4]T

，则购买的食品量可表成向量同的商店购买而不同，所需的总价当然随着在不总价：故可算得3个不相同的由于总价应该是单价与购买量之积.这样，与需购向量的乘积.从矩阵运算角度来看，这里是3×4矩阵与4×1矩阵做“乘法”，结果是个3×1矩阵。自然可把这总价向量看作是单价矩阵考察了这两个例子后，现在正式定义矩阵乘法定义乘法设A=[aij]是m×n矩阵，B=[bij]是n×s矩阵，为元的m×s矩阵C=[cij]为A[自左]乘B的乘积，（2-7）以记作C=AB，亦即

AB

的i–j元是A的第i行与B的第j列对应位置元的乘积之和（简称为A第i行与B第j列之积），称为确定矩阵乘积AB元的行乘列法则.借下式=（2-8）可帮助记忆怎样确定乘积AB之维的关系。列数与B的行数相等时，乘积AB有定义，类似地，可规定A[自]右乘B的规则，从及（2-8）可见，当且仅当A的是A可[自]左乘B的可相乘条件。这就并得到A可[自]右乘B的条件，即记号BA

有意义的条件是B的列数与A的行数相等.例6

设这时A左乘B不可能，因为A的列数是2而B的行数是3,两者不相等.然而A右乘B(即B左乘A)却是可以的,按,A右乘B得到的BA是个3×2矩阵2，因为B的列数与A的行数均为例6

设则根据，AB与BA都是存在的，有这里可以看到矩阵乘法的一个必须注意的特点：一般不满足交换律.亦即AB与BA可以不必相等，甚至这两者可以不必皆有意义，或未必有相同的维.今后，特别称使

AB=BA的矩阵A与B是可交换相乘的矩阵.AkAA

Ak个def自乘若干次的情形，使用幂指数的记号是即合理又可带来便利的.若k是个正整数，定义（规定A0=I）从这个定义可看出成立指数律：AkAl=Ak+l但是对于两个同阶方阵A,B而言，(A+B)2与A2+2AB+B2

当且仅当A、B可交换相乘时才相等。在一个方阵由于矩阵乘法是满足结合律的，例

（线性代数方程组）（2-12）系数构成的m×n矩阵A=[aij],称为系数矩阵,n维的未知数向量x=以及m维的自由项（或右端项）b=,利用矩阵乘法及矩阵相等的规定，线性代数方程组对此方程组，引进由方程组的Ax=b(2-12′)可被表示成等价的矩阵形式：逆矩阵

在数学运算中，数b除以非零数a的运算可用乘法表出为其中非零数的“倒数”（乘法逆）可用式定义。受此启发，对方阵的情形，就从讨论类似的等式出发，建立可逆矩阵的概念。一可逆矩阵定义3

对给定的矩阵A，如果存在矩阵B，使AB=BA=I则称A为可逆[矩]阵，并称适合（2-13）（2-13）的矩阵B称为A的逆[矩]阵;可逆矩阵也称为非退化[矩]阵，也常被称为非奇异[矩]阵成立，的做法，姑且称之为单位阵技巧，定理4

如果A

是

可逆阵，则其逆阵是唯一的.

在证明过程中巧用及阵等式中常用的一种技巧.这是在证明矩而称不存在逆阵的方阵为退化[矩]阵或奇异[矩]阵.这样，根据定义可容易地推知，单位阵必为可逆阵，且其逆阵即为自身

I-1=I.

由于可逆矩阵A

的逆矩阵是唯一确定的，故可用确定的符号记之为A-1

，有AA-1=A-1A=I.(2-13´)例13

试证对角阵是可逆矩阵，并求出A-1

利用逆矩阵概念，可方便表出线性代数方程组的解.事实上,对n×n（即n个n元）线性代数方程组Ax=b当A是可逆矩阵时，可表出其解为

x=A-1b，这是因为由A为可逆阵，可知A-1存在，用A-1同时[左]乘方程的两边，A-1Ax=A-1b即x=A-1b可得可逆矩阵有以下两定理表示的性质定理5

若A为可逆矩阵，则A-1、kA（k

为任一非零常数）、AT皆为可逆阵，(A-1)-1=A(AT)-1=(A-1)T.且定理6

若A、B

为同阶的可逆矩阵，则AB

也是可逆阵，(AB)-1=B-1A-1.（2-14）且成立矩阵的分块一分块运算一个给定的矩阵A，可在行间做水平[虚]线，或（及）在列间作铅垂[虚]线，把矩阵划分成一些块，称为对矩阵A的分块.

例如下面（2-17）中的3×5矩阵，被所示的虚线分成了四块：

对一种特定的分块方式，为指明其各元块的维，可如上式右端那样标示，的矩阵等等.

将矩阵适当地分块是种技术，这样做，有时3221（2-17）得以看出A11

是2×3适当分块后，可被看成是个“对角阵”可利于凸现出蕴含的某种简单结构，如对从而有可能利用已知的性质，简化运算与讨论.其中称形如（2-18）的分块矩阵为分块对角[矩]阵或拟对角[矩]阵.（2-18）二矩阵的按列分块对矩阵按列分块，是一种技术也是一种看法,有了这种技术使线性代数方程、矩阵、向量[空]间三者将交织在一起互动地发展，这对理解或解释线性代数的有关概念和问题常是有帮助的.若在矩阵的列间引入虚线按列分块，如其中aj

是

A

的第j列，.这样

A

被看作是以向量为元的行向量，有时也要用到按列分块.

其中带上标的小写黑体字母表示行向量，ai

是A的第i行，.如三子矩阵

对给定的m

n矩阵A，取其r行(1≤r≤m)s列(1≤s≤n),则位于交叉位置的个rs个元可按照原来的相对位置构成一个r

s

矩阵，称这样的矩阵为A的子矩阵.例如若取其第2、4行及第2、3、5列可得2

3

子矩阵

一个矩阵可以有很多子矩阵，得到的每个块都可看作是所给矩阵的一个子矩阵.在分块技术中而且每个矩阵也可看作是自身的一个特殊的子矩阵初等变换与初等矩阵定义与性质矩阵的等价标准形分解再论可逆矩阵n×n线性代数方程组的唯一解

矩阵的初等变换起源于解线性方程组的3类同解变形.利用初等变换将矩阵A化成形状“简单”的的矩阵B，以通过B探讨或解决与A有关的问题或某些性质是讨论矩阵问题的常用方法.一定义与性质定义5

分别称以下3类变换为矩阵的第1、2、3

类行(row)或列(column)初等变换：1

.

对调矩阵中任意两行（或列）的位置.用rij

（或cij

）表示对调一个矩阵的第i

行(列)与第j行（列）的第1类行(列)初等变换.2.

以一非零常数乘矩阵某一行（或列）.记为ri

rj

(ci

cj

)行(列)的第2类行(列)初等变换.记为ri→αri(ci→αci)用ri(α)(或ci(α))表示以α≠0乘矩阵第i

将矩阵某行（或列）的数量倍数加到另一行（或列）去.用rij(k)(或cij(k))表示以k乘矩阵第i行(列)后加到第i行(列)的第3类行（列）初等变换记为rj→rj+kri(cj→cj+kci)行初等变换与列初等变换统称为初等变换定义6

对单位阵施以一次行(列)初等变换后所得到的矩阵称为相应的行(列)初等矩阵，1、2、3类行列初等矩阵为Rij,Ri(α),Rij(k)

或Cij,Ci(α),Cij(k),分别记第有第i

行第

j

行第i

行第

i行第

j

行行初等矩阵与列初等矩阵统称为初等[矩]阵初等变换与初等矩阵有以下定理表出的一些性质所得的矩阵B

，定理7

对m

n

矩阵A,列)初等矩阵左(右)乘A.做一次行(列)初等变换等于以一个相应的m阶行(n阶定理8

初等矩阵都是可逆阵，且其逆阵亦为同类型的初等矩阵，类似地有(2-19)(2-19´)有定理9

非退化阵经过初等变换后仍为非退化阵,

而退化阵经过初等变换后仍为退化阵.二矩阵的等价标准形分解利用初等变换可容易证得下面的定理定理10

对任一m

n

矩阵A,必可经过有限次初等变换，化成如下形式的m

n矩阵：亦即，对任一m

n矩阵A必可找到初等阵R1,R2,…,Rs及C1,C2,…,Cl

，使其中r是个随A