2022-2023学年四川省成都等各市高一下数学期末试题分类汇编复数概率统计

20222023学年四川省成都等各市高一下数学期末试题分类汇编：复数、概率统计一、单选题1．（

）A．－1 B． C． D．【答案】B【分析】由复数的除法法则求解即可【详解】，故选：B2．复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由复数的几何意义求解.【详解】复数在复平面内对应的点为，在第四象限.故选：D3．已知i为虚数单位，，则复数z的虚部为（

）A．3 B． C．3i D．【答案】A【分析】根据共轭复数以及虚部的概念理解判断.【详解】因为，则，所以复数z的虚部为3.故选：A.4．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和Ⅱ号），观察两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用古典概型的概率求解.【详解】解：抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和Ⅱ号）一共36种结果，两枚骰子出现“两个点数相等”的有，一共6种，所以两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为，故选：C5．复数的虚部是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数，即可得解.【详解】因为，因此，复数的虚部为.故选：A.6．已知为虚数单位，复数，则的虚部是（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】利用复数的四则运算化简，从而得到的虚部.【详解】因为，所以的虚部为.故选：D．7．已知复数是纯虚数，则实数（

）A．0 B．2 C． D．1【答案】D【分析】直接由复数为纯虚数列方程求解即可【详解】因为复数是纯虚数，，所以，解得，故选：D8．复数（为虚数单位）的共轭复数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先将化简后，再求出其共轭复数即可.【详解】因为，所以其共轭复数为.故选：A.9．复数(为虚数单位)，则其共轭复数的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数的乘法及除法运算求出，得到，即可求解.【详解】∵,∴∴的虚部为故选：A10．复数（，）为实数是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数为实数的条件分析判断【详解】，当复数（，）为实数时，，当时，为实数，所以复数（，）为实数是“”成立的充要条件，故选：C11．当时，复数在复数平面内对应点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由复数的几何意义，根据实部和虚部的符号，求复数在复数平面内对应点所在象限.【详解】复数，当时，，，∴，，∴复数在复数平面内对应点位于第二象限.故选：B.12．某学校高一年级有900名学生，现采用系统抽样方法，从中抽取45人作问卷调查，将900人按1、2、3、…、900随机编号，则抽取的45人中，编号落入区间的人数为（

）A．26 B．27 C．28 D．29【答案】C【分析】根据系统抽样运算求解.【详解】若从900名学生采用系统抽样方法抽取的45人，则分45组，每组20人，相应的编号依次为，每组仅取1人，编号落入区间共有组，所以抽取28人.故选：C.13．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲乙丙丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲乙丙丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区的驾驶员总人数为（

）A．800 B．804 C．806 D．808【答案】D【分析】由分层抽样的定义求解.【详解】由分层抽样的定义可得，解得，故选：D．14．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中，高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（

）A．简单随机抽样 B．按性别分层随机抽样C．按学段分层随机抽样 D．其他抽样方法【答案】C【分析】根据三个学段学生的视力情况有较大差异得到使用分层抽样，得到答案.【详解】因为男女生视力情况差异不大，而学段的视力情况有较大差异，所以应按学段分层抽样故选：C15．若复数满足（是虚数单位），则的共轭复数（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由求出复数，从而可求出其共轭复数【详解】由，得，所以，故选：A16．若复数z满足，则z在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据向量的除法运算化简，进而可得在复平面对应的点为.【详解】由得，故在复平面对应的点为，该点在第三象限.故选：C17．复数，则的虚部为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】利用共轭复数的意义，结合复数的概念求解作答.【详解】复数，则，所以的虚部为1.故选：C18．已知复数满足(其中为虚数单位)，则（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简求得，然后利用复数模的公式计算．【详解】因为，所以.故选：.19．某班有男生25人，女生20人，采用分层抽样的方法从这45人学生中抽取一个容量为9的样本，则应抽取的女生人数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分层抽样的相关知识直接计算即可.【详解】由题意得，女生比例为，所以抽取一个容量为9的样本，则应抽取的女生人数为.故选：C20．已知复数满足，则（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根据复数除法运算法则和复数的模的概念直接计算求解.【详解】因为，所以，所以.故选：D二、多选题21．已知复数，则（

）A．z的虚部为 B．在复平面内对应的点在第四象限C． D．z是关于x的方程的一个根【答案】BCD【分析】把复数化成，利用复数的意义判断A；求出、判断BC；利用复数的四则运算计算判断D作答.【详解】依题意，复数，复数z的虚部为，A错误；在复平面内对应的点在第四象限，B正确；，，则，C正确；，即z是关于x的方程的一个根，D正确.故选：BCD22．已知复数，，下列命题正确的是（

）A． B．若，则C． D．【答案】AC【分析】根据复数的定义和运算法则，结合复数模的计算及性质，逐项判定，即可求解.【详解】设，，（其中），对于A中，可得且，所以，所以A正确；对于B中，例如，，此时满足，但，所以B不正确；对于C中，根据复数模的性质，可得，所以C正确；对于D中，由，，所以，所以D不正确.故选：AC.23．已知复数，则（

）A．B．C．在复平面内对应的点在第二象限D．为纯虚数【答案】BCD【分析】化简，然后根据复数的几何意义计算即可求解；【详解】因为，所以故A错误；故B正确；在复平面内对应的点的坐标为，在第二象限，故C正确；，为纯虚数，故D正确；故选：BCD24．已知是虚数单位，复数，，则（

）A．任意，均有 B．任意，均有C．存在，使得 D．存在，使得【答案】AD【分析】利用复数的概念、相等的条件、模长公式一一判定即可.【详解】根据复数的概念可知不能与实数比大小，故B错误；由复数的模长公式可得，易知，且不能同时取得等号，故，即A正确；即动点E到动点F的距离，显然E在抛物线上，F在单位圆上，如图所示，当时，，故D正确；若存在，使得，则，由上知，即上述方程组无解，故C错误；故选：AD25．已知复数为虚数单位，下列说法正确的是（

）A．在复平面内对应的点位于第四象限B．若，则C．若是关于的方程的一个根，则D．若向量分别对应的复数为，则向量对应的复数为【答案】BC【分析】对于A，求出，根据复数的坐标可得A错误；对于B，根据复数的运算以及复数相等的条件可得B正确；对于C，将代入方程，根据复数相等的条件可得C正确；对于D，根据复数的向量表示可得D错误.【详解】对于A，在复平面内对应的点位于第二象限，故A错误；对于B，由得，得，得，得，，所以，故B正确；对于C，因为是关于的方程的一个根，所以，即，得，故C正确；对于D，因为向量分别对应的复数为，所以，对应的复数为，故D错误.故选：BC26．复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若是关于的方程的一个根，则D．若，则点的集合所构成的图形的面积为【答案】BCD【分析】根据复数的概念、几何意义及其性质，对各个选项进行逐个检验即可得出结论.【详解】对于A，令,满足,但,，故A错误；对于B,设且不同时为0，，故B正确；对于C，，且是关于的方程的一个根,也是关于的方程的另一个根,解得，故,故C正确,对于D,设,则,故,圆的面积为,圆的面积为,故点的集合所构成的图形的面积为,故D正确.故选:BCD.27．为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则（

）A．骑车时间的中位数的估计值22分钟B．坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟C．坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值D．坐公交车时间的方差的估计值大于骑车时间的方差的估计值【答案】BCD【分析】A根据频率分布直方图中位数计算方法可得；B选项根据频率分布直方图百分位数计算方法可得；C选项根据频率分布直方图平均数计算方法可得；D选项根据频率分布直方图观察数据集中程度可得.【详解】A选项：设骑车时间的中位数为，由频率分布直方图可知，得，故A错误；B选项：设坐公交车时间的40%分位数的估计值是，由频率分布直方图可知，得，故B正确；C选项：坐公交车时间的平均数的估计值骑车时间的平均数的估计值故，C正确；选项D：由频率分布直方图观察可知，骑车时间的数据更集中，所以坐公交车时间的方差的估计值大于骑车时间的方差的估计值.故D正确.故选：BCD28．（多选）已知复数，则下列结论正确的是（）A．的实部是B．的虚部是C．若，则D．当且时，是纯虚数【答案】ACD【分析】根据复数实部和虚部的定义即可判断AB；根据复数相等的定义即可判断C；根据纯虚数的定义即可判断D.【详解】复数，则的实部是，虚部为，故A正确，B错误；若，则，故C正确；当且时，是纯虚数，故D正确.故选：ACD.29．某运动员10次射击成绩（单位：环）为7，8，9，7，4，8，9，9，7，2，则下列关于这组数据说法正确的是（

）A．众数为7和9 B．极差为7C．中位数为7 D．方差为4.8【答案】ABD【分析】利用众数、中位数、极差、标准差的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】因为10次射击成绩（单位：环）从小到大排列为：2，4，7，7，7，8，8，9，9，9，选项A，因为这组数据中7和9都出现3次，其余数出现次数没超过3次，故众数为7和9，故选项A正确；选项B，这组数据中最大的数为9，最小的数为2，故极差为7，故选项B正确；选项C，易知中位数为，故选项C错误；选项D，因为，所以方差为，故选项D正确；故选：ABD.30．已知为虚数单位，则下列说法中正确的是（

）A．B．，则C．复数的虚部为D．复数为纯虚数的充要条件是且【答案】AB【分析】利用复数的乘方法则可判断A选项；利用复数相等以及两角和的正切公式可判断B选项；利用复数的概念可判断CD选项.【详解】对于A选项，，则，所以，，A对；对于B选项，因为，则，所以，，B对；对于C选项，复数的虚部为，C错；对于D选项，复数为纯虚数的充要条件是且，D错.故选：AB.31．对于复数（，），下列说法正确的是（

）A．若，则为实数B．若，则为纯虚数C．若，，则在复平面上对应的点位于第四象限D．若，则在复平面上对应的点的集合所构成的图形的面积为4【答案】AC【分析】根据复数的概念以及几何意义，结合圆的性质，可得答案.【详解】对于A，由，，则，故A正确；对于B，当时，，故B错误；对于C，由，则其在复平面上对应的点为，由，，则该点在第四象限，故C正确；对于D，，则在复平面上对应的点的集合所构成的图形为以原点为圆心，以为半径的圆，则其面积，故D错误.故选：AC.三、填空题32．已知为虚数单位，复数，则的虚部是．【答案】【分析】由复数乘法运算可求得，根据虚部定义可得结果.【详解】，的虚部为.故答案为：.33．一组数据按从小到大的顺序排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26，经计算，该组数据中位数是16，若分位数是20，则.【答案】33【分析】利用中位数与百分位数的定义求得，从而得解.【详解】因为，故中位数是，解得；因为，故75%分位数是，则；所以故答案为：33.34．若复数满足，为虚数单位，表示的共轭复数，则的取值范围为.【答案】【分析】根据给定条件，设，求出，再利用复数模的意义结合三角函数性质求解作答.【详解】因为复数满足，则设，有，因此，而时，，则，即，于是，所以的取值范围为.故答案为：35．若复数（，为虚数单位），且，则的最小值为．【答案】【分析】根据复数的几何意义可求出结果.【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是单位圆，又的几何意义是圆上的动点与定点之间的距离，所以的最小值为.故答案为：.36．已知，则．【答案】【分析】由复数除法法则及模的公式计算．【详解】由已知，则.故答案为：．37．复数（为虚数单位），则.【答案】【分析】先利用复数的运算化简复数，再利用模长的公式求解模长.【详解】.所以.故答案为：38．一组数据的平均值为3，方差为1，记的平均值为a，方差为b，则.【答案】【分析】利用平均数和方差的运算性质可求出值，再求即可.【详解】因为一组数据的平均值为3，方差为1，所以的平均值为，方差为，所以，，所以.故答案为:39．数据的方差为，则数据的方差为．【答案】【分析】根据方差的性质即可求解.【详解】的方差为故答案为：8四、解答题40．设复数，i为虚数单位，且满足．(1)求复数z；(2)复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算，复数模公式以及复数相等的概念，即可求解；（2）将复数z代入方程，结合复数相等的概念即可求解.【详解】（1）设，，，解得.（2）是方程的一个根，，即，则41．已知复数，，其中.(1)若，求的值；(2)若是纯虚数，求的值.【答案】(1)2(2)或.【分析】（1）利用复数相等几何复数运算即可求出结果；（2）利用纯虚数定义即可求出结果.【详解】（1）∵，，，∴，从而，解得，所以的值为2.（2）依题意得：，因为是纯虚数，所以，解得或.42．400名大学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：(1)在频率分布直方图中，求分数小于70的频率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据频率分布直方图求得分数不小于的频率为，进而求得样本中分数小于的频率；（2）根据题意，求得样本中分数不小于50的频率为，得到分数在区间内的人数为，进而求得总体中分数在区间内的人数；（3）根据题意分别求得样本中的男生和女生人数，得到男生和女生人数的比例，结合分层抽样的概念，即可求解.【详解】（1）解：根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于的频率为所以样本中分数小于的频率为.（2）解：根据题意，样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为.所以总体中分数在区间内的人数估计为.（3）解：由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为，所以样本中分数不小于70的男生人数为.所以样本中的男生人数为，女生人数为，男生和女生人数的比例为.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为.43．已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）(1)求实数及；(2)设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的概念得到方程（不等式）组，求出的值，即可求出，从而求出其模；（2）根据复数的乘方及代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可.【详解】（1）∵，∴，，为纯虚数，，解得，故，则（2），，复数所对应的点在第二象限，，解得，故实数的取值范围为.44．已知复数，(1)求;(2)若，且复数的虚部等于复数的虚部，复数在复平面内对应的点位于第三象限，求复数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由复数的乘法运算即可得到结果；（2）根据题意，由条件可设，然后列出方程即可得到结果.【详解】（1）由复数，，可得．（2）由题意，可得，因为复数的虚部等于复数的虚部，可设，又，可得，解得或，又因为复数在复平面内对应的点位于第三象限，所以，故．45．一个口袋中装有5个大小完全相同的球，其中3个红色，2个白色，若从中任取2个球．(1)求事件“恰有1个红色球”的概率；(2)求事件“两个都是红色球”的概率．【答案】(1)(2)【分析】根据古典概型公式求解即可.【详解】（1）设3个红球分别是，两个白球分别为，从中任取2个球，基本事件为：，共10个．事件“恰有1个红色球”的基本事件为：，共6个．所以．（2）事件“两个都是红色球”的基本事件为：，共3个．所以．46．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分布在，，，，（单位：克）中，经统计频率分布直方图如图所示．(1)估计这组数据的平均数；(2)某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中共有芒果大约10000个，经销商提出以下两种收购方案：方案①：所有芒果以10元/千克收购；方案②：对质量低于350克的芒果以3元/个收购，对质量高于或等于350克的芒果以5元/个收购．请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？【答案】(1)387（克）(2)方案②获利更多【分析】（1）由频率分布直方图分析数据，直接求平均数；（2）分别求出方案①和方案②的收入，进行比较，下结论.【详解】（1）由频率分布直方图可得这组数据的平均数为：（克）；（2）方案①收入：（元）；方案②收入：由题意得低于350克的收入：（元）；高于或等于350克的收入：（元）．故总计（元），由于，故种植园选择方案②获利更多．47．今年因干旱西昌邛海水位比常年下降约一米，某校校本课程安排同学制定合理的节水方案，对西昌市城区常住居民用水情况进行了抽样调查，该同学获得了西昌市城区常住属民去年100个家庭的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成7组，制成了如图的频率分布直方图.(1)求直方图中的值；(2)