新版高中数学人教A版选修1-1习题第三章导数及其应用3.3.1

3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数课时过关·能力提升基础巩固1.函数y=f(x)的图象如图,则导函数y=f'(x)的图象可能是()解析:由函数y=f(x)的图象可知,在区间(∞,0)和(0,+∞)内,函数f(x)均为减函数,故在区间(∞,0)和(0,+∞)内,f'(x)均小于0,故选D.答案:D2.函数f(x)=x3+x在(1,+∞)内为()A.减函数 B.增函数C.常数函数 D.不能确定解析:当x∈(1,+∞)时,f'(x)=3x2+1<0,故f(x)在(1,+∞)内为减函数.答案:A3.已知函数f(x)=ax3x在R上为减函数,则()A.a≤0 B.a<1 C.a<2 D.a≤1解析:f'(x)=3ax21.∵f(x)在R上为减函数,∴f'(x)≤0在R上恒成立.∴a≤0.经检验a=0符合题意.故选A.答案:A4.函数f(x)=A.(∞,1) B.(1,+∞)C.(1,1) D.(∞,1)∪(1,+∞)解析:函数f(x)=x(1-x)2f'(x)==令f'(x)=0,则1+x(1-x当x∈(∞,1)时,f'(x)=当x∈(1,1)时,f'(x)=当x∈(1,+∞)时,f'(x)=故函数f(x)=x(1答案:C5.若函数y=f(x)在R上可导,且满足不等式xf'(x)>f(x)恒成立,常数a,b满足a<b,则下列不等式一定成立的是()A.af(b)>bf(a) B.af(a)>bf(b)C.af(a)<bf(b) D.af(b)<bf(a)答案:C6.函数f(x)=x315x233x+6的单调递减区间是.

解析:f'(x)=3x230x33=3(x11)(x+1),由(x11)(x+1)<0,得单调递减区间为(1,11).答案:(1,11)7.函数y=(3x2)ex的单调递增区间是.

解析:y'=2xex+(3x2)ex=(x22x+3)ex,令(x22x+3)ex>0,由于ex>0,则x22x+3>0,解得3<x<1,所以函数的单调递增区间是(3,1).答案:(3,1)8.已知函数f(x)=2axsinx在其定义域上是增函数,则实数a的取值范围是.

解析:f'(x)=2acosx.∵f(x)在其定义域上是增函数,∴f'(x)≥0恒成立,即2acosx≥0,∴a≥cos答案:19.已知函数f(x)=ax-解:f'(x)=a+∵f(x)在其定义域(0,+∞)内为增函数,∴当x∈(0,+∞)时,f'(x)≥0恒成立.∴a+ax2-2∵x>0,∴2x10.已知函数y=f(x)=x3+bx2+cx+d的图象经过点P(0,2),且在点M(1,f(1))处的切线方程为6xy+7=0.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)求函数y=f(x)的单调区间.解:(1)由y=f(x)的图象经过点P(0,2),知d=2,所以f(x)=x3+bx2+cx+2,f'(x)=3x2+2bx+c.由在点M(1,f(1))处的切线方程为6xy+7=0,知6f(1)+7=0,即f(1)=1,f'(1)=6.所以即2b-故所求的解析式是y=f(x)=x33x23x+2.(2)f'(x)=3x26x3.令f'(x)>0,得x<1-2或x>令f'(x)<0,得1-故f(x)=x33x23x+2的单调递增区间为(∞,1-2)和(1能力提升1.若函数y=x3ax2+4在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围为()A.a≥3 B.a=3C.a≤3 D.0<a<3解析:y'=3x22ax≤0在(0,2)内恒成立,即3x2≤2ax,a≥3x22答案:A2.已知f(x)满足f(4)=f(2)=1,f'(x)为其导函数,且导函数y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是()A.(2,0)B.(2,4)C.(0,4)D.(∞,2)∪(0,4)答案:B3.函数f(x)的定义域为R,f(1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为()A.(1,1) B.(1,+∞)C.(∞,1) D.(∞,+∞)解析:由f(x)>2x+4,得f(x)2x>4,令g(x)=f(x)2x,则g'(x)=f'(x)2>0,∴g(x)在R上为增函数,又g(1)=f(1)+2=4,即g(x)>g(1),∴x>1,故选B.答案:B4.若函数y=-解析:若函数y=-43x3+bx有三个单调区间,则其导数y'=4x2+b=0有两个不相等的实根,所以Δ=16答案:(0,+∞)5.对于R上可导的任意函数,若满足(x1)f'(x)≥0,则f(0)+f(2)与2f(1)的大小关系是.

解析:∵(x1)f'(x)≥0,∴当x>1时,f'(x)≥0,∴f(2)≥f(1);当x<1时,f'(x)≤0,∴f(0)≥f(1).∴f(0)+f(2)≥2f(1).答案:f(0)+f(2)≥2f(1)★6.若函数f(x)=mx2+lnx2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围是.

解析:f'(x)=2mx+1x-2,因为函数f(x)在其定义域(0,+∞)内为增函数,所以2mx+1x-2≥0在(0,+∞)内恒成立,即2m≥-1x2+2x在(0,+∞)内恒成立,由于函数φ答案:17.已知函数f(x)=xcosxsinx,x∈(0,π).(1)判断函数f(x)的单调性;(2)判断函数g(x)=sinxx,x∈解:(1)f'(x)=cosx+(xsinx)cosx=xsinx.∵x∈(0,π),∴sinx>0,∴f'(x)<0,∴f(x)在(0,π)内是减函数.(2)由(1)知,当x∈(0,π)时,f(x)<f(0)=0.∴g'(x)=∴g(x)在(0,π)内是减函数.★8.设f(x)=x(ex1)ax2.(1)若a=(2)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.解:(1)当a=12时,f(x)=x(e当x∈(∞,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在(∞,1),(0,+∞)内单调递增,在(1,0)内单调递减.(2)f(x)=x(ex1ax),令g(x)=ex1ax,则g'(x)=exa.若a≤1,则当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0