2023-2024学年新疆乌鲁木齐市高二年级上册期末考试数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年新疆乌鲁木齐市高二上册期末考试数学

模拟试题

一、单选题

1.数列-2,4,-6,8,K的通项公式可能为（

A.a,=(-l严2”B.a„=(-1)°2n

C.a“=(-l严2”D.=(-1)"2"

【正确答案】B

【分析】观察数列的特点，即可得到其通项公式.

【详解】根据题意数列-2,4,-6,8,K其中q=（-l）xlx2,a,=lx2x2,a3=（-l）x3x2,

%=1x4x2,则其通项公式可以为%

故选:B.

2.已知椭圆与双曲线£-亡=1有共同的焦点，且离心率为远，则椭圆的标准方程为（）

【正确答案】A

【分析】根据椭圆与双曲线二-乙=1有共同的焦点，求出椭圆的半焦距c=6,再根据椭

圆的离心率求出。，由=‘2求出人，可得结果.

【详解】由双曲线可知，焦点为（-灰,0）、（庭,0）,

所以椭圆的焦点为（-灰,0）、（布,0）,半焦距c=卡,

设椭圆的标准方程为/■+/=l（a>6>0）,

a2-b2=c2=6

则“c逐，得〃2=36万=30,

6

所以椭圆的标准方程为—+^=1.

3630

故选：A.

3.设，是等差数列｛。“｝的前〃项和，9%-5%=0,则兴等于（）

A.1B.-1C.2D.y

【正确答案】A

【分析】根据9%-5%=0列方程求出4,d,然后化简计算1即可.

【详解】设等差数列｛凡｝的公差为"，

由9a$-5%=0,得9(q+4d)-5(q+2d)=0,

化简得％=13-?，由题意得dN0,

山'M+T"9q+36d9X!卜36"-117"+72"-45"

所以8:+虫/必+叱5><|

I1—65d+2(1/—45d

+1A0J

12L2;1

故选：A

4.一动圆P过定点M(0,6),且与已知圆N：/+&+6『=36相切，则动圆圆心尸的轨迹

方程是()

22%2y2

A.片+乙=1B.乙+二=1c-1D.匕-三=1

927927927927

【正确答案】D

【分析】根据两圆相切，得||尸凶-|*1/||=6,结合6vMM|=12,得动点P的轨迹是以

”(0,6)、N(0,-6)为焦点的双曲线，再根据“，c求出可得结果.

【详解】圆N：/+(夕+6)2=36的圆心N(0,-6),半径为6,

当动圆P与圆N相外切时，则|PN|=|PM|+6,即|PN|-|PM|=6

当动圆P与圆N相内切时，因为定点用(0,6)在圆N外，所以只能是圆N内切于动圆P,所

以|PA/|=|RV|+6,即|/W|-|PM|=-6

综上所述：||PNHPM||=6,又6<|MN|=12,

所以动点P的轨迹是以“(0,6)、N(0,-6)为焦点的双曲线，

因为2a=6,2c=12,所以4=3,c=6,

所以从=02-/=36-9=27，

22

所以动圆圆心P的轨迹方程是匕-二=1.

927

故选：D

5.记S,为等比数列｛qj的前〃项和.若$2=2,S4=6,贝”8=（）

A.22B.24C.28D.30

【正确答案】D

【分析】设公比为心先判断出qxl,再根据等比数列的求和公式求出=2,再根据等比

数列的求和公式可求出结果.

【详解】设公比为

若4=1,则$4=40,52=2©,S=2S2,不符合题意；

=2

\-q

所以由Sz=2,S4=6,得<得1+夕?=3,得q?=2,

9(1--)

=6

1一夕

所以一=7^=_2,

\-q"q

所以S,="斗=-2(1—2")=30.

i-g

故选：D

6.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺,

两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”,

翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都

进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列

问题的研究，现将墙的厚度改为15尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（）

A.3B.4C.5D.6

【正确答案】B

i-f'T

【分析】设需在"天时间才能打穿，则纪1+_^2_N15,化简后构造函数，利用函数零

2T1-1

2

点存在性定理与函数的单调性即可求得结果.

【详解】设需在〃天时间才能打穿，则纪1+—i-f1i4Y人215，

2-1.1

2

化简得2〃-5r-1420,

2

令/(“)=2"-F-14，

2171

因为/(3)=23_尹_14=_*_6<0,/(4)=24---14=2-->0,

所以/⑺在(3,4)上存在零点，

2

因为y=2"和y=在口,+8)上均单调递增，

所以/(〃)=2"-£-14在口,+8)上单调递增，

所以/⑺在(3,4)内存在唯一零点，

所以需要4天时间才能打穿，

故选：B

2

7.已知点。(3,0),点尸在抛物线y=千上，则点尸到x轴的距离与到点。的距离之和

的最小值是()

A.73+1B.亚C.6-1D.26

【正确答案】C

【分析】由题可知抛物线焦点为尸(0,1),准线为x=-l,过点尸做准线垂线，垂足为M由

抛物线定义可知，|尸'|=归尸|.点P到x轴的距离与到点Q的距离为

\PN\+\PQ\-1=|PF|+\PQ\-1.

【详解】由题可得抛物线焦点为尸(0,1),准线为x=-1,如图过点尸做准线垂线，垂足为N,

由抛物线定义可知，|/科|=归日-

点P到x轴的距离与到点Q的距离为|P必+\PQ\-1=\PF\+|尸。|-1.

当尸，P,。三点共线时，距离之和最小，则归产|+忸@一12忻0一1=，(0)2+1—1=6-L

故选：C

8.已知数列｛叫是递增数列，且可=[,；?：；8,〃45伽€2）,则实数’的取值范围是（）

A.LB.•|,3）C.（3,3）D.（1,3）

【正确答案】A

【分析】根据数列的单调性，列式可求出结果.

【详解】因为数列是递增数列，且可

3-/>03-/>0

7

所以■Z>1即?>1,解得z<t<3.

产5>5（3T）_8八

4>%

故选：A

二、多选题

9.下面四个结论正确的是（）

A.数列1,2,3,4和数列1,3,4,2是相同的数列

B.数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集｛1,2,3,…〃,｝）上的函数

C.数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点

D.常数列既是等差数列又是等比数列

【正确答案】BC

【分析】根据数列的概念可判断A不正确；数列是特殊的函数可判断BC正确；根据等差和

等比数列的定义可判断D不正确.

【详解】对于A,数列1,2,3,4和数列1,3,4,2是不相同的数列，故A不正确；

对于B,根据函数的定义可知，数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集

｛1,2,3,­••«,））上的函数，故B正确；

对于C,因为数列的定义域是正整数集（或它的有限子集｛L2,3,…〃,｝）所以数列若用图象表

示，从图象上看都是一群孤立的点，故C正确：

对于D,常数列0,0,0,0,，只是等差数列，不是等比数列，故D不正确.

故选：BC

10.已知数列｛q｝满足q+302+―+（2〃-1）。,,=2〃，（力€1＜）,则下列四个结论中，正确的

是（）

A.q=2B.数列｛4｝的通项公式为q=二

C.D.数列｛叫为递减数列

【正确答案】ACD

【分析】对于A,令〃=1可求出q，对于B,当〃22时，由％+3%+…+（2"-1””=2〃，

得4+3%+…+（2〃-3”,1=2〃-2,两式相减可求出％,对于C,由选B,直接求解邑即

可，对于D,通过计算。向一应判断.

【详解】对于A,令〃=1,则q=2xl=2,所以A正确，

对于B,当〃22时，由4+3%+…+（2〃-1”“=2〃，得q+3a2+…+（2"-3）%_]=2〃-2,

两式相减得，（2〃-1）%=2,所以q=2满足此式，

2n-l

2

所以%=4r，所以B错误，

2n-l

对于C,因为为=3；__-,所以S3=al+a，+a3=2+;+•7=-7，所以C正确，

2〃一13515

22（1]、-4

对于D,因为凡+i-a=---------------=2------------=-------------＜03£N）,

n"2（n+l）-l2«-1（2〃+12”-1）（2n+l）（2n-l）

所以区向＜凡，所以数列｛。“｝为递减数列，所以D正确，

故选：ACD

22

11.已知椭圆C：工+匕=1,/*,g分别为它的左右焦点，若点P是椭圆上异于长轴端

259

点的一个动点，下列结论中正确的有（）

A.g的周长为15

B.过椭圆C上一点的切线方程为4x+5y-25=0

C|PM|+|P用的最大值为12

D.若用是直线/与椭圆C相交弦的中点，则/方程为：9x+25y-34=0

【正确答案】BD

【分析】A.由△尸田名的周长为2a+2c求解判断；B.利用验证法判断；C.

归闸+|历|-|「闻+2。求解判断；D.利用点差法求解判断；

【详解】由椭圆C：《+或=1,得〃=5,6=3,c=4,

259

A.△所”的周长为归国+|「凡+|耳瑞|=2a+2c=18,故错误；

B.易知点在直线4x+5y-25=0上，也在椭圆C：—+^-=1±,

I5）259

联立，消去y得X2_8X+I6=0,因为A=0,所以直线与椭圆相切，故正确；

C.\PM\+\PF;\=\PM\-\PF]+2a£\MFi+2a=105当尸,”,巴共线时，等号成立，故错误;

22

%+

一291=

.设直线/与椭圆相交于/（国,弘）,（如力），联立，2252

DC82两式相减得

+292-

25

人,=y.学-y=.一或9（x与.=在）,则9直线方程为，一」石9（1），即557=。，故

正确；

故选：BD

22

12.已知耳，鸟分别是双曲线5的左、右焦点，4为左顶点，尸为双曲

线右支上一点，若归用+归国=6%且△户"鸟的最小内角为30。，则（）

双曲线的离心率为石

A.B.ZPAF2=45°

C.双曲线渐近线方程为y=士应xD.直线x-2夕-2=0与双曲线有两个交点

【正确答案】CD

【分析】对于A,由题意结合双曲线的定义可求得归耳|=4a,|/"|=2“，ZPF,F2=30°,在

△可工中利用余弦定理列方程可求出°=百“，从而可求得离心率，对于B,可判断△尸片工

为直角三角形，然后求出忸叫,|工用的长进行判断，对于C,由，=b。结合可得

“力的关系，从而可求出渐近线方程，对于D,将直线方程与双曲线方程联立方程组可判断.

【详解】对于A,因为尸为双曲线右支上一点，所以用-|P周=2°,

因为|产用+归剧=6%所以|P£|=4a,|P用=2%

因为2c>2Q,4〃>2〃，所以△尸片名中的最小内角为N尸/笆=30。,

仍用2+|耳周2一|列联16/+4,2-4/=百

在△PF'ig中由余弦这理得cos

2俨用.闺心|-2-4a-2c~2

化简得3/-2j5ac+c2=o,解得c=0a,所以离心率为e=£=6,所以A错误,

a

对于B,由八耳，得2c=2后，所以|尸用丁归用,+户用2,所以/尸鸟耳=90。，

因为M&=a+c=(6+l)a,\PF-\-2a,

所以|P周刊力用，所以NP/6#45。，所以B错误,

对于C,因为c=J^a,c2=a1+b21所以Ba=a,+b。，b-\[2a>

所以双曲线渐近线方程为y=±2x=±&x,所以C正确,

a

x-2y-2=0

对于D,由Jy2,得2（2+24-/=2/，

〔/2a2

化简得7炉+16y+8-2〃=0，

所以△=162-4x7x（8-2d）=32+56/>0,

所以直线x-2y-2=0与双曲线有两个交点，所以D正确,

故选：CD

三、填空题

22

13.已知双曲线C：^一方=1（“>0,6>°）的右焦点尸（5，°）到渐近线的距离为3,则双曲线

方程为.

【正确答案】4-7T=1

169

【分析】先写出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式得到6=3,再利用焦点坐

标为尸（5,0）即可求解.

,>2

【详解】双曲线C：5-3=1（。>0力>0）的渐近线方程为：bx士@=0,

因为右焦点尸（5,0）到渐近线的距离为3,即d

又因为。2=。2+〃，也即25=/+9,所以为=16,

所以双曲线方程为巳-《=1,

169

故答案为.白-春=1

169

14.已知各项均为正数且单调递减的等比数列｛/｝满足%,34,5%成等差数列，则

4+%二

%+%------,

【正确答案】25

【分析】设等比数列｛《｝的公比为4,则0<4<1,根据等差中项和等比数列的通项公式列

式求出4,再根据等比数列的通项公式可求出结果.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为4,则0<4<1,

因为%,3%,5%成等差数列，所以2x3%=%+5%,

所以=a/+5%/,所以5/-6q+1=0,

解得《或g=i（舍）,

息==器去券=A+=25

所以

8925

故答案为.25

15.设椭圆C：1（。>6>0）的上顶点为4左，右焦点分别为耳,用，连接/片并

4

延长交椭圆c于点p,若忸4=,尸用，则该椭圆的离心率为

【正确答案】1

【分析】由题设条件得jp用-|P用=%结合椭圆的定义求得「用=乎，|尸用=断，从

而利用余弦定理得到关于。，。的齐次式，由此求得该椭圆的离心率.

【详解】依题意，得|/用=%由|「力|=；|尸可，得：归用-归用=»用=4,

又归用+|P用=2"，所以忸用=｝,\PF2\=^a,

因为|^O|=c,所以cos//；O=£,则COSNP"；=-£,如图，

aa

在△助用中，由余弦定理得归周2=出可+忻行f—2Hp忻5|cosNP/而,

即(g")=(4"[+(2c)2-2x-^ax2cx^—,整理得"=9",

211I

因此r解得e==,所以椭圆的离心率为;.

a~933

故；.

16.观察下面数阵：

1

35

791113

1517192123252729

则该数阵中第8行，从左往右数的第16个数是.

【正确答案】285

【分析】用等比数列的求和公式求出该数阵中前7行共有127项，确定该数阵中第8行，从

左往右数的第16个数是等差数列1,3,5,7,，的第143项，再根据等差数列的通项公式可求出

结果.

【详解】该数阵中前7行共有20+2+22++26=04=127个数，

1-2

所以该数阵中第8行，从左往右数的第16个数是等差数列1,3,5,7,，的第127+16=143项,

所以该数为1+(143-1)x2=285.

故答案为.285

四、解答题

17.已知圆C.(x-2『+(y-3『=4

(1)圆外有一点P(4,-l),过点P作直线/与圆C相切，求直线/的方程;

(2)已知直线x+y+〃?=O与圆C相交所截得的弦长为20，求〃?的值.

【正确答案】⑴x=4或3x+4y-8=0

⑵“=-3或"，=-7

【分析】(1)当斜率不存在时，直线/的方程为x=4；当斜率存在时，设直线/的方程为

kx-y-4k-l^0,由圆心到直线的距离等于圆的半径，列式求得左，则直线方程可求.

(2)利用点到直线的距离公式表示出弦心距，再由弦长的一半、弦心距和半径构成的勾股定

理，即可求得

【详解】(1)由题意，圆C的圆心为C(2,3),半径为r=2.

当斜率不存在时，直线/的方程为x=4,

圆心到直线x=4的距离为2,符合题意.

当斜率存在时，设直线/的方程为H-y-4k-l=0,

|24-3-4A-l|3

则1~,J,解得左=_：,

J1+&24

所以/的方程为3x+4y-8=0.

综上，直线/的方程为x=4或3x+4y-8=0.

(2)由己知得,圆心到直线/的距离

^=|2+3+w|则弦长为2后=2,尸

72

/f|2+3+W?|Y_

=2,4—--j=-,...加=-3或根=一7.

18.已知数列｛凡｝的前〃项和为a向=2S“+2,(〃EN*),a,=l,求数列｛%｝的通项公

式及前7项的和.

fl,w=1

【正确答案】见=「旧、。，前7项的和为1457.

4x3,n>2

S/=1

【分析】根据4=可求出根据等比数列求和公式可求出前7项的和.

Sn-S„.t,n>2

【详解】由。,向2s“+2,a,=1,得。2=2.+2=4,

因为a,T=2S”+2,所以“N2时,a„=25„_,+2,

所以%-q=302%5*2),

所以《7=34(〃22),

〃=1时，生=4%不适合上式

所以“22时，。“=々-3"-2=4乂3”-2,

=|1,«=1

所以

~[4x3'"2,n>2

〃2(1-36)=1+"二力=1457.

S-j=%+%++%=1+

1-31-3

,sI1,W=1

综上所述：数列M，｝的通项公式为。“=＜；_„,2,,,前7项的和为1457.

[4XJ2，

19.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且抛物线上有一点M（九2）到焦点的

距离为3.

（1）求抛物线。的方程：

（2）已知直线/交抛物线C于N,8两点，且线段48中点的纵坐标为2,则|/8|的最大值为

多少？

【正确答案】（l）f=4y

（2）6

【分析】（1）方法1：由题分析设抛物线的标准式，由抛物线的定义将抛物线上的点到焦点

的距离转化成此点到准线的距离列式可得结果.

方法2：设出抛物线焦点在y轴上的一般式方程，由抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的

距离转化成此点到准线的距离列式可得结果.

（2）设出直线方程了=h+〃，联立直线方程与抛物线的方程，再联系已知可得力与〃的关

系式，再由弦长公式得到弦长关于左的函数，转化为求关于左的函数在固定区间上的最大值

（方法1：应用基本不等式求最大值，方法2：换元法转化为二次函数在固定区间上的最大

值）.

【详解】（1）方法1：：抛物线的焦点在V轴上且过点加（叽2）,点M的纵坐标为正数，

•••设抛物线的方程为V=2勿，（p>0）,

二焦点厂（0,5）,准线方程为>=-5，

由抛物线的定义知，|板|=2-（-曰）=2+5=3,解得：p=2

二抛物线C的方程为f=4y.

方法2：•.•抛物线的焦点在y轴上，

•••设抛物线的方程为一=砂，（加0）,

，焦点厂（0,，，准线方程为y=-（,

m'=2a,(.

II°=4

二由抛物线的定义知,

2-(-()=3-±2-72

抛物线C的方程为一=4+

(2)设直线/方程为：y=kx+n,/(占,必),B(x2,y2),

匕丘+-—*4,=0

则△=16公+16">0,西+3=4%,x)x2=-4n,

2

y]+y2=k(x}+x2)+2n=4k+2n,①

又..1B中点的纵坐标为2,

二切+必=4,②

.•.由①②得：”=2-2公，

.♦.△=16/+16〃=16左2+16(2-2左2)>0,解得：_&<%<应，

*迎=-4〃=-4(2—2左D=842—8,

|AB|=J1+。\xt-x2\=Jl+公.)(须+》2)2-4*俨2=Jl+F-J16F+32-32一

=71+F-J32-16公=4+公)(2-r)

方法1：<_6<k<0，

/.(1+k2)(2-k2)<廿'+2±)2=9,当且仅当1+标=2-公即/=±也时去等号,

242

/.|/lS|<4x,P=6,当且仅当4=±变时去等号，

V42

的最大值为6.

方法2：令f=)2,,:-®<k(近,：.0<t<2,

则|/8(=炊+1)(2—)=4/_)+f+2,04f<2,

设〃0)=-*+r+2,04f<2,则对称轴为f=g,

.•"«)在［0,；)上单增，在(；,2)上单减，

；♦=〃(；)=",此时k=士*,

；.依区4嗜=6,当且仅当人=±孝时去等号，

的最大值为6.

20.已知等差数列｛4｝为递增数列，S,为数列｛q｝的前〃项和，/&=99,$=100.

(1)求｛〃“｝的通项公式；

(2)若数列也｝满足“=券(〃€N),求也｝的前“项和T„.

【正确答案】(1)%=2N-1,

【分析】(1)设等差数列｛q｝的公差为"(d>0),首项为％,根据条件列出方程组，解之即

可求解；

〃一

⑵结合(1)的结论得出。=2置1，利用错位相减法求和即可得出结果.

【详解】(1)设等差数列｛对｝的公差为d(d>0),首项为4,

黑吃;『，解得:｛M

因为。5%=99且⑤=100,所以

所以数列｛对｝的通项公式为%=2〃-l,"eN*.

(2)由(1)可知:a„=2M-l,«eN*,

所以，=台=羿

1352〃-3277-1

则[=尹+>+3++-----------------；-①

2"2〃+i

2〃-32/7-1

H-------:---1---------

0〃+IO〃+2②

_rZrl1_1.2222〃-1

①一②可得：-T„=2^+^+^++广)一"^7"，

也即:[=*(*+*+*)-2/7-1

2"+2

32n+3

~4~2"+2；

_32〃+3

所rr以Isl1=5-予厂•

21.已知数列｛”“｝首项4=1,4=2,2a,=q_1+4+1〃22,〃€N).

(1)求｛““｝的通项公式；

(2)令4=—^,数列｛4｝的前"项和为S“，计算，的取值范围.

a»an+2

【正确答案】(1)。“=〃，〃eN*

【分析】(1)判断出｛/｝为等差数列，直接求出通项公式；

(2)利用裂项相消法求和，即可求解.

【详解】(1)因为q=l,%=2,2a,,=4,_]+q+i(〃22,“eN)

所以数列｛。“｝为等差数列，首项数列q=l,公差"=%-4=2-1=1.

所以通项公式为a”=%+(〃-l)d=l+"-l=〃.

,111nll

(,)b=------=---------=-----------

"%。"+2〃(”+2)n+2)'

所以数列｛々｝的前〃项和

S"=b|+d++£T+"

宗贵一马

3

因为〃工，所以Er

+出)为单增函数,所以院内=湾6+扪g

13

即尸<r

所以*的取值范围为:，外

[34)

22

22.已知椭圆C：1+4=1(°>6>0),椭圆C上任意一点M