2023-2024学年四川省成都市郫都区高二年级下册期中数学（文）试题（含答案）

2023-2024学年四川省成都市郭都区高二下册期中数学(文)试题

一、单选题

TF

1.函数f(X)=l+sinx,其导函数为f(x),则f'(一)=()

3

ʌ1Rl「3G

2222

【正确答案】A

【分析】先求导，再代值计算即可.

【详解】函数f(x)=l+sinx,其导函数为f(x)=c°sx,/[]J=CoS3=5，

故选A.

本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题.

2.复数Z=二(i为虚数单位)在复平面内表示的点的坐标为

l+z

A.(2,-1)B.(1,-1)C.(1,2)D.(2,2)

【正确答案】A

【详解】分析：求出复数Z的代数形式，再写出在复平面内表示的点的坐标.

详解：复数Z=罟=宇W=W∙=2-i,所以复数Z在复平面内表示的点的坐标为

1+z(1+z)(l-z)2

(2,-1),选A.

点睛：本题主要考查了复数的四则运算，以及复数在复平面内所表示的点的坐标，属于容易

题.

3.执行如图所示的程序框图，输出的结果是()

A.13B.14C.15D.17

【正确答案】C

【分析】根据框图，模拟运算即可得解.

【详解】模拟程序运算：

第一次，α=2×l+l=3,a<I(),

第二次，a=2×3+l=7.α<10,

第三次，α=2χ7+l=15,α>10,结束循环，

输出α=15,

故选：C

4.四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”

模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一

学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是

()

A.样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数

B.样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数

C.样本中选择物理学科的人数较多

D.样本中男生人数少于女生人数

【正确答案】C

【分析】根据等高条形图的概念结合条件逐项分析即得.

【详解】根据等高条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多，故C正确；

根据等高条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数，故D错误；

样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择

历史意愿的女生比例低，

所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A错误；

样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故B错误.

故选：C.

5.已知函数y="χ)的导函数y=f'(χ)的图象如图所示，则函数y=∕(χ)在区间(。力)内

【正确答案】A

【分析】结合导函数图象确定正确选项.

【详解】函数的极小值点⅞需满足左减右增，即/(为)=O且左侧/(χ)<0,右侧/(χ)>0,

由图可知，一共有1个点符合.

故选：A

6.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度X(单位：°C)的关系，在

20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(Xj,y)(i=l,2,L,20)得到下面的散

点图:

湍度/°C

由此散点图,在10C至40C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度X的

回归方程类型的是()

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+b∖nx

【正确答案】D

【分析】根据散点的分布可得出合适的回归方程类型.

【详解】由散点图可见，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果，即增加缓慢.

A中，y=a+法是直线型，均匀增长，不符合要求；

B中，y=α+⅛γ2是二次函数型，函数y=α+匕χ2(bwθ)对称轴为旷轴，

当力>0时，图象呈现下凸，增长也较快，不符合要求；

当。<0时，图象呈现上凸，呈递减趋势，不符合要求；

C中，y=α+be，是指数型，爆炸式增长，增长快，不符合要求；

D中，y=α+61nx是对数型，增长缓慢，符合要求.

故对•数型最适宜该回归模型.

故选：D.

7.某产品的销售收入必(万元)是产量x(千台)的函数，且函数解析式为%=17χ2(χ>0),

生产成本丫2(万元)是产量X(千台)的函数，且函数解析式为％=2χ3-∕(χ>o),要使

利润最大，则该产品应生产()

A.6千台B.7千台C.8千台D.9千台

【正确答案】A

构造利润函数，求导，判断单调性，求得最大值处对应的自变量即可.

【详解】设利润为y万元，则y=X-%=17/-(2χ3-√)=-2√+18d(X>0),

'

y=-6Λ2+36x=-6x(X—6).

令y'=0,解得X=O(舍去)或x=6,经检验知x=6既是函数的极大值点又是函数的最大

值点，,应生产6千台该产品.

故选：A

利用导数求函数在某区间上最值的规律：

(1)若函数在区间［〃,切上单调递增或递减，/(a)与/(A)一个为最大值，一个为最小值.

(2)若函数在闭区间［a,b］上有极值，要先求出切上的极值，与/3),/S)比较，最大的

是最大值，最小的是最小值，可列表完成.

(3)函数F(X)在区间S/)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在

导数的实际应用中经常用到.

8.在正整数范围内定义一种新的运算“*”,观察下列算式

3*2=3+4=7,2*4=2+3+4+5=14,,7*3=7+8+9=24,L若3*〃=150,则”的值为（）

A.13B.14C.15D.16

【正确答案】C

【分析】根据题意得出运算“*”的意义，即左*〃仅,"∈N*)表示的是从左开始(包含Z)的〃

个连续的正整数之和，结合3*〃=150可得出关于〃的方程，解出即可.

【详解】由题意可知，％*〃(太〃—*)表示的是从左开始(包含k)的〃个连续的正整数之和,

/7(∏÷5)

由3*"=150,得3+4+5++(n+2)=-^y-^∙=150,

整理得〃2+5〃_300=0,

"∈N",解得”=15.

故选：C.

9.函数y=sinx+2x(xe[0,π])的最大值为()

A.2πB.π

C.π+lD.π-1

【正确答案】A

【分析】利用导数判断函数的单调性，根据单调性求解最大值.

【详解】y=cosx+2>0,

y=sinx+2x(xe[0,π:])单调递增，

...当X=Tt时，yπm=sinπ+2π=2π,

故选：A

10.已知忖=1且，则|z-2-2i∣(i为虚数单位)的最大值为()

A.2√2-lB.√2-l

C.2√2+lD.√2+l

【正确答案】C

【分析】设z=x+yi得至∣J∕+V=1,由|z—2-2i∣=J(x-2f+(y-2)2,得到∣z-2-2i∣表示

单位圆上的点到点P(2.2)的距离，结合圆的性质，即可求解.

【详解】设z=χ+yi,其中x,yeR,由IZl=1,可得/+/=],

根据复数Z的几何意义可得复数Z表示原点。为圆心，半径为「=1的单位圆,

则∣z-2-2i∣=∣(x-2)+(y-2)i∣=√(x-2)2+(>-2)2,

可得∣z-2-2i∣表示单位圆上的点到点P(2,2)的距离,

因为IPa=2五,所以IZ—2—2i∣的最大值为IPoI+r=2应+1.

故选：C.

11.已知所有的三次函数/(X)=OX3+加+5+”("0)都有对称中心(-§,/(-§)),若函

3a3a

数/(x)=-V+3χ2,则JQ()23)+f(2023)+/(2023)+…+/QO23卜()

A.8090B.-8()90

C.8092D.-8092

【正确答案】A

【分析】按定义求得函数y=∕(χ)的图象的对称中心，利用对称性化简求值即可.

h

【详解】/(x)=-x3+3x2,则。=一1,。=3,-丁=IJ⑴=2,

即函数y=F3的图象的对称中心为。2),则/(x)+∕(2r)=4,

,,“1、-2、-3、"044、，/4045、

故f()+f(---)+f(----)++/(----)+f(----)

20212021202120212021

f⅛⅛+f嗡)+“助煨)++/(^20ɪ22)+/(2ɪ02ɪ4)+/(2023

202320232023

=4x2022+2

=8090

故选：A.

12.已知函数f。)==+lnx,若对任意内,占w(0,2],S.xl≠x2,都有W"再)>-1,

x+1x2-x1

则实数。的取值范围是()

(27-I(27^l

A.I→∞,-B.(-∞,2]C.[-83D.(-∞,8]

【正确答案】A

【分析】不妨设为<》2,可得：f(X2)+X2>f(X1)+X1,可得函数f(x)+x在Xe(0,2］上单调

递增，可得导函数/'(x)+l≥0在(0,2］上恒成立，进而用分参法结合导数研究其单调性和最

值即可得出结果.

【详解】不妨设％，可得：/(x2)+x2>/(X1)+-T1,

可得函数/(x)+x在(O,2］上单调递增，则导函数r(x)+1≥O在(0,2］上恒成立，

.∙.Γ(x)+l=l+i--⅛≥O,可得：α≤<ill2i.

X(X+1)X

令心)="也

X

贝IjV，(X)="华a,所以M(X)<0在(0,3上恒成立，M(X)>0在&,2］上恒成立，

X22

函数V(X)在(θɪ］上单调递减，在(；,2］上单调递增，

1127

.∙.X=/时，V(X)≥v(-)=—.

,27

Cl≤—.

4

故选：A

关键点点睛：将问题转化为构造的新函数的单调性问题，原函数单增转化为导函数大于等于

0,再利用分参法求最值即可.

二、填空题

13.复数z=i(l+2i)的共轨复数为.

【正确答案】-2-i

【分析】先化简复数，再利用共朝复数的概念求解.

【详解】解：因为复数z=i(l+2i)=-2+i,

所以其共扼复数为W=-2-i,

故-2-i

14.曲线y=lnx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.

【正确答案】y=2x

【分析】设切线的切点坐标为(4，%),对函数求导，利用y'l=2,求出与,代入曲线方程

求出％,得到切线的点斜式方程，化简即可.

【详解】设切线的切点坐标为(x°,%),y=lnx+x+l,y=1+1,

X

y'Imb=L+1=2,χ°=1,%=2,所以切点坐标为(1,2),

⅞

所求的切线方程为y-2=2(x-l),即y=2x.

故答案为.y=2χ

本题考查导数的几何意义，属于基础题.

15.已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋.甲说：“我会”；乙说："我不会”；

丙说："甲不会”•如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是

【正确答案】乙

【分析】分别假设甲会、乙会、丙会，推理分析，即可得答案.

【详解】假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；

假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的真话，符合题意：

假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾，不符合.

故乙.

16.已知函数f(x)=InX-'的极小值小于0,则实数机取值范围为.

X

【正确答案】[-∣,θ]

【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对，”进行分类讨论，进而确定函数的

极值，结合已知建立关于加的不等式即可求解.

【详解】由题意得χ>0,Λx)=l+4=^,

Xx~x~

当"?≥0时，∕,(χ)>0,函数在(0,+8)上单调递增，没有极值，

故加<0,易得，当X>一机时，∕,(x)>0,函数单调递增，当0<x<—加时，f'W<O,函

数单调递减，

故当X=-"7时，函数取得极小值/(τw)=ln(-,")+l<0,解得机>-1,

e

所以-,<"7<0.

e

三、解答题

17.(1)求准线为X=-2的抛物线标准方程；

(2)求中心在原点，焦点在X轴上，渐近线为y=±2x,且实轴长为2的双曲线标准方程.

2

【正确答案】(1)y=Sxi(2)/一反=1

【分析】(1)根据准线为X=-2,得到P及焦点的位置求解；

⑵设双曲线标准方程为5J=l(α>0,"0),根据实轴长为2得到a,再由渐近线y=±2x

求得6即可；

【详解】解：(1)因为准线为X=-2,

所以5=-2,且焦点在X轴的正半轴上，

所以抛物线标准方程为丁=8x；

(2)设双曲线标准方程为W-1=l(α>0g>0),

a~b-

由实轴长为2得2α=2,即α=l,

由渐近线》=±2%得2=2,即6=2,

a

所以双曲线标准方程为/一¢=1.

4

18.已知函数f(x)=χ3+2αr2+⅛x+〃在X=-I处取得极大值1.

⑴求。力的值；

(2)当x∈[-l,l]时，求/(x)的最大值.

【正确答案】(l)α=b=l

(2)5

【分析】(1)求导得/(X)=3/+4办+6,根据函数极值与导数的关系得到关于。力方程组,

解出并检验即可；

(2)直接求导，列出函数与导函数变化的表格，通过表格即可求出最大值.

【详解】(1)f'(x)=3x2+4ax+b,且函数/(x)在尸T处有极值1,

√,(-∣)=3-4a+⅛=0p=l

"f(-l)=-∖+2a-b+a=l,=

又当α=b=1时，f∖χ)=3X2+4X+1=3(X+D(X+ɪ)

当x<-l或x>-；时，/")>0,

当-l<χ<-g时，∕,(x)<0,

故/(X)在X=-I处取得极大值，满足题意.

综上，a=b=∖.

(2)当a=l,人=1时，/(X)=X3+2X2+X+1.则f'(x)=3x?+4x+1=3(x+l)(x+g).

当X变化时，/'(X)与/S)的变化情况如下表：

ɪ

X(-ɪ--ɪ)

-1^3(-ɪj)1

f(x)-O+

23

fM1单调递减极小值药单调递增5

所以xe[T,l]时，/S)的最大值为5.

19.数字人民币是由中国人民银行发行的数字形式的法定货币，由指定运营机构参与运营并

向公众兑换，与纸钞和硬币等价.为了进一步了解普通大众对数字人民币的认知情况，某机

构进行了一次问卷调查，统计结果如下：

小学及以初高大学专大学本硕士研究生及以

下中中科科上

不了解数字人民

35358055646

币

了解数字人民币406015011014025

(1)如果将高中及以下学历称为“低学历”,大学专科及以上学历称为“高学历”,根据所给数据,

完成下面的2/2列联表；

低学历高学历合计

不了解数字人民币

了解数字人民币

合计800

（2）根据（1）中所得列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高

低”有关？

n(ad-be)2

其中n-a+b+c+d.

(α+⅛)(c+d)(α+c)(b+d)

p(κ2≥k)0.0500.0100.001

K3.8416.63510.828

【正确答案】（1）列联表见解析

（2）没有

【分析】（1）根据题中数据，填写列联表即可;

n(ad-he)2

(2)由K=,根据列联表数据计算，与临界值比较即可

(«+b)(c+d)(α+C)S+d)

【详解】（1）完成的2x2列联表如下:

低学历高学历合计

不了解数字人民币150125275

了解数字人民币250275525

合计400400800

⑵根据列联表得：K2=800.150x275-125x25。)：=陋≈3.463<3.841,

275×525×400×400231

故没有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.

20.某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，它的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某实验基地

为了研究海水浓度X（%）对亩产量y（吨）的影响，通过在试验田的种植实验，测得了该

农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表.

海水浓度

34567

X（%）

亩产量y

0.570.530.440.360.30

（吨）

残差a-0.010.02inn0

绘制散点图发现，可以用线性回归模型拟合亩产量）（吨）与海水浓度X（%）之间的相关

关系，用最小二乘法计算得P与X之间的线性回归方程为ʃ=-0.07x+a.

（1）求相,〃的值；（参考公式：a=y-bx）

（2）统计学中常用相关指数R2来刻画回归效果，N越大，回归效果越好，如假设R2=O.85,

就说明预报变量了的差异有85%是解释变量X引起的.请计算相关指数正（精确到0.01）,

并指出亩产量的变化多大程度上是由灌溉海水浓度引起的？

2

∑（λ-λ）5

附残差自=%—力,相关指数叱=1-得--------,其中E（%—力2=0.051.

2m

∑（yi-y）

i=l

【正确答案】（1）0；-0.01

（2）0.99,亩产量的变化有99%是由灌溉海水浓度引起的.

【分析】（1）计算元下代入回归方程可得否,利用残差求解方法可得加，〃的值；

（2）利用相关指数的公式求解出相关指数的值，结合结果可得判断.

【详解】（1）因为元=5J=0.44,

所以0.44=-0.07X5+G,即&=0.79,

所以线性回归方程为9=-0∙07x+0.79,

所以为=-0.07×5+0.79=0.44,

m=y3-y3=0.44-0.44=0.

γ4=-0.07×6+0.79=0.37,

〃=%-5⅛=0∙36-0.37=—0.01.

5

(2)^(y,.-y,.)2=(-0.01)2+0.022+O2+(-O.Ol)2+O2=0.0006,

/=I

所以相关指数R2=I-M甯≈0.99.

故亩产量的变化有99%是由灌溉海水浓度引起的.

21.设椭圆M:广+鸟=1(0<3<2)的离心率与双曲线x2-∕=l的离心率互为倒数.

4b~

(1)求椭圆M的方程；

(2)若直线y=岳+〃?交椭圆〃于AB两点，点P(Ij)(f>0)为椭圆M上的一点，求右上钻的

面积取最大值时的直线方程.

【正确答案】⑴!+三=1

42

(2)y=缶+2或y=√Σr-2.

【分析】(1)先求双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，求得。，b,即可得到椭圆

方程；

(2)联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，结合基

本不等式，即可得到最大值.

【详解】⑴易知双曲线/-J=1的离心率为夜，

所以在椭圆中，e="A,得C=6，所以b=J∕一°2=正,

所以椭圆M的方程为:+]=1.

(2)不妨设A(%,y∣),B[χ2,y2),

y=∖∣2x+m

222

联立方程组(yxW4√+2√2∕HT+∕M-4=0.

—+—=1

42

由A=(2√2W)2-4×4×(m2-4)>0得-2√2<m<2√2，

近

m

Λl+占=--^

由韦达定理知■

疗一4

g=1-