预习01平面向量的概念（四大考点）（原卷版）

预习01平面向量的概念一、向量的概念及表示1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量.2.表示:（1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度.（2）向量的表示：①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作.3.两个特殊向量:（1）零向量与非零向量:长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量.（2）单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.二、向量间的关系1.平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有.2.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作.考点01向量的概念与表示【方法点拨】（1）解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度,只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题；（2）向量的表示方法：①几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的长度确定向量的终点；②字母表示法:为了便于运算,可用字母表示,为了联系平面几何中的图形性质,可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量,如等.【例1】有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中，不是向量的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例2】在平面直角坐标系xOy中有三点，，．请用有向线段分别表示由A到B，由B到C，由C到A的位移．【变式11】下列说法中，正确的个数是（

）①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量与不共线，则与都是非零向量（

）A． B． C． D．【变式12】把所有单位向量的起点平移到一点,则其终点构成的图形是.【变式13】在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：（1），使||＝4，点A在点O北偏东45°；（2），使＝4，点B在点A正东；（3），使＝6，点C在点B北偏东30°.考点02向量的模【例3】在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（

）A．1 B． C． D．2【例4】如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与的模相等的向量（除本身）共有个.【变式21】如果一架飞机向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为，那么（）A． B．C． D．与不能比大小【变式22】如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：nmile）．【变式23】如图，已知是单位向量，求出图中向量，，，的模.考点03零向量与单位向量【方法点拨】零向量：长度为0的向量；其方向是任意的，记作；单位向量：长度等于1个单位的向量【例5】下列命题正确的个数是（

）（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．A．1 B．2 C．3 D．4【例6】设分别是与同向的单位向量，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【变式31】下列说法错误的是（

）A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则C． D．若，则【变式32】下列说法正确的是（

）A．单位向量均相等 B．单位向量C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则【变式33】若与任意都平行，则．考点04相等向量与共线向量【方法点拨】（1）寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向或反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量；（2）寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是与已知向量方向相同的向量.【例7】如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（

）A． B．C． D．【例8】（多选）下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反D．若，都是单位向量，则【变式41】如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有个.【变式42】如图，EF，CH将正方形ABCD分成四个单位正方形(边长为1个单位长度).在以图中各点为端点的所有向量中，除向量外，与平行的向量有哪些?与平行且是单位向量的有哪些?【变式43】如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有对.一、单选题1．下列量中是向量的为（

）A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离2．设点是正三角形的中心，则向量，，是（

）A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量3．判断下列各命题的真假，其中假命题的个数为（

）（1）向量的长度与向量的长度相等；（2）、是两非零向量，且与平行，则与方向相同或相反；（3）如果表示两个向量的有向线段有共同的终点，则这两个向量一定是共线向量；（4）向量和向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；（5）为模为1的向量，则．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是（

）A．与 B．与C．与 D．与二、多选题5．如图所示，四边形，，是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（

）A．＝B．与共线C．与共线D．＝6．下列说法中错误的是A．向量与是共线向量,则A，B，C，D四点必在一条直线上B．零向量与零向量共线C．若，则D．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量7．如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题8．下列各量中，向量有：．（填写序号）①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．9．在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：①共线向量：；②方向相反的向量：；③模相等的向量：.10．已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则.四、解答题11．选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量．(1)终点A在起点O正东方向3m处；(2)终点B在起点O正西方向3m处；(3)终点C在起点O东北方向4m处；(4)终点D在起点