6.1平面向量的概念（四大题型）（讲义）（原卷版）

6．1平面向量的概念【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一：向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．知识点诠释：（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．知识点二：向量的表示法1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．2、向量的表示方法：（1）字母表示法：如等．（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 知识点诠释：（1）用字母表示向量便于向量运算；（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．知识点三：向量的有关概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）．知识点诠释：（1）向量的模．（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位的向量．知识点诠释：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．（3）相等向量：长度相等且方向相同的向量．知识点诠释：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．知识点四：向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）．规定：与任一向量共线．知识点诠释：1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．【典型例题】题型一：向量的基本概念【例1】（2024·全国·高一假期作业）下列量中是向量的为（

）A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离【变式11】（2024·安徽阜阳·高二校考阶段练习）下列命题中错误的有（

）A．平行向量就是共线向量B．相反向量就是长度相等且方向相反的向量C．同向，且，则D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件【变式12】（2023·广东湛江·高二校考开学考试）下列命题正确的个数是（

）（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．A．1 B．2 C．3 D．4【变式13】（2024·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则.其中，正确的命题个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式14】（2024·高一课时练习）给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若，则与共线.其中错误命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【方法技巧与总结】解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题．题型二：向量的表示方法【例2】（2024·全国·高一随堂练习）用有向线段表示下列物体运动的速度．(1)向正东方向匀速行驶的汽车在2h内的位移是60km（用的比例尺）；(2)做自由落体运动的物体在1s末的速度（用1cm的长度表示速度2m/s）．【变式21】（2024·全国·高一随堂练习）用有向线段分别表示一个方向向上、大小为20N的力，以及一个方向向下、大小为30N的力（用1cm的长度表示大小为10N的力）．【变式22】（2024·全国·高一随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量．(1)终点A在起点O正东方向3m处；(2)终点B在起点O正西方向3m处；(3)终点C在起点O东北方向4m处；(4)终点D在起点O西南方向2m处．【方法技巧与总结】作向量的方法：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．题型三：利用向量相等或共线进行证明【例3】（2024·高一课时练习）如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，（1）与向量相等的向量；（2）与向量共线的向量；（3）与向量平行的向量.【变式31】（2024·全国·高一课堂例题）如图，D，E分别为的边AB，AC的中点，求证：与共线，并用表示．【变式32】（2024·全国·高一课堂例题）已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：(1)试找出与共线的向量；(2)确定与相等的向量；(3)与相等吗？【变式33】（2024·高一课时练习）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.(1)写出与向量共线的向量；(2)求证：.【方法技巧与总结】相等向量与共线向量的探求方法（1）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．（2）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．题型四：向量知识在实际问题中的简单应用【例4】（2024·高一课时练习）一辆汽车从以点出发向西行驶了到达B点，然后向西偏北的方向行驶了到达C点，最后向东行驶了到达D点．（1）作出向量；（2）求．【变式41】（2024·全国·高一随堂练习）如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：nmile）．【变式42】（2024·高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．【变式43】（2024·高一课时练习）飞机从A地按北偏西15°的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？【变式44】（2024·高一课时练习）一名模型