2023-2024学年江西省新余一中学数学九年级上册期末监测模拟试题含解析

2023-2024学年江西省新余一中学数学九上期末监测模拟试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.方程χ2+χ-12=0的两个根为（）

A.Xι=-2,X2=6B.X1=-6,X2=2C.Xι=-3,Xz=4D.Xι=-4,X2=3

2.太阳与地球之间的平均距离约为150000000km,用科学记数法表示这一数据为（）

A.1.5×108kmB.15×107kmC.0.15×109kmD.1.5×109km

3.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）

A.X2-x+l=0B.%2+4=OC.d+2χ+i=0D.x?—4x+l=0

4.某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同

的百分数，使得三年的总产量达到1400件.若设这个百分数为X,则可列方程（)

A.2∞+200(1+Λ)2=1400B.200+200(1+X)+2∞(1+Λ)2=14∞

C.200(1+x)2=1400D.200(1+x)+200(1+x)2=l400

5.下列函数中，y是X的反比例函数的是()

22

A.y=2xB.y=——x~iC.y=--------D.y=-x

32x-l

6.如图，RtAABC中,ZC=90°,AC=3,BC=I.分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ,BCMN,

四块阴影部分的面积分别为Sl、S2、S3、Si.则S1-S2+S3+S1等于)

D.12

7.如果α=28（a，8均为非零向量），那么下列结论错误的是（）

1

D.∣o∣=2∣z?]

A.a∣∣bB.a-2⅛=0C.b=­a

8.在4张相同的小纸条上分别写上数字-2、0、1、2,做成4支签，放在一个盒子中，搅匀后从中任意抽出1支签（不

放回），再从余下的3支签中任意抽出1支签，则2次抽出的签上的数字的和为正数的概率为（）

1112

A.—B.-C.-D.一

4323

9.已知NA是锐角，tanA=l,那么NA的度数是（）

A.15oB.30oC.45oD.60°

10.圆心角为140。的扇形的半径为3cm,则这个扇形的面积是（）cm'.

A.πB.3πC.9πD.6π

11.如图，在菱形ABCD中，ZBAD=120o,AB=2,点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F,

当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（）

12.在同一直角坐标系中，函数y=fcr-*与y='（A≠0）的图象大致是（）

13.小球在如图6所示的地板上自由滚动,并随机停留在某块正方形的地砖上,则它停在白色地砖上的概率是一.

I■■I

14.不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球,

则它是红球的概率是.

15.如图，在四边形ABCD中，ZABC=90°,对角线AC、BD交于点。，AO=CO,CDLBD,如果CZ）=3,BC=5,

那么AB=.

16.已知二次函数y=χ2-5x+m的图象与X轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1,0）,则另一个交点的坐标

为.

17.如图，在R∕ΔA8C中，NAC6=90°,C。是AB边上的中线，CD=5,则AB的长是.

18.如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A,再以A为圆心，Ao长为半径画弧，两弧交于点

B,画射线OB,则CoSNAOB的值等于.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图1,抛物线W:y="χ2一2的顶点为点A,与X轴的负半轴交于点。，直线AB交抛物线W于另一

点C,点8的坐标为（L0）.

（1）求直线AB的解析式；

（2）过点C作轴，交X轴于点E,若AC平分NDCE,求抛物线W的解析式；

（3）若将抛物线W向下平移机（m›0）个单位得到抛物线”,如图2,记抛物线叱的顶点为A,与X轴负

半轴的交点为。，与射线BC的交点为G.问：在平移的过程中，必〃/℃田是否恒为定值？若是,请求出柩〃NAClB

的值；若不是，请说明理由.

20.（8分）如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=3,点E是边CD的中点，点P,Q分别是射线DC与射线EB上

的动点，连结PQ,AP,BP,设DP=t,EQ=-t.

(1)当点P在线段DE上(不包括端点)时.

①求证：AP=PQ5②当AP平分NDPB时，求APBQ的面积.

(2)在点P,Q的运动过程中，是否存在这样的t,使得APBQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值：若不存在，

试说明理由.

21.(8分)如图，抛物线y=aχ2+bx-4经过A(-3,O),B(5,-4)两点，与y轴交于点C,连接AB,AC,BC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)求AABC的面积；

(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得AABM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理

22.(10分)已知二次函数y=α√+5*-3的图象经过点(1,-4)和(-1,0).

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)X在什么范围内，y随X增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值.

23.(10分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是(4,0),并且O4=0C=408,动点P在过4,B,C三

点的抛物线上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在AC上方的抛物线上有一动点G,如图，当点G运动到某位置时，以AG,40为邻边的平行四边形第四个顶

点恰好也在抛物线上，求出此时点G的坐标；

(3)若抛物线上存在点P,使得aACP是以AC为直角边的直角三角形，直接写出所有符合条件的点尸的坐标.

24.(10分)列方程解应用题.

青山村种的水稻2010年平均每公顷产6000⅛g,2012年平均每公顷产7260⅛g,求水稻每公顷产量的年平均增长率.

25.(12分)如图，已知AB为。。的直径，AD,3。是OO的弦，BC是。。的切线，切点为B,OC//AD,BA,CD

的延长线相交于点E.

(1)求证：OC是。。的切线；

(2)若AE=I,ED=3,求。。的半径.

26.如图，2∖OA8和aOCO中，OA=OB,OC=OD,NAoB=NCoD=a,AC.BD交于M

(1)如图1,当α=90°时，NAMZ)的度数为°

(2)如图2,当α=60°时，NAM。的度数为°

(3)如图3,当AOCO绕。点任意旋转时，NAMQ与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用表示NAVO,

并图3进行证明；若不确定，说明理由.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、D

2

【解析】试题分析：将x+x-12分解因式成(x+4)(x-l),解x+4=0或X-I=O即可得出结论.

x2+x-12=(x+4)(x-1)=0,则x+4=0,或X-I=0,解得：x1=-4,X2=l.

考点：解一元二次方程-因式分解法

2、A

【解析】科学记数法的表示形式为ax∏)n的形式，其中l≤∣a∣<10,n为整数.确定n的值是易错点，由于150000000

有9位，所以可以确定n=9-l=l.

【详解】150000000km=1.5×10lkm.

故选：A.

【点睛】

此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键.

3、D

【分析】根据根的判别式A=b2-4ac的值的符号，可以判定个方程实数根的情况，注意排除法在解选择题中的应用.

【详解】解：A."/Δ=b2-4ac=l-4×l×l=-3<0,

二此方程没有实数根，故本选项错误；

B.f+4=o变形为f=_4

.∙.此方程有没有实数根，故本选项错误；

C.VΔ=b2-4ac=22-4×1×1=0,

.∙.此方程有两个相等的实数根，故本选项错误；

D.VΔ=b2-4ac=42-4×l×I=12,

.∙.此方程有两个不相等的实数根，故本选项正确.

故选：D.

【点睛】

此题考查了一元二次方程根的判别式的知识.此题比较简单,注意掌握一元二次方程aχ2+bx+c=0(a≠0)的根与A=b2-4ac

有如下关系：①当A>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当A=O时，方程有两个相等的两个实数根；③当AV

0时，方程无实数根.

4、B

【分析】根据题意：第一年的产量+第二年的产量+第三年的产量=1且今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分

数X.

【详解】解：已设这个百分数为X.

20()+200(l+x)+200(l+x)2=1.

故选B.

【点睛】

本题考查对增长率问题的掌握情况，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程.

5、B

【分析】根据)'是X的反比例函数的定义，逐一判断选项即可.

【详解】A、y=2x是正比例函数,故本选项不符合题意.

B、＞是X的反比例函数,故本选项符合题意；

c、y不是X的反比例函数,故本选项不符合题意；

D、y=-X是正比例函数,故本选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】

本题主要考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的形式y=A(k≠o的常数)，是解题的关键.

X

6,B

【解析】本题先根据正方形的性质和等量代换得到判定全等三角形的条件，再根据全等三角形的判定定理和面积相等

的性质得到S1、S2、S3、S4与4ABC的关系，即可表示出图中阴影部分的面积和.本题的着重点是等量代换和相互

转化的思想.

【详解】解：如图所示，过点F作FGlAM交于点G,连接PF.

根据正方形的性质可得:AB=BE,BC=BD,

NABC+NCBE=NCBE+∕EBD=90",即NABC=NEBD.

在AABC和AEBD中，

AB=EB,ZABC=ZEBD,BC=BD

所以aABCgAEBD(SAS),故S4=S4伙：，同理可证,ZkKMEgATPF,

△FGKg/kACT,因为NQAG=NAGF=NAQF=90。，所以四边形AQFG是矩形，贝IJQF〃AG又因为QP〃AC,所以点

、三点共线，故∣因为所以

QP,FS3+S=SAQF,S2=SΛCF.NQAF+NCAT=90O,NCAT+NCBA=90",NQAF=NCBA,

⅛∆AQF^Π∆ACBφ,因为

ZAQF=ZACB,AQ=AC,ZQAF=ZCAB

所以^AQFg2∖ACB(ASA),同理可证AAQF0ZXBCA,故

c1

Si-S2+S3+S1=Sabc=—×3×1=6,

故本题正确答案为B.

【点睛】

本题主要考查正方形和全等三角形的判定与性质.

7、B

【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.α-2b=0.故错误.

故选B.

8、C

【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出2次抽出的签上的数字和为正数的结果数，最后根据概率公

式计算即可.

【详解】根据题意画图如下：

开始

共有12种等情况数，其中2次抽出的签上的数字的和为正数的有6种,

则2次抽出的签上的数字的和为正数的概率为9=ɪ；

122

故选：C.

【点睛】

本题考查列表法与树状图法、概率计算题，解题的关键是画树状图展示出所有12种等可能的结果数及准确找出2次抽

出的签上的数字和为正数的结果数，

9、C

【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可.

【详解】VtanA=I,且NA是锐角，

ΛZA=45o.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握相关数值是解题关键.

10、D

【解析】试题分析：扇形面积的计算公式为：S="=24OX万χ9=6π,故选择D.

360360

11、B

【分析】如图，根据圆周角定理可得点F在以BC为直径的圆上，根据菱形的性质可得NBCM=60。，根据圆周角定理

可得NBOM=I20。，利用弧长公式即可得答案.

【详解】如图，取BC的中点。，中点M,连接OM,BM,

V四边形ABC。是菱形，

ΛBM±AC,

二当点E与A重合时，点F与AC中点M重合，

VNCFe=90°,

：.点F的运动轨迹是以Be为直径的圆弧BM,

V四边形ABCD是菱形，ZBAD=120°,

.∙.ZBCM=60°,

ΛNBOM=120。，

…120/12

..BM的长=---二---=-τr.

Dii1803

⅜A_⅜________7_____D

BOC

故选：B.

【点睛】

本题考查菱形的性质、圆周角定理、弧长公式及轨迹，根据圆周角定理确定出点F的轨迹并熟练掌握弧长公式是解题

关键.

12、B

【分析】根据A的取值范围，分别讨论4>0和JlVO时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择

正确答案.

【详解】解：①当々＞0时，

一次函数y=Ax-左经过一、三、四象限，

k

反比例函数的y=-(A≠0)的图象经过一、三象限，

X

故8选项的图象符合要求，

②当AVO时，

一次函数y=«x-A经过一、二、四象限，

k

反比例函数的y=-(A≠O)的图象经过二、四象限，

没有符合条件的选项.

故选：B.

【点睛】

此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的左值相同，则两个函数图象必有交点；

一次函数与J轴的交点与一次函数的常数项相关.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、ɜ

5

【分析】先求出瓷砖的总数，再求出白色瓷砖的个数，利用概率公式即可得出结论.

【详解】由图可知，共有5块瓷砖，白色的有3块，所以它停在白色地砖上的概率=

考点：概率.

14.ɜ

7

【解析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.

【详解】解：•••袋子中共有7个球，其中红球有3个，

.∙.从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是士，

7

3

故答案为：

【点睛】

本题考查概率的求法：如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件4出现，〃种结果，那么事件

JTI

A的概率P(A)=—.

n

【分析】过点A作AE_LbD,由44S得OEgZkCOD,从而得CZ)=AE=3,由勾股定理得。5=4,易证

ΔΓΛβ

△ABEsABCD,得一=一，进而即可求解.

BDBC

【详解】过点A作AEJ_5。，

'：CDLBD,AELBD,

；.NCDB=NAED=90°,CO=AO,ZCOD=ZAOE,

.,.Δ,AOE^ΔCOD(AAS)

.,.CD=AE=3,

VZCDB=90o,BC=5,CD=3,

'-DB=√βC2-CD2=√52-32=4，

VZABC=ZAEB=90o,

ΛZABE+ZEAB=90o,NCBD+NABE=9Q°,

INEAB=NCBD,

又TNCDB=NAEB=90°,

：.AABEs∕∖BCD,

.AEAB

BDBC

.3AB

••一二f

45

本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线构造全等三角形，

是解题的关键.

16、(4,0).

【分析】先把(1,0)代入y=Λ÷5x+机求出机得到抛物线解析式为y=χ2-5x+4,然后解方程P5x+4=0得到抛物线与X

轴的另一个交点的坐标.

【详解】解：把(1,0)代入y=x2-5x+，"得l-5+m=0,解得，〃=4,

所以抛物线解析式为y=x2-5x+4,

当y=0时,x2-5x+4=0,解得XI=1,xι=4,

所以抛物线与X轴的另一个交点的坐标为（4,0）.

故答案为（4,0）.

【点睛】

本题考查了抛物线与X轴的交点：把求二次函数y=αx2+Z>x+c（α,b,C是常数，α≠0）与X轴的交点坐标问题转化为

解关于X的一元二次方程问题.

17、10

【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半直接求解即可.

【详解】解：：在/⅛ΔABC中，NACB=90°,Cr）是AB边上的中线

：.CD=-AB

2

ΛAB=2CD=10

故答案为：10

【点睛】

本题考查直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握直角三角形的性质是本题的解题关键.

1

18、一.

2

【解析】试题分析：根据作图可以证明AAOB是等边三角形，则NAoB=60。，据此即可求解.

试题解析：连接AB,

由画图可知：OA=OB,AO=AB

AOA=AB=OB,即三角形OAB为等边三角形，

ΛZAOB=60o,

ΛcosZAOB=cos60°=—.

2

考点：L特殊角的三角函数值；2.等边三角形的判定与性质.

三、解答题（共78分）

25I

19、（1）y=2x—2；（2）y=X2—2；（3）∕“"ND∣GB恒为定值§.

【分析】（D由抛物线解析式可得顶点A坐标为（0,-2）,利用待定系数法即可得直线AB解析式；

（2）如图，过点B作BNLCD于N,根据角平分线的性质可得BE=BN,由NBND=NCED=90。，ZBND=ZCDE

可证明VBND：NCED,设BE=x,BD=y,根据相似三角形的性质可得CE=2x,CD=2y,根据勾股定理由得y与X

的关系式，即可用含X的代数式表示出C、D坐标，代入y=aχZ2可得关于x、a的方程组，解方程组求出a值即可得

答案；

(3)过点3作BEJ_C。于点/，根据平移规律可得抛物线Wl的解析式为y=gχ2-2-m,设点。的坐标为(t,O)(t

<0),代入y=Jχ22m可得2+m=∣∙t2,即可的Wl的解析式为y=；x"；t2,联立直线BC解析式可用含t的代数式

表示出点Cl的坐标，即可得G"=A",可得NGA”=45°,根据抛物线W的解析式可得点D坐标，联立直线

BC与抛物线W的解析式可得点C、A坐标，即可求出CG、DG的长，可得CG=DG,NCDG=NGQ”=45°,即

可证明GA//C。，可得NDICIB=NDCB,tanNDIClB=tanNDCB,由NCDG=45。可得BF=DF,根据等腰三角

形的性质可求出DF的长，利用勾股定理可求出CD的长，即可求出CF的长，根据三角函数的定义即可得答案.

【详解】(I)T抛物线W：y=0√-2的顶点为点A,

.∙.点A(0,-2),

设直线AB解析式为y=H+"

VB(1,0),

.心=-2

,<μ+⅛=o,

解得：tc，

b=-2

.∙.抛物线解析式为：y=2x-2.

(2)如图，过点8作BN8于N,

VAC平分，ZDCE,BN±CD,BELCE,

：.BN=BE,

'：NBND=ZCED=90o,ZBDN=ZCDE,

：.VBND:NCED,

.BNDB

"ZF一而‘

.BEDB

VAO//CE,

.BOBE∖DB

,,Λθ-cε-2-c5,

设BE=x,BD=y,则CE=2x,CD=2y,

,∙"CD2=DE2+CE2,

'.4j2=(X+y)-+4X2,

：.(x+y)(5x-3y)=0,

5

..y-X9

3

.∙.点C(X+l,2x),点Z)[l-gx,0

•••点C,点。是抛物线W：y=0√-2上的点,

2x=0(x+l)2-2

(5Y

O=6z1—X—2

I3J

,.∙χ>0,

2

:∙x÷l=l-∣x

39

解得：工］二。(舍去)，X=T7

225

2

.∙∙0="1-级型1—2,

I325

.25

∙*∙Cl----9

32

—25X2-Z2•

32

(3)恒为定值，理由如下:

如图，过点G作G"∙Lx轴于H,过点C作CG_Lx轴G,过点8作6/J_CO于点尸，

I

Va=-,

2

二抛物线W的解析式为y=yx2-2,

V将抛物线W向下平移m个单位，得到抛物线吗,

.∙.抛物线叱的解析式为：y=-x2-2-m,

设点A的坐标为",0)(r<0),

：.Q=-t2-2-m,

2

：•2C+7%=一ɪ广2,

2

.∙.抛物线叱的解析式为：γ=→2-∣∕2,

•••抛物线W与射线BC的交点为G,

y=2x-2

Iol

V=-X——t2

22

xl=2-tX7=2-1

解得：<也=2+”不合题意舍去),

JI=2-2f

二点G的坐标(2—r,2—2。,

.∙.C∖H=2-2t,OH=2—t,

：.DyH=DiO+OH=2-t+(-t)=2-2t,

；.C[H=D[H,且C]HLt轴，

；.CIRH=45,

1-

∙.∙y=工厂一2与X轴交于点。，

2

.∙.点。(-2,0),

1,

Ty=2x-2与y=一厂一2交于点C,点A,

2

'y=2x-2

,

,**'12ɔ

y=-x-2

I2

X=X=O

y=6V=-2

.∙.点C(4,6),A(O,-2),

ΛGC=6,DG=OD+OG=2+4=6,

：.DG=CG,且CG，X轴，

：.NGDC=45°=NeRH,

：.C1D1//CD,

：.4D∖C∖B=ZDCB,

ΛtanZDiCiB=tanZ.DCB,

•：NCDB=45°,BFLCD,BD=OD+OB=2+l=3,

：.NFDB=NFBD=45°，

：.DF=BF,DB=√2DF=3,

:∙DF=BF=-

2

∙.∙点。(一2,0),点C(4,6),

22

二CD=λ∕(-2-4)+(0-6)=6叵，

9√2

：.CF=CD-DF=

2

BF1

.∙,tanZD^B=tanZDCB=-=-,

.∙.恒为定值.

【点睛】

本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的图象的平移、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，难

度较大，属中考压轴题，熟练掌握相关的性质及判定定理是解题关键.

20、(1)①见解析；②SAPBQ=18-9不(2)存在，满足条件的t的值为6-1不或1不或6+1不

V*>V口V。IV0

【解析】(1)①如图1中，过点Q作QFj_CD于点F,证明RtaADPgRtZ∖PFQ即可.

②如图，过点A作PB的垂线，垂足为H,过点Q作PB的垂线，垂足为G.由RtaADPgRt^AHP,推出PH=PD

=t,AH=AD=I.由RtZ∖AHPZiRtaPGQ,推出QG=PH=DP=t,在RtZkAHB中，则有Y+(6-t)2=62,求出

t即可解决问题.

(2)分三种情形：①如图1-1中，若点P在线段DE上，当PQ=QB时.②如图1-2中，若点P在线段EC上(如

图)，当PB=BQ时.③如图1-1中，若点P在线段DC延长线上，QP=QB时，分别求解即可.

【详解】(1)①证明：如图1中，过点Q作QFJ_CD于点F,

DPEF「

：点E是DC的中点

ACE=DE=I=CB,

又∙.,NC=90°,

VEQ=F，DP=t,

ΛEF=FQ=t.

ΛFQ=DP,

ΛPF=PE+EF=PE+DP=DE=I

ΛPF=AD,

ΛRt∆ADP^Rt∆PFQ,

ΛAP=PQ.

②如图，过点A作PB的垂线，垂足为H,过点Q作PB的垂线，垂足为G.

由AP平分NDPB,得NAPD=NAPB,易证RtZkADPgRtZkAHP,

ΛPH=PD=t,AH=AD=I.

又NAPD=NPAB,二NPAB=NAPB,

ΛPB=AB=8,

易证Rt∆AHP∆Rt∆PGQ,

.∙.QG=PH=DP=t,

在Rt∆AHB中，则有I2+(6-t)2=62,

解得t=6-1V，

ΛSΔPBQ=∙PB∙QG=×6×(6-1.-)=18-9-

当PQ=QB时,

图3-1

在Rt∆APD中，由DP2+AD2=AP2,得t2+9=2(1-t)2,

解得t=6-L=或6+1,~（舍去）

.，一,-

②如图1-2中，若点P在线段EC上（如图），当PB=BQ时,

则在RtZ∖BCP中，由BP2=CP2+BC2,得2(t-1)2=(6-t)2+9,

解得：t=ι.:或一3.3（舍去）

③如图1-1中，若点P在线段DC延长线上，Qp=QB时,

在Rt△APD中，由DP2+AD2=AI>2,

得t2+9=2(t-l)2,解得：=6-3、弓(舍去)或r=6+3√3

综上所述，满足条件的t的值为6-1、-或1、Y或6+1、

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判走和性质，勾股定理等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决间题，属于中考压轴题.

21、(1)y=Jχ2-2x-4；(2)10；(3)存在，M,(-,H),M2(ɪ,--M3(*,-2),M4(ɪ,

66223222

-叵-2).

2

【分析】(1)将点A,B代入y=aχ2+bx-4即可求出抛物线解析式；

(2)在抛物线丫=4乂2-?乂-4中，求出点C的坐标，推出BC〃x轴，即可由三角形的面积公式求出AABC的面积;

66

(3)求出抛物线y='χ2-∙∣x-4的对称轴，然后设点M(』，m),分别使NAMB=90。，NABM=90。，NAMB

662

=90。三种情况进行讨论，由相似三角形和勾股定理即可求出点M的坐标.

【详解】解：(1)将点人(-3,0),B(5,-4)代入y=aχ2+bx-4,

得《9。一3匕-4=0，

25a+5b-4=-4

1

a--

6

解得，

,5'

b=—

6

.∙.抛物线的解析式为：y=,χ2-^x-4;

66

(2)在抛物线y=1χ2-∣∙x-4中，

66

当X=O时，y=-4,

ΛC(0,-4),

VB(5,-4),

，BC〃x轴，

1

ΛSABC=-BC∙OC

Δ2

1

=­×5×4

2

=10,

.♦.△ABC的面积为10；

(3)存在，理由如下：

在抛物线y='χ2-?x-4中，

66

对称轴为：X=-二=:，

2a2

设点M(—,m),

2

图1'

当NMIAB=90。时，

设X轴与对称轴交于点H,过点B作BNLX轴于点N,

EH

则HMI=m,AH=—,AN=8,BN=4,

2

•：NAMIH+NMιAN=90°,NMIAN+NBAN=90°,

ΛZMiAH=ZBAN,

又TNAHMi=NBNA=90。,

Λ∆AHMι^∆BNA,

.AHHMi

"'~BN~NA'

11

即2=生，

T^7

解得，m=ll,

.∙.M1(2,11)；

2

②如图2,

图2

当NABM2=90。时，

设X轴与对称轴交于点H,BC与对称轴交于点N,

由抛物线的对称性可知，对称轴垂直平分BC,

AM2C=M2B,

/.ZBM2N=ZAM2N,

又∙.∙NAHM2=NBNM2=90°,

.∙.∆AHM2^>∆BNM2,

•_A_H___H__M_,-

9

•∙BN-NM2

115

VHM=-m,AH=—,BN=-,MN=-4-m

2222

11

.^2_-m

“5~-4-m,

2

“22

解得，In=---,

3

图3:

当NAMB=90。时，

设X轴与对称轴交于点H,BC与对称轴交于点N,

贝UAM2+BM2=AB2,

VAM2=AH2+MH2,BM2=BN2+MN2,

ΛAH2+MH2+BN2+MN2=AB2,

115

VHM=-nι,AH=—,BN=-,MN=-4-m,

22

即jɪɪ)+m2+-+(-4-∕M)2=42+82>

解得，mι=叵-2,m2=---2,

22

.∙.M3(ɪ,苴ɪ-2),M4(ɪ,-苴-2)；

2222

综上所述，存在点M的坐标，其坐标为Mi(—,11),Mz(—>■—),,—生■-2),M4(—>-—至■

2232222

2).

【点睛】

本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，直角三角形的存在性，相似三角形的判定与性质等，解题关键是注

意分类讨论思想在解题中的运用.

22、（1）j=x2-2x-3:（2）当XVl时，y随X增大而减小，该函数有最小值，最小值为-L

【分析】（1）将（1,-I）和（-1,0）代入解析式中，即可求出结论；

（2）将二次函数的表达式转化为顶点式，然后根据二次函数的图象及性质即可求出结论.

a+h-3--4

【详解】（1）根据题意得

a—b—3-O

所以抛物线解析式为j=x2-2x-3；

（2）Yy=（x-l）2-1,

.∙.抛物线的对称轴为直线x=l,顶点坐标为（1,-1）,

Va>0,

.∙.当XVl时，），随X增大而减小，该函数有最小值，最小值为-1.

【点睛】

此题考查的是二次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象及性质是解决此题的关

键.

79

23、（1）抛物线的解析式为y=-Λj+3χ+4;（）点G的坐标为（一，一）；（3）点尸（2,6）或（-2,-6）.

224

【分析】（1）由点A的坐标及OA=OC=408,可得出点8,C的坐标，根据点A,B,C的坐标,利用待定系数法即可求出抛物

线的解析式；

（2）由二次函数的解析式利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴，由Ao的长度结合平行四边形的性质可得出点

G的横坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点G的坐标；

（3）设点P的坐标为（叫-/+3机+4）,结合点4,。的坐标可得出4p2,Cp24α的值，分NAC7=90°及NΛ4C=90°两种

情况，利用勾股定理即可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出结论.

【详解】解：（DV点A的坐标是（4,0）,

：.0A=4,

y,∙:OA=OC=4OB,

：.OA=OC=4,OB=I,

.∙.点C的坐标为（0,4）,点5的坐标为（-1,0）.

设抛物线的解析式为y=αχ2+0χ+c(<ι≠0),

将A(4,O),B(-1,O),C(0,4)代入y=αχ2+bx+c,

116«+4⅛+c=O|«=-I

得1a-b+c=O,解得4b=3,

Ic=4IC=4

2

.∙.抛物线的解析式为产-X+3X+4J

(2)T抛物线的解析式为y=-x2+3x+4,

3

二抛物线的对称轴为直线χ=±,

2

∙.∙如图1,动点G在AC上方的抛物线上,且以AG,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点”也在抛物线上,

：.GH//AO,GH=A0=4,

∙.∙点G,”都在抛物线上，

3

二GH关于直线X=一对称，

2

7

点G的横坐标为一，

2

79

：当X=5时,y=-x2+3x+4=-,

,._79

二点G的坐标为(—,—).

24

(3)假设存在,设点尸的坐标为(∕n,-m2+3m+4),

Y点A的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,4),

：.AP2=(∕n-4)2+(-m2+3∕n+4-0)2=m4-6m3+2m2+16∕n+32,

CP2=(m-0)2+(-∕n2+3∕n+4-4)2=∕n4-6ffi3+10∕n2√lC2=(0-4)2+(4-0)2=32,

分两种情况考虑,如图2所示，

①当NACP=90。时√4尸=CP2+AG,

即m4-