中考数学知识点与经典题型练习 全等三角形中的截长补短模型(解析版)

专题06全等三角形中的截长补短模型

【模型展示】

40

⅜\•.

♦,

*.■■

'√

E

如图，在△48C中，若48=72,AC=8,求BC边上的中线Ao的取值范围。

解决此问题可以用如下方法：

延长AD到点E使DE=AD,再连接BE,把AB、AC、2AD集中在△ABE中，

利用三角形三边的关系即可判断中线4。的取值

【证明】

特点延长AO至£,⅛DE=AD,连接如图所示，

丫AO是BC边上的中线，

：.BD=CD

在4BDE和白CDA中，

BD=CD

ZBDE=ZADC

DE=AE

：.ABDE/ACDA(SAS)

：.BE=AC=8

在AA8E中，由三角形的三边关系得：A8-BE<AE<AB+BE

.,.12-8<AE<12+8

.,.2<AD<10

截长法和补短法在证明线段的和、差、倍二分等问题中有着广泛的应用.具体

结论的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之

与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题.

【模型证明】

Λv//5C

'4，

如图，在AABC中，。是8C边上的中点，OEj_。尸于点D,OE交AB于点、EQF

交AC于点尸,连接EF,求证：BE+CF>EF.

【证明】

延长FD至点M使DM=。尸,连接3M,EM,如图所示，

同上例得AβMD^ΔCFD(SAS)

IBM=CF

•：DELDF,DM=DF

：.EM=EF

在△8ME中，由三角形的三边关系得：BE+BM>EM

D

4八

解决方

案

o

如图，在四边形48CO中，ZB+ZD=180fCB=CD,/BCD=I40。,以C为顶点

作一个70。角，角的两边分别交ABAD于EyF两点连接EA探索线段BE,DF,EF之

间的数量关系，并加以证明.

【证明】

延长AB至点N,使BN=DF,连搂CN,如图所示

o

VZABC+ZD=180fNNBC+NABC=180。

"NBC=ND

在^NBC和AFDC中

BN=DF

NNBC=ND

BC=DC

:∙4NBCQXFDC(SAS)

ICN=CF,/NCB=NFCD

•：/BCD=I40。,ZECF=70o

：∙/BCE+/FCD=70。

：.ZECN=7(f=ZECF

在^NCE和^FCE中

CN=CF

ZECN=ZECF

CE=CE

•••△NCE丝△尸CE(SAS)

：.EN=EF

：.BE+DF=EF.

【题型演练】

一、解答题

1.阅读下面文字并填空：

数学习题课上李老师出了这样一道题：”如图1,在一ABC中，AD平分ZBAC,Zβ=2ZC.求

证：AB+BD=AC.

李老师给出了如下简要分析：“要证AB+3。=AC就是要证线段的和差问题，所以有两个方

法，方法一：‘截长法’如图2,在AC上截取AE=AB,连接DE,只要证即=即

可，这就将证明线段和差问题为证明线段相等问题，只要证出“

,得出NS=NAED及BD=，再证出N=N,

进而得出EO=EC,则结论成立.此种证法的基础是'已知AD平分ZfiAC,将AABD沿直

线AD对折，使点B落在AC边上的点E处，成为可能.

（图2）

方法二：“补短法”如图3,延长AB至点F,使BF=BD.只要证AF=AC即可.此时先证

Z=NC,再证出A，则结论成立.”

“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法.

【答案】方法一：CE；转化；ABD：AED;DE;EDC；C；方法二：F;AFDxACD

【分析】方法一：在AC上截取AE=A8,由SAS可证AABQ二ΔAED可得ZB=NAEr>,BD=DE,

根据等角对等边得到CE=DE,即可求证；

方法二：延长AB至点F,使BF=BD,由AAS可证ΔΛFD3ΔΛC。，可得AC=AF,即可证

明.

【详解】方法一：在AC上截取AE=A5,连接DE,如图2

TAD平分NBAC,

/.ZBAD=ZDACf

在AABD和ΔAED^力

AE=AB

</BAD=NDAC,

AD=AD

.*.ΛABD=AAED,

ʌZB=ZAED,BD=DE,

"."NB=2NC,

.*.ZAED=2ZC

而ZAED=ZC+/EDC=2ZC,

・・・NEDC=NC,

ΛDE=CE,

ΛAB+BD=AE+CE=AC,

故答案为：CE；转化；ABD：AED;DE；EDC：C；

方法二：如图3,延长AB至点F,使BF=BD,

JZF=ZBDF

JZABD=ZF+ZBDF=2ZF

JZABD=2ZC

：.NF=NC

在AAfD和ΔACD中

ZFAD=ZCAD

<ZF=ZC,

AD=AD

：.MCD1

ΛAC=AF,

ΛAC=AB+BF=AB+BD,

故答案为：F；AFD；ACD.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线，核心思想为数学中

的转化思想，此类题的关键是要找到最长边和最短边，然后确定截取辅助线的方式.

2.【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边

上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等,

从而解决问题.

(1)如图1,ABC是等边三角形，点。是边BC下方一点，ZBDC=∖20o,探索线段。A、

DB、DC之间的数量关系.

解题思路：延长OC到点E,使CE=BD,连接AE,根据N84C+NBOC=180。，可证

ZABD=ZΛCE,易证得ABD四一ACE,得出二AQE是等边三角形，所以AE>=小，从而

探寻线段ZM、DB、OC之间的数量关系.

根据上述解题思路，请写出D4、DB、OC之间的数量关系是,并写出证明过程；

【拓展延伸】

(2)如图2,在ABC中，Zβ4C=90o,AB=AC,若点。是边8C下方一点，ZBDC=90°,

探索线段。4、DB、。。之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

(3)如图3,两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直

角顶点之间的距离PQ的平方为多少？

【答案】(1)DA=DC+BD,见解析；(2)2")?=(DC+8£>『；见解析；(3)2+√3

【分析】(1)由等边三角形知AB=AC,ZBAC=60°,结合NBDC=I20°知ZABD+ZACD=180°,

由NACE+NAC£)=180。知NABZ)=∕ACE,iiE∆ABD^ΛACE^AD=AE,ZBAD=ZCAE,

再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB.

(2)延长OC到点E,使CE=BD,连接AE,先证△A8D丝AACE得AD=AE,NBAD=NCAE,

据此可得/D4E=/A4C=90。，由勾股定理知继而可得2Af>2=(DC+8。)2；

(3)由直角三角形的性质知QV=TMN=1,MQ=QMM-QN2=6，利用(2)中的结论知

2PQ2=(QN+MQ)2,据此可得答案.

【详解】解：(1)DA=DC+BD,理由如下：

•.'△ABC是等边三角形，

：.AB=AC,ZBAC=GOo,

VZBDC=120o,

NABo+/ACD=360。-NBAC-N8。C=I80。，

又・・・ZACE+ZACD=180o,

，NABD=NACE,

在^ABD和4ΛCEφ,

AB=AC

ZABD=ZACE,

BD=CE

：.ΛABD^∆ACE(SAS),

：.AD=AE,NBAD=NCAE,

VZABC=60o,即N8AD+/OAC=60。，

・•・ZDAC+ZCAE=60o,即NZME=60。，

•••△AOE是等边三角形，

：・DA=DE=DC+CE=DC+DB,即DA=OC+03,

故答案为：DA=DC+BD;

(2)2Af>2=(DC÷BD)2,如图2,延长OC到点区使CE=BD,连接AE,

VZβΛC=90o,NBDC=90。,

：.NABo+N4CO=3600-NBACNBr)C=I80。,

∙/ZΛCE+ZΛCD=180o,

ZABD=ZACE9

'：AB=ACtCE=BD,

在AABO和ZkACE中，

AB=AC

<ZABD=NACE,

BD=CE

：.ΛABD^∕∖ACE(SAS),

.'.AD=AE9ZBAD=ZCAE,

.∖ZDAE=ZBAC=90o,

：.DA2+AE2=DE2,

：.2AD2=(DC+BD)2;

图3

•：MN=2,ZQMN=30°,ZMQN=90°,

；.QN=WMN=I,

2222

MQ=y∣MN-QN=√2-l=√3,

由(2)知2PQ2=(QN+MQ)2.

.∙(QN+MQ)：任a=2+技

22

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质，含30度角

的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

3.如图，在等边AABC中，点P是BC边上一点，ZBAP^a(30o<α<60o),作点B关

于直线AP的对称点。，连接Z)C并延长交直线A尸于点E,连接8E.

(1)依题意补全图形，并直接写出NAEB的度数；

(2)用等式表示线段AE,BE,CE之间的数量关系，并证明.

分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性

质......

②通过截长补短，利用60。角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的

目的.

请根据上述分析过程，完成解答过程.

B

【答案】(1)图见解析，ZAEB=60o;(2)AE=BE+CE,证明见解析

【分析】(1)依题意补全图形，如图所示：然后连接A。，先求出NC4P=60。-。，然后根

据轴对称的性质得到ZPAD=ZBAP=a,AD=AB=AC,/AEC=/AEB,求出ZC4D=2a-60o,

即可求出NAa)=/41)C=L(180。-/CAZ))=I2(r-α,再由

ZEAC+NAEC=ZACD=↑20。一口进行求解即可；

(2)如图，在AE上截取EG=B£,连接8G.先证明△BGE是等边三角形，得到BG=BE

=EG,ZGBE=60°.再证明NABG=NcBE,即可证明△A8G0Z∖C3E得到AG=CE,则

AE=EG+AG=BE+CE.

【详解】解：(1)依题意补全图形，如图所示：连接AQ,

「△ABC是等边三角形，

.,.ZBAC=60o,AB=AC,

∙/NBAP=a,

.∙.ZC4P=60o-α,

Vβ,。关于AP对称，

：./PAD=NBAP=a,AD=AB=AC,NAEC=NAEB,

：.ZCAD=ZPAD-ZCAP=a-(60°-α)=2α-60°,

.∙.ZACD=ZΛDC=^(180o-ZC4D)=l20o-a

ZEAC+ZAEC=ZACD=]20°-a,

ZAEC=60°

ZΛEB=60o.

D

∖p∖/

E∖

(2)AE=BE+CE.

证明：如图，在AE上截取EG=BE,连接BG.

∙/NAE8=60。，

GE是等边三角形，

IBG=BE=EG,NGBE=60。.

♦.,△ABC是等边三角形，

：.AB=BC,ZABC=60°,

/.ZABG+ZGBC=AGBC+NCBE=60。，

・・・ZABG=ZCBE.

在^ABGf∏∆CBE中，

AB=CB,

NABG=NCBE

BG=BE,

：.ΛABG^^∖CBE(SAS),

：.AG=CEf

AE=EG+AG=BE+CE.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，等

腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，熟知相关知识是解题

的关键

4.阅读材料:

“截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系.截长,

即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段：补

短，即延长其中一条短线段,使延长部分等于另一条线段,再证明延长后的线段等于长线段.

依据上述材料，解答下列问题:

如图，在等边,ΛBC中，点E是边AC上一定点，点。是直线BC上一动点，以OE为边作

等边一DEF,连接CF.

(1)如图，若点。在边BC上，试说明CE+b=CE>;(提示：在线段上截取CG=CE,

连接EG.)

(2)如图，若点。在边BC的延长线上，请探究线段CE,C尸与C力之间的数量关系并说明理

由.

(T)FC=CD^CE

【分析】(1)在CO上截取CG=CE易证△CEG是等边三角形，得出EG=EC=CG,证

明△DEG丝Z∖FEC(SAS),得出OG=CF,即可得出结论；

(2)过。作DGAB,交AC的延长线于点G,由平行线的性质易证NGoC=/OGC=60。，

得出△GCO为等边三角形，则DG=CD=CG,证明△EGDgAFCD(SAS),得出EG=FC,

即可得出FC=CD+CE.

(1)

证明：在C£>上截取CG=CE,如图1所示：

A

:△ABC是等边三角形，

ΛZECG=60o,

・•・ACEG是等边三角形，

：.EG=EC=CG,NCEG=60。，

•・・△拉E尸是等边三角形，

IDE=FE,NDEF=60。,

.β.NDEG+NGEF=NFEC+NGEF=60°,

：.NDEG=NFEC,

在△DEG和△FEC中，

DE=FE

<ZDEG=ZFEC,

EG=EC

：・4DEGQAFEC(SAS),

LDG=CF,

：.CD=CG^DG=CE+CF,

.∖CE+CF=CD;

(2)

解：线段CE,b与CO之间的等量关系是FC=CD+CE;理由如下:

・・•ZVlBC是等边三角形，

，NA=NB=60。，

过。作。GM用交AC的延长线于点G,如图2所示：

VGDAB,

.∙.NGOC=/B=60。，NOGC=/A=60。，

：.ZGDC=ZDGC=60o,

...△GCO为等边三角形，

ΛDG=CD=CG,ZGDC=60o,

•；AEDF为等边三角形,

IED=DF,/EOF=NGoC=60。，

：.ZEDG^ZFDC,

在4EGD⅛ΔFCDΦ,

ED=DF

-ZEDG=NFDC,

DG=CD

.".∆EGD^Δ,FCD(SAS),

LEG=FC,

：.FC=EG=CG+CE=CD+CE.

【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形全等及其性质，三角形全等的判定，等边三角形

的性质等知识，作辅助线构建等边三角形是解题的关键.

5.在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅

助线的方法，其中有“截长补短''作辅助线的方法.

截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；

补短法：延长较短线段和较长线段相等.

这两种方法统称截长补短法.

请用这两种方法分别解决下列问题：

已知，如图，在AABC中，AB>AC,NI=N2,P为Ao上任一点，求证：AB-AOPB

-PC

【分析】截长法：在A8上截取AN=AC,连结PM可证得△APNgZ∖APC,可得至IJPC=PM

△BPN中,利用三角形的三边关系，即可求证；补短法：延长AC至例，使AM=A8,连结

PM,证明△A8PgZV1MP,可得PB=PM,在APCM中，利用三角形的三边关系，即可求

证.

【详解】解：截长法：在AB上截取AN=AC,连结PM

∖"AN=AC,∕1=N2,AP=AP,

：.ZXAPN丝—

PC=PN,

「△BPN中有PB-PN<BN,

即PB-PC<AB-AC;

补短法：延长AC至例，使AM=A8,连结PM,

M

在AABP和AAMP中，

'：AB^AM,Nl=N2,AP=AP,

Λ∆ABP^∆AMP.

：.PB=PM,

又,.•在4PCM中有CM>PM~PC,

即AB-AOPB-PC.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，理解截长补短法是

解题的关键.

6.例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一

种策略.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式

使两条短边拼合到一起，从而解决问题.

(1)如图1,ZiABC是等边三角形，点。是边BC下方一点，ZBDC=120°,探索线段D4、

DB、OC之间的数量关系.

解题思路：将AAB。绕点A逆时针旋转60。得到△4CE,可得AE=AO,CE=BD,

ZABD=ZACE,ZDAE=60O,根据∕BAC+NBoC=I80。，可知NAB。+NACo=I80。，贝∣J

ZACE+ZACD=∖SO°,易知△A。E是等边三角形，所以AZJ=OE,从而解决问题.

根据上述解题思路，三条线段D4、DB、OC之间的等量关系是；

(2)如图2,KdABC中，NBAC=90。，AB=AC.点。是边BC下方一点，NBDC=90。,探

索三条线段。A、DB、OC之间的等量关系，并证明你的结论.

FH1晶2

【答案】⑴DA=DB+DC;⑵五DA=DB+DC,证明见解析.

【分析】⑴由旋转60呵得AE=A。，CE=BD,ZABD=ZACE,NDAE=60。，根据

/BAC+NBnC=I80°,可知/A8λ>+/Ae£)=180°,贝UZACE+ZACD=ISOo,易知AADE是

等边三角形，所以AO=OE,从而解决问题.

⑵延长DC到点E.使CE=BD,连接AE,由己知可得NABD+NACD=I80°,根据

ZACE+ZACO=180",可得ZABo=ZACE,可证二ABD=ACE,进而可得AD=AE,

ZBAD=ZCAE,可得ZDAE=NBAC=90°.由勾股定理可得：DA2+AE2=DE2,进行等量代

换可得结论.

【详解】⑴结论：DA=DB+DC.

理由：V∆ABD绕点A逆时针旋转60。得到△ACE,

ΛAE=AD,CE=BD,ZABD=ZACE,ZDAE=60O,

VZBAC+ZBDC=180°,

ABD+/ACD=I80。，

.,.NACE+NACD=180。，

.∙.DC,E三点共线，

VAE=AD,NDAE=60°,

aADE是等边三角形，

AD=DE,

.,.AD=DC+CE=DB+DC;

⑵结论：√2DA=DB+DC.

证明如下：

如图所示，延长DC至IJ点E,使CE=BD,连接AE,

ZBAC=90",NBDC=90°,

/.ZABD+ZACD=180\

ZACE+ZACO=180°,

.∙.ZABD=ZACE,

∙.∙AB=AC,CE=BD,

：.AABD=λACE(SAS),

AD=AE,ZBAD=ZCAE.

NDAE=NBAC=90",

∙,-+AE2DE2,

：.IDfiC=(Z)B+DC)2,

.".√2DA=DB+DC.

【点睛】本题主要考查了截长补短的方法，通过全等三角形得到线段间的等量关系，正确作

出辅助线找到全等三角形是解题的关键.

7.阅读材料并完成习题：

在数学中，我们会用“截长补短'’的方法来构造全等三角形解决问题.请看这个例题：如图ɪ,

在四边形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90o,AB=AD,若AC=2cm,求四边形ABCD的面积.

解：延长线段CB到E,使得BE=CD,连接AE,我们可以证明△BAE丝ADAC,根据全等

三角形的性质得AE=AC=2,ZEAB=ZCAD,贝IJ

o

ZEAC=ZEAB+ZBAC=ZDAC+ZBAC=ZBAD=90,得Sa≡

ABCD=SAABC+SAADC=SAABC+SAABE=SAAEO这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三

角形EAC面积.

(I)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为cm2.

(2)请你用上面学到的方法完成下面的习题.

H

如图2,已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm,NG=NN=90。，求五边形FGHMN的面积.

【答案】(1)2：(2)4

【分析】(1)根据题意可直接求等腰直角三角形EAC的面积即可；

(2)延长MN到K,使NK=GH,连接FK、FH、FM,由(1)易证FGHMFNK,则有

FK=FH,因为HM=GH+MN易证.QWK四一IRWH,故可求解.

1ɔ

【洋解】(I)由题意知S四边形AecO=SA8C+SADC=SABC+SA8E=SAEe=5AC=2,

故答案为2；

(2)延长MN到K,使NK=GH,连接FK、FH、FM,如图所示：

FG=FN=HM=GH+MN=2cm,NG=NN=90°,

ZFNK=ZFGH=90o,&FGHg.FNK,

/.FH=FK,

乂】FM=FM,HM=KM=MN+GH=MN+NK,

：,&FMKRFMH,

.∙.MK=FN=2cm,

=

•∙S母Ii彩FGHMNSFGH+SHFM+SMFN=25FMK~2×~MK∙FN—4.

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的

运用.

8.【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边

上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等,

从而解决问题.

(1)如图①，△ABC是等边三角形，点。是边BC下方一点，连结£M、DB、DC,且

ZeZ)C=I20。，探索线段94、DB、DC之间的数量关系.

解题思路：延长DC到点E,使CE=Br>,连接AE,根据/B4C+&)C=180。，贝IJ

ZABD+ZACDISOo,因为NAa)+NACE=180。可证NAβf>=NACE,易证得△ABD

ACE,得出△AE>E是等边三角形，所以AD=OE,从而探寻线段D4、DB.OC之间的数

量关系.根据上述解题思路，请直接写出八4、DB.DC之间的数量关系是；

【拓展延伸】

(2)如图②，在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC.若点。是边BC下方一点，

NBDC=90°,探索线段D4、DB.DC之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

(3)如图③，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，己知300所对直角

边等于斜边一半，则PQ的长为cm.(结果无需化简)

【答案】(I)DA=DB+DC-.(2)M：^2AD=DC+DB证明见解析；(3)匕£.

v2

【分析】(1)由等边三角形知A8=AC,∕8AC=60°,结合N8DC=I2O°知∕A8O+NACO=l80°,

由∕ACE+NAeQ=I80。知NABC=∕4CE,iiE∆ABD^ΛACEWAD=AE,ZBAD=ZCAE,

再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB.

(2)延长OC至U点E,使CE=B。,连接AE,先证△AB。丝ZXACE得4O=A£,ZBAD=ZCAE,

据此可得NDAE=/a4C=90。，由勾股定理知。黯+4炉=。^,继而可得切炉=(。∕”：)2；

(3)由直角三角形的性质知QV=TMN=1,MQ=IMN2-QN2=g,利用(2)中的结论知

也PQ=QN+QM=∖+C，据此可得答案.

【详解】解：(1)DA=DC+DB,理由：

YZiABC是等边三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60o,

,：ZBDC=∖2Qo,

：.ZABD+ZACD=ISOo,

又；ZACE+ZACD=ISOo,

：.ZABD=ZACE,

在AABD⅛ΔACE中，

AB=AC

<ZABD=^ACEf

BD=CE

：•XABD9XACE(SAS),

：.AD=AE,ZBAD=ZCAEf

VZAβC=60o,即N8AZMNOAC=60°,

ZDAC+ZCAE=60o,即ZDAE=60o,

•••△ADE是等边三角形，

：・DA=DE=DC+CE=DC+DB,BPDA=DC+DBf

故答案为：DA=DC+DB;

(2)A=D8+QC如图2,延长。C到点£使CE=BD,连接4E,

E

图2

βoo

∙.ZBAC=90,NBDC=90。；.ZABD+ZACD=ISOf

t:ZΛCE+ZΛCD=I80o,

・・・ZABD=ZACE1

λ

:AB=ACfCE=BD,

在△A3。和^ACE中，

AB=AC

<ΛABD=ZACE,

BD=CE

：.ΛABD^∕∖ACE(SAS),

：.AD=AE,ZBAD=^CAEf

,NOAE=NBAO90。，

222

：.DA+AE=DEt

：.2DA2=CDB+DC)2,

/.√2DA=DB+DC;

(3)如图3,连接P。，

•：MN=2,NQMN=30。，

：.QN=WMN=∖,

,2222

∙∙MQ=y∣MN-QN=√2-l=√3，

由(2)知亚PQ=QN+QM=l+6,

.n-l+√3

∙.pθρ=H

故答案为：］

*√g2

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌

握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

9.【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边

上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等,

从而解决问题.

P

DB、OC之间的数量关系.

解题思路：延长。C到点E,{⅛!CE=BD,连接AE,根据∕BAC+NBOC=180。，可证NABO

=∕ACE易证得△ABO丝Z∖ACE,得出△AOE是等边三角形，所以AO=OE,从而探寻线段

DA.DB、OC之间的数量关系.根据上述解题思路，请直接写出D4、DB、OC之间的数量

关系是,

【拓展延伸】

(2)如图2,在放AABC中，ZBAC=90o,AB=AC.若点。是边BC下方一点，NBDC=90。,

探索线段D4、DB、OC之间的数量关系，并说明理由;

【知识应用】

(3)如图3,两块斜边长都为4cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角

顶点之间的距离PQ的长为cm.

【答案】(I)ZM=D8+OC

⑵√2D4=OB+DC;理由见解析

⑶PQ=(也+瓜)cm

【分析】(1)延长。C到点E,使CE=8Z),连接4E,由等边三角形知A8=4C,NBAC=60°,

结合N83C=120°,知/4B。+NACD=I80°,则乙48。=乙4CE,证得△AfiD≤∆ACE≈⅛AD=AE,

ZBAD=ZCAE,再证明AAOE是等边三角形，等量代换可得结论；

(2)同理可证4ABD三4ACE↑^AD=AE,ZBAD=ZCAE,由勾股定理得DA2+AE2=DE2，

等量代换即得结论；

(3)由直角三角形的性质可得。N的长，由勾股定理可得MQ的长，由(2)知

垃PQ=QN+QM,由此可求得尸。长.

(1)

(1)延长OC到点E,使CE=8D,连接AE,

「△ABC是等边三角形，

.∙.A8=AC,∕8AC=60°,

∖,ZBDC=UOo,

：.ZBAC+ZBDC=∖S0o,

：.ZABD+ZACD=∖S0o,

又；ZACE+ZACD=∖S0o,

：.ZABD=ZACE,

：.∆ABD≤ΔACE(SAS),

：.AD=AE,ZBAD^ZCAE,

'：ZBAC=60o,

ZBAD+ZDAC^60o,

：.ZDAE=ZDAC+ZCAE=60o,

.∙.ZXAOE是等边三角形，

，DA=DE=DC+CE=DC+DB,

(2)

√2DA=DB+DC,

理由如下：延长£>C到点E,使CE=BD,连接AE,

VZfiAC=90o,∕8OC=90°,

，ZΛβD+ZACD≈180o

XVZACE+ZACD=∖S0o,

：.ZABD^ZACE,

'CAB=AC,CE=BD,

：.∕∖ABD^∆ACE(SAS),

：.AD=AE,ZBAD=ZCAE,

ΛZDAF=ZBAC=90o,

∙-∙+AE2DE2>

：.2DA2=(DB+DC)2,

•*.母DA=DB+DC,

(3)

如图所示：连接PQ,

-----÷---

•；MN=4cm,ZQMN=30°,

.*.QN=^MN=2cm,

2222

根据勾股定理得QM=y∣MN-QNɪ√4-2=2√3cw，

由(2)知6PQ=QN+QM,

：.PQ=QY=喑=g㈣an,

【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等边

三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关犍.

10.现阅读下面的材料•，然后解答问题：

截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法.在证明线段的和、差、倍、分等

问题中有着广泛的应用.截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩

余的线段与另一段线段相等.补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部

分等于另一条线段.

请用截长法解决问题（I）

（1）已知：如图1等腰直角三角形ABC中，NB=90。，AD是角平分线，交BC边于点。.求

图1

请用补短法解决问题（2）

（2）如图2,已知，如图2,在ΔA3C中，∠β=2ZC,A。是ΔA8C的角平分线.求证:

AC^AB+BD.

图2

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据截长法，在AC上截取4E=",连接OE,通过题目条件可证

MDBMDE（SAS）,进而证得ADEC是等腰直角三角形，等量代换即可得；

（2）根据补短法，延长A8到尸，使AF=AC,连接。尸，根据已知条件可证

^FADACAD（SAS）,进而可证M=成，等量代换即可得证.

【详解】（1）证明：如图1,在AC上截取AE=AB,连接OE,

：AD是角平分线，

.∙.NBAD=ΛEAD

在MDB和ΔADE中

AB=AE

<ZBAD=ZEAD

AD=AD

.∖ΛADB=MDE(SAS)

・•・ZAEO=NB=90,DE=DB

又・・.A48C是等腰直角三角形，

∙∙∙NC=45,JAOEC是等腰直角三角形,

DE=EC,

：,AC=AE+EC=AB+BD.

图1

(2)如图2,延长A8到尸，使AF=AC,连接。尸,

•/AD是ΔABC的角平分线，

/.ZFAD=ZCAD

在M4£>和Ae4。中

AF=AC

<ZFAD=ZCAD

AD=AD

/.AFAD=^CAD(SAS)f

：.NC=N产

•：ZABC=2ZC,ZABC=ZF+ZBDF,

.β.NF=NBDF,

：•BD=BF,

・・・AC=AF=AB+BD.

【点睛】本题考查了戴长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质

的应用，角平分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关

键.

11.数学课上，小白遇到这样一个问题：

如图1,在等腰∕⅛ΔABC中，ZfiAC=90o,AB^AC,AD=AE,求证NABE=ZAC£＞；

在此问题的基础上，老师补充：

过点A作AFLBE于点G交BC于点F,过F作尸PJ_CO交BE于点P,交CD于点、H,试探

究线段BP,FP,从"之间的数量关系，并说明理由.

小白通过研究发现，/4FB与N”尸C有某种数量关系；

小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步

推理，可以得出结论.

阅读上面材料，请回答下面问题：

(I)求证NABE=NACD;

(2)猜想N/将B与NHFC的数量关系，并证明；

(3)探究线段3尸，FP,AF之间的数量关系，并证明.

【答案】(1)见解析；(2)2HFC=ZBFA,证明见解析；(3)BP=AF+PF,证明见解析

【分析】(1)利用SAS证明AcO可得结论；

(2)设ZABE=ZACD=x,推出NBFA=45°+X,NHFC=45。+x,即可证明ZHFC=NBFA；

(3)过点C作GW，AC交心延长线于点M,延长EP交AC于点N,证明△ABEgACAM,

得出BE=AM和NM=NBEA,从而证明^NFC⅛∆MFC,得到FM=FN^ZM=ZFNC,

可得PN=PE,从而得出BP=AF+PE

【详解】解：(1)：在△ABE和△ACD中，

AB=AC

<ZA=ZA,

AE=AD

.∙.∖ABE=∖ACD(SAS),

.-.ZABE=ZACD-.

(2)T&ZABE=ZACD=x,

AF±BE,

.∙.ZBAF=90o-x,

.-.ZBE4=90o-(45o-X)=45。+X,

.ZACD=χf

：.NHCF=45。—x,

FPiCD,

:"HFC=90o-(45o-x)=45。+x,

:.AHFC=ABFA↑

(3)过点C作CMLAC交AF延长线于点"，延长尸尸交AC于点N,

.Zβ4F+ZMC=90o,ZBAF+ZABG=900,

ZFAC=ZABG,

在^ABE和小CAM中，

ZBAE=ZACM

<AB=AC,

ZABE=ZCAM

:.MBEACAM(ASA),

BE=AM,ZM=ZBEA,

Z-BFA=ZMFC=ZNFC,FC=FC,ZACB=NBCM=45。,

,∖ANFC=AMFC(ASA),

FM=FN,NM=/FNC,

."FNC=ZBEA,

:.PN=PE,

.,.BP=BE—PE=AM-PE=AF+FM-PE=AF+FN-PN=AF+PF.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知

识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定

难度.

12.【初步探索】

截长补短法,是初中几何题中一种添加辅助线的方法,也是把几何题化难为易的一种策略.截

长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边

拼合到一起，从而解决问题.

(1)如图1,4ABC是等边三角形，点。是边BC下方一点，ZBDC=120°,探索线段D4、

DB、。。之间的数量关系；

【灵活运用】

(2)如图2,AABC为等边三角形，直线D为BC边上一点、,NAOE交直线a于

点E,且NAZ)E=60。.求证：CD+CE=CA；

图2

【延伸拓展】

(3)如图3,在四边形ABCz)中，ZABC+ZADC=180o,AB=AD.若点E在CB的延长

线上，点F在CO的延长线上，满足EF=BE十尸£),请直接写出/E4F与NDAB的数量关

系.

【答案】(1)DA=DC+DB,证明见详解；(2)见详解；(3)ZEAF=I80o-ɪZDAB,证明

见详解.

【分析】(1)由等边三角形知AB=AC,∕BAC=6()o,结合∕BDC=120。知/ABD+/ACD=I80。,

由NACE+NACD=180。知NABD=NACE,iiE∆ABD^∆ACE得AD=AE,ZBAD=ZCAE,

再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB;

(2)首先在AC上截取CM=CD,由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继

而可证得AADMgZ∖EDC,即可得AM=EC,则可证得CD+CE=CA;

(3)在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,先判定△ADGgZXABE,再判定

△AEF丝ZSAGF,得出∕FAE=∕FAG,最后根据NFAE+∕FAG+NGAE=36(Γ,进而推导得

至U2NFAE+NDAB=360。，即可得出结论.

【详解】(1)如图1，延长DC到点E,使CE=BD,连接AE,

V∆ABC是等边三角形，

AB=AC,ZBAC=60o,

,/ZBDC=120o,

NABD+/ACD=I80。，

又YNACE+NACD=180°,

ΛZABD=ZACE,

Λ∆ABD^∆ACE(SAS),

AD=AE,ZBAD=ZCAE,

VZBAC=60o,UPZBAD+ZDAC=60o,

ΛZDAC+ZCAE=60o,即ZDAE=60o,

Λ∆ADE是等边三角形，

，DA=DE=DC+CE=DC+DB，

即DA=DC+DB;

(2)证明：在AC上截取CM=CD,

图2

:•△ABC是等边三角形，

ΛZACB=60o,

Λ∆CDM是等边三角形,

/.MD=CD=CM,ZCMD=ZCDM=60o,

ΛZAMD=120o,

∙/ZADE=60o,

ΛZADE=ZMDC,

ΛZADM=ZEDC,

•・,直线a〃AB,

.∙.ZACE=ZBAC=60o,

.∙.ZDCE=120o=ZAMD,

在^ADM和^EDC中，

NADM=NEDC

MD=CD

ZAMD=ZECD

Λ∆ADM^ΔEDC(ASA),

ΛAM=EC,

：•CA=CM+AM=CD+CE；

即CD+CE=CA.

(3)NEAF=I80」NOA8；

2

证明：如图3,在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,

G

图3

∖∙ZABC+ZADC=180o,ZABC+ZABE=180o,

ΛZADC=ZABE,

XVAB=AD,

ΛΔADG^ΔABE(SAS),

ΛAG=AE,ZDAG=ZBAE,

:EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

ΛΔAEF^ΔAGF(SSS),

ΛZFAE=ZFAG,

∙.∙ZFAE+ZFAG+ZGAE=360o,

.".2ZFAE+(ZGAB+ZBAE)=360o,

Λ2ZFAE+(ZGAB+ZDAG)=360°,

即2NFAE+NDAB=360°,

ΛZEAF=180°—!-ZDAB.

2

【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的

性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相

等进行推导变形.

13.截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策

略.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两

条短边拼合到一起，从而解决问题.

(1)如图1,AABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，/BDC=120。，探索线段DA、

DB、DC之间的数量关系.

解题思路：延长DC到点E,使CE=BD,根据NBAC+NBDC=180。,可证NABD=ZACE,

易证AABDG∙ΔACE,得出△ADE是等边三角形，所以AD=DE,从而解决问题.

根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；(直接写出结果)

(2)如图2,Rl∆ABC中，ZBAC=90o,AB=AC.点D是边BC下方一点，ZBDC=90o,

探索三条线段DA、DB、De之间的等量关系，并证明你的结论.

【答案】(I)D4=O8+OC;(2)&DA=DB+DC(或写前2DA2=(DB+DCY),证明详

见解析.

【分析】(I)由等边三角形知AB=AC,NBAC=60。，结合∕BDC=120。知/ABD+NACD=I8O。,

由/ACE+/ACD=I80。知/ABD=NACE,证AABD丝AACE得AD=AE,ZBAD=ZCAE,

再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB.

(2)延长DC至IJ点E,使CE=BD,连接AE,先证△ABD^∆ACE得AD=AE,ZBAD=ZCAE,

据此可得NDAE=NBAC=90。，由勾股定理知DA2+AE2=DE?,继而可得2DA?=(DB+DC)

【详解】解：(1)如图1,延长DC到点E,使CE=BD,连接AE,

BC

D

图1

V∆ABC是等边三角形，

二AB=AC,ZBAC=60o,

VZBDC=120°,

NABD+/ACD=I80。，

又,/ZACE+ZACD=180°,

ΛZABD=ZACE,

Λ∆ABD^∆ACE(SAS),

，AD=AE,NBAD=NCAE,

VZABC=60o,即NBAD+∕DAC=60°,

.∙.ZDAC+ZCAE=60o,即Z