广东省江门市台山任远中学2022-2023学年高二数学理摸底试卷含解析

广东省江门市台山任远中学2022-2023学年高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，焦距为，则椭圆的方程为（

）A．

B．

C．或

D．以上都不对参考答案：C略2.某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（）A．31200元 B．36000元 C．36800元 D．38400元参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，总租金为z元．可得目标函数z=1600x+2400y，结合题意建立关于x、y的不等式组，计算A、B型号客车的人均租金，可得租用B型车的成本比A型车低，因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低．由此设计方案并代入约束条件与目标函数验证，可得当x=5、y=12时，z达到最小值36800．【解答】解：设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，所用的总租金为z元，则z=1600x+2400y，其中x、y满足不等式组，（x、y∈N）∵A型车租金为1600元，可载客36人，∴A型车的人均租金是≈44.4元，同理可得B型车的人均租金是=40元，由此可得，租用B型车的成本比租用A型车的成本低因此，在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低由此进行验证，可得当x=5、y=12时，可载客36×5+60×12=900人，符合要求且此时的总租金z=1600×5+2400×12=36800，达到最小值故选：C3.若A、B两点的坐标分别是A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），则||的取值范围是（） A． B． C．（1，5） D．参考答案：B【考点】空间向量的夹角与距离求解公式． 【专题】三角函数的图像与性质；空间向量及应用． 【分析】根据两点间的距离公式，结合三角函数的恒等变换，求出||的取值范围． 【解答】解：∵A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1）， ∴=（3cosa﹣2cosb）2+（3sina﹣2sinb）2+（1﹣1）2 =9+4﹣12（cosacosb+sinasinb） =13﹣12cos（a﹣b）； ∵﹣1≤cos（a﹣b）≤1， ∴1≤13﹣12cos（a﹣b）≤25， ∴||的取值范围是． 故选：B． 【点评】本题考查了空间向量的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换与应用问题，是基础题目． 4.设复数满足,则 A． B． C． D．参考答案：A5.已知实数满足，则有

A.最小值和最大值1

B.最小值和最大值1

B.最小值和最大值

D.最小值1参考答案：B6.若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A．2 B．3 C．6 D．9参考答案：D【考点】函数在某点取得极值的条件；基本不等式．【分析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．【解答】解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，又因为在x=1处有极值，∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最大值等于9．故选：D．7.（理科）若，则的值为A．6

B.7

C.35

D.20参考答案：C8.设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x2∈S．给出如下三个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=﹣，则≤n≤1；③若n=，则﹣≤m≤0．其中正确命题的个数是(

) A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D考点：元素与集合关系的判断；集合的确定性、互异性、无序性．专题：集合．分析：根据题中条件：“当x∈S时，有x2∈S”对三个命题一一进行验证即可：对于①m=1，得，②，则对于③若，则，最后解出不等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个．解答： 解：由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x2∈S知，符合定义的参数m的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保证m∈S时，有m2∈S即m2≥m，符合条件的n的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保证n∈S时，有n2∈S即n2≤n，正对各个命题进行判断：对于①m=1，m2=1∈S故必有可得n=1，S={1}，②m=﹣，m2=∈S则解之可得≤n≤1；对于③若n=，则解之可得﹣≤m≤0，所以正确命题有3个．故选D点评：本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法．属于创新题，解答的关键是对新定义的概念的正确理解，列出不等关系转化为不等式问题解决．9.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出双曲线方程，利用双曲线的右焦点为F（3，0），离心率为，建立方程组，可求双曲线的几何量，从而可得双曲线的方程．【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5∴双曲线方程为．故选B．【点评】本题考查双曲线的方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10.为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．280参考答案：A【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．若是1，1，3，则有C53×A33=60种，若是1，2，2，则有×A33=90种所以共有150种不同的方法．故选：A．【点评】本题考查排列、组合的运用，难点在于分组的情况的确定．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若点O和点F分别是椭圆的中心和左焦点，点P是椭圆上任意一点，则的最大值为 。参考答案：6略12.正方体的棱长为1，分别为，的中点，则点到平面的距离为

．参考答案：取CC′的中点O,连接D′O,OE,OF,D′F,则△D′FO的面积.点F到平面A′D′E的距离=点F到平面OD′E的距离h,由等体积可得，即∴h=.

13.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以线段F1，F2为直径的圆O与双曲线的一个交点为P，与y轴交于B，D两点，且与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，则下列命题正确的是．（写出所有正确的命题编号）①线段BD是双曲线的虚轴；②△PF1F2的面积为b2；③若∠MAN=120°，则双曲线C的离心率为；④△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a．参考答案：②③④【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的性质分别进行求解判断即可．【解答】解：①以线段F1，F2为直径的圆O的半径R=c，则B（0，c），D（0，c），则线段BD不是双曲线的虚轴；故①错误，②∵三角形PF1F2是直角三角形，∴PF12+PF22=4c2，又PF1﹣PF2=2a，则平方得PF12+PF22﹣2PF1PF2=4c2，即4a2﹣2PF1PF2=4c2，则PF1PF2=2c2﹣2a2=2b2，则△PF1F2的面积为S=PF1PF2=2b2=b2，故②正确，③由得或，即M（a，b），N（﹣a，﹣b），则AN⊥x轴，若∠MAN=120°，则∠MAx=30°，则tan30°==，平方得=，即=，则双曲线C的离心率e=====；故③正确，④设内切圆与x轴的切点是点H，PF1、PF2分与内切圆的切点分别为M1、N1，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，由圆的切线长定理知，|PM1|=|PN1|，故|M1F1|﹣|N1F2|=2a，即|HF1|﹣|HF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，故（x+c）﹣（c﹣x）=2a，∴x=a．即△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a．故④正确，故答案为：②③④14.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若，则异面直线BA1与AC1所成的角等于

.参考答案：

15.如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面ABCD满足条件

时，有（写出你认为正确的一种条件即可。）参考答案：ABCD是菱形或是正方形或是对角线互相垂直的四边形略16.实数x，y满足，则的最大值是_____________.参考答案：略17.若正数满足,则的最大值是___________.参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知圆C：(x＋)2＋y2＝16，点A(，0)，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程；(2)过点P(1,0)的直线交轨迹E于两个不同的点A，B，△AOB(O是坐标原点)的面积S＝，求直线AB的方程．参考答案：(1)由题意|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝4>2，………3分所以轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，即轨迹E的方程为.………5分(2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，直线AB的斜率不可能为0，而直线x＝1也不满足条件，故可设AB的方程为x＝my＋1.＝.………10分由S＝，解得m2＝1，即m＝±1.………11分故直线AB的方程为x＝±y＋1，即x＋y－1＝0或x－y－1＝0为所求．………12分19.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若在上恒成立，求所有实数的值；（3）对任意的，证明：参考答案：（1），

当时，，减区间为当时，由得，由得∴递增区间为，递减区间为

（2）由（1）知：当时，在上为减区间，而∴在区间上不可能恒成立

当时，在上递增，在上递减，，令，

依题意有，而，且∴在上递减，在上递增，∴，故

（3）由（2）知：时，且恒成立即恒成立则

又由知在上恒成立，∴

综上所述：对任意的，证明：

略20.已知函数．(I)求不等式≤6的解集；(Ⅱ)若关于的不等式>恒成立，求实数的取值范围．

参考答案：

解：(I）原不等式等价于或

………………3分解，得.即不等式的解集为

………………6分（II）.

………………8分.………………10分21.（本小题满分14分）已知函数.（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）当时，讨论的单调性.参考答案：（I）；（II）当时，在单调递减，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；当时在单调递减。（I）当时，，此时，………2分，又，所以切线方程为：，整理得：；……………6分（II），………………7分当时，，此时，在,单调递减，在,单调递增；……………9分当时，，当，即时在恒成立，所以在单调递减；……………………11分当时，，此时在,单调递减，在，单调递增；……………13分综上所述：当时，在单调递减，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；当时在单调递减.…………14分22.设点P在曲线y=x2上，从原点向A（2，2）移动，如果直线OP，曲线y=x2及直线x=2所围成的阴影部分面积分别记为S1、S2．（Ⅰ）当S1=S2时，求点P的坐标；（Ⅱ）当S1+S2有最小值时，求点P的坐标和最小值．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）可考虑用定积分求两曲线围成的封闭图形面积，直线OP的方程为y=tx，则S1为直线OP与曲线y=x2当x∈（0，t）时所围面积，所以，S1=∫0t（tx﹣x2）dx，S2为直线OP与曲线y=x2当x∈（t，2）时所围面积，所以S2=∫t2（x2﹣tx）dx，再根据S1=S2就可求出