2023-2024学年广东省数学九年级上期末模拟试卷

2023-2024学年广东省数学九年级上期末经典试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如图，在）。中，AB是直径，点。是。上一点，点C是弧AD的中点，于点E,过点。的切线交EC

的延长线于点G,连接A£>,分别交CE,CB于点PQ.连接AC,关于下列结论:①ZBAD=AABC；②GP=GD；

③点P是AAC。的外心，其中正确结论是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

2.如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为31。，缆车速度为每分钟40米,

从山脚下A到达山顶3缆车需要15分钟，则山的高度8C为（）米.

600

A.600-ta«31°B.----------

to«31°

600

C.600-5Z7Z31°D.----------

sin31°

3.“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

x+1,2x+5

12—ax--------------

4.若整数。使关于x的分式方程一2=2有整数解，且使关于x的不等式组2-6至少有4个整数解,

x+2c

x-2>a

则满足条件的所有整数«的和是（）

A.-14B.-17C.-20D.-23

5.若关于x的一元二次方程尤2—3x+a=0的一个根是1,则。的值为（）

A.-2B.1C.2D.0

6.二次函数》=奴2+就+<;的部分对应值如下表

X-3-2-1012

-12-50343

利用二次函数的图象可知，当函数值y>0时，x的取值范围是（）

A.0<x<2B.x<0或x>2C.-l<x<3D.x<-l^x>3

7.如图，将一块含30°的直角三角板绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、B在同一条直线

上，那么旋转角等于（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

8.下列语句所描述的事件是随机事件的是（）

A.经过任意两点画一条直线B.任意画一个五边形，其外角和为360。

C.过平面内任意三个点画一个圆D.任意画一个平行四边形，是中心对称图形

9.如图，在AASC中，AB=2,BC=3.6,ZB=60，将AABC绕点A顺时针旋转度得到AADE,当点B的对应

点。恰好落在边上时，则CD的长为（）

A.1.6B.1.8C.2D.2.6

10.如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为（）

bBd旧D.

二、填空题（每小题3分，共24分）

7,

11.若点M（-1,yi）,N（1,y2）,P（—,ys）都在抛物线y=-mx2+4mx+m2+1（m>0）上，贝！Iyi、y3大

小关系为（用“>”连接）.

12.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同，则该商品每次降

价的百分率为.

4

13.在AABC中，AB=10,AC=8,B为锐角且cos3=g,贝!IBC=.

14.如图，半圆O的直径AB=2,弦CDIIAB,ZCOD=90°,则图中阴影部分的面积为.

15.若一个三角形的两边长分别是4和6,第三边的长是方程x2-17x+60=0的一个根，则该三角形的第三边长是

16.如图，（DO是等边AABC的外接圆，弦CP交AB于点D,已知NADP=75。，则NPOB等于°.

17.如图，四边形ABC。，EEGH都是平行四边形，点。是ABC。内的一点，点E,F,G,X分别是Q4,OB

上，OC,。。的一点，EF//AB,OA=3OE,若阴影部分的面积为5,贝!|A3。的面积为.

18.已知二次函数7=。必+3"+<;的图象与x轴的一个交点为（-4,0）,则它与x轴的另一个交点的坐标是——.

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图，在ABC中，点。在边上，BC=3CD,分别过点5,。作AD,A5的平行线，并交于

点E,且功的延长线交AC于点产，AD=3DF.

(1)求证：△CFD^MAB.

(2)求证：四边形ABED为菱形.

(3)若DF=3,BC=9,求四边形ABED的面积.

3

20.(6分)将一元二次方程3尤2—2%=-1化为一般形式，并求出根的判别式的值.

21.(6分)如图，点A,P,B,C是。。上的四个点，ZDAP^ZPBA.

(1)求证：AO是。。的切线；

(2)若N4PC=N3PC=60。，试探究线段B4,PB,PC之间的数量关系，并证明你的结论;

(3)在第(2)问的条件下，若AO=2,PD=1,求线段AC的长.

22.(8分)已知：aABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2).(正方形网

格中每个小正方形的边长是一个单位长度)，

x

(1)在正方形网格中画出4ABC绕点O顺时针旋转90。得到△AiBiG.

(2)求出线段OA旋转过程中所扫过的面积(结果保留兀).

23.(8分)箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的.现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶.

(1)请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；

(2)求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率.

24.（8分）如图，AB是圆。的直径，点。在圆。上，分别连接AC、BC,过点3作直线BD,使NCBD=NA.

求证：直线BD与圆。相切.

25.（10分）超速行驶被称为“马路第一杀手”为了让驾驶员自觉遵守交通规则，湖沼大道公路检测中心在一事故多发

地段安装了一个测速仪器，如图所示，已知检测点设在距离公路10米的A处，测得一辆汽车从3处行驶到C处所用

时间为1.35秒.已知N5=45。，ZC=30°.

（1）求比C之间的距离（结果保留根号）；

（2）如果此地限速为70而四，那么这辆汽车是否超速？请说明理由.（参考数据；若可.7,72=1.4）

26.（10分）如图，在△ABC中，是3C边上的中线，MAD=AC,DELBC,OE与43相交于点E,EC与相

交于点F.

（1）求证：△ABCs△尸C。；

⑵过点A作AM,5c于点M,求OE：AM的值；

（3）若SAFCD=5,5c=10,求。E的长.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、c

【分析】由于AC与BD不一定相等，根据圆周角定理可知①错误;连接OD,利用切线的性质，可得出ZGPD-ZGDP,

利用等角对等边可得出GP=GD,可知②正确；先由垂径定理得到A为。尸的中点，再由C为A。的中点，得到

CD=AF，根据等弧所对的圆周角相等可得出NCAP=NACP,利用等角对等边可得出AP=CP,又AB为直径得到

NACQ为直角，由等角的余角相等可得出NPCQ=NPQC,得出CP=PQ,即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，

即为直角三角形ACQ的外心，可知③正确；

【详解】•••在。O中，AB是直径，点D是。。上一点，点C是弧AD的中点，

•*-AC=CDrBD，

.•.NBADWNABC,故①错误；

连接OD,

贝|OD_LGD,NOAD=NODA,

■:ZODA+ZGDP=90°,ZEPA+ZEAP=ZEAP+ZGPD=90°,

，NGPD=NGDP；

.,.GP=GD,故②正确；

:弦CFJ_AB于点E,

，A为CT的中点,即Ab=AC，

又为A。的中点，

：•AC=CD，

•*-CD=AF，

.•.ZCAP=ZACP,

.\AP=CP.

；AB为圆O的直径，

AZACQ=90°,

.•.ZPCQ=ZPQC,

；.PC=PQ,

/.AP=PQ,即P为RtaACQ斜边AQ的中点，

；.P为RtAACQ的外心，故③正确；

故选C.

G

此题是圆的综合题，其中涉及到切线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，相似三角形的判

定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，平行线的判定，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键.

2、C

【分析】在及AABC中，利用NR4c的正弦解答即可.

【详解】解：在及AABC中，ZACB=9Q°,ZBAC=31°,AB=40x15=600（米），

VsinZBAC=—,，BC=sinZSAC-AB=600-sin31°（米）.

AB

故选C.

本题考查了三角函数的应用，属于基础题型，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.

3、B

【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形的性质求解.

【详解】•••在线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形这五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段、

圆、矩形、正六边形，共4个.

故答案为：B.

本题考查的知识点是中心对称图形与轴对称图形的概念，解题关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对

称图形是要寻找对称中心，图形旋转180。后原图形重合.

4、A

【解析】根据不等式组求出〃的范围，然后再根据分式方程求出“的范围，从而确定a满足条件的所有整数值，求和

即可.

x<2

【详解】不等式组整理得：c,

尤>〃+2

由不等式组至少有4个整数解，得到a+2<-1,

解得：QV-3,

分式方程去分母得：12-ax=2x+4,

•••分式方程有整数解且a是整数

，。+2=±1、±2、±4、±8,

即a-—1、-3、0、-4-12、-6、6、-10,

•♦a,-6,

由a<-3得：a—TO或-4,

...所有满足条件的。的和是-14,

故选：A.

本题主要考查含参数的分式方程和一元一次不等式组的综合，熟练掌握分式方程和一元一次不等式组的解法，是解题

的关键，特别注意，要检验分式方程的增根.

5、C

【分析】根据方程的解的定义，把x=l代入方程，即可得到关于a的方程，再求解即可.

【详解】解：根据题意得：L3+a=0

解得：a=l.

故选C.

本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0.

6、C

【分析】函数值y=l对应的自变量值是：-1、3,在它们之间的函数值都是正数.由此可得y>l时/的取值范围.

【详解】从表格可以看出,二次函数的对称轴为直线x=l,故当x=-1或3时,y=l;

因此当-l〈xV3时,y>L

故选C.

本题主要考查了二次函数与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是要认真观察，利用表格中的信息解决问

题.

7、D

【分析】先判断出旋转角最小是NCACi,根据直角三角形的性质计算出NBAC,再由旋转的性质即可得出结论.

【详解】•••RAA5C绕点A按顺时针方向旋转到AABiG的位置，使得点C、A、a在同一条直线上，

旋转角最小是NCAG,

；NC=90°,N3=30°,

AZBAC=60°,

VAABiCi由AABC旋转而成，

：.ZBiACi=ZBAC=60°,

.♦.NC4G=180°-ZBiACi=180°-60°=120°,

故选：D.

此题考查旋转的性质，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解题的关键.

8、C

【分析】直接利用多边形的性质以及直线的性质、中心对称图形的定义分别分析得出答案.

【详解】解：A、经过任意两点画一条直线，是必然事件，故此选项错误；

B、任意画一个五边形，其外角和为360°,是必然事件，故此选项错误；

C、过平面内任意三个点画一个圆，是随机事件，故此选项错误；

。、任意画一个平行四边形，是中心对称图形，是必然事件，故此选项错误；

故选：C.

此题主要考查了随机事件的定义，有可能发生有可能不发生的时间叫做随机时间，正确掌握相关性质是解题关键.

9、A

【分析】由将AABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到AADE,当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB,

又由NB=60。，可证得AABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2,则可求得答案.

【详解】由旋转的性质可知，AD=AB,

'：ZB=60，AD=AB,

AADB为等边三角形,

BD=AB=2,

:.CD=CB—BD=L6,

故选A.

此题考查旋转的性质，解题关键在于利用旋转的性质得出AD=AB

10、D

【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形进行求解即可.

【详解】俯视图为从上往下看，

所以小正方形应在大正方形的右上角，

故选D.

本题考查了简单组合体的三视图，熟知俯视图是从上方看得到的图形是解题的关键.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、yi<y3<yi

【分析】利用图像法即可解决问题.

【详解】y=-mx*+4mx+m*+1(m>0),

4H7

对称轴为*=------=2,

-2m

观察二次函数的图象可知：yi<y3<yi.

故答案为：yi<ys<yi.

本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是学会利用图象法比较函数值的大小.

12、10%

【解析】设该种商品每次降价的百分率为x%,根据“两次降价后的售价=原价x(1-降价百分比)的平方”，即可得出

关于X的一元二次方程，解方程即可得出结论.

【详解】设该种商品每次降价的百分率为X%,

依题意得：400X(1-X%)2=324,

解得：x=10,或x=190(舍去).

答：该种商品每次降价的百分率为10%.

故答案为：10%

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据数量关系得出关于x的一元二次方程.

13、8+26或8-2近

【分析】分两种情况进行解答，即①NACB为锐角，②NACB为钝角，分别画出图形，利用三角函数解直角三角形

即可.

【详解】过点A作ADLBC,垂足为D,

①当NACB为锐角时，如图1,

4

在RtZkABD中，BD=AB«cosB=10Xj=8

AD=7102-82=6,

在RtZ\ACD中，CD

/.BC=BD+CD=8+2V7，

②当NACB为钝角时，如图2,

4

在RtaABD中，BD=AB・cosB=10X1=8

AD=,102—82=6,

在RtAACD中，CD=782-62=2近，

；.BC=BD-CD=8-2币，

故答案为：8+2币或8-2币.

考查直角三角形的边角关系，理解锐角三角函数的意义是正确解答的关键，分类讨论在此类问题中经常用到.

71

14、

4

X127171

【解析】解：二,弦CD//AB,St,ACD=ShOCD)S阴影=S扇形COD=--------=—.故答案为一.

36044

15、1

【分析】根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边，结合一元二次方程相关知识进行解题即可.

【详解】解：Vx2-17x+60=0,

(x-1)(x-12)=0,

解得：Xl=l,X2—12,

•.•三角形的两边长分别是4和6,

当x=12时，6+4<12,不能组成三角形.

这个三角形的第三边长是1.

故答案为：L

本题考查了三角形的三边关系和一元二次方程的求解,熟悉三角形三边关系是解题关键.

16、90

【分析】先根据等边三角形的的性质和三角形的外角性质求出/ACP,进而求得可得NBCP,最后根据圆周角定理

ZBOP=2ZBCP=90°.

【详解】解：VZA=ZACB=60°,ZADP=75°,

ZACP=ZADP-ZA=15°,

/.ZBCP=ZACB-ZACP=45°,

ZBOP=2ZBCP=90°.

故答案为90.

此题主要考查了等边三角形的的性质，三角形外角的性质，以及圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等

弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

17>90

【分析】根据平行四边形的性质得到AB〃CD,AB=CD,EF〃HG,EF=HG,根据平行线分线段成比例定理和相似

三角形的性质即可得到结论.

【详解】V四边形ABCD,EFGH都是平行四边形，

AEF/JGH,AB/JCD,

：.ABIIEFIIHG/IDC,

:•△OEFs^OAB,△OHGs/kODC.

又；OA=3OE,

*OH_OG_OF_OE_1

''~OD~~OC~~OB~~OA~3,

S^OEH=§S△OAD.易知SMFG+S&OEH=^AOEF+^AQGH=5,

S/\OAB+S&OCD+S/\OBC+^AOAD

=9(SAOEF+S^OGH)+9(Sz；k0EG+S/\OEH)=9X5+9X5=90

此题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键.

18、(1,0).

【分析】先根据二次函数解析式求出抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性即可求出它与x轴的另一个交点的坐

标.

【详解】二次函数》="好+3"+，的对称轴为:

.二次函数y=ax2+3ax+c的图象与x轴的一个交点为（-4,0）,

3

...它与X轴的另一个交点坐标与（-4,0）关于直线》=--对称，其坐标是（1,0）.

2

故答案是：（1,0）.

此题考查的是已知二次函数图像与x轴的一个交点坐标，求与x轴的另一个交点坐标，掌握抛物线是轴对称图形和抛

物线的对称轴公式是解决此题的关键.

三、解答题（共66分）

19、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）24

【分析】（1）由平行线的性质和公共角即可得出结论；

（2）先证明四边形ABED是平行四边形，再证出AD=AB,即可得出四边形ABED为菱形；

（3）连接AE交BD于O,由菱形的性质得出BDJ_AE,OB=OD,由相似三角形的性质得出AB=3DF=5,求出OB=3,

由勾股定理求出OA=4,AE=8,由菱形面积公式即可得出结果.

【详解】（1）证明：〃/

:.ZCFD=ZCAB；

又；zc=zc,

/.ACFD^ACAB；

（2）证明：VEFHAB,BEHAD,

二四边形ABED是平行四边形，

,:BC=3CD,

•*.BC:CD=3:1,

■:ACFD^ACAB,

AB:DF=BC:CD=3:1,

：.AB=3DF,

'：AD=3DF,

:.AD=AB,

.••四边形ABED为菱形；

（3）解：连接AE交6D于。，如图所示：

•.•四边形ABED为菱形，

:•BDLAE，OB=OD,

：.ZAOB=90°,

■:ACFD^ACAB,

:.AB:DF=BC:CD=3:1,

；.AB=3DF=5,

•••BC=3CD=9,

/.CD=3,BD-69

**•OB-3,

由勾股定理得：OA=^AB--OB2=4

：•AE-8,

.1四边形ABED的面积=4AEx=工x8义6=24.

22

本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定和性质、平行四边形的判定、勾股定理、菱形的面积公式，熟练掌

握相似三角形的判定与性质，证明四边形是菱形是解题的关键.

20、3%2-2%+1=0,-8

【分析】先移项，将方程化为一般式，然后算判别式的大小可得.

【详解】解：将方程化为一般形式为：3d-2x+l=0

/.a=3,b=­2,c=l

...根的判别式的值为及-4ac=(―2尸—4x3x1=—8.

本题考查一元二次方程的化简和求解判别式，注意此题的判别式为负数，即表示方程无实数根.

21、(1)证明见解析；(2)PA+PB=PF+FC=PC；(3)1+713.

【分析】(1)欲证明AD是。O的切线，只需推知ADLAE即可；

(2)首先在线段PC上截取PF=PB,连接BF,进而得出ABPA丝4BFC(AAS),即可得出PA+PB=PF+FC=PC；

ADr)pApApnp

(3)利用AADPsaBDA,得出一=—=——，求出BP的长，进而得出ZkADPsaCAP,则一=生，则

BDDAABCPAP

AP2=CP»PD求出AP的长，即可得出答案.

【详解】(1)证明：先作。。的直径AE,连接PE,

是直径，

:.NAPE=90°.

:.ZE+ZPAE^90°.

又•:ZDAP=ZPBA,ZE=ZPBA,

：.ZDAP^E,

/.ZDAP+ZPAE=90°,即AZ>_LAE,

是。。的切线；

(2)PA+PB=PC,

证明：在线段PC上截取PF=P3,连接8F,

'：PF=PB,ZBPC=60°,

.,.△PB歹是等边三角形，

：.PB=BF,ZBFP=6Q°,

：.ZBFC^1800-NP尸3=120°,

■:ZBPA=ZAPC+ZBPC=120°,

；.NBPA=NBFC,

在△庭4和ZkB尸C中，

"NPAB=ZFCB

<ZBPA=ZBFC,

PB=FB

:ABPA义ABFC(AAS),

：.PA=FC,AB=CB,

：.PA+PB=PF+FC^PC；

(3)"：/XADP^/\BDA,

•_A_D___D_P___A_P

"BD~DA~AB9

VAD=2,PD=1,

：.BD=49AB=2AP9

：.BP=BD-DP=39

VZAPD=180°-ZBB4=60°,

：.ZAPD=ZAPC,

•：ZPAD=ZE9ZPCA=ZE9

：.ZPAD=ZPCAf

：./\ADP^>/\CAP,

.AP_pp

^~CP~^P9

2

：.AP=CP^PDf

：.AP2=(3+AP)*1,

解得：AP=1±2叵或4「=匕走(舍去)，

22

由⑵知AABC是等边三角形，

：.AC=BC=AB=2AP=l+y/13.

此题属于圆的综合题，涉及了圆周角定理，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质

等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯

穿起来.

9

22、(1)见解析；(2)-71

4

【分析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点Ai、B］、G即可；

(2)利用扇形的面积公式计算.

【详解】⑴如图,AAiBiCi为所作；

gn.^-.S29

（2）线段OA旋转过程中所扫过的面积=

3604

本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相

等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.

23、解：（1）见解析（2）-

2

【分析】（1）设这四瓶牛奶分别记为4、B、C、D,其中过期牛奶为A,画树状图可得所有等可能结果；

（2）从所有等可能结果中找到抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的结果数，再根据概率公式计算可得.

【详解】解：（1）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D,其中过期牛奶为A,

画树状图如图所示，

由图可知，共有12种等可能结果；

（2）由树状图知，所抽取的12种等可能结果中，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果,

所以抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为二=4.

122

此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

24、见解析

【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得NC=90，然后根据直角三角形的性质和已知条件即可证出A3,班＞,

最后根据切线的判定定理即可证出直线与圆。相切.

【详解】证明：•••A3是圆。的直径

•*.ZC=90

AZA+ZABC=90

■:/CBD=ZA

AZABD=ZCBD+ZABC=90，

即A