湖南省九校2024届高三年级上册第一次联考数学试卷及答案

湖南省2024届高三九校第一次联考数学

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.已知集合A={H融+1=°}，3={1，2},38=4,则满足条件的实数a的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

答案：D

解析：由A6=A可知

当a=0时，A=0,满足条件；

当a,0时，A=要使AoB,只需—4=1,或—』=2,

Ia）aa

所以a=—1或a=—.

2

综上，满足条件的实数。取值为0,-工,-1,共3个.

2

故选：D

2.如果复数2=>+加一2—（根―l）i是纯虚数，mwR,i是虚数单位，贝I」（）

A.加wl且相。-2B.m=l

C.m=—2D.切=1或机=—2

答案：C

解析：由复数2=根2+加—2—（加—l）i是纯虚数，

m+m—2—0

得IC

加一1w0

解得：加=-2.

故选:C.

cos2，-42

3.已知叫.（。八+兀"、4，则sin26=（）

答案：A

cos28产,公四=TcOS*siM=显,

解析：因为sin[e+：一(sin。+cos。)4

11

即cosO-sinO=—,两边平方可得cos29^-2sin6cos0+sin92<9=1一sin26=—,

416

解得sin29=".

16

故选：A

4.某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年(今年)

的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗

费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是()

A.6年B.7年C.8年D.9年

答案：B

解析：设第九年的维修保养费为％万元，数列｛%｝的前〃项和为S“，该机的年平均耗费为P,

据题意，数列｛。〃｝是首项为12,公差为4的等差数列.

S+981「n(n-l)198I98

则p=^——=—12n+^——^x4+98=2n+—+10>22n♦—+10=38.

nn2n\n

98

当且仅当2〃=—,即〃=7时，P取最小值38.

n

所以这台冰激凌机的使用年限是7年.

故选：B.

5.设函数/(x)=6sin］：x-|J,若函数y=g(x)与y=/(x)的图象关于直线x=l对称，则当

4

xe0,j时，y=g(x)的最大值为()

A.73B.9C.1D.0

22

答案：B

解析：在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于x=l的对称点为(2-羽g(x)).

故点(2—x,g(x))在y=/(x)的图象上，从而

g(x)="2—x)=^sin^(2-x)-1

4TTTTTTzTTJT27r

当OWXW—时，由＞=85/在一,一上单调递减可知:

33433133_

y=g(%)在区间0,1上的最大值为8(^^1ax=J§cos二=遮，

_J_32

故选：B.

6.将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的内切球体

D,正兀

c927

答案：D

解析：由题意知该几何体为正八面体，且正八面体的棱为原正四面体每个侧面三角形的中位线,

故正八面体由棱长为2的两个正四棱锥构成，正四棱锥的底面是边长为2的正方形，

设正八面体内切球半径R,给正八面体标出字母如图所示，

连接AC和2。交于点0,因为E4=EC,ED=EB,所以EOLAC,EOLBD,

又AC和8。交于点。，4。,3。匚平面48。，所以£0,平面ABCD,

所以。为正八面体的中心，所以。到八个面的距离相等，距离即为内切球半径，

设内切球与平面EBC切于点H,所以"/，平面EBC,

所以OH即为正八面体内切球半径，所以R=

因为正八面体的棱长为2,所以EB=EC=BC=2,OB=OC=拒,EO=^EB1-OB1=42>

所以黑函=6，S^OBC=1，

因为/_OBC=%-EBC，g义S^OBCXEO=gXS^EBcXOH，

所以。”=逅，即7?=逅，

33

所以正八面体内切球的体积为丫=，兀炉=d兀［好］=还兀.

3313J27

故选：D.

7.在二ABC中，点。满足AD=2D3,E为△3CD重心，设3C=m,AC=〃，则可表示为（）

1,21一2

A.—m+—nB.——m+—n

3333

「58一58

C.---JTlH---〃D.—m+—

999

答案：C

解析:

AEAC+CE=AC+-x-x(CD+CB)^AC+-\-CB+-CA\+-CB.=n+--(-}+-

32、>3(33J39Vm79

故选：C

A

8.如图，已知双曲线C:=-二=l（a/〉O）的左、右焦点分别为耳，F2,过月的直线与C分别在第一、

ab

二象限交于A5两点，ZkAB鸟内切圆半径为「，若忸娟=r=a,则。的离心率为（）

A/10R2由「同NA/85

2345

设|AB|=x,内切圆圆心为/,内切圆在3序A区,A3上的切点分别为U,V,W,

则忸U|=\BW\,\AV\=\AW\,\Fp\=\Fy\,

由忸=a及双曲线的定义可知，

\BF^=3a\AF^=x-a\F^\=\F^\=^BF^+\AF^-\AB\)=a=r,

故四边形〃/玛丫是正方形,

得他于是忸司24.匕

故Y=9"+（工一〃＞,所以％=5〃，

3

于cosN46工=cos（兀一NABB）=—《，在耳3工中，

由余弦定理可得闺叫2=忸耳「+忸闾2_2忸川.忸闾.cos/GBK=三/，

从而4c2=袋/，所以e=£=巫.

5a5

故选：D.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.下列说法正确的是（）

A.已知随机变量J服从二项分布：J设〃=2自+1,则"的方差。（〃）=3

B.数据L3,5,7,9,11,13的第60百分位数为9

C.若样本数据内,马，，%的平均数为2,贝|3玉+2,3々+2,,3%+2的平均数为8

D.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是、

答案：BC

3（3、3

解析：对于A,易知£＞（&）=8乂4*11一*=5，而〃=2^+1,

所以D（〃）=22x£＞（J）=6,A错误；

对于B,共有7个数据，而7x60%=4.2,故第60百分位数为9,B正确；

对于C,若样本数据看,%，'%"平均数为2,

则3%+2,3%+2,,3%+2的平均数为3*2+2=8,C正确；

对于D,由古典概型可知：从51个体中抽取2个个体，

每个个体被抽到的概率都是W，D错误.

故选：BC

10.已知11+y2=1，2：(X—5)2+y2=9,则()

4

A.与人与均有公共点的直线斜率最大为］

B.与4,与均有公共点的圆的半径最大为4

C.向4,12引切线，切线长相等的点的轨迹是圆

D.向人引两切线的夹角与向右引两切线的夹角相等的点的轨迹是圆

答案：AD

解析：由题意知，与两圆均有公共点，且斜率最大的直线恰为那条两圆斜率为正的内公切线,

由两圆半径之比为:，|/闽=5,可知切线与x轴交于“甘,。］,

334（兀、4

、niF/qQAH人、Iae,sin8=------=-------=—,9£0,一，.二%=tan0——3T工人十小

设切线的倾斜角为A^z35\2）3，选项A正确.

2一XD

与小乙均有公共点的圆的圆心不确定，所以半径可以任意大（无最大值），选项B错误.

向/1/2引切线，设切线长相等的点为p（x,y），则PI；-i2=PI}-32,

17

所以k+丁―l=（x-5）2+y2—32,化简得直线x=仿，选项C错误.

设4,，2的圆心分别为a,a，点尸对乙切线的夹角等于点尸对k切线的夹角，

PO,1

于是由相似三角形知襟=§,

7、Jx2+y2122525c

设P（x,y）,则J;干+1=0,

7（%-5）2+/348

可得到点尸的轨迹是一个圆，选项D正确.

故选：AD

11.已知函数COS%H,则（）

cos2x

A./（%）的图象关于直线1=兀轴对称

B.“X）的图象关于点中心对称

C.八%）的所有零点为（2左+1）兀/eZ

D.八%）是以兀为周期的函数

答案：AC

解析：对于A：因为〃2兀—X）=COS（2TT—X）+—1=cosx+^—=/（%）,

cos（4TI-2X）cos2x

所以/（%）的图象关于直线1=兀轴对称，故A正确；

对于B：因为/（0）=2,=所以/（%）的图象不关于点［：,（）］中心对称，B错误.

对于C：因为人）-0.I1_2cos%—cosx+1_（COSX+D（2COS2X-2COSX+1）.

2cos2光-12cos2光-12COS2X-1

（］丫］

注意到2cos2x-2cosx+l=2cosx——+—>0，

I2j2

令/（九）=0,得cosx=—1,即x=（2左+1）兀，左wZ,

故/（%）的所有零点为（2左+1）兀/eZ,故C正确；

对于D：因为"0）=2"（兀）=0,所以兀不是/（九）的周期，故D错误；

故选：AC.

12.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为3的点处作了（%）的切线，切线

与X轴交点的横坐标为巧；用巧代替为重复上面的过程得到％3；一直下去，得到数列｛无"｝,叫作牛顿数

%+2

歹U.若函数/（X）=好一X-6,4=In-且％=1,X”〉3,数列｛%｝的前〃项和为S”，则下列说法正确

一3

的是（）

B.数列｛%｝是递减数列

2023

C.数列｛4｝是等比数列D.S2023=2-l

答案：ACD

解析：=所以/（%）在点（当"E））处的切线方程为：y-fM=f\xn）（x-xn

%；+6

/一；，故A正确.

2x“T

片+6I2。

x”+i+22%-1卜,+2、xn+i+2

故In即。〃+1=2%,,

玉+i—3片+63\xn-3?Xn1~3

+■

2x„-l

所以数列｛凡｝是以1为首项，2为公比的等比数列，故B错误，C正确，

2023

所以s2o23=攻二£1=2-bD正确.

-1-q

故选；ACD

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知函数/（%）=1。84（4，+1）+船（丘火）是偶函数，则左=.

答案：~~

2

解析：由已知，/（-x）=log4（4^+l）-Ax,因为/（x）为偶函数，所以

/（—x）=/（x）,即Iog4（4一"+1）-log4（4*+1）=2kx,对\/尤wR恒成立,

即log44「£=2Ax,对VxeR恒成立，解得左=—；.

故答案为：-彳

2

14.已知第一象限内的点尸（a⑼在直线x+y=l上，则JZ+、历的最大值是.

答案：也

解析：由题意，a+Z?=l（a>0,Z?>0）,贝!1（6+扬）2=a+b+2y[ab=1+2y/ab,

因为a+匕22而，所以122碗，当且仅当a=b=；时等号成立，

所以+W2,所以W.

故答案为：夜

15.把个位、十位、百位上的数依次成等差数列（公差小于0）的三位数称为“下阶梯数”，则所有的“下阶梯数”

共有__________个.

答案：16

解析：公差为T时，有789,678,.,123共7个；

公差为-2时，579,468,、135共5个；

公差为-3时，369,258,147,共3个;

公差为-4时，159,共1个.

所以一共有7+5+3+1=16个.

故答案为：16

2

16.如图所示，有两个相同的直三棱柱，高为一，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a（a>0）.用它

a

们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是

答案：0,

解析：拼成一个三棱柱时，全面积有三种情况：①上下底面对接，其全面积为

S=2xgx3〃x4〃+(3〃+4。+5a)x—=12a2+48.

[2

②3a边合在一起时,全面积为S=2x2x—x36zx46z+2(56z+46z)x—=24a2+36.

2+32.

拼成一个四棱柱时,有四种情况，全面积有三种情况:

让边长为3a,4a,5a所在的侧面重合，其上下底面积之和者B是2义2义工*3ax4a=24",

2

222

但侧面积分别为2（5Q+4〃）X—=36,2（5〃+3〃）x—=32,2（3Q+4〃）X—=28,

cicici

显然，三种情况中全面积最小的是24a2+28；

因24a②+28比24a2+32,24。？+36小，所以由题意得12a?+48>24a?+28，

解得0<q<g

3

故答案为：0,

5a

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.在中，角A5C所对的边分别为。,瓦。，已知2acos3-Z?cosC=ccos3.

(1)求的大小；

(2)若a=2,c=3,直线PQ分别交ASBC于P,Q两点，且R2把ABC的面积分成相等的两部分，求

|P0的最小值.

答案：(1)B"

(2)指

(1)

方法一：由已知2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC,

即2sinAcosB=sin(6+C)=sin(兀-A)sinA,

sinAw0,/.cosB=—，

2

方法二：bcosC+ccosB=+b'C'c?"+。一一"a

lablac

\2〃cos3=a,

1jr

即COS3=5，\B=~.

(2)

1

<_14n-o_n0白_36

SAR「——A3,BCsinB——x2x3x——-----,

ABC2222

sPBQ=；PB-BQsinB=乎，

:.PBBQ=3.

在VBPQ中,

PQ2=PB-+QB2-2PB-QBCOSB=PB2+QB2-PBQB>2PBQB-PBQB=PBQB=3,

当且仅当PB=QBf时上式等号成立，

，|PQ|的最小值为指.

18.如图，四棱柱A3CD—4与。12的底面A3CD是正方形，A3=A&=平面B耳，O.

（1）求点4到平面ABCD的距离;

（2）若对是线段8月上一点，平面MAC与平面8片。。夹角的余弦值为典时，求警■的值.

5

答案：（1）1

BM1

(2)——

BB]2

(1)

连接AC交BD于点。，连接A。.

因为AC,平面B4RD,BDu平面BB]RD,所以AC_L3。，

因为底面A3CD是正方形，所以3。，AC,

又4CcAC=C,40，4。＜=平面44。1°，所以加＞/平面A4CC.

又3。匚平面43。。，所以平面A4GC，平面A3CD

因为4。，平面8ABB[u平面BBQiD,所以4。，3片，

又BBJM所以ACLAA].

在Rt朋。中，A4,=V2,AC=2,所以耳。=夜.

又。为AC的中点，所以40LAC且4。=1,

又平面MG。，平面ABCD，平面A41GC平面ABCD=AC,4。u平面A41clC,

所以4。，平面A3CD.

故点A到平面ABCD的距离为4。=1.

(2)

以。为原点，分别以O3,OC,QA分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，

则3(1,0,0),c(o,1,0),4(0,0,1),A(o,—1,0),

AC=(0,1,-1),AB=(1,1,o),即=A4,=(0,1,1),

由(1)知，平面BBiRD一个法向量勺=4。=(0」,一1)，

BMi°,、

设友『=4(0<X<l),

D1J}

则5M=丸34=(O,A,2),AM=AB+JBAf=(1,2+1,2),AC=(0,2,0)

设巧=(x,y,z)为平面MAC的一个法向量，

nAM=x+(2+l)y+2z=0.、

由〈7\"，取x=7,得%=(40,—l),

n,-AC=y=0

设平面MAC与平面BBRD的夹角为8,

则有cos9=甘

向1+九25

解得BM

x=L即----二

2BB}2

21,

19.已知数列｛q｝的前“项积为4,且不+—=1

bnan

⑴证明：也｝是等差数列；

8

(2)设g=l+._])4+3)，数列｛g｝的前〃项和为S“，定义[可为不超过尤的最大整数，例如

[0,2]=0,[3.4]=3,求｛电』｝的前几项和却

答案：(1)证明见解析

二1

(2)Tn=<3,〃=2

ST)"),让3

I2

(1)

,、b

证明：已知数列{4}的前九项积为切得4=广(n>2),

“n-1

2bA21

故有了+六=1,从而b"-=2,且4=4，则丁+二=1，所以4=3.

bnb“blbl

从而｛〃｝是首项为3,公差为2的等差数列.

(2)

7c118121/11)

C1+1+1+

由⑴知‘2+1，«=i^^)=^)=[；-^J-

所以

11311

----\=n-\

n+1J\nn+2)2〃+ln+2

H=2-g,[S]]=l.

当n=l时,

S2=/J闾=2.

当〃二2时,

1z八11119

2("+1)+万1)

当〃23时,S”-(n++-------

72n+1n+245220

这时[s〃]=〃+i.

所以3时，.=图+闻+图+-.+闯=]+2+4+5+…+(“+1)=(“T)(”+4)

1,〃二1,

综上，Tn=<3,n=2,

（〃T）（〃+4）n>3

2?

20.从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首届全国城市生活垃圾

分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某

社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A,B,C三个

项目，三个测试项目相互不受影响.

（1）若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从A,B,C三个项目中选一项测试，且他测试A,B,C

311

三个项目“通过”的概率分别为一,一,一•已知他第一项测试“通过”，求他第一项测试选择的项目是A的概率；

522

（2）现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没

有通过不获奖.已知居民乙选择A-5-C的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为。，第三项通过的概

率为人若他获得一等奖的概率为:，求他获得二等奖的概率尸的最小值.

O

答案：（1）I3

O

3

（2）

8

（1）

记事件Ml="第一项测试选择了项目A"，加2="第一项测试选择了项目8”，加3二"第一项测试选择了项

目C”，记事件N="第一项测试合格”，由题意知，

N=M[N+M2N+M3N,）=—口）=）=g,

aii

P（M叫）=1P（N|M2）=-,P（N\M3）=-,

又事件MIN,M?N,M3N互斥，则尸（N）=P（MN）+P（〃2N）+P（/3N）,

1Q11112

即P（N）=P（M）•尸（NlM）+P（M）•尸（NlM2）+P（M3）.P（7V|M3）=-X-+-X-+-X-=-,

DJD乙J乙J

所以在居民甲第一项测试“合格”的条件下，他第一个项目选择了A的概率为：

13

P（M[N）P（Mj.P（N|叫）=/5=3

P（A/|N）=

1P（N）一§—G

15

3

即已知居民甲第一项测试“合格”，他第一项测试选择的项目是A的概率是f.

O

（2）

由居民乙获一等奖的概率为:，可知。26=]

o8

3213

则—+—__=a+------

84〃8

令一⑷3±*＜皿"（力"3"=吐—

当0＜Q〈g时，/'（〃）＜0；当g＜44l时，/f（4z）＞0.

所以/（。）在区间[o,g）上是减函数，在区间上是增函数.

+不]一3金=3.所以尸的最小值为|.

Zooo

21.已知抛物线尤2m=4%Q为抛物线外一点，过点。作抛物线的两条切线，切点分别为A3（43在〉轴

两侧），QA与Q3分别交无轴于M,N.

（1）若点。在直线y=-2上，证明直线AB过定点，并求出该定点;

（2）若点Q在曲线£=—2y-2上，求四边形AAWB的面积的范围.

答案：（1）证明见解析，定点（0,2）

（2）[3,-H»）

（1）

设A（%，％）,8（%2，%），。（%，%），直线：>=日+机，

x2-4y

联立<,可得d-4日—4机=（）,△=16左2+16根.

y=kx+m

在y轴两侧，XjX2<0,.\m>0,/.A>0,

再+%2=软,xYx2=-4m,

由*=4y得y=；尤2,y=

所以A点处的切线方程为y—y,

整理得

同理可求得B点处的切线方程为y=号一千,

土土三二2左

x

o=2

可得＜

x.x9

%=—二-m

4

又，。在直线丁二一2上，.•.一加二-2,.,.根=2.

:•直线A3过定点（0,2）.

由⑴可得Q（2人相），Q在曲线好=—2y—2上,

4左2=2m—2,m>1.

由⑴可知〃［多斗［方,。］,-s/=1■加

q=g（242+2机）|玉_%2卜+匹卜

°QABI=2-X2|

二•S四边形AA/NB=SQA8-SMN