河北省衡水市阳光中学2023-2024学年高三数学理第三次调研考试含解析

河北省衡水市阳光中学2023年高二数学理第三次调研

考试含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.方程2x'-5x+2=0的两个根可分别作为（）的离心率。

A.椭圆和双曲线B.两条抛物线C.椭圆和抛物线D.两个椭圆

参考答案：

A

2.设。是平行四边形A5CD对角线的交点，给出下列向量组:①而与历；

②15冢5；

③百无；④办历.其中，可作为基底的是（）

A.①③B.②④C.①②

D.③④

参考答案：

A

3.在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的

种数是（）

123

A.B.C6C”C.C100-

333

OD.A13—Aa

参考答案：

C

4已知a=03\"1』6clogJO则()

A.c>a>bB.a>c>bc.b>c>aD.a>b>c

参考答案：

c

【分析】

由指数函数的性质可得：a<l,整理也c可得：b=l+lo&2,C=1}lqgs2,再利用

1叫2>1%2即可判断6>£；>%问题得解.

【详解】0=03*<0^=1

8=1呜6=log.3♦ktg32=14g2>1

c=logj。=logs5<10^2=14lags2>l

>lQBj2>log52所以b>c>a.

故选：C

【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，还考查了对数的运算及性质，考查计算能力及

转化能力，属于中档题。

22a-+%.

5.已知等比数列gj的各项都是正数，且“'三与成等差数列，则占一与().

(A)y/2(B)3-2我(C)3+2&(D)力

参考答案：

C

略

6.利用反证法证明：若而+6'=0,则a=8-0,应假设()

A.a,b不都为0B.a,b都不为0

C.a,。不都为0,且D.a,b至少一个为0

参考答案：

A

【分析】

ab0表示都是0”，其否定是不都是伊.

【详解】反证法是先假设结论不成立,

•;结论a=8:0表示都是0”，

二结论的否定为：“0》不都是0".

【点睛】在简易逻辑中，“都是”的否定为“不都是”；“全是”的否定为“不全是”，而不能把

它们的否定误认为是“都不是”、“全不是

7.若直线11：y=k（x-4）与直线12关于点（2,1）对称，则直线12恒过定点（）

A.（0,4）B.（0,2）C.（-2,4）D.（4,-2）

参考答案：

B

【考点】恒过定点的直线；与直线关于点、直线对称的直线方程.

【分析】先找出直线h恒过定点（4,0）,其关于点（2,1）对称点（0,2）在直线12

上，可得直线12恒过定点.

【解答】解：由于直线11：y=k（x-4）恒过定点（4,0）,其关于点（2,1）对称的点

为（0,2）,

又由于直线h：y=k（x-4）与直线L关于点（2,1）对称，直线b恒过定点（0,

2）.

故选B

【点评】本题考查直线过定点问题，由于直线h和直线b关于点（2,1）对称，故有直线

h上的定点关于点（2,1）对称点

一定在直线12上.

8.已知长方体ABCDA出CLDI中，&=班=4，AD-1,则异面直线31c和CQ所

成角的余弦值为（）

在在也遮

A.4B.3C.6D.6

参考答案：

A

【分析】

依据题意作出长方体图形，连接网/c,由长方体性质可得：乙斗7就是异面直线

8r和所成角（或补角），再利用余弦定理计算即可。

【详解】依据题意作出长方体图形如下，连接

由长方体性质可得：4〃oq

所以//总就是异面直线3和S所成角（或补角）,

由已知可得：*=柄k=2&=病彳可=*

^C=^）+l5=2

…-AC16.4-4遍

所以lAJ^&C2x^x24

故选：A

【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的概念，还考查了余弦定理知识，属于基础题。

x'+/

9.椭圆M：厂斤=1（a〉6>0）的左、右焦点分别为E、F2,P为椭圆M上任一

点，且忸川I阿I的最大值的取值范围是［2°2,3c4,其中c=〃-b'.则椭圆M的

离心率e的取值范围是（）.

参考答案：

A

10.在AABC中，若a=2isinZ,则B等于()

A.30。或60°B.45。或60°C.60。或120°D.30。或150°

参考答案：

D

【分析】

利用正弦定理直接计算得到答案.

【详解】在A4C中，若a=2*sind

根据正弦定理：

sin/=20如ind

anil0)

A=30°或150P

故答案选D

【点睛】本题考查了正弦定理，属于简单题.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.如果把个位数是1,且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由

1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有个.

参考答案：

12

略

(x-a)(x--)>0

12.若。<a<l,则不等式-a的解集是o

参考答案：

(-oo.a)U(---KO)

13.已知数列LJ前*项和为邑，4二二冬♦J二31，则八二.

参考答案：

[1（«=1）

3x4i（心2）

14.如图，长方体48CQ-4与GA中，幺5c。是边长为1的正方形，46与平面松C。

所成的角为45二则棱网的长为；二面角7的大小为.

氏45*

15.经调查显示某地年收入x（单位：万元）与年饮食支出y（单位：万元）具有线

性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程y=0.278x+0.826.由回归直

线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加万元。

参考答案：

0278

16.每次试验的成功率为0（O<p<l）,重复进行5次试验，其中前3次都未成功，后2次都

成功的概率为.

参考答案：

P'（】-P）'

17.给出以下结论：

①命题“若j?-3x-4-0,则x-4”的逆否命题为“若x*4,贝|/-3工-4H0”；

②“x=4”是“/-3x-4=0”的充分条件；

③命题“若"》>o,则方程7+工一"》=0有实根”的逆命题为真命题；

④命题“若+/=0,则E=o且”=0”的否命题是真命题.

则其中错误的是.(填序号)

参考答案：

③

【分析】

直接写出命题的逆否命题判断①；由充分必要条件的判定方法判断②；举例说明③错误；

写出命题的否命题判断④；

【详解】①命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题为“若田,则X2-3x-4加”,故①

正确；

②为=4?/一3元一4=0；x2-3x-4=0,解得：尤=-1或无=4.

，、二个是“%2-3x-4=0”的充分条件，故②正确；

③命题“若m>0,则方程Ax-m=0有实根”的逆命题为“若方程好+x-m=0有实根，则

是假命题，如："=0时，方程无-，*=0有实根；

④命题“若m2+n2=0,则772=0且〃=0”的否命题是“若m2+n2#0.则m#0或*0”,是真命

题故④正确；

故答案为：③.

【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了命题的否命题和逆否命题，训练了充分

必要条件的判定方法，属中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(本题满分14分)

已知复数z=3+加俗eR),且Q+制z为纯虚数.

(1)求复数z；

_Z

(2)若二，求复数w的模M.

参考答案:

解：(1)(1+攵)(3+机)=(3-兑),〔9+%：.................4分

•••(1+攵)z是纯虚数

—3一弘=0,且9+上30.......................................................................6分

b=\,.z-3+i.......................................................................7分

_3+i_(3+i)(2-i)_7-i_7_1

(2)W=2+?=C2+i)(2-J)=3-=5-51..................................................12分

Y55......................................................14

19.已知m=(coscox+sincox,coscox),n=(coscox—

sin①x,2sins),其中。＞0,设函数八%)=的〃，且函数/(x)的周期为兀.

(1)求。的值；

(2)在AABC中，a,b,c分别是角A,B,。的对边，且a,b,c成等差数列.当

册)=1时，判断"BC的形状.

参考答案：

(l)vm=(cos(y.r+sincox,cosa)x),

〃=(cos。％—sincox,2sinaa)((y〉0)

・••JO)=m*n=CGSsin①x+2cosctasin①x

=cos2co%+sin2①x.

•-fix)=2sin(2①x+).

丫函数/(x)的周期为兀，♦・・T==*・G=L

(2)在△ABC中,娜)=1,・・・2sin(23+)=l.

.,.sin(2B+)=.

又vQ<B<7i，:・<2B+<71.

・・・25+=.；.B=.

・：a,b,c成等差数列，.・.2Z;=Q+C

••«cos5--cos■—,

・・・QC=Q2+C2—・

化简得a=c.又.,.△ABC为正三角形.

20.在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表，规定75分以下为一般，大于等于75

分小于85分为良好，85分及以上为优秀.

分697374757778798082838587899395合

数计

人24423463344523150

数

经计算样本的平均值"=81,标准差862为评判该份试卷质量的好坏，从其中任取一

人，记其成绩为X，并根据以下不等式进行评判

①尸〃-o<X<n+o)>0.6828；

@P(/i-2(T<X<//+2(7)>0.9544；

③尸〃一3c<X<〃+3c)>0.9974

评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，

则被评为合格试卷；其他情况，则被评为不合格试卷.

(1)试判断该份试卷被评为哪种等级；

(2)按分层抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，再从抽出的10名学生中随

机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量&表示4人中成绩优秀的人数，求随机变量自

的分布列和数学期望.

参考答案：

(1)该份试卷应被评为合格试卷；(2)见解析

【分析】

(1)根据频数分布表，计算,“-<7•一“-山，-"•一"-<

""--的值，由此判断出“该份试卷应被评为合格试卷(2)利用超

几何分布分布列计算公式，计算出分布列，并求得数学期望.

［详解］(1)."-(J\"♦<TI=11<71.S-\"S7.=—=II.r>K''O.c-

P(“-2<T<Xc〃*2。)2P(6^.6<X<93.4)-zr=0.98>0.9544

L/(T•\“•S।->F.；•〃•川“J:,：i.小；I,

因为考生成绩满足两个不等式，所以该份试卷应被评为合格试卷.

(2)50人中成绩一般、良好及优秀的比例为；,所以所抽出的10人中，成绩优秀的

有3人，所以？的取值可能为0,1,2,3

,4…d33I,aKCfci：03!

/1•!l.-•?•;-I-I•-,-•

,djCM6331fd—CMTI

P(12)=-r=-,1'=»二-P-(»…i92I'«=

所以随机变的(分布列为

40123

C

P1

id30

【点睛】本小题主要考查正态分布的概念，考查频率的计算，考查超几何分布的分布列以

及数学期望的计算，属于中档题.

21.已知AABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量nF(a，b),

n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).

(1)若ir〃n,求证：AABC为等腰三角形;

71

(2)若边长c=2,角C=3,求AABC的面积.

参考答案:

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.

【分析】(1)利用向量平行的条件，写出向量平行坐标形式的条件，得到关于三角形的

边和角之间的关系，利用余弦定理变形得到三角形是等腰三角形.

(2)利用向量垂直数量积为零，写出三角形边之间的关系，结合余弦定理得到求三角形

面积所需的两边的乘积的值，求出三角形的面积.

【解答】证明：(1)Vm/7n

/.asinA=bsinB

ab

即a?2R=b?2R.其中R为△ABC外接圆半径.

a=b

/.△ABC为等腰三角形.

(2)由题意，m?p=O

Aa(b-2)+b(a-2)=0

/.a+b=ab

n

由余弦定理4=a2+b2-2ab?cos3

/.4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab

・•・(ab)2-3ab-4=0

/.ab=4或ab=-1(舍去)

1

/.SAABC=2absinC

1n

=2X4Xsin3=73

22.已知函数/