2023-2024学年辽宁省辽东区域高一年级下册期中考试数学模拟试题

2023-2024学年辽宁省辽东区域高一下册期中考试数学模拟试题

一、单选题

1.点P（tan2023°,cos2023°）位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【正确答案】D

【分析】先判断2023。在第几象限，进而判断三角函数值的符号，即可得结果.

【详解】因为2023。=5*360。+223。，则2023°为第三象限角，

可得tan2023o>0,cos20230<0,

所以P（tan2023°,cos2023。）位于第四象限.

故选：D.

2.已知Sina=3且α为第二象限角，则SinS"m+cacTs"oSa的值为（）

5sma-2cosa

【正确答案】A

先求tan。，再将三角函数式齐次后可求其值.

33

【详解】因为Sina==，且α为第二象限角，故tanα=-

54

sina÷cosa_tana+11

Sina-2cosαtanɑ-2∏

故选：A.

3.已知向量∣α∣=2,W=l,且卜—3可=近，则向量q,6的夹角是（）

A.—B.-C.—D.

663

【正确答案】D

【分析】由『「361=7可求得a∙b,根据向量夹角公式可求得结果.

【详解】∣0-3⅛∣^=p∣2-6a∙⅛+9∣⅛∣2=13-6<7∙⅛=7,;.ab=l'

.a`b1π

.∙.cos<α,fe>=∣-ψj=-t又<α,∕>>e[0,π],.∙.<d,6>=:

故选：D.

4.胜利塔位于大连市旅顺口区，是市级文物保护单位.该塔是苏军撤离旅顺之前，为纪念世界反法

西斯战争胜利10周年而建.基座为五角形，五面各有二层台阶，上立有五根六角柱，中心为五角形

的塔身，其顶端铸有象征胜利的红色徽标，金碧辉煌，格外耀眼.某同学为测量胜利塔的高度

在胜利塔的正北方向找到一座建筑物A8,高约为22.5m,在地面上点C处（B,C,N三点共线）测

得建筑物顶部A,胜利塔顶部M的仰角分别为30°和45°,在A处测得胜利塔顶部M的仰角为15。,

那么胜利塔的高度约为（）

A.32mB.39mC.45mD.55m

【正确答案】C

【分析】在一ABC中，由正弦定义求AC,在Z∖ACM中由正弦定理求MC,再解三角形MNC求MN即

可.

【详解】由已知在.ABC中，∕48C=90,AB=22.5,NAeB=30,

所以AC==45,

sin30

在A4CM中，ZMAC=15+30=45,ZACM=180-45-30=105,

所以ZAMC=I80-105-45=30,又AC=45,

MCMC45

由正弦定理可得,所以

Sin/MACsinZAΛ∕Csin45sin30

所以MC=45√5,

在&MNC中，NMNC=90,NMCN=45,Λ∕C=45√2-

所以肠V=MCSin45≈45(m).

故选：C.

5.要得到y=cos2x-√Jsin2x的图象，可将函数y=Tsinxcosx的图象（）

A.向左平移已个单位长度B.向右平移已个单位长度

C.向左平移5个单位长度D.向右平移B个单位长度

66

【正确答案】B

【分析】利用辅助角公式和二倍角公式化简函数解析式，再结合三角函数图象变换结论判断各选项.

【详解】函数y=-4sinxcosx的解析式可化为y=-4sinXCOSx=-2sin2x,

函数y=cos2x-6sinIx的解析式可化为y=-(6sin2x-cos2x)=-2sin^2x-ɪj,

将函数y=-2sin2x的图象向左平移专个单位长度可得y=-2sin(2x+"的图象，A错误；

将函数产-2sin2x的图象向右平移三个单位长度可得丫=-2如伍-曰的图象，B正确；

将函数y=-2sin2x的图象向左平移E个单位长度可得y=-2sin(2x+])的图象，C错误；

将函数N=-2sin2x的图象向右平移巳个单位长度可得y=-2sin(2γ)的图象，D错误：

故选：B.

6.已知.ABC中，角A,BC的对边分别为。，b,c,且α=csin3+0CoSC,匕=4,则------;---

1sinΛ-sinC

()

A.4B.6C.4√2D.6√2

【正确答案】C

【分析】由条件，利用正弦定理化边为角可求8,再结合正弦定理求.~

sinΛ-sinC

【详解】设一ABC的外接圆半径为R,

b

由正弦定理可得就=2R

sinBsinCf

所以4=2RSinA,b=2RsinB,c=2RsinC,

所以α=csin3+Z?CoSC,可化为SinA=SinCSin8+sinBcosC，

又SinA=Sin(B+C)=sinBcosC+cosBSinC,

所以SinCSinB=COS3sinC,因为SineWO,cosfi≠0,

所以tanB=l,又8e(0,π),

TT

所以8二:，

4

CLC_2∕?SinA—2RSmC一2.二.一4一

乂SinA-SinCsinA-sinCsinBλ∕2

2

故选：C.

7.已知。=2sin-,b=2sin-,c=cos-,则()

244

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

【正确答案】D

【分析】由0<!<:<W,利用正弦函数的单调性可比较。*；当O<x<I时，SinX<x,可得sin!<!,

422244

结合二倍角公式可比较W*进而得到结果.

【详解】先证明结论：当()<x<5时，sinx<x.

如图，设ZAoB=X,x∈fθ,ɪj,A(1,O),08与单位圆交于B,OA=l,B(cosx,sinx),

12

易知S^OAB<S扇形OA8，得;XO"'×sinx<-×x×OA,即SinXVX,

2

.,.0八<1-<ɪ-<兀-,・・・si∕<sinL/.2sin,<2si∏1,艮

4224242

1π111

O<<∞S>O

4-2-4-4-4-

.∙.α=2sin—=4sin-cos—<4×-cos-=cos-=c,

244444

综上，b<a<c.

故选：D.

AB4AC

8.在△ABC中，ABAC=0>且面积等于2,若点尸是△ABC所在平面内的一点，且AP=M+M,

则尸8∙PC的最大值等于()

A.9B.15C.19D.25

【正确答案】A

【分析】建立平面直角坐标系，根据条件表示P,8,C坐标，得出P8∙PC的表达式，结合基本不等式

求解最值.

【详解】VABAC=O-ABlAC,

以A为原点，直线AB,AC分别为X轴，丫轴，建立如图平面直角坐标系，

ABAC

其中扃的为X轴,y轴上的单位向量，

则根据条件得：P(1,4),8(；,O),C((V),，>0,

PB∙∕,C=P-l,-4∣-(-l,r-4)=-→l-4r+16=:-

4r+-+17≤-2,4r∙-+l7=9

4

当且仅当4/=一，即/=1时等号成立,

t

・•・P3∙PC的最大值为9.

故选：A.

二、多选题

9.在JLBC中，C=；,AB=近,则下列说法正确的是()

A.一ASC的外接圆的面积是兀

B.若&<AC<2,则满足条件的4BC有两个

C.若满足条件的_4?C有且只有1个，则AC=2

D.若4C=2,则满足条件的ABC有且只有1个

【正确答案】ABD

【分析】利用正弦定理求.ABC的外接圆半径，判断A,由正弦定理结合正弦函数性质，判断BCD.

【详解】设.43C的外接圆的半径为R,

AfiAC

由正弦定理可得「；=—⅛=2R,

sinCsinB

因为A8=J∑,C=£，

2R=-------=2U匚N„1

所以.π,所以R=1,

sin

4

所以，ABC的外接圆的面积是兀，A正确,

,ABAC-，曰._AC

由一ʒ;=-ʒ;,∏rΓ<sιnB=-,

sinCsinB2

当√Σ<AC<2时，可得F与<1,

因为AC>AB,所以ZB>ZA,

又3e(0,π),所以方程SinB=十存在两个解，故B正确;

ARAC1

取AC=1,由仁=9可得sins=；,

sinCsinB2

因为B∈(0,7i),AC<ABf

所以B=],C错误；

6

ARAC

若AC=2,由第=丹可得SinB=1,

sinCsinB

又Be(O,π),所以B=],故满足条件的三角形有且只有一解，D正确.

故选：ABD.

10.已知函数/(x)=2sin"-W)图象的一个对称中心是(加，且fy∈(0,3),则以下结论正确的是

()

A.的最小正周期为2πB./Q-总为偶函数

C."x)在。，5上的最小值为-6D,若SCXl＜々＜兀，则/(%)＞/(工2)

【正确答案】BC

【分析】由条件结合正弦函数的对称性可求。，根据正弦型函数的周期公式求周期判断A；根据三角

函数的平移变换结合函数的奇偶性的定义可判断B；求函数/(x)在0e上的最小值可判断C；根据

三角函数的单调性可判断D.

【详解】因为点信,0)是函数的一个对称中心，

--------=E,Z∈Z,国卒得0=2+6女，k£Z,

63

又因为＜ye(0,3),所以/=2,/(x)=2sin[2x-]}

r)τr

对于A项：最小正周期为T=m=τt,故A错；

对于B项:β]¾/^ʃ-ɪj=2sin^2x-∙^∙-y^=2sin^2x-yj=-2cosIx,

函数/1-')的定义域为R，定义域关于原点对称，

又/[-X-m=-2cos(-2x)=-2cos2x=/上一总，

所以函数/(X-A)为偶函数，故B对；

对于C项：当时，一马42x—'≤如，

L2」333

所以—~sin∣2x-41,

可得-6≤∕(X)≤2,所以/(X)的最小值为-石，故C对；

对于D项：当]＜x＜兀时，所以2x亨序

当xe(∕,膏ɔ时，2》-枭停考)，/(x)单调递减，

当xe[詈,j时，2jc^je[τ`τ])/U)单调递增，故D错，

故选：BC.

11.在AWC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且a:A:c=3：4：5,P为JlBC内一点，则下

列结论氐硬的是()

A.CosA=SinBB.若α=3,则一ABC内切圆的半径为2

C.若/?=4,则AB∙2C=-9D.若PA+2P8+PC=0，则S△&«■：S””=1：2

【正确答案】ACD

【分析】由条件设α=3x,则b=4x,c=5x,由三角函数定义判断A,根据内切圆的性质判断B,由

数量积的定义判断C,化筒向量等式，结合三角形面积公式判断D.

【详解】因为a：b：c=3：4：5,设α=3x,则b=4x,c=5x,

因为/+加=9χ2+16χ2=25V,

所以..ABC为以A8为斜边的直角三角形，

h4b4

对于A,cosA=—=—,sinB=-=—,所以CoSA=SinB,A正确;

c5c5

对于B,由a=3,可得Z?=4,c=5,

设JlBC的面积为S,内切圆的半径为，

则S=；(a+b+c)r,又S=；ab=6,

所以r=l,B错误;

对于C,由6=4,可得α=3,c=5,

所以A8∙BC=(AC+CB)∙BC=0-BC∙BC=-9,C正确,

对于D,设AC的中点为E,则尸A+PC=2尸E,

由尸A+2PB+PC=0，可得2PE+2PB=0,

所以点尸为线段8E的中点,

所以点P到BC的距离为点E到BC的距离的一半,

点尸到AC的距离为点8到AC的距离的一半,

,

所以SBPC=ISBEC=WSABCSAPC=QSabc,

所以SABPC:SAAPC=1：2,D正确;

故选：ACD.

12.已知函数/(x)=ShlN+忖m，则下列结论中不卿勺是()

A./(x)是周期函数B.f(χ)图象关于y轴对称

C.f(x)的零点是E(ZWZ)D.〃力的值域是[0,2]

【正确答案】AC

【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断B,再对X分类讨论化简函数解析,即可得到函数图象,

数形结合即可判断A、C、D.

【详解】∙.∙1(X)=SiHX+1SinX,xeR，

/./(-x)=sin∣-x∣+∣sin(-x)∣=sin∣x∣+∣sinx∣=/(ɪ),

・•・函数/(χ)=Sin国+卜inχ为偶函数，函数图象关于y轴对称，故B正确;

若x≥0,当2Aπ≤x≤2E+τc,Z∈N时，/(x)=2sinx.

当2Aπ+兀<x<2阮+2兀，Z∈N时，f(x)=O,故C错误；

若XV0,当一兀+2E≤xv2E,ZeZ时，/(x)=2sinx,

当2E—2πvx<2⅛π-τι,ZeZ时，/(x)=0,

所以/(x)的图象如下所示：

由图可知〃力不是周期函数，且函数的值域为[0,2],故A错误，D正确;

故选：AC

三、填空题

4JrTr

13.已知扇形的弧长为手，圆心角为三，则该扇形的面积为.

【正确答案】"/卜

【分析】利用扇形弧长公式和面积公式即可求得结果.

【详解】由题意知，圆心角为α=W,弧长为/=¥，

33

4兀

设扇形半径为,，根据弧长公式∕=αr=手得r=4,

则扇形面积S="$萼x4=".

2233

8π

故不

14.已知ΔA5C的三个内角A,3,C满足23=A+C,且AB=I,3C=4,则JBC边上的中线AO的长为

【正确答案】√3

根据三角形内角和定理可得B=60°,在AABD中根据余弦定理可得答案.

【详解】：2B=A+C,:.A+B+C=3B=18O°,ΛB=6()°.

,/BC=4,:.BD=I.

在ΔABD中,=√AB2+BD2-2AB-βDcos60°=√12+22-2×1×2cos6θ"=√3•

故答案为:百

本题考查了三角形内角和定理,考查了余弦定理解三角形,属于基础题.

则g(x)=tan∖x的最小正周期

15.已知函数/(x)=αsinx+bCoSX,α∙≠0,若f

为.

【正确答案】回

3

【分析】根据题意可得(],o)是函数/(x)的对称中心，根据三角函数的对称性以及周期性分析运算

即可.

【详解】由题意可得：f(x)=asinx-i-bcosx=y∕a2+b2sin(x+⅞?),其中

b

Sine=/—,cosφ=,==',

∖Ja2+⅛2∖∣a2+⅛2

,信是数小的对称中心,

因为/则°J函)

且

可得了+ɪ/?=O,QbWO,

2

整理得2=-G,

a

hT_兀_兀=GTt

所以g(x)=tan/x的最小正周期=Fj=耳=亍.

故答案为.叵

3

16.若点P为ABC所在平面内一点,且ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°,则点P叫做..ABC的费马点.当

三角形的最大角小于120。时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点“，即

E4+P8+PC最小.已知点。是边长为2的正ABC的费马点，。为BC的中点，E为80的中点，

则AC-DE的值为.

【正确答案】-1

【分析】证明,ABC的外心为其费马点，建立平面直角坐标系，求向量AC,DE的坐标，根据数量积

的坐标运算公式求AC∙OE∙

(详解】如图，设正—ABC的中心为0',则ZBAO'=ZCAO'=ZACO'=NBCor=ZCBO,=ZABO'=30，

所以NAO'3=ZAOC=NBOC=120,所以点。'为_ABC的费马点，

由已知点。与点O'重合,

如图，以。为原点，Z)C,D4为χ,y轴的正方向，建立平面直角坐标系,

则4(0,√5),C(1,0),E>(0,0),00,日,B(-1,0),E

所以ACHI,-©,DE=一；,骼

所以AC∙DE=lx+(-^)×τ

故答案为.-1

“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解

决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现

象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万

变才是制胜法宝.

四、解答题

sin∣π-α∣cos∣α--π∖an(2π-ɑ)

17.已知函数Ta)_(22)`).

tan(α+π)sin(α+π)

⑴化简"c);

（2）若小+扑2”α）,求八吟呜-可的值•

2

【正确答案】⑴-COSa

（2）-1

【分析】(1)由题意，利用诱导公式化简f(α)的解析式即可求解.

(2)由题意，可得tanα=-2,利用诱导公式及同角三角函数的基本关系即可求解.

【详解】⑴解.心—吗-α)8s(α-1)tan(2/α)3ɑ∙(Tina)•(-tana).

J)————VVJo(X

tan(a+π)sin(α+π)tana∙(-sina)

Tr7Γ

(2)解：Qf(a+—)=2∕(α),.∙.-cos(a+-)=-2cosa,即Sina=-2cos0,tana=-2,

、.π、ɪSinaCoSatana2

故J(a)•/r(a)=-cosa∙[r-cos(----a)]=sinacosa=—；-------------=—；------=—.

22Siira+cosatana+15

18.在一ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,。是AC边上的点，

2λ>sinS=(2«-c)sinA+(2c-a)sinC.

⑴求NABC的大小；

(2)若Co=1,AD=BD=2,求BC的长.

【正确答案】(1)，

⑵&

【分析】（1）由正弦定理角化边，整理可得6+。2一尸=这，然后根据余弦定理即可求得COSNA8C=；,

进而根据角的范围，即可得出答案；

（2）在3。C以及A3D4中，分别根据余弦定理，结合NBDC+N3D4=兀，整理化简可得

¢2+2,/-18=0.在一45C中，根据余弦定理推出储+/"c=/联立两个方程，即可得出答案.

【详解】（1）由正弦定理以及已知可得，»2=。（勿—c）+c（2c—a）,

整理可得，a2+c2-h2=ac.

由余弦定理可得，CoSNABC=上上=

Ifac2ac2

又NABC∈（0,7t）,所以乙ABC=

C

BD2+CD2-BC2

IBDCD4

*.»-τ4≡._.ʌ,β[J^+√4D*^—AB^8—

在AλBPA中，由余弦定理可得，cosZBDA=---------------=-----

2BD∙AD8

又ZBDC+/BDA=Tt,所以CoSNBOC=-COSNBZM,

S—〃2父—浮

即二_=一三二，整理可得¢2+2/78=0.

48

因为。=AC=AO+8=3,

在-ABC中，由余弦定理可得，b2=a2+c2-2accosZABC,

即9=/+c2-2accos^=02+c2-ac,

整理可得，a2+c2-ac=9.

¢2+2/-18=0a=∖∣3

联立V可得

a2+c2-ac=9c=2百

所以，BC=α=√3∙

19.已知向量α=(sinθ,2)与6=(CoSe,1),其中Oe0,∙∣

⑴若〃e)=αw,求的单调递减区间；

⑵若。〃)，且$出(。-9)=1^,求夕的值.

兀

【正确答案】(I)IJ,J71A

【分析】(1)根据数量积的坐标运算结合二倍角正弦公式求/(。)，再由正弦函数的单调性求其单调

递减区间；

(2)由条件结合平方关系可求cos(e-0),由向量平行的坐标表示结合平方关系可求SinaCos，，再

由两角差余弦公式可求cose,由此可求。.

【详解】（1）:向量α=（sin6,2）,⅛=（cos^,l）,

.*.f^θ）=a∙b=SineCoSe+2=gsin26+2,

又∙.∙6e（θ,∙∣],贝!∣20e（0,π）

兀、「TT兀）

.∙.当20∈-,πl,即。e“5J时，/（。）单调递减,

TTTTʌ

即/（。）的单调递减区间为-,-I.

、八兀CC兀•冗兀

（/C2）0<φ<-0<∕9<-,..——<ZθI-φ<-,

29222

又sin（"°）二噜，

所以CoS==~~^,

又〈allb，efθ,2]

，sin。-2cos8=0,Xsin26>+cos2/9=1,

・・・sin。=至，cosθ=-

55

「.[。一（。一）（。一）（。一）

cos°=cos0]=CosOcos°+SineSin°_χɜʌʌθ+x2^12=

又∙∙∙o＜夕苦，

π

φ;%

20.等边三角形一ABC,边长为2,。为BC的中点，动点E在边AC上，E关于。的对称点为F.

(1)若E为AC的中点，求Az)∙8E∙

⑵求AE∙4尸的取值范围∙

3

【正确答案】（l）-5

9-

ɑ

⑵4-

一

【分析】（1）利用平行四边形法则表示向量，然后利用向量数量积计算即可;

（2）利用己知条件求出AD的值，根据E关于。的对称点为F,DE=-DF>

然后计算AE∙AF=3-0目，由于动点E在Ae上，当AC时，|。El取最小值，当E与A重合时,

IQEl取最大值，即可求得AEAF的取值范围.

【详解】(1)因为。为8C中点，

11

所以AO=—A8+—AC.

22

因为E为AC中点，

所以BE=LBA+'BCAC-AB)」AC-48,

所以ADBE=G4B+JAC)(；AC-AB)

12121.3

=-AC——AB——AB-AC=--.

4242

(2)因为等边三角形ABC,边长为2,。为BC中点

所以Af）为由,

因为E关于D的对称点为F,

所以DE'=-DF，

所以AE∙AF=(AQ+OE)・(A£>+£>F)=(AO+OE)∙(AO-OE)=AzZ-OE?

=∣ΛD∣2-∣DE∣2=3-|时,

因为动点E在AC上,

所以当£>£工AC时，|。目取最小值，即日,

当E与A重合时，|。El取最大值，即百,

所以:≤∣时≤3,

所以也国9

3-的取值范围为0,-.

21.己知函数"x)=ASin(S+9)b＞0,0＞0,冏＜?的部分图象如图所示，且直线工后为〃灯图

象的一条对称轴.

⑴求“X)的解析式；

⑵若方程/(χ-()-%=0在区间0,上有且仅有1个实数根，求，”的取值范围.

【正确答案】(l)”x)=2sin(2x+]j

⑵[τ,l]{2}

【分析】(1)由周期得到。=2,代入对称轴得到8=方，再根据/(0)=&得到4=2,即可得到解析

式；

(2)根据题意分析可得y=sin[2x-F),xe0,])与y=有且仅有一个交点，结合正弦函数分析运

算.

TTtT2兀

【详解】(1)由己知可得:=W，故τ=g=兀，

22I到

且勿＞0,解得3=2、

因为直线X=专为f(x)图象的一条对称轴，则备2+e=]+E,AeZ,

解得夕=g+E,%eZ,且解＜],

当k=o时满足条件，此时"=q,

则/(x)=ASin(2犬+