图形的相似综合（6个知识点）-中考复习讲义及练习（解析版）

第四部分三角形

专题15图形的相似综合（6大考点）

核心考点一比例线段

核心考点二相似三角形的判定

核心考点三相似三角形的性质

核心考点

核心考点四相似三角形中的动点问题

核心考点五位似图形

核心考点六相似三角形的实际应用

新题速递

核心考点一比例线段

O氟题答究

H（2022.湖南衡阳.统考中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）

的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像,

那么该雕像的下部设计高度约是（）（结果精确到OOlm.参考数据：√5=1.414,√3≈1.732,√5≈2.236）

A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m

【答案】B

【分析】设雕像的下部高为Xm,由黄金分割的定义得9=叵」,求解即可.

22

【详解】解：设雕像的下部高为Xm,则上部长为（2-x）m,

雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比,

雷锋雕像为2m,

.X\

••一=-----,

22

/.x=√5-ɪ?1.24,

即该雕像的下部设计高度约是1.24m,

故选：B.

【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键.

瓯（2021•四川德阳•统考中考真题）我们把宽与长的比是件ɪ的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们

以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.B

知四边形ABC。是黄金矩形，边AB的长度为6-1,则该矩形的周长为.

【答案】26+2或4

【分析】分两种情况：①边AB为矩形的长时，则矩形的宽为3-百，求出矩形的周长即可；

②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为=2,求出矩形的周长即可.

【详解】解：分两种情况：

①边AB为矩形的长时，则矩形的宽为等U（石-1）=3-6,

，矩形的周长为：2（√5-l+3-√5）=4i

②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为：（石-1）÷诙二ɪ=2,

2

，矩形的周长为2（石-1+2）=2行+2；

综上所述，该矩形的周长为2逐+2或4,

故答案为：2石+2或4.

【点睛】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键.

雨（2022・湖南常德・统考中考真题）在四边形ABCD中，/84。的平分线AF交BC于F,延长AB到E

使BE=FC,G是AF的中点，GE交BC于O,连接GO.

(1)当四边形A8C3是矩形时，如图，求证：①GE=GD;②BoGD=GO∙FC.

(2)当四边形ABCD是平行四边形时，如图，(1)中的结论都成立，请给出结论②的证明.

【答案】(1)证明见详解

(2)证明见详解

【分析】(1)①证明4ADG-AEG即可；②连接8G,CG,证明AADGgjlBCG,Z∖30ES∕∖GOC即

可证明；

(2)①的结论和(1)中证明一样，证明aADGgiKEG即可；②的结论，作OW,8C,连接GM,证明

△BOES^GOM即可.

【详解】(1)证明：①证明过程：

四边形ABCO为矩形，

.-.ZABC=ZBAD=fX)0

AF平分∕54T>

ΛZS4F=ZZMF=45°

.•…ΛBb为等腰直角三角形

.∖AB^BF

BE=FC

:.AB+BE=BF+CF,即AE=BC=AD

.AG=AG

■■■AADGaAEG

GE=GD

②证明：连接BG,CG,

G为A尸的中点，四边形ABC。为矩形，

o

.ZABC=ZBAD=90fAD=BC

.BG=AG=FG

AF平分N3AD..AH尸为等腰直角三角形，

ZBAF=ΛDAF=45o=ZABG=ZCBG

・LADG乌BCG

.ZADG=ZBCG

△ADG均AEG

∖ZE=ZADG

.ZE=ZBCG

ZBOE=ZGOC

'ΛBOE^∕∖GOC

BOGOGOBO

~BE~^GC~^D~~CF

.BehGD=GOFC

(2)作。MLBdSbGfM,连接GM,作GNLOM交ZW于点N,如图所示

.∙.ZDMB=90o=ZGNM=4GND=ZDMC

III(1)同理可证：ZVLDGg-AEG

.∖ZE=ZADG

四边形A8CO为平行四边形

..AD//BC

.∙.ZADM=NDMC=90°

.∙.BC//GN//AD

G为A尸的中点，由平行线分线段成比例可得ON=MN

.∙.DG=MG,

\?GDM?GMD,

\2ADG2BMG2E

NBOE=NGoM

:ΛBOE^∕∖GOM

.BOGOGOBO

,5F-GM-GD-CF

・•.BOGD=GOFC

【点睛】本题考查了以矩形与平行四边形为桥梁，涉及全等三角形的证明，相似三角形的证明，正确作出

辅助线并由此得到相应的全等三角形和相似三角形是解题的关键.

厚命

知识点、线段的比与成比例线段

线段的比两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意:求两条线段的比时必须统一单位）.

四条线段。、6、C、4中，如果:==「，那么这四条线段。、b、C、4叫做成比例

成比例线段ba

线段，简称比例线段.

知识点、比例的性质

ac.,

基本性质—=——<=>aa=be

bd

合比的性质a_ca±h_c±d

等比性质

@b=£d=...=n一砸+d+.∙∙+"0)ob7+d广+……+=zι=A

知识点、黄金分割

ACBC

若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AOBC）,如果”=方这

黄金分割

时称点C是AB的黄金分割点,这个比值称为黄金比，它的值为⅞1"

知识点、平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

图形：

几何语言：

定理

Vll∕∕l2∕∕13,

,ABDEABDEBCEF

*SC^EF,衣一苏‘~∖C~~DF

平行于三角形一边截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

图形：几何语言：

推论・ADae

∙•∙nDi7E∕/∕D7kBC,・・市=诉，

LJDZLC

ADAEBDCE

BcAfi^AC,Afi^AC

【变式1］（2022•河北邯郸•统考三模）如图，已知P、Q是边AB的三等分点，AABC的面积为27,现从

AB边一点。，沿平行BC的方向剪下一个面积为7的三角形，则点。在（）

A.线段AP上B.线段PQ上，且靠近P点

C.线段PQ上，且靠近。点D.线段B。上

【答案】C

【分析】如图，取48的中点E,则空=2，41=7-41=1-根据平行线分线段成比例定理的推论可

AB3AB2AB3

⅛ΔAPF,ΔAEG,ΔAQ”均与ΔABC相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出ΔAPF,AAEG,

MQW的面积，与剪下三角形的面积比较即可判断.

【详解】解：如图，取AB的中点E,作PF//BC交AC于点F,EG//BC交AC于点、G,QHHBC交AC于

点”,

VP,。是边AB的三等分点，E是AB的中点,

AP1AE1AQ2

.∙.E是P。的中点,

AB^3^AB~2'~AB~3

∙/PF//BC,

，MPFMBC,

.sMPF=(")2=(%=1

'∙S*AB39'

∙'∙S&APF-§ΛABC=—×27=3,

112744

同理可得5MEC=-SMBC=-X27=—,SMew=-SMBC=-×27=12,

27

V3<—<7<12,

4

.∙.点。在线段EQ上，即在线段尸。上，且靠近。点.

故选：C.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的面积比与相似比的关系，掌握相似三角形面积

比等于相似比的平方是解题的关键.

【变式2］（2022•浙江宁波•统考模拟预测）ABCZ）被分别平行于两边的四条线段EΛFI、LG、KH分割

成9个小平行四边形，面积分别为S9,已知ALMESPlCHSABCD.若知道SM）中的〃个，就一定能

算出平行四边形ABCD的面积，则”的最小值是（）.

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【分析】由题述相似关系得AL：AE=KB:FD,设AE=x,AL=kxiFD=z,KB=kz；EF=y.

又45：AD=AL:AE=KB:/7)可得(kx+LK+kz)：(x+y+z)=kx：x=ky：y=k,LK=ky.

只需知道S/,Ss,Ss,便可由N：.y2：z2=S/：S3：S5得到x：y：Z=S：£：叔,于是

SABCD=SiX上上¥=(舟S+J⅞)2.

【详解】解：如图，

由题述相似关系得AL：AE=KB:FD,

设AE=X,AL=kx;FD=z,KB=kz；EF=y.

\'AB：AD=ALtAE=KB:FD

/.(kx+LK+kz)：(x+γ÷z)=kx：x=ky：y=k,

∙'∙LK=ky.

只需知道S/,S3,S5,便可由

x2zy2zZ2=Si：S3：S5

得到x：y：Z=S:双：区,

于是SnABCD=5/.(¥=(6+肉+种2,

故答案选：B.

【点睛】本题考查了相似四边形的性质，关键在于设出未知数，用正确的表达式表示面积.

【变式3】（2022.统考一模）已知线段α=石+1,⅛=√5-l,则m〃的比例中项线段等于.

【答案】2

【分析】设线段X是线段“，）的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之

积求解即可得出答案.

【详解】解：设线段X是线段α,b的比例中项，

*.^Λ=√5+1.⅛=√5-l.

.aX

>•一=一

Xb

.*.X2=ab=(√5+l)(√5-1)=5-1=4,

x=±2.

Vχ>0,

.β.X=-2舍去，

故答案为：2.

【点睛】本题考查的比例中项的含义，理解“若g=f,则X是α,h的比例中项''是解本题的关键.

【变式4］（2022•福建莆田•校考一模）我们把宽与长的比为黄金比（必二ɪ）的矩形称为黄金矩形，如图,

2

在黄金矩形ABC。中，AB<BC,BC=4,NABC的平分线交AO边于点E,则。E的长为.

【答案】2（3-√5）

【分析】根据黄金矩形AS8,得出宽与长的比为黄金比（避二ɪ）,AD//BC,AD=BC=4,可求

2

AB=^-!∙BC=2（√5-1）,根据BE为NABC的平分线，证出AE=AB,再利用Z）E=Ar>-AE计算即可.

【详解】解：；四边形ABCD为黄金矩形，

，其宽与长的比空=圭二ɪ,ADHBC,AD=BC=A,

BC2

,AB=当Lc=与工4=2（逐-1）,

∙.∙8E为NABC的平分线,

.,.ZABE=NCBE,

∙∙,ADHBC,

：.ZAEB=NCBE=ZABE，

：.AE=AB=2(石-1),

.".DE=ΛD-AE=4-2(√5-l)=2(3-√5).

故答案为：2（3-√5）.

【点睛】本题主要考查了黄金矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的性质等知识，解题关键是熟

练掌握黄金矩形的性质、等腰三角形判定与性质等知识并利用线段和差求解.

【变式5】（2020.福建南平.统考一模）在△ABC中，AB=12,点E在AC上，点D在AB上，若AE=6,

ADAE

EC=4,

~DB~~EC

（1）求AD的长;

（2）试问筹=q标能成立吗？请说明理由.

∕∖DAC

【答案】（I）AD=竽；（2）能，理由见解析.

【分析】（1）设AD=x,则BD=AB-AD=（12-x）cm,根据比例式列出方程求得X的值，即可得AD的长;

（2）根据所求得的数据计算即可得结论.

【详解】解:(1))设AD=x,则BD=AB-AD=(12-x)cm,

.tADAE

•~DB~~EC'AE=6,EC=4,

ΛX：(12-x)=6：4,

解得X=/,

ΛAD=TS

（2）能，理由如下:

∙.∙AB=12,AD=M

.ΠR.24

5

・DB2

••=一,

AB5

VAE=6,EC=4,

ΛAC=10

EC2

ΛC^^Iθ^5

DBEC

AB-AC,

核心考点二相似三角形的判定

例H（2020•贵州遵义•统考中考真题）如图，AABO的顶点4在函数），=：（x>0）的图象上，ZABO=90°,

过Ao边的三等分点M、N分别作X轴的平行线交AB于点P、Q.若四边形MNQP的面积为3,则上的值为

【答案】D

【分析】由AN=NM=OM,NQ〃尸M〃0B得到相似三角形，利用相似三角形的性质得到三角形之间的面

积关系，利用反比例函数系数的几何意义可得答案.

【详解】解：AN=NM=OM、NQHPMuoB,

AAQs_AMP,_AMPS_AQB,

,SAANQAN]

,,不=（巾="

.四边形MN。尸的面积为3,

S∆ANQ

•∙SiiANQ=L

一SΔAMP=4,

..AMPs_AOB,

AM

~AOiv

♦•%=2SMOB=18.

故选D.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，反比例函数系数的几何意义，掌握以上知识是解题的关

键.

瓯（2021.湖南湘潭.统考中考真题）如图，在，ABC中，点。，E分别为边AB,AC上的点，试添加一

个条件:，使得VAE>E与,ABC相似.（任意写出一个满足条件的即可）

_-ADAE

【答案】Ir前

【分析】根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题.

4DAF

【详解】解：根据题意，添加条件罚=就

ZA=ZA

VADEABC

故答案为：爷=条

【点睛】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

瓯（2022•山东荷泽・统考中考真题）如图，在RlABC中，ZABC=90。，E是边AC上一点，且BE=BC,

过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点£>,求证：AADE^ΛABC.

AB

【答案】见解析

【分析】先根据等腰三角形的性质得NC=NBEa又由对顶角相等可证得NAEZ›NG再由NZ>NABC=90。,

即可得出结论.

【详解】证明：TBE=BC

：.AC=ABEC,

•：ZBEC=ZAEDf

NAED=NC,

•：AD工BD,

：.ZD=90o,

β.∙ZABC=90。，

：,ND=NABC,

・・・ΔADESZVLBC.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判

定定理是解题的关键.

厚命题矗确

知识点、相似三角形的判定

平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原

预备定理

三角形相似.

有两个角对应相等的两个三角形相似.

A,

A几何语言：

A/\

判定1A/\在aABC和aAEU中

/\/\若NA=NA',NB=NB'

/ʌ/\则ZXABJZ:∖A'B'C

B,C，

判定2两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.

.鸥就硼焉

【变式1】（2023•上海杨浦・统考一模）如图，在.A5C中，AG平分NfiAC,点。在边AB上，线段Co与

AG交于点E,且NACiD=/B,下列结论中，错误的是（）

A

A.^ACD^∕∖ABCB.ADESdACG

C.AACES公ABGD.ΛADE‹^ΛCGE

【答案】D

【分析】由NACD=NB,ZDAC=ZCAB,可直接证明AtCr>sA4βc,即可判断A；由角平分线的定义

得出NZME=NC4G,再结合一角形外角的性质即可得出NAED=NAGC,从而可证ADEs,ACG,即可

判断B；由NC4E=Nβ4G,ZACD=ZB,可直接证明4ACESZV1BG,即可判断C；没有条件证明

ΛADE<^ΛCGE,即可判断D.

【详解】VZACO=ZB,ZDAC=ZCAB,

：.AACD/^BC,故A正确，不符合题意；

：AG平分/8AC,

二NDAE=NCAG.

'：ZAED=ZCAG+ZACD,ZAGC=ZDAE+ZB,

：.ZAED=ZAGC,

：..ADE^,ACG,故B正确，不符合题意；

VZCAE=ZBAG,ZACD=ZB,

：.ΛACE<^ΛABG.故C正确，不符合题意；

在VAOE和CGE中只有NAED=NCEG,不能证明AWES^CGE,故D错误，符合题意.

故选D.

【点睛】本题考查三角形相似的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质.掌握三角形相似的判定定理

是解题关键.

【变式2](2022,广西梧州.统考一模)如图,在一ABC中，NC=45。,将iABC[着点2逆时针方向旋转,

使点C的对应点。落在CA的延长线上,得到.ABc,连接A4,，交Be于点、0.下列结论:①NAeA=90。；

②A4=BC；③NA∖BC'=NA'AC;@AA'OC^ABOA.其中正确结论的个数是()

C

A.ɪB.2C.3D.4

【答案】C

【分析】利用旋转的性质和等腰三角形的性质推出∕AC'A'=90。，即可判断①的正确性；通过点A、B、A、

C'四点共圆可以判断出②③④的正确性.

【详解】解：由题意可得：BC=BC',ZC=ZArCB

∙.∙ZC=45°

NBC'A=45°

,/ZACA=ZACB+ZBCA

：.ZACA'=90°,故①正确；

,.∙ZBCA=ZC=45°

：.NC'BC=90°

：ZABC=ZAIBC'

:.ZABA=90°

：.ZABA+ZACA'=180o,ZCAB+ACAB=ɪ80°

点H、B、A、C'四点共圆

VZAC'A'=90o,ZBAC≠9Q°

∙∙∙A'A是直径，Be不是直径

ΛA'A≠BC',故②错误;

丁点4'、B、A、C'四点共圆

；•ZABC=ZA!AC,故③正确；

；点A∖B、A、C'四点共圆

,ZAA'C'=ZABC,ZA'CB=ZA'AB

.,.ΛAOC'^ΛBOA,故④正确：

,正确结论的个数是3个

故选C.

【点睛】本题考查了图形的旋转、等腰三角形的性质、四点共圆、圆周角定理的推论以及相似的判定等知

识点，灵活运用这些知识点是解题的关键.

【变式3］（2021.上海崇明.统考二模）如图，在矩形ABCO中，AB=3f3C=4,点P为射线5C上的一个

动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线Co相交于点。，当8P=5时，CQ=.

【分析】通过证明可得有=〒,即可求解.

：.CP=I,

：PQLAPi

o

：.ZAPQ=90=ZABCf

：.ZAPB+ZBAP=90°=ZAPB-^-ZBPQf

.∙.NBAP=NBPQ,

又・・•NABP=NPCQ=90。，

XABPS丛PCQ,

.ABBP

'9'CP~'CQ9

35

~i=CQ

故答案为：∣.

【点睛】本题考查相似三角形、矩形的性质.根据题意找相似的条件是关键.利用相似比计算线段的长度

是常用的方法.

【变式4］（2021•河南・统考模拟预测）如图，在矩形纸片ABa）中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上

的点N处，为折痕，连接MN；再将CQ沿CE翻折，使点。恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连

接所并延长交于点P,若AD=8,AB=5,则线段PE的长等于.

…20

【答案】y

【分析】根据折叠可得四边形ABNM是正方形，CD=CF=5,ZD=ZCFE=90o,ED=EF,可求出三角形FNC

的三边为3,4,5,在WMEF中,由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证尸NCSPGF,

可得APFG三边的比为3：4：5,设FG=3m,则PG=4m,PF=5m,通过PG=HN,列方程解方程，进而求

出PF的长，从而可求PE的长.

【详解】解：过点P作PGJ_FN,PHlBN,垂足为G、H,

由折叠得:

四边形ABNM是正方形，AB=BN=NM=MA=5,CD=CF=5,ZD=ZCFE=90o,ED=EF,

.∙.NC=MD=8-5=3,

在R"FNC中,fτV=√52-32=4,

ΛMF=5-4=1,

在WMEF中，设EF=x,则ME=3-x,

由勾股定理得，12÷(3-X)2=X2,

解得：x=∣,

VZCFN÷ZPFG=90o,ZPFG+ZFPG=90o,

：,ZCFN=ZFPG,

XVZFGP=ZCNF=90o

:,.FNCs-PGF,

ΛFG:PG：PF=NC:FN：FC=3：4：5,

设FG=3m,则PG=4m,PF=5m,

.四边形ABNM是正方形，

・•.ZMBN=45。=NBP”,

ΛGN=PH=BH=4-3m,HN=5-(4-3m)=I+3τn=PG=4m,

解得：m=l,

.*.PF=5m=5,

520

.,.PE=PF+FE=54—=—,

33

20

故答案为：y.

【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形，正方形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定与性质，

掌握以上知识是解题的关键.

【变式5】(2022・四川南充•统考三模)如图，在45C中，ZACB=90o,C。是边AB上的中线，EF垂直

平分CE>,分别交AC,5C于E,F,连接。E,DF.

⑴求证：∕∖OCES∕∖OFD.

（2）当AE=7,3/=24时，求线段E尸的长.

【答案】（1）见解析

⑵EF=25

【分析】（1）如图（见解析），先根据线段垂直平分线的性质可得NEOC=NDoF=90°，ED=EC,FD=FC，

再根据三角形全等的判定定理证出0匹尸≡aECF,根据全等三角形的性质可得Nl=N2,从而可得

N4=N2=4,然后根据相似三角形的判定即可得证；

（2）如图（见解析），延长尸D至G,使Z）G=DF，连接AG,EG,先根据线段垂直平分线的判定与性

质可得£G=EF,再根据三角形全等的判定定理证出AADG=△皮）尸，根据全等三角形的性质可得

AG=8F=24,Z7=ZB,然后根据平行线的判定与性质可得N£4G=90。，最后在RtZkAEG中，利用勾

股定理即可得.

【详解】（1）证明：；E尸垂直平分CD,

：.ZEOC=NDOF=90。,ED=EC,FD=FC,

ED=EC

在,.EDF和AECF中，，FD=FC,

EF=EF

；._EDF'ECF（SSS）,

.".Z1=Z2.

VZACB=90°,NEoC=90。，

Z2+Z3=Z3+Z4=90o,

--.Z4=Z2=Z1,

ɪ[ZEOC=ZDOF=90°

在AOCE和AOFD中，〈八，，，

[Zl=Z4

Λ,OCEOFD.

Gy——

B

（2）解：如图，延长EO至G,使。G=DF,连接AG,EG.

则即垂直平分尸G,

.∙.EG=EF,

CD是边AB上的中线，

：・AD=BD,

DG=DF

在AAOG和VBOF中，＜N6=N5,

AD=BD

.∖∆ADG=ΛBDF（SASy

；・AG=BF=24,Z7=ZBf

：,AGBC,

/.ZE4G=180o-ZACβ=90o,

・•・EG=√AE2+AG2=√72+242=25»

EF=25.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等

知识点，较难的是题（2）,构造全等三角形和直角三角形是解题关键.

核心考点三相似三角形的性质

H（2022•山东威海•统考中考真题）由12个有公共顶点。的直角三角形拼成如图所示的图形，ZAOB

=∕80C=∕C0O=…=∕LOM=30°.若SZiAOB=I,则图中与aAOB位似的三角形的面积为（）

K

4443

A.(-)3B.(-)7C.(-)6D.(-)6

3334

【答案】C

【分析】根据题意得出A、。、G在同一直线上,8、。、”在同一直线上,确定与AAOB位似的三角形为^GOH,

利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=X,再由相似三角形的性质求解即可.

【详解】解：V/.AOB=ZBOC=ZCOD=...=ZLOM=3,0°

NAOG=180°,ZfiOW=180°,

；.A、。、G在同一直线上，8、。、，在同一直线上，

，与4AOB位似的三角形为4GOH,

设OA=x,

.∙.oc=q=竺

cos3003

：•OG=

.OG(2√3?

OA

•UGoH

>•4''

SAOB

,∙*SAOB=、，

,'SGOH

故选：C.

【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理解题意，找出

相应边的比值规律是解题关键.

雨（2022・湖南常德・统考中考真题）如图，已知尸是AfiC内的一点，FD//BC,FE//AB,若.BDFE

BD=^BA,BE=^BC,则.AfiC的面积是

的面积为2,

【分析】延长EF、QF分布交AC于点M、N,可以得到相似三角形并利用相似三角形分别求出AM、MN、

CW之间的关系，从而得到三角形的面积关系即可求解.

【详解】解：如图所示：延长£尸、。尸分布交AC于点M、N,

BE=-BC,

4

ACE=3BE,AD=IBD,

CMCE—ANAD2

~MΛ~~BE~1~CN~~BD~'

令AM=x,则CM-3x,

.,.AC=4x,

.∙.AN=-AC=-XCN=-AC=-X

33f331

MN=-X

39

.NM_5NM_5

,∖AΛF^8,MC-9,

SANMF：S=25:64,S^NMF:SΛMEC=25:81

-e•设＞S.MF=25a,SΔNAD=Ma9SΔMEC=Siat

∙,∙S四边形尸ECN=56〃，

.,.SdABC=2+120。，

.SA。N=./仞Y/

∙∙SABC2+12Oa[AB)G，

求出〃二L,

12

SAABC=2+120。=12,

故答案为：12.

【点睛】本题考查了相似三角形中的A型，也可以利用平行线分线段成比例知识，具有一定的难度，不断

的利用相似三角形的性质：对应线段成比例进行求解线段的长度；利用相似三角形的面积之比等于相似比

的平方是解题的关键.

瓯15.（2020・山东济南・中考真题）在等腰2kA3C中，AC=BC,VAn上是直角三角形，NZME=90。，

ZADE=ɪZACB,连接3£>,BE,点F是8。的中点，连接CF.

（1）当NeAB=45。时.

①如图1,当顶点。在边AC上时，请直接写出NEAB与NCBA的数量关系是.线段BE与线段CF

的数量关系是;

②如图2,当顶点。在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予

证明，若不成立，请说明理由；

学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：

思路一：作等腰AABC底边上的高CM,并取BE的中点N,再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；

思路二：取。E的中点G,连接AG,CG,并把；C4G绕点C逆时针旋转90。，再利用旋转性质、三角形全

等或相似有关知识来解快问题.

（2）当NCAB=30。时，如图3,当顶点。在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由.

B

E

图

1图2图3

【答案】（1）①NE48=NA8C,CF=-E;②仍然成立，证明见解析；（2）BE=26CF,理由见解

析.

【分析】（1）①如图1中，连接BE,设QE交AB了7.首先证明AD=AE8Z）=BE,再利用直角三角形斜

边中线的性质解决问题即可.②解法一：如图2-1中，取AB的中点M,BE的中点N,连接CM,MN.证

明簿MF冬,BMN（SΛS）,可得结论.解法二：如图2-2中，取OE的中点G,连接AG,CG,并把「CAG

绕点C逆时针旋转90。得到AC6T,连接DT,GT,BG.证明四边形8«GT是平行四边形，四边形。G87是

平行四边形，可得结论.

（2）结论：BE=2√3CF.如图3中，取AB的中点T,连接CT,FT.证明BAEjC7F,可得结论.

【详解】解：（1）①如图1中，连接BE,设。E交AB于T.

图1

VCA=CB,ZCAB=45o,

，/C4B=/A8C=45。，

.∙.NAC8=90。，

,.∙ZADE=ɪ∕AC8=45t5,Nf)AE=90。,

.∙.NACE=NAEO=45°,

：.AD=AE1

/DAE=90。，

.∙./EAB=NDAT=ZABC=45。，

.∖AT±DEtDT=ET1

・・・A8垂直平分DE,

・•・BD=BE1

o

VZBCD=90,DF=FB1

：.CF=BD,

.∖CF=^-BE.

2

故答案为：NEAB=NABC,CF=；BE.

②结论不变.

解法一：如图2-1中，取AB的中点M,BE的中点N,连接CM,MN.

图2-1

VZACB≈90o,CA=CB,AM=BM,

：.CMA.AB,CM=BM=AM,

由①得：AD=AE,

设Ao=4E=y.FA∕=x,DM=a,

点F是8£＞的中点，

贝IJDF=FB=a+x,

t

:AM=BMf

.*.y+a=tz+2x,

.∖y=2χf即4O=2FM,

'：AM=BM1EN=BN,

：.AE=2MN,MN//AEf

：.MN=FM,NBMN=NEAB=90。,

：.ZCMF=NBMN=90o,

CMFBMN(SAS),

：.CF=BNf

∖,BE=2BN,

：.CF=BE.

解法二：如图2-2中，取。E的中点G,连接AG,CG,并把^CAG绕点。逆时针旋转90。得到,连

接GT,BG.

9

：AD=AEiNEAO=90。，EG=DG,

：.AG±DEfNEAG=NDAG=45。，AG=DG=EGf

VZCAβ=45o,

ΛZC4G=90o,

：.ACl.AGf

C.AC//DE,

YNACB=NCB7=90。，

.∙.AC//BT,

：.AC//BT//DE,

・；AG=BT,

JDG=BT=EG,

・・・四边形BEGT是平行四边形，四边形及GBT是平行四边形,

・・・3。与GT互相平分，BE=GT,

Y点尸是3。的中点，

:・BD马GT交于点、F,

.*.GF=FT,

由旋转可得；CG=CT9ZGCT=90°,

，，GOT是等腰直角三角形，

ICF=FG=FT,

：.CF=BE.

(2)结论：BE=2y∕3CF.

理由：如图3中，取A5的中点r,连接CT,FT.

9ZCA=CB,

,NCAJB=NCB4=30。，ZACB=120°,

β

∖AT=TB9

：.CT±AB,

/.tan30°=-=—,

AT3

：.AT=√3CT,

,AB=26CT,

•：DF=FB,AT=TBt

：.TF//ADfAD=2FT,

o

ΛZFTB=ZCAB=30t

・：NCTB=NDAE=90°,

o

：.ZCTF=ZBAE=60f

YZADE=ɪNAa=60。，

Ap-

/.tan60°=——=√r3,

AD

：.AE=6AD=2KFT,

∙∙.丝=丝=2有

CTFT

：.aBAEs.CTF,

∙∙.跑=效=26

CFCT

，BE=2√3CF.

【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判

定和性质，相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等

三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

命题度限

知识点、相似三角形的性质

性质1相似三角形的对应边成比例,对应角相等。

相似三角形的周长比等于相似比。

AABCS则丝=空=里=欠

A'B,B,C,CA'

由比例性质可得：二孙8

,,

AlB∖BC÷CtAtJ4'B,÷5∙C∙+CtA1

性质2A1

AΛ,

类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。

相似三角形的面积比等于相似比的平方.

LABCSM!B,C,-贝IJ丝=变■=&L=左,分另U作出∆ABC与ΔA,B,C'的高

MffB,C,CA,,

性质3

S-BCAD-k-B'C'kAD'

和4£)'，则产仁=卡--------=-------------=k2

)△4叱-B,C,A:D,-B,C,∙A,D,

22

要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。

如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到:

相似多边形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。

性质4

要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。

【变式1］（2022•广东佛山•佛山市南海区石门实验学校校考三模）如图，在一ΛBC中，AB=4,AC=3,

8C=5∙将ABC沿着点A到点C的方向平移到一。EF的位置，图中阴影部分面积为4,则平移的距离为（）

A.3-√6B.√6C.3+√6D.2√6

【答案】A

【分析】根据勾股定理的逆定理求出ABC是直角三角形，求出&ABC的面积，根据平移的性质得出

AC=DF=3,J）EF的面积=AABC的面积=6,再根据面积比等于相似比的平方得出即可.

【详解】解：AB=4,AC=3,BC=5,

:.AB2+AC2=BC2,

,ABC是直角三角形，NA=90°,

将ABC沿着点A到点C的方向平移到JDEF的位置，

A

：..DHCs,DEF,

.•._£>£F的面积=ABC的面积=gx3x4=6,DFAC=3,

图中阴影部分面积为4,

DC√4

^DF-√6'

DC2

・c

解得：DC=√6.

即平移的距离是CF=AC-Z）C=3-#，

故选：A.

【点睛】本题考查了平移的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积和相似三角形的性质等知识点，能求

出l,DEF的面积是解此题的关键.

【变式2］（2022•黑龙江佳木斯•统考三模）如图，双曲线y="（x>0）经过RtQ4B斜边OB的中点。,

X

与直角边AB交于点C,过点。作OELQ4于点E,连接OC,若aOBC的面积是6,则k的值为（）

【答案】B

【分析】山题可得△OEDSAOAB,由反比例函数表达式可表示SAAOC=SAOOE=;/,由相似的性质可得

2

S4AOB=4S4DOE=2k,由S∆A（9B-S∆ΛOC=S∆OBC=6,即可求解；

【详解】解：；/?/△048中，NoA8=90°,

.∖DE∕∕AB,

∙/D为RtAOAB斜边08的中点。，

：.DE为Rt4OAB的中位线，

VDElOA,ZOAB=90°

：.ZOED=ZOAB

'：ZEOD=ZAOB

：.△OEDSAOAB,

.OD1

・・---=—.

OB2

•••双曲线的解析式是y=5χ>0）,

X

；.SAAoC=SADOE=-k,

2

：.SAAoB=4S4DOE=2k,由SAAOB-SAAOC=SAO8C=6,得2k-；k=6,解得七4,

故选：B.

【点睛】反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质，掌握相关知识并结合图象进行求解是解题的关键.

【变式3】（2023•上海松江•统考一模）已知一ABC,「是边BC上一点，jAB、的重心分别为G∣、

G,那么沙目的值为.

3.ASC

【答案】I2

【分析】由重心可知线段学=华=3,得到.AGQ2S∕EF,从而得出面积比，再利用中线的性质得到

AEAF3

最后的面积之比.

【详解】解：∙G，G2是AAPB,ZVLPC的重心，

.AG1AG22

*,^AE_7AF-3,

ZG1AG2=ZEAFf

,oo

..AG∣G2iAEF,

SAaG2_4

SAEF9

E,F分别是BPCP的中点,

jSAEP_IS°APF_1

SABP2Sapc2

RAEF=1

s枷一2'

【点睛】本题主要考查重心的性质以及线段比与面积的关系，熟练掌握重心的性质以及利用线段比求面积

比是解决本题的关键.

【变式4】（2022•广东深圳•校考模拟预测）如图，三角形AABC中，4B=5,BC=3,AC=4,点尸从A出

发沿AB运动到点B,作如图的Rt∆PQC,且NP=30。，Zβ=90o,点P运动过程中，8Q的最小值为.

【分析】过点C作CTLA8于点7,连接T。，过点8作