量子力学4.1 力学量随时间的演化课件

第4章力学量随时间的演化与对称性

经典力学中,处于一定状态下的体系的每一个力学量,作为时间的函数,在每一时刻都具有一个确定值.量子力学中,处于量子态下的体系,在每一时刻,不是所有力学量都具有确定值,一般说来,只具有确定的概率分布和平均值.先讨论力学量的平均值如何随时间改变.引言:

量子力学中力学量随时间演化的问题与经典力学有所不同.4.1.1守恒量力学量的平均值为所以

如不显含时间(以后如不特别声明,都是指这种力学量),即,则因此，若则即这种力学量在任何态之下的平均值都不随时间改变。进一步证明:

在任意态下的概率分布也不随时间改变.体系的任何一态均可用展开

考虑到,我们可以选择包括和在内的一组力学量完全集,其共同本征态记为(是一组完备的量子数的简记),即

在态下，在时刻测量得的概率为而

对于Hamilton量H不含时的量子体系,如果力学量A与H对易,则无论体系处于什么状态(定态或非定态),A的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变.总结所以,把A

称为量子体系的一个守恒量.量子力学和经典力学中守恒量概念的区别,其实质是不确定度关系的反映.（a）与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系将保持在该本征态。由于守恒量具有此特点，它的量子数称为好量子数.反之，若初始时刻体系并不处于守恒量A

的本征态，则以后的状态也不是A

的本征态，但A

的平均值和测值概率的分布不随时间变。（b）量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值.守恒量与定态的区别:

定态是体系的一种特殊的状态,即能量本征态,而守恒量则是体系的一种特殊的力学量,它与体系的Hamilton量对易.在定态下,一切力学量(不显含t，但不管是否守恒量)的平均值和测值概率分布都不随时间改变.而守恒量则在一切状态下(不管是否定态)的平均值和概率分布都不随时间改变.

守恒量在能量本征值问题中的应用，要害是涉及能级简并，其中包括:(a)能级是否简并？（b）在能级简并的情况下，如何标记各简并态？引入4.1.2能量简并与守恒量的关系

定理

设体系有两个彼此不对易的守恒量和,即,但,则体系能级一般是简并的.

推论

如果体系有一个守恒量，而体系的某条能级不简并（即对应于某能量本征值，只有一个本征态），则必为的本征态.例如

一维谐振子势中的粒子的能级是不简并的,而空间反射为守恒量,所以能量本征态必为的本征态,即有确定宇称.

在一般情况下,当能级出现简并时,可以根据对体系对称性的分析,找出其守恒量.

然后要求能量本征态同时又包含H在内的对易守恒量完全集的共同本征态,就可把能级的各简并态标记清楚.位力(virial)定理

当体系处于定态下，关于平均值随时间的变化，有一个有用的定理，即位力（virial）定理.

设粒子处于势场中，Hamilton量为

考虑的平均值随时间的变化.按式，有对于定态，，所以即式中是粒子动能，上式即位力定理.

设质量为的粒子在势场中运动，用波包

描述.设粒子的Hamilton量为下面讨论波包的运动与经典粒子运动的关系.

显然，必为非定态，因为处于定态的粒子在空间的概率密度是不随时间变化的.

与经典粒子轨道运动相对应的量子态必为非定态.4.2波包的运动,Ehrenfest定理

按4.1节式,粒子坐标和动量的平均值随时间变化如下:它们与经典粒子运动满足的正则方程相似.式代入式，得上式即谓Ehrenfest定理.其形式也与经典Newton方程相似.那么,在什么条件下可以做这种近似呢?

但是,只当可以近似代之为时,波包中心的运动规律才与经典粒子相同.

为研究这个条件,我们来看一维波包的运动.

试在波包中心附近对作Taylor展开，令所以,(利用)可见，只当时，才可近似代之为

此时,式才与经典Newton方程形式上完全相同.由此可以看出：要求式在整个运动过程中成立，就要满足以下条件.(b)在空间变化较缓慢（在波包范围中变化很小）.(a)波包很窄，而且在运动过程中扩散不厉害.从式（7）还可以看出,如果显然所以对于线性势或谐振子势，条件（7）是满足的.在这一类势场中的窄波包中心的运动，就与经典粒子很相似.

随时间的演化遵守Schrödinger方程由此得到

迄今，我们把力学量（不显含）的平均值及其测值的概率分布随时间的演化，完全归之于波函数随时间的演化，而刻画力学量的算符本身是不随时间变化的，即*4.3Schrödinger图像与Heisenberg图像

这种描述方式称为Schrödinger图像(picture),亦称Schrödinger表象(representation).但波函数和算符本身都不是可以观测的.实际观测的是各种力学量的平均值或测值的概率分布.它们随时间的变化，还可以用其他的方式来表达,Heisenberg图像就是其中的一种.按方程，的解可以形式上表为

称为时间演化算符.式代入式，得

由于是任意的，所以

可视为把时刻的状态与初态联系起来的一个连续变换。如.不难证明利用初条件,方程的解可表示为（设不含时）

把式代入式

,得式中

按式，随时间的变化，可以完全由算符来承担，而态矢保持为，不随时间变化.这种图像成为Heisenberg图像.

算符随时间变化的规律可如下求出.按式，并利用式及其共轭式，有利用的幺正性，并注意,得所以

式称为Heisenberg方程，它描述算符随时间的变化.

在Schrödinger图像中，态矢随时间演化，遵守Schrödinger方程,而算符则不随时间变化，因此力学量完全集的共同本征态（作为一个表象的完备基）也不随时间变化，因而任何一个力学量（不显含t）在这组基矢之间的矩阵元也不随时间变化.但态矢在这些基矢方向的投影是随时间变化的.总结

与此相反,在Heisenberg图像中,则让体系的态矢本身不随时间变化

,而算符却随时间变化,遵守Heisenberg方程.因此,力学量完全集的共同本征态(作为表象的一组完备基)是随时间变化的.任何一个力学量在这一组基矢之间的矩阵元一般也是随时间变化的.

在经典力学中,借助守恒量,可以使运动方程的求解大为简化.前言经典力学中的守恒量与对称性：（1）空间平移不变性动量守恒.（2）空间转动不变性角动量守恒.（3）时间平移不变性能量守恒.4.4

守恒量与对称性的关系

与经典力学相比,量子力学关于对称性的研究,大大丰富了对体系的认识.考虑某种线性变换Q（存在逆变换

Q-1,不依赖于时间）

设体系的状态用描述.的演化遵守Schrödinger方程量子力学中的守恒量与对称性

体系对于变换的不变性表现为与遵守相同形式的运动方程，即要求也遵守Schrödinger方程.与方程比较，要求，或表示成这就是体系在变换Q下的不变性的数学表达.用Q-1

运算，得

凡满足式(4)的变换,称为体系的对称性变换.物理学中的体系的对称性变换，总构成一个群，称为体系的对称性群（symmetrygroup）.则应为幺正算符，即考虑到概率守恒，要求对于连续变换,可以考虑无穷小变换,令是刻画无穷小变换的实参量.并要求

在上式中,F

为厄米算符,称为变换Q

的无穷小算符

(infinitesimaloperator).

按式(4)

要求,体系在Q

变换下的不变性,

即应用到无穷小变换,就导致F

就是体系的一个守恒量.可以用F

来定义与Q

变换相联系的一个可观测量.平移不变性与动量守恒显然即

考虑体系沿x方向的无穷小平移，描述体系状态的波函数，变化如下：在上式中，把换为，则有所以体系平移的算符可表示为式中就是相应的无穷小算符,也就是动量算符的x分量.

对于三维空间的无穷小平移则

式中即动量算符.此即动量守恒的条件.设体系对于平移具有不变性，应用到无穷小平移,则有空间旋转不变性与角动量守恒三维空间中绕某方向（单位矢）的无穷小旋转在此变换下，标量波函数变化如下：即所以无穷小旋转的变换表示为式中即角动量算符此即角动量守恒的条件.如体系具有空间旋转不变性,对于无穷小旋转,则导致

自然界中存在各种不同种类的粒子，例如电子，质子，中子，光子，π介子等。同一类粒子具有完全相同的内禀属性，包括静质量，电荷,自旋，磁矩，寿命等.

粒子全同性概念与粒子态的量子化有本质的联系，如果没有态的量子化，就谈不上全同性.

在量子力学中，把属于同一类的粒子称为全同（identical）粒子.4.5.1全同粒子的交换对称性全同粒子组成的多体系的基本特征是：任何可观测量，特别是Hamilton量，对于任何两个粒子交换是不变的，即交换对称性.例如氦原子中两个电子组成的体系,Hamilton量为

当两个电子交换时，显然不变，即是两个电子交换的算符,亦即

对于全同粒子多体系,任何两个粒子交换一下,其量子态是不变的,即要求该体系的波函数对于粒子交换具有一定的对称性.

那么,在忽略粒子相互作用的情况下,如何去构造具有完全交换对称性或反对性的波函数?

接下来我们将对这问题做一般的讨论.考虑N个全同粒子组成的多体系的情况.

对于有个全同粒子组成的多体系，其量子态用波函数描述,表示每一个粒子的全部坐标

(例如包括空间坐标与自旋坐标).表示第粒子与第粒子的全部坐标的交换，即

由于所有粒子的内禀属性完全相同，和这两种情况是无法分辨的。所以只能认为它们描述的是同一个量子态，因此它们最多可以相差一个常数因子,即用再运算一次，得显然，所以，因而代入式（2），可看出，有（而且只有）两个本征值，即.即全同粒子系的波函数必须满足下列关系之一

注意，对于全同粒子系式中.凡满足的，称为对称波函数；满足的,称为反对称波函数.所有

都是守恒量.

所以，全同粒子体系的交换对称性给了波函数很强的限制，即要求它们对于任意两个粒子交换，或者对称，或者反对称.实验表明

凡自旋为的整数倍的粒子，波函数对于两粒子交换总是对称的，称为Bose子.例如π介子，光子.

凡自旋为的半奇数倍的粒子，波函数对于两粒子交换总是反对称的，称为Fermi子.例如电子，质子，中子等.

对于给定的一类全同粒子,其多粒子体系的波函数的交换对称性是完全确定的,而且与粒子的自旋有确定的关系.

设有两个全同粒子(忽略它们的相互作用)，Hamilton量表示为4.5.2两个全同粒子组成的体系

表示单粒子的Hamilton

量.与形式上完全相同，只不过互换而已.显然，设的本征方程为

这种与交换相联系的简并,称为交换简并.但这两个波函数还不一定具有交换对称性.在上式中，为单粒子能量,为相应的归一化单粒子波函数,代表一组完备的量子数.设两个粒子中有一个处于态,另一个处于态,则与对应的能量都是

对于Bose子，要求波函数对于交换是对称的.这里要分两种情况：

是归一化因子（b),归一化波函数为

（a），归一化的对称波函数可如下构成

对于Fermi子，要求波函数对于交换是反对称的.归一化的波函数可如下构成著名的Pauli不相容原理：

不允许有两个全同的Fermi子处于同一单粒子态（这里k代表足以描述Fermi子量子态的一组完备的量子数，特别要注意：对于有自旋的粒子，必须包含描述自旋态的量子数）.

在上式中,若，则，即这样的状态是不存在的.

先考虑三个无相互作用全同Fermi子组成的体系.

设三个粒子处于三个不同的单粒子态,