2023-2024学年北京西城区八中高三（上）期中数学试题及答案

北京八中2023-2024学年度第一学期期中练习题2023-2024学年度第一学期期中练习题年级：高三科目：数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40已知集合A{xN|x与集合B{x|x(xAB)A．．C．[2,D．(2,2i1zA．1的虚部为()．1．iD．i下列函数中最小值为4的是()44yx22x4y|sinx|y2x2x2yx|sinx|x在空间中，若a,b,c是三条直线，,是两个平面，下列判断正确的是(Aa的方向向量与的法向量垂直，则a//；Ba//，a；)C．若，c，aca；D,相交但不垂直，c，则在内一定存在直线，满足.lclx0”是“x+sinx0”(充分不必要条件)必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件已知向量a，b|a|5，|b6ab6，a,ab()17351935A．B．C．D．第页，共页北京八中2023-2024学年度第一学期期中练习题7.如图，点O为坐标原点，点.若函数yax(a0且a1)及yb（b0且b1OA分别交于点MNM，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a,b满足()ab1ba1ba1ab1π1在B=，BC边上的高等于BC,则A=()433101031010A．-D.-9.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a,b,c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.则哪种方案能通过考试的概率更大()A．方案一．方案二．相等D．无法比较10.ABCDABCD的棱长为1E,F分别是棱AD,BC上111111D1C1FB1AEx,BFy.DD与平面xyA1．11值范围是()D13B.[,]223CEA.C.2][,2]2AB二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25已知直线l:(a2)y10，l:xay20.若ll，则实数a=.1212n1n1012.等差数列a项和为Sn，33，S4____________．nSkk113.函数ysinx3x的图像可由函数ysinx3x的图像至少向右平移________个单位长度得到.14.已知直线l:ym30与圆x2y交于,B两点，过,B分别做l的垂线与2x轴交于C,D两点，若|AB23|CD|______.第页，共页北京八中2023-2024学年度第一学期期中练习题15.对于函数yf(x)xxf(x)1f(x)具有性质0001）下列函数中具有性质P.①f(x)2x22②f(x)sinx(x2④f(x)ln(x1③f(x)x，(xx2）若函数f(x)ax具有性质P，则实数a的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共8516.(本小题满分13)1f(x)sinxxsin2x.已知函数2Ⅰf(x)的单调递增区间；Ⅱ△,a,b,c,B,C的对边，且满足b2AbAaB，且0A，求角A的值，进而再求f(B)的取值范围.217.（本小题满分14随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，按照20),[20,30),[30,40),[40,50),[分组，并整理得到如下频率分布直方图：频率/组距频率/组距0.0350.0300.0250.0200.0300.0250.0200.0150.0100.0050.0150.0100.005O102030405060分钟/天O102030405060分钟/天图1：甲大学图2：乙大学第页，共页北京八中2023-2024学年度第一学期期中练习题根据学生每天学习“中华诗词“中华诗词的喜好程度分为三个等级:学习时间tt2020t50t50分钟/天)Ⅰ）从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；Ⅱ痴迷”的同学中随机选出2为选出的两人中甲大学的人数，求的分布列和数学期望E；Ⅲ“中华诗词”时间的平均值XX乙S2甲与与甲S2乙的大小．只需写出结论)18.（本小题满分14羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图五面体，四边形与四边形∥AD∥，4，2，M为AD中点，平面与平面交于.再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得羡除能够确定，然后解答下列各题：Ⅰ）求证：；Ⅱ）求二面角BAEF的余弦值.Ⅲ上是否存在点QMQ与平面所成的角的7正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.7条件①：平面；条件②：平面；条件③：23.第页，共页北京八中2023-2024学年度第一学期期中练习题19.（本小题满分15x22y22已知椭圆W:1(ab的焦距为4，短轴长为，O为坐标原点．abⅠ）求椭圆W的方程；Ⅱ,,C是椭圆W上的三个点，判断四边形能否为矩形？并说明理由．20.（本小题满分151已知函数f(x)e2x1(ax2x)．2Ⅰ）求曲线yf(x)f(0))处的切线的方程；Ⅱ）若函数f(x)在x0处取得极大值，求a的取值范围；Ⅲ）若函数f(x)存在最小值，直接写出a的取值范围．21.（本小题满分14aa,a,a,a,a,6}，A0设数阵aaSe,e,,e},eee,lN*l定义变换为“对于数列设其中12l12lkkk，则将这一行中每个数都乘以-1，若其中没有且没有，则这一kk的每一行，若其中有行中所有数均保持不变”，或(ke,e,,e(A)A0经过A变换得到，再将经过1A表示“将12ls0e11经过A2Al1AlAl变换得到，以此类推，最后将变换得到”，记数阵中四个数的和为2lT(A).0s120A经过A变换后得到的数阵；1ⅠⅡ，写出0215130S求T(A)的值；0，s36AT(A)的所有可能取值的和不超过4.Ⅲ）对任意确定的一个矩阵，证明：0s0第页，共页北京八中2023-2024学年度第一学期期中练习题答案2023-2024学年度第一学期期中练习题答案年级：高三科目：数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40BBCDC二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共252nn1-3或012.13.14.4315.①②④；(,])三、解答题（本大题共6小题，共8516.（本小题共13Ⅰ）由题知f(x)sin2x2x)111222112=sin2xcos2x=sin(2x).2224由2k2x2k（k242kxk.88f(x)单调递增区间为[k,k]（k.……………6分88Ⅱ）依题意，由正弦定理，B2ABAAB.因为在三角形中B0，所以2AAA.即(cosAsinA)(cosAsinA0当AAA；4第页，共页北京八中2023-2024学年度第一学期期中练习题答案当AA1A.0A，所以A.22433则BC.则0B.又2B，4444421sin(2B)1由f(B)sin(2B)，42422，则f(B)的取值范围是.………………13分2217.（本小题满分14）由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好中华诗词的频率为0.015)，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好中华诗词的概率为0.65.Ⅱ）甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.005102乙大学随机选取的40名学生中“痴迷的学生有400.015106所以，随机变量的取值为2.………3分C02C26，所以，PC28C12C163PP，C287C22C061.C28的分布列为012371P3112的数学期望为E)012.分7Ⅲ）XX;s乙2甲s2乙……………13分甲第页，共页北京八中2023-2024学年度第一学期期中练习题答案18.（本小题满分14Ⅰ等腰梯形M是AD平行四边形BMCD平面CDECD平面CDEBM∥CDE.Ⅱ）选②和选③，过程仅在建系之前有区别.选②：取中点为N，中点为P，连接MP和平面ABCD，如图建系选③：取Q，连接和233CQ3二面角EC2取中点为N，中点为P，连接MP和ABCD平面，如图建系B(3,C(0)DEFM(3,0)设平面的一个法向量n(,y,z)n03xy0令xy3，z3，则n(3,3n03y3z0m(是平面的一个法向量,nmn7经检验，BF为钝角，|m||n|77所以二面角BF的余弦值为7Ⅲ,，3,3)，33)|n|715|,n|均不满足题意，故不存在点Q.|||n|73第页，共页北京八中2023-2024学年度第一学期期中练习题答案19.（本小题满分15x2y1.2）由题意，椭圆W的方程为5Ⅱ:ym,(x,y),C(x,y),AC中点M(x,y),B(x,y)，1122003322x5y5k2)x210kmxm50，2ykxm)xx25k2m20，510kmm1k2,xx.(1)1221221k由条件xxyy0，1212即xx(kxm)(kxm)0，1212整理得k2)xxkm(xx)m0，212122)(5m2km(10km)m2k)02将(1)式代入得k52k2即又m(2)1x2km1kmx0,ykxm20021k2且M同时也是的中点,x2x,y2y3030B在椭圆上,x235325，km1km1k40220y025，4()2)225，即2m2k221(3)7由(2)(3)mk2，5第页，共页北京八中2023-2024学年度第一学期期中练习题答案验证知)25k2m0，2所以四边形OABC可以为矩形.20.（本小题满分151211）f(0)e1，切点为(0,)，2e2e2x122(ax]2x(axa2x1f(0)0，，又f(x)e[2ax1切线方程为y0.2eⅡ）定义域为R，f(x)2x(axa2x11当a0f(x)2e2x1f(x)0得x0，f(x)增区间为(,0)；0，)；令f(x)0得xf(x)增区间为(0,f(x)在x0取极大值，合题意.1a时，由f(x)2x(axa2x10可得xx00，2当a12ax1a1a1a0(,)(,0))aaa00f(x)减极小值增极大值减f(x)f(x)在处取得极大值，合题意.x0a01a3当a0时，由f(x)2x(axa2x10可得12a1a0即a1f(x)，f(x)变化情况如下表：(i)当ax1a1a1a0(,)(,0))aaa00f(x)增极大值减极小值增f(x)f(x)在x0处取得极小值，不合题意.1a0即a1时,f(x)0在R上恒成立，f(x)R在上增，无极大值点.当a第页，共页北京八中2023-2024学年度第一学期期中练习题答案1a0即0a1f(x)，f(x)变化情况如下表：(iii)当ax1a1a1a0(,0),))(aaa00f(x)增极大值减极小值增f(x)f(x)在处取得极大值，合题意.a1x00综上可得：a的取值范围是(1Ⅲ）]221.（本小题满分14-ö12ç÷）经过2A=ç÷÷ç÷115øæö-ö1313ç÷ç÷A=ç÷jA=ç÷j3（）÷变换得到÷变换得到÷ç÷ç0113ø36øæö13ç÷A=ç÷T(A)=1+3++（-6)=-5÷，÷ç3-S03ø（）因为集合S共有含空集在内的子集64个，令j(A)=A,对于第一行a和a12f0011①若a=a，则含a的子集有32个，这32个A中第一行为a