数列知识点总结

数列根底知识点总结及训练——主讲人：品学学校刁老师A、1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：假设数列称等差数列；2°.通项公式：3°.前n项和公式：公式：②等比数列：1°.定义假设数列〔常数〕，那么称等比数列；2°.通项公式：3°.前n项和公式：当q=1时2．简单性质：①首尾项性质：设数列1°.假设是等差数列，那么2°.假设是等比数列，那么②中项及性质：1°.设a，A，b成等差数列，那么A称a、b的等差中项，且2°.设a,G,b成等比数列，那么G称a、b的等比中项，且③设p、q、r、s为正整数，且1°.假设是等差数列，那么2°.假设是等比数列，那么④顺次n项和性质：1°.假设是公差为d的等差数列，组成公差为n2d的等差数列；2°.假设是公差为q的等比数列，组成公差为qn的等比数列.〔注意：当q=－1，n为偶数时这个结论不成立〕⑤假设是等比数列，那么顺次n项的乘积：组成公比这的等比数列.⑥假设是公差为d的等差数列,1°.假设n为奇数，那么而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和〕；2°.假设n为偶数，那么〔二〕学习要点：1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用根本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m〔或a-m,a,a+m〕”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为“”④四数成等比数列，可设四数为“”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.[例1]解答下述问题：〔Ⅰ〕成等差数列，求证：〔1〕成等差数列；〔2〕成等比数列.[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，①②①②[评析]判断〔或证明〕一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.①②①②〔Ⅱ〕等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为，求项数n.[解析]设公比为〔Ⅲ〕等差数列{an}中，公差d≠0，在此数列中依次取出局部项组成的数列：求数列[解析]①，②①②①，②①②[评析]例2是一组等差、等比数列的根本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的根本功.[例3]解答下述问题：〔Ⅰ〕三数成等比数列，假设将第三项减去32，那么成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为a－d,a,a+d，那么有〔Ⅱ〕有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.[解析]设此四数为,解得所求四数为47，57，67，77[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求假设干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.B、由递推公式求通项公式的方法一、型数列，〔其中不是常值函数)此类数列解决的方法是累加法，具体做法是将通项变形为，从而就有将上述个式子累加，变成，进而求解。例1.在数列中,解：依题意有逐项累加有，从而。注：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.变式练习：满足,,求的通项公式。二、型数列，〔其中不是常值函数)此类数列解决的方法是累积法，具体做法是将通项变形为，从而就有将上述个式子累乘，变成，进而求解。例2.数列中，求的通项公式。解：当时，将这个式子累乘，得到，从而，当时，，所以。注：在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.变式练习：在数列中,>0,,求.提示：依题意分解因式可得，而>0,所以，即。三、型数列此类数列解决的方法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的方法有两种，一是待定系数法构造，设，展开整理，比拟系数有，所以，所以是等比数列，公比为，首项为。二是用作差法直接构造，,，两式相减有，所以是公比为的等比数列。例3.在数列中，，当时，有，求的通项公式。解法1：设，即有比照，得，于是得，即所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列那么。解法2：由递推式，得，上述两式相减，得，即因此，数列是以为首项，以3为公比的等比数列。所以，即，所以。变式练习：数列满足求数列的通项公式.注：根据题设特征恰当地构造辅助数列,利用根本数列可简捷地求出通项公式.四、型数列〔p为常数〕此类数列可变形为，那么可用累加法求出，由此求得.例4数列满足,求.解:将递推式两边同除以得,设,故有，,从而.注：通过变形,构造辅助数列,转化为根本数列的问题,是我们求解陌生的递推关系式的常用方法.假设为的一次函数,那么加上关于的一次函数构成一个等比数列;假设为的二次函数,那么加上关于的二次函数构成一个等比数列.这时我们用待定系数法来求解.例5．数列满足解:作,那么,代入递推式中得:.令这时且显然,,所以.注：通过引入一些待定系数来转化命题结构,经过变形和比拟,把问题转化成根本数列,从而使问题得以解决.变式练习：〔1〕满足，求。〔2〕数列，表示其前项和，假设满足，求数列的通项公式。提示：〔2〕中利用，把条件转化成递推式。五、型数列〔为非零常数〕这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为型数列。例6．数列满足,求.解:两边取倒数得:,所以，故有。变式练习：数列中，，求的通项。六、型数列〔为常数〕这种类型的做法是用待定糸数法设构造等比数列。例7．数列中，且，求.C、求数列前项和公式法:利用以下常用求和公式求和是数列求和的最根本最重要的方法。(1)等差：;等比：;(2);例1.求和()分组法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。例2.求数列的前n项和错位相减法：〔考试重点〕主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差和等比.求和时一般在和式的两边都乘以等比数列的公比q；然后再将得到的式子和原式相减，转化为同倍数的等比数列求和。考前须知：1.公比是未知数要讨论当公比x=1时的