2023年高考数学全真模拟试卷2（新高考专用）（解析版）

2023年高考数学全真模拟试卷02（新高考专

用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自

己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第I【卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求.

1.（2023秋•天津滨海新•高三大港一中校考阶段练习）已知集合4=1€必/-2“431

x

B=<xeR<0,贝|JAC（4B）=（）

x—2

A.{3}B.{0,3}C.{2,3}D.{0,2,3}

【答案】C

【解析】A={xeN|x2-2x<3}={xeN|-l<x<3}={0.1,2,3},

由三40,得解得04x<2,所以3=（xeR-^40|=[O,2）,

x-2[x-2#0[x-2]L

所以d3=（To,0）52,一），所以Ac低3）={2,3}.故选：C.

2.（2023•湖南邵阳•统考一模）已知复数z满足（2z+3）i=3z,则口（）

A69.69.69.69.

A.-------1B.-----1---1C.——1D.---1---1

1313131313131313

【答案】A

【解析】因为（2z+3）i=3z,2zi+3i=3z,（3—2i）z=3i,

3i3i（3+2i）-6+9i69.69

7-3-2i（3-2i）（3+2i）131313所以z=irm.故选：'

3.（2022秋・安徽六安•高三校联考期末）已知中，。为3c的中点，且,。=4,

\AB+AC\=\AB-AC\,ZACB=^,则向量40在向量48上的投影向量为（）

A.-ABB.-ABC.-ABD.AB

432

【答案】c

【解析】k8+Aq=|AB-AC|,.-.2|AO|=|CB|,:.ZBAC=^,

又忸c|=4,zACB=e，.•JAB]=2,|AO|=2,

IT

.1/MB为等边三角形，

.•.40在48上的投影向量为,0卜。$/。4丛尚=2、1乂3/18=；48.故选：C.

4.（2023•广西柳州•二模）已知函数y="r）的部分图象如图所示，则下列可能是f。）的解

析式的是（）

B.f(x)=x-cosxC.〃幻=理

x

D.〃幻=4

COSX

【答案】B

【解析】A./（0）=1>0,故错误；

B.因为/（0）=—1<0,且/'（x）=l+sinx2（）,则〃x）在R上递增，故正确;

Cj（x）的定义域为｛x|xrO｝关于原点对称，乂

〃_x）=』h咏—

-X-X

则/（X）是奇函数，图象关于原点对称，故错误；

D.〃x）的定义域为｛X|XKE+去kez）关于原点对称，

又〃一月=；^二广37=-〃切，则/（x）是奇函数，图象关于原点对称，故

CU51AIvOo人

错误；故选：B.

5.（2023秋•湖北•高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）已知sin[a+=]-cosa=:，则

)

1C.-33

B.D.

244

【答案】A

【解析】'/sin[a+—l-coscr=--sina——cosa=sin)a--|=-,

\6J22v6J2

2兀[「J兀1兀、c.J兀、，1,,

/.cos2a+—=cos2a——|+乃=-cos2a——=2sin-a——-1=——,故

I3JLIJI6)I6；2

选：A.

6.(2022秋•宁夏吴忠•高三青铜峡市高级中学校考期末)在等比数列｛4｝中，公比4>0,S.

是数列｛《,｝的前〃项和，若6=2,%+/=12,则下列结论正确的是（）

A.<7=3B.数列6+2｝是等比数列

C.$5=64D.数列｛1g%｝是公差为2的等差数列

【答案】B

【解析】由q=2，的+2=12,得4（夕+力=2（夕+/）=12,

即―+q_6=（q+3）（q—2）=0,解得q=2或q=-3,

由4>0,得4=2,故A错误；

所以等比数列｛为｝的通项公式为％=2x2"T=2",

所以等比数列｛%｝的前〃项和为s“=《OF)=2n+l-2,即S“+2=2,,+,,

i-q

所以尊-k=2，

所以数列｛S„+2卜是公比为2等比数列，故B正确；

因为S“=2川—2,所以S$=25"-2=26-2=6所故C错误;

因为a„=2",所以Iga同一1ga„=Ig2n+1-lg2n=lg—=lg2,

所以数列｛Iga,,｝是公差为lg2的等差数列，故D错误.故选：B.

7.（2023•湖南永州•统考二模）如图，耳,鸟为双曲线的左右焦点，过心的直线交双曲线于

8,。两点，且玲。=3g8,E为线段。片的中点，若对于线段。"上的任意点P,都有

PF「PBWEF「EB成立,则双曲线的离心率是（）

【答案】D

【解析】取耳B中点Q,连接PQ,EQ,OQ,

2

.•"===5,则离心率6=石.故选：D.

a"

—ill3

8.(2023秋•江苏南通•高三统考期末)设〃=—e3b=~,c=2\n-,则()

1092

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<a<c

【答案】D

【解析】由题知，记/(x)=e*—x—1,x>0,所以/'(x)=e*—120,所以

/(x)>/(0)=0,

所以e、>x+l，在x>0时成立，所以即即“>人，

9109

记g(x)=x-l—Inx,尤>0,所以=

所以在(0,1)上,g'(x)<0,g(x)单调递减，在(1,+QO)上,gz(x)>0,g(x)单调

递增，

所以g(x)Ng⑴=0,所以InxWx—1,则ln3L,即InxN」,即

XXx

c=2ln1>|>Z?=^-,即有c>b,因为所以"=<2<,,

239e<e<21053

综上：匕<a<c.故选:D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共2（）分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.（2023秋・湖北•高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）新冠肺炎疫情防控期间，进出

小区、超市、学校等场所，我们都需要先进行体温检测.某学校体温检测员对一周内甲，乙

两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（）

A.乙同学体温的极差为0.2C

B.甲同学体温的第三四分俅数为365c

C.甲同学的体温比乙同学的体温稳定

D.乙同学体温的众数，中位数，平均数都相等

【答案】ABD

【解析】对A：乙同学体温的最大值为365C,最小值为363C,故极差为0.2℃,A正

确；

对B：甲同学体温按从小到大的顺序排列为：36.2℃,36.2℃,364C,364C,

36.5℃,

36.5℃,36.6℃,又7x75%=5.25,

故中同学体温的第三四分位数为上述排列中的第6个数据，即365C,B正确；

对C：乙同学体温按从小到大的顺序排列为：36.3℃,36.3℃,36.4℃,36.4℃,

36.4℃,365C,

故乙同学体温的平均数为：

；(36.3+36.3+36.4+36.4+36.4+36.5+36.5)=36.4℃,

故乙同学体温的方差

S；=；[(36.3-36.4)2+(36.3-36.4)2+(36.5-36.4)2+(36.5-36.4)?]=/限

又甲同学体温的平均数为：

；(36.2+36.2+36.4+36.4+36.5+36.5+36.6)=36.4℃,

故甲同学体温的方差

S：=1[(36.2-36.4)2+(36.2-36.4)2+(36.5-36.4)2+(36.5-36.4)2+(36.6-36.4)2]=^

又故乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C错误：

对D：乙同学体温的众数，中位数，平均数均为364C,故D正确.故选：ABD.

10.(2022秋•福建福州•高三校联考期中)如图，在长方体ABCQ-ABGR中,

AD=2AB=2AA,=4,分别是棱AC,8°,BC的中点，点?在侧面4内，且

BP=xBE+yBF(x,yeR),贝ij()

A.4尸的最小值是0

B.A^HIBP

C.三棱锥P-ABE的体积是定值

D.三棱锥P-明尸的外接球表面积的取值范围是[12兀,44兀]

【答案】BCD

【解析】如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，

则4(4,0,0),3(4,2,0),E(2,0,0),尸(2,2,2),H(2,2,0),4(4,0,2),〃(0,0,2),

设尸(a,0,0)(04a44,0Vb42),

则3P=(a—4,—2力),BE=(-2,-2,0),BF=(-2,0,2),

a-4=-2x-2yx=1

因为BP=xBE+(x,yeR)所以一2=-2x得a=2-2y,所以

b=2yb=2y

a=2-h,

0<2-/?<4

则，得0<bW2,

0<b<2

C；P=(a,0,b-2)=(a,0,-a),PE=(2-a,0,-^)=(2-a,0,a-2),

当a=2时，PE=0，则口尸〃PE,

当aw2时，则=则DR/PE,

2-a1

综上，DtP//PE,所以三点共线，即点P的轨迹即为线段ED],

对于A,AP=^a-^2+h2=yj2h2+h2+4>2,即AP的最小值是2,故A错

误;

对于B,AiH=(-2,2-2),BP=(a-4,-2,b),

贝ijA8-3P=-2“+8—4-26=—2(2—4)+4-»=0,所以故B正确;

对于C,BF=20，则S的=；x2x2a=2忘为定值，

由点尸的轨迹即为线段EL>],且£；.=(—2,0,2),BF=(—2,0,2)=E〃，所以

BF//ED,,

乂BFu平面AB尸，EQu平面AB尸，所以E5，平面ABF,

所以点P到平面AB尸的距离为定值，即三棱锥尸-A5F的高为定值，

所以三棱锥尸-A3尸的体积是定值，故C正确；

对于D,设防的中点为M,则在Rt38/中，Rt外接圆的圆心即为点

M,

则三棱锥P-BgF的外接球的球心在过点/且垂直于平面BB/的直线上，

设球心为。，0（3,加,1）,则OP=O3,即

2222

^（l+Z?）+w+（l-&）=5/1+（W-2）+1,

所以〃?=则。82=1+（，*-2）2+1=1/+〃+3,

24

因为04642,所以OB?且3,11］,

即三棱锥P-网F的外接球的半径Re［后而］,

所以三棱锥P-BBE的外接球表面积的取值范围是n2私44可，故D正确.故选：

BCD.

11.（2023.安徽•模拟预测）已知。为坐标原点，点A（l,l）在抛物线C:V=2p），（p>0）上,

过点8（0,-1）的直线交C于P,Q两点，则（）

A.C的准线为y=-lB.直线A8与C相切

C.\OP\-\OQ^\OA^D.\BP\-\BQ\>\BA^

【答案】BCD

【解析】A.由题意可知，1=20,所以抛物线方程是d=y,准线方程是y=-J,故A错

4

误；

B.EB=Hd）=2,直线A8：y+l=2x,即y=2x-l,与抛物线方程联立，

X2=2X-1=>X2-2X+1=0.其中A=0，所以直线AB与C相切，故B正确；

c.设过B的直线为/,若直线/与y轴重合，则直线/与抛物线c只有一个交点，

所以,直线/的斜率存在,设其方程为y=尸（不其）,。（孙必），

,|A=%2-4>0

fy=kx—\

联立,，得V-依+1=0,所以｛xt+x2=k,所以A>2或左<一2,

yxxx2=i

=（中2）2=1，

又|OP|=,|OQ|=£=私+―，

所以IOPI-IOQ|=也％（1+%）（1+%）=Mx的=1%|>2=|OA『，故C正确；

2

D.因为|81|=Jl+公|xj,\BQ\=yJ\+k|x2|.

所以18Pl•|8。|=（1+廿）|七々|=1+%2>5,而|BA『=5,故D正确.故选:BCD

12.（2022秋•辽宁•高三东北育才学校校考阶段练习）定义在（0,+8）上的函数/（x）的导函

数为广（X），且:（力>/尹.则对任意々，£€（0,+8）,其中玉*天，则下列不等式中一

定成立的是（）

A./（9）<"1）9B.切（々+扑皇”2）

yY

c.，&+4）＞〃3）+/（々）D.+亍fa）+:〃X2）

X\X2

【答案】BCD

【解析】由题意可设g（x）=4»,则g，（x）="y（x）,

x＞0,.•.矿（x）—/（x）＞0,

g'（x）＞0在（0,+8）上恒成立，所以g（X）在（0,+8）上单调递增，

对A：由于9＞1,所以g（e"）＞g⑴，即/（叫＞型,所以/（9）＞〃1）炉，

eV|1

故A不正确；

对B：由于々+,*2,当且仅当尤2=1时取等号，所以g[x2+']zg（2）,

即I24丝1,所以VK+，h三：〃2），故B正确；

%2+±2（xj2

2X2

对C：由g（X1+w）＞g（xJ得："再+々）＞小山即：

玉+x2X]

同理：黄丁丁（芭+々）＞/（々），两式相加得：，（%+々）＞，（玉）+/（々），故C

正确；

对D："xj-三/（占卜^2^〃%）,—

X]X[*^2X[

两式相减得：〃X|）-2/（%）-五/（々）+〃七）=五二三八xj-匕二上/（々）

=（…）[竽-等卜。，

所以/（%）一上/（内）一立/（入2）+/（工2）＞。，即

X\X2

/（x,）+/（x2）＞^-/（xl）+^-/（x,）,故D正确.

X[x2

故选：BCD.

第II卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.（2023秋•天津•高三大港一中校考）若

3丁+X”=61。+4[（X+1）+?（X+1）~+，，•+q[（X+1）+《2（X+1）9则为+1+。12="

【答案】-7

【解析】令X=-1，则&=4；等式右边声系数为%,结合等式左边得生=1；

等式右边“系数为%+c；2,比较等式左边可得知+C；2=0=%=-12.

故%+%+%=-7.

14.（2023・全国•模拟预测）已知圆0：/+丁=1与直线，：x=-\,写出一个半径为1,且

与圆。及直线都相切的圆的方程：.

【答案】V+（y-2）2=l（答案不唯一）

【解析】设圆心C为（毛,%）,由已知圆C与直线/：户-1相切，圆C与圆O：x2+y2=]

相切，

卜1-司=1

'叫fXKn—0fXQ=0.2

可得'历+%2=2

且已知半径为1,

所以圆的方程可以为：炉+&-2）2=1或/+（丫+2）2=1或（》+2『+丫2=1

15.（2022秋•福建・高三福建师大附中校考阶段练习）已知函数/（x）为偶函数，当x<0

时，/（x）=x2+ln（-x）,则曲线y=/（x）在x=l处的切线方程为一.

【答案】3x-y-2=Q

【解析】若x>0,则—x<0,由〃x）是偶函数，得〃—x）=lnx+x2=〃x）,

；.x=l时，/（1）=1,而此时的/'（X）=2X+T，即/。）=3,

...曲线y=F（x）在x=l处的切线方程为y-l=3（x-l）,即3x-y-2=0.

16.（2022•山东东营・胜利一中校考模拟预测）某资料室在计算机使用中，出现如表所示的

以一定规则排列的编码，表中的编码从左至右以及从上至下都是无限的，此表中，主对角

线上的数字构成的数列1,2,5,10,17,…的通项公式为,编码99共出现

次.

IIIIII

123456

1357911

147101316

159131721

I611162126

（答案】n2—2H+26

【解析】设主对角线上的数字构成的数列1,2,5,10,17,…为{%},

因为%-4=1,a3-a2=3,%-=5,,a„-a„_|=2(n-1)-1,

将以上n-1个式子相加，可得

4=1+3+5++(2«-3)+1=-——工-----2+1=+1=/-2"+2;

由编码观察可得，笫加行是首项为1,公差为帆-1的等差数列，

则第m行的第"个数为1+（〃T）（"，T）,

令1+（”-1）（加-1）=99,则（”一]）（加-1）=98,

所以｛\m〃7—\==9\8'或（km—J\=92,或[〃T—1=174,或[/n—1=98，或[tn1-1=429，或

\m—\=14

[n-l=7，

所以99共出现6次.

四'解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（2022秋•云南•高三校联考阶段练习）在数列｛%｝中，4=14,蔚=枭-3.

（1）证明｛亲是等比数列，并求｛叫的通项公式；

（2）设数列样+吾）的前〃项和为S〃，证明:4

S.<―

3

【答案】（1）证明过程见解析；。,,=2"（2""+3）；（2）证明过程见解析

【解析】（I）证明：依题意可得翁一3=券-6=2住一3）,乂q=14,则/-3=4,

“向一3

故2OW——+1=2,所以妾-31是以4为苜项，2为公比的等比数列，即结论

殳-3

2"

得证;

则紧3=4x2"-'=2"+,,所以a“=2"（2e+3）；

人，口2"2"2"1________1_

结合（1）可得”“+]_2"（2""+3）+1-（2"+1乂2向+1）-（2"+1）（2向+1）'

则

„<1111）（11111111n丫114

，=仁+齐+F++川+6-二+9-5++冏-^71）尸一⑸

故结论得证.

18.（2022秋.广东.高三校联考阶段练习）如图，ABC中，若角AB,C所对的边分别是

a,h,c,AD=DC,BA=2BD.

（1）证明：sinXBDC=2sin^BAC；

（2）若匕=2«=2,求"C的面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）也.

4

【解析】⑴证明：在,皿中，由正弦定理得sin=

sinCBD

在M?C中，由正弦定理得名=.5,「,，sinNBAC=%G=

sinCsinZ.BACAB

所以smZBDC=2sin/B4c.故得证.

(2)设3£>=x,AB=2x,由题得cosNADB+cosZBDC=0,

1+X2-4X21+X2-1

所以----------------------1-----------------=0,x=—^―.所以AB=\/2.

2x12x1

所以cosABAC=2+4'.ZBACe(0,n\:.sinABAC=—

2.2.V288

所以抽C的面积为L夜2恒=且.

284

19.（2023•全国•模拟预测）如图，四棱锥P-A3C。中，平面APD_L平面ABC。，△APD

为正三角形，底面ABC。为等腰梯形，AB//CD,AB=28=2BC=4.

（1）求证：3。人平面APZ）；

（2）若点尸为线段尸B上靠近点P的三等分点，求二面角尸-AD-P的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）y

4

【解析】（1）取AB中点E,连接CE,根据梯形性质和48=28可知，CDHAE,且

CD=AE,

于是四边形ADCE为平行四边形，故CE=AD=2=BE=CB,

7T

则；CE8为等边三角形，故ZA=NCE8=§,

在△ABO中，由余弦定理，

BD2=AB'+AD2-2ABxADxcos-=16+4-8=12,

3

故BD=20,注意到BD2+AD2=12+4=16=AB2,

TT

由勾股定理，ZADB=-,即

[llT:|ft|'APD±'V-wiABCD.T:|(l|APD；Y\mABCD=AD,BD<=f-lfll

ABCD,

根据面面垂直的性质定理可得，比平面

（2）过户作PGLAZ）,垂足为G,连接EG,

由平面A/YJL平面ABCD,平面APO；平面ABCD=AZ）,PGu平面

根据面面垂直的性质定理，PGL平面A8C。，△APD为正三角形,

PGVAD,

故AG=GO（三线合一），由他=£8和中位线性质，GE//BD,

由（I）知，平面APD，故GE_L平面APO,

于是GAGE,GP两两垂直，故以G为原点，GA,GE,GF所在|工线分别为

x,y,z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）知，301平面APO,

乂BDHy轴，故可取m=(0,1,0)为平面的法向量，

又尸(0,0,0),B(-l,2>/3,0),根据题意,BF=2FP，设F(x,y,z),

则(x+1,V-2A/J,z)=2(-x,—y,6-z),解得,

又A(l,0,0),0(—1,0,0),DA=(2,0,0),PA.=^―,——,

(a=0

n-DA=0

设平面FAO的法向量"=(a*,c),由•{，即《4“2屏2区

n-FA=0---------------

于是〃=（0,1,-1）为平面E4。的法向量，故/口嗣=&=彳，

二面角大小的范围是［0,兀］,结合图形可知是锐二面角，

故二面角尸―A£>-尸的大小为:

20.（2023・湖南岳阳•统考一模）8月5日晚，2022首届湖南•岳阳"洞庭渔火季”开幕式在洞

庭南路历史文化街区工业遗址公园（岳阳港工业遗址公园）举行，举办2022首届湖南•岳

阳“洞庭渔火季”，是我市深入贯彻落实中央和省委“稳经济、促消费、激活力”要求，推出

的大型文旅活动，旨在进一步深挖岳阳“名楼”底蕴、深耕“江湖”文章，打造“大江大湖大岳

阳”文旅/尸，为加快推进文旅融合发展拓展新维度、增添新动力.活动期间，某小吃店的生

意异常火爆，对该店的一个服务窗口的顾客从排队到取到食品的时间进行统计，结果如

（1）试估计“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”的概率；

（2）若随机变量X表示“至第2分钟末，已取到食品的顾客人数”，求X的分布列及数学

期望.

【答案】（1）0.2375；（2）分布列见解析,0.5025.

【解析】（I）设丫表示每个顾客取到食品所需的时间，用频率估计概率，得y的分布列如

Y12345

P0.050.450.350.10.05

A表示事件“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”，

则事件A对应三种情形：

①第一个人取到食品所需的时间为1分钟，且第二个人取到食品所需的时间

为3分钟：

②第一人取到食品所需的时间为3分钟，且第二人取到食品所需的时间为1

分钟；

③第一个和第二个人取到食品所需的时间均为2分钟.

所以「（A）=p（y=i）p（r=3）+p（y=3）p（y=i）+P（Y=2）p（y=2）

=0.05xO.35+0.35x0.05+0.45x0.45=0.2375.

（2）X所有可能的取值为0,1,2.

X=0对应第一个人取到食品所需时间超过2分钟，所以

p（x=0）=P（y>2）=0.5；

X=1对应第一个人取到食品所需时间为1分钟且第二个人取到食品所需时间

超过1分钟，

或第一个人取到食品所需的时间为2分钟，

所以P（X=1）=P（y=l）P（y>1）+P（y=2）=0.05x0.95+0.45=0.4975；

X=2对应两个人取到食品所需的时间均为1分钟，

所以「（X=2）=尸（y=i）p（y=i）=0.05xo.O5=0.0025；

所以X的分布列为：

X012

P0.50.49750.0025

所以E(X)=0x0.5+lx0.4975+2x0.0025=0.5025.

22

21.(2022秋•江苏南通・高三统考阶段练习)设椭圆E：^+4=1(a>6>0)的左、

ab

右焦点分别为6(-1，0),6(1,0),点在桶圆E上.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设点T在直线x=3上，过7的两条直线分别交E于A,B两点和P,Q两点，且

\TA\\TB\=\TP\\TQ\,求直线AB的斜率与直线尸。的斜率之和.

【答案】（1）—+^-=1；（2）0

43

【解析】(1)由已知椭圆的左、右焦点分别为4(T,。),g(1,0),.•.c=l,

方法一：

a2-b2=c2=1

优2=4A

由题意得｛13，解得,2C，

】I'=3

二椭圆E的方程为《+t=1:

43

方法二：

由2a=防+加广«1+1『+(审+"尸+(-12=|+1=4,

则a=2,又c=l,得匕=百，

JJ7

・,・椭圆后的方程为43.

(2)设7(3,。，AB:y-t=kl(x-3)tPQ:y-t=k2(x-3)

由消去y得：(3+4代)/+防(一3匕次+4