6.4.3余弦定理正弦定理

6.4.3余弦定理、正弦定理余弦定理基础知识基础知识1．余弦定理2．余弦定理的推论.，，题型探究题型探究题型一已知两边及一角解三角形已知在中，，，，则c等于（） B． C． D．5在锐角中，若，，，则（）A． B． C． D．在中，，，，则等于（）A． B．3 C． D．214.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝60°，c＝2，b＝2eq\r(3)，则a＝________.5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝5，b＝3，cosC是方程5x2＋7x－6＝0的根，题型二已知三边关系解三角形在中，已知＝，＝，＝，则_________．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝eq\r(7)，c＝eq\r(3)，则B＝________.在△ABC中，a2＋c2＝b2＋eq\r(2)ac.(1)求B的大小.(2)求eq\r(2)cosA＋cosC的最大值.题型三用余弦定理进行边角互化角度1利用边角关系求值在△ABC中，bcosC＋ccosB＝2b，则eq\f(b,a)＝()A.eq\r(2)B.eq\f(1,2)C.－eq\f(\r(2),2) D.2在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，(1)若2bcosC－2a＋c＝0，求角B的大小；(2)若a＋c＝5，ac＝4eq\r(2)，tanB＝1，求b2.角度2判断三角形形状在△ABC中，若内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2eq\f(A,2)＝eq\f(b＋c,2c)，则△ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角 D．等腰或直角三角形已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求角A的大小；(2)若sinA＝2sinBcosC，试判断△ABC的形状.C.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝eq\r(3)，试判断△ABC的形状.课时对点练1.在△ABC中，若c＝2，b＝2a，且cosC＝eq\f(1,4)，则a等于()课时对点练A.2B.eq\f(1,2)C.1D.eq\f(1,3)2.已知△ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝eq\r(37)，则△ABC的最大内角为()A.120°B.90°C.150°D.60°3.已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2等于()A.0B.－1C.1D.2已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+c2+ac﹣b2＝0，则cos2A2−3sinCA．（34，334） B．（14，34） C．（34，1]在中，角，，的对边分别为，，，且，，则一定是A．直角三角形 B．钝角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形在中，角，，所对的边分别为，，，若，则在中，角，，的对边分别为，，，若，且则是___________三角形．在中，角，，的对边分别为，，．（1）若，则___________；（2）若，则___________．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求的值；（2）求的值．夯实基础夯实基础1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，a＝，b＝1，则c＝A．－1 B．C．2 D．12．在中，已知，，，则a等于A． B．6C．或6 D．3．在中，若AB＝，AC＝5，且cosC＝，则BC的长为A．4 B．5C．4或5 D．34．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则A． B．3C． D．5．在中，若，则最大角的余弦值是A． B．C． D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋eq\r(2)ac，则角B的大小是________.8.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b2－2a2＝ac＋2c2，则sinB=9.在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，则△ABC的最小角的大小为________.10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则_____________．11.在△ABC中，AB＝3，BC＝eq\r(13)，AC＝4，则A＝______，AC边上的高为________.12.在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.13.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1，(1)求角C的度数；(2)求AB的长.14.在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－eq\f(1,2).(1)求b，c的值；(2)求sinC的值第二讲正弦定理基础知识基础知识知识点一正弦定理和余弦定理1.在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则公式eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA2.S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，3.（1）正弦定理可以用来解决下列两类解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的边和角；②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．（2）三角形解的个数的探究（以已知和解三角形为例）①从代数角度来看若，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；若，则满足条件的三角形的个数为1；若，则满足条件的三角形的个数为1或2．注：由可知B可能为锐角，也可能为钝角，此时应由“大边对大角”、“三角形内角和等于180°”等进行讨论．②从几何角度来看当A为锐角时：一解 一解 两解 无解当A为钝角或直角时：一解 一解 无解 无解知识点二三角函数关系和射影定理1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).2.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.题型探究题型探究题型一利用正弦定理解三角形角度1已知两角及任意一边解三角形1.在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，则b＝2.已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c的值．角度2已知两边及其中一边的对角解三角形在△ABC中，若a＝3，b＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,3)，则C＝________.在△ABC中，已知a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°，求A，C和c.已知B＝30°，b＝eq\r(2)，c＝2，求A，C，a.题型二判断三角形的形状在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.在△ABC中，若acosA＝bcosB，试判断△ABC的形状.在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且b＝acosC，试判断△ABC的形状.题型三三角形解的个数的判断满足条件，，的三角形的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．不存在不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a＝5，b＝4，A＝120°；(2)a＝9，b＝10，A＝60°；(3)b＝72，c＝50，C＝135°.题型四面积有关的问题求解：在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积__.在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝eq\f(31,32)且AD＝BD，求△ABC的面积.已知的内角所对的边分别为，．（1）求的值；（2）若，求的面积题型五正弦定理和余弦定理的综合应用的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求A；（2）若，求sinC．在①3c2＝16S＋3(b2－a2)，②5bcosC＋4c＝5a，两个条件中任选一个，补充在下面横线处，再解答问题.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，已知________.(1)求tanB的值；(2)若S＝42，a＝10，求b的值.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tanA).(1)求角C；(2)若c＝2eq\r(10)，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度.条件①：S△ABC＝4且B>A；条件②：cosB＝eq\f(2\r(5),5).(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin(π3（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积为23，求边c的取值范围．的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若___________．(1)求角B；(2)若，求周长的最小值．21.中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.课时对点练课时对点练1．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2eq\r(2)，则c等于()A．1B．2C.eq\r(2)D.eq\r(3)2．在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB等于()A．－eq\f(2\r(2),3)B.eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(6),3)4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，a＝eq\r(3)，则△ABC外接圆的半径等于()A．2B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3),2)D．15．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是()A．a＝3，b＝4，A＝eq\f(π,6) B．a＝3，b＝4，cosB＝eq\f(3,5)C．a＝3，b＝4，C＝eq\f(π,6) D．a＝3，b＝4，B＝eq\f(π,6)6．在△ABC中，若a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝eq\f(π,4)，则A＝.7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，a＝1，则sinB＝，b＝.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC．若a＝eq\r(3)，则b2＋c2的取值范围是若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin2A＝asinB，且c＝2b，则eq\f(a,b)=已知在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD，BD＝eq\f(\r(6),2)AD，BC＝2AD，则sinC的值为在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA＝eq\r(3)sinB，且b＝c.(1)求角A的大小；(2)若a＝2eq\r(3)，角B的平分线交AC于点D，求△ABD的面积．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且b2－eq\f(2\r(3),3)bcsinA＋c2＝a2.(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝3，求a和sin(2B－A)的值．在中，、、分别是角、、所对的边，且满足且。(1)求角的大小；(2)设，设，的周长为，求的最大值。在中，、、是角、、的对边，其外接圆半径为，。(1)求角的大小；(2)求周长的取值范围。在中，角，，所对的边分别为，，，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求面积的最大值．设函数．（1）求的最小正周期和值域；（2）在锐角中，角､､的对边长分别为､､．若，，求周长的取值范围．在中，内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，，求的面积．在中，已知角，，的对边分别为，，，若，．（1）求角的大小；（2）若的平分线交于点，的面积为，求线段的长度．夯实基础夯实基础在中，已知，则（）A．3 B．2 C． D．已知△ABC中，A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(π,4)，a＝1，则b等于()A．2B．1C.eq\r(3) D.eq\r(2)已知在中，角，，的对边分别为，，，且满足，，则（）A． B． C． D．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinB+2sinAcosC＝0，则cosB的最小值为（）A．2 B．3 C．32 D．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=A．6 B．5 C．4 D．3的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A． B． C． D．的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.在中，，且，则____________记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．在△ABC中，cosB＝eq\f(1,4)，b＝2，sinC＝2sinA，则△ABC的面积等于△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A＋sin2