材料力学章弯曲变形

第七章弯曲变形材料力学实验选课材料力学－第7章弯曲变形引言

上一章中，我们对梁弯曲情况下的应力进行计算，并学习了如何进行强度设计。在平面弯曲的情形下，梁的轴线将弯曲成平面曲线。如果变形太大，也会影响构件正常工作。因此，对机器中的零件或部件以及土木工程中的结构构件进行设计时，除了满足强度要求外，还必须满足一定的刚度要求，即将其变形限制在一定的范围内。为此，必须分析和计算梁的变形。

另一方面，某些机械零件或部件，则要求有较大的变形，以减少机械运转时所产生的振动。汽车中的钣簧即为一例。这种情形下也需要研究变形。

此外，求解静不定梁，也必须考虑梁的变形以建立补充方程。

材料力学－第7章弯曲变形引言美国科罗拉多大峡谷著名的U形悬桥，距谷底1200多米，桥身全长约49米，宽3米多，桥体自崖壁向外伸出21米。悬桥使用了454吨钢梁，能够抵御80公里外发生的里氏8级地震以及最高速度为每小时160公里的大风。材料力学－第7章弯曲变形引言

机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时(图中虚线所示)，两齿轮的啮合处将产生较大的挠度和转角，这就会影响两个齿轮之间的啮合，以致不能正常工作。

同时，还会加大齿轮磨损，同时将在转动的过程中产生很大的噪声。

此外，当轴的变形很大时，轴在支承处也将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。

材料力学－第7章弯曲变形引言

在工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是限制构件的弹性位移，而是希望在构件不发生强度失效的前提下，尽量产生较大的弹性位移。例如，各种车辆中用于减振的钣簧，都是采用厚度不大的板条叠合而成，采用这种结构，钣簧既可以承受很大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，收到抗振和抗冲击的效果。

引言

本章将在上一章得到的曲率公式的基础上，建立梁的挠度曲线微分方程；进而利用微分方程的积分以及相应的边界条件确定挠度曲线方程;2.在此基础上，介绍工程上常用的计算梁变形的叠加法;3.讨论简单的静不定梁的求解问题;

4.梁的刚度设计和合理刚度条件.材料力学－第7章弯曲变形梁弯曲问题的近似和简化

弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果材料力学－第7章弯曲变形引言挠度曲线弯矩引起的弯曲变形剪力引起的弯曲变形垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍垂直于轴线，只是相互间转动一个角度垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线

材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。材料力学－第7章弯曲变形

－用什么物理量来描述梁的变形

问题1：如何表征梁的弯曲变形

问题2：如何计算梁的弯曲变形

－如何将梁承受的荷载与变形联系起来挠度曲线材料力学－第7章弯曲变形

在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线，这一曲线称为梁的挠度曲线（deflectioncurve）。*

梁的挠度曲线挠度曲线材料力学－第7章弯曲变形梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位移(displacement)。梁的位移包括三部分：*

弯曲变形的表征1.横截面形心处的铅垂位移，称为挠度（deflection），用w表示；2.变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角（slope），用

表示；挠度曲线材料力学－第7章弯曲变形梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位移(displacement)。梁的位移包括三部分：*

弯曲变形的表征3.横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平位移（horizontaldisplacement），用u表示。

#

在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠度w相比为高阶小量，故通常不予考虑。

挠度曲线材料力学－第7章弯曲变形*

挠度与转角的相互关系在Oxw坐标系中，挠度与转角存在关系：

在小变形条件下，挠度曲线较为平坦，即

很小，因而上式中tan

。于是有w＝w（x），称为挠度方程（deflectionequation）。

挠度曲线材料力学－第7章弯曲变形*

梁的曲率与弯矩、刚度之间的关系根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系：挠度曲线材料力学－第7章弯曲变形§7-2挠曲轴近似微分方程材料力学－第7章弯曲变形§7-2挠曲轴近似微分方程力学中的曲率公式数学中的曲率公式

挠曲轴近似微分方程

材料力学－第7章弯曲变形小挠度情形下对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取向有关。

挠曲轴近似微分方程

§7-2挠曲轴近似微分方程材料力学－第7章弯曲变形§7-2挠曲轴近似微分方程材料力学－第7章弯曲变形采用向上的w坐标系，有各物理量的正负方向：挠度：坐标轴正向为正（向上），负向为负（向下）转角：向挠度正方向偏转为正（向上），负向偏转为负（向下）弯矩：使微段产生上凹变形为正，上凸变形为负§7-2挠曲轴近似微分方程材料力学－第7章弯曲变形

挠曲轴近似微分方程

对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：

其中C、D为积分常数。

§7-2挠曲轴近似微分方程材料力学－第7章弯曲变形§7-3计算梁位移的积分法－挠度曲线微分方程的积分与积分常数的确定材料力学－第7章弯曲变形材料力学－第7章弯曲变形§7-3计算梁位移的积分法

小挠度微分方程的积分和积分常数的确定

转角方程挠度方程积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指约约束对于挠度和转角的限制：

小挠度微分方程的积分和积分常数的确定

在固定铰支座和活动铰支座处约束条件为挠度等于零：w=0;材料力学－第7章弯曲变形§7-3计算梁位移的积分法F材料力学－第7章弯曲变形§7-3计算梁位移的积分法积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：

小挠度微分方程的积分和积分常数的确定

在固定端处挠度和转角都等于零：w=0，θ＝0。积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：

连续条件：

小挠度微分方程的积分和积分常数的确定

梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w1=w2，θ1＝θ2等等。

材料力学－第7章弯曲变形§7-3计算梁位移的积分法Fx例题

1

求：梁的弯曲挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转角。

已知：左端固定、右端自由的悬臂梁承受均布载荷。均布载荷集度为q

，梁的弯曲刚度为EI、长度为l。q、EI、l均已知。材料力学－第7章弯曲变形§7-3计算梁位移的积分法

解：1．建立Oxw坐标系

建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即无需分段。

2．建立梁的弯矩方程Oxw材料力学－第7章弯曲变形§7-3计算梁位移的积分法

从坐标为x的任意截面处截开，因为固定端有两个约束力，考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程：

解：2．建立梁的弯矩方程xM(x)FS(x)材料力学－第7章弯曲变形§7-3计算梁位移的积分法3．

建立微分方程并积分

解：2．建立梁的弯矩方程将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得

Oxw材料力学－第7章弯曲变形§7-3计算梁位移的积分法3．

建立微分方程并积分积分后，得到Oxw材料力学－第7章弯曲变形§7-3计算梁位移的积分法解：4．

利用约束条件确定积分常数固定端处的约束条件为：

材料力学－第7章弯曲变形§7-3计算梁位移的积分法解：5．

确定挠度与转角方程材料力学－第7章弯曲变形§7-3计算梁位移的积分法解：6．

确定最大挠度与最大转角

从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最大值。

于是，将x=l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：材料力学－第7章弯曲变形§7-3计算梁位移的积分法例题

2

求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。

已知：简支梁受力如图所示。FP、EI、l均为已知。材料力学－第7章弯曲变形§7-3计算梁位移的积分法

解：1．

因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段建立弯矩方程。

首先，应用静力学方法求得梁在支承A、C二处的约束力分别如图中所示。

解：2．

在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力3FP/4和荷载FP。确定梁约束力分段建立梁的弯矩方程材料力学－第7章弯曲变形§7-3计算梁位移的积分法解：2．

分段建立梁的弯矩方程AB段

BC段

AB和BC两段的弯矩方程分别为

材料力学－第7章弯曲变形§7-3计算梁位移的积分法解：3．

将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分材料力学－第7章弯曲变形§7-3计算梁位移的积分法解：3．

积分后，得

其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与BC段梁交界处的连续条件确定。

将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分材料力学－第7章弯曲变形§7-3计算梁位移的积分法解：4．

在支座A、C两处挠度应为零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即

x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，

1=

2

利用约束条件和连续条件确定积分常数材料力学－第7章弯曲变形§7-3计算梁位移的积分法解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，

1=

2D1＝D2=0材料力学－第7章弯曲变形§7-3计算梁位移的积分法解：5．

确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角

将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为：

AB段

BC段

据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为

材料力学－第7章弯曲变形§7-3计算梁位移的积分法

确定约束力,判断是否需要分段以及分几段

分段建立挠度微分方程

微分方程的积分

利用约束条件和连续条件确定积分常数

确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角积分法小结

分段写出弯矩方程材料力学－第7章弯曲变形§7-3计算梁位移的积分法本节作业：

7-1（a）,（c）7-3（a）,（d）材料力学－第7章弯曲变形§7-5计算梁位移的叠加法材料力学－第7章弯曲变形

叠加法－分解载荷逐段分析求和法－分解结构材料力学－第7章弯曲变形材料力学－第7章弯曲变形§7-5计算梁位移的叠加法

何为叠加法

qF＋＋qF查表(附录E)查表(附录E)

为什么用叠加法

在很多工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表。－附录E根据叠加原理——在若干载荷作用下，梁上任一截面的应力、挠度、转角分别等于各个载荷单独作用下该截面的应力、挠度、转角之和。可利用若干已知的、简单的梁变形结果得到较复杂载荷作用下的梁的变形结果材料力学－第7章弯曲变形§7-5计算梁位移的叠加法

叠加法的物理机制小变形情况下，且梁内应力不超过材料的比例极限时，挠曲轴近似微分方程为线性微分方程：同时，小变形情况下，由于横截面形心的轴向位移可以忽略不计，因而梁内任一截面的弯矩和荷载成线性齐次关系，例如：qFMe材料力学－第7章弯曲变形§7-5计算梁位移的叠加法求解图示悬臂梁在分布载荷q作用下自由端截面的挠度。其中，抗弯刚度EI为常数，。例题3：解：由附录知，在固定端x处的微载荷作用下，梁自由端挠度为：因此，分布载荷在自由端引起的挠度为：材料力学－第7章弯曲变形§7-5计算梁位移的叠加法

逐段分析求和法

FQM=Fa材料力学－第7章弯曲变形§7-5计算梁位移的叠加法F＋＋自由端总的挠度：a如图悬臂梁，同时承受均布载荷q和集中载荷F的作用，且F＝qa，试求自由端C处挠度，弯曲刚度EI为常数。例题4：解：根据叠加原理，C处挠度是载荷F和q分别单独作用时的挠度之和查表，载荷F单独作用时，截面C挠度为载荷q单独作用时，需要考虑B点的挠度和转角，并利用连续性条件求得载荷q引起C处的挠度材料力学－第7章弯曲变形§7-5计算梁位移的叠加法＋载荷q单独作用时，需要考虑B点的挠度和转角，并利用连续性条件求得载荷q引起C处的挠度BC单元不受载荷，仍保持直线。但由连续性条件知，其左端的挠度和转角必须和AB单元右端B点一致。材料力学－第7章弯曲变形§7-5计算梁位移的叠加法+如左图，进一步将结构分解。qq根据连续性条件和几何关系，载荷q在C点引起的挠度为：材料力学－第7章弯曲变形§7-5计算梁位移的叠加法

根据连续性条件和几何关系，C点总的挠度为：材料力学－第7章弯曲变形§7-5计算梁位移的叠加法＋

叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形

材料力学－第7章弯曲变形§7-5计算梁位移的叠加法已知：悬臂梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度wC和转角

C。例题

5材料力学－第7章弯曲变形§7-5计算梁位移的叠加法解：1.首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形

为了利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。

材料力学－第7章弯曲变形§7-5计算梁位移的叠加法

分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形状。于是，由挠度表中关于承受均布载荷悬臂梁的计算结果，上述两种情形下自由端的挠度和转角分别为

解：2．再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起的挠度和转角

材料力学－第7章弯曲变形§7-5计算梁位移的叠加法

两种情形下自由端的挠度和转角分别为

解：2．再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起的挠度和转角

材料力学－第7章弯曲变形§7-5计算梁位移的叠加法解：3．将简单载荷作用的结果叠加

材料力学－第7章弯曲变形§7-5计算梁位移的叠加法

叠加法分析简例

Qq自由端总的挠度：材料力学－第7章弯曲变形§7-5计算梁位移的叠加法q＋＋

叠加法分析简例

FlaABCFAFa材料力学－第7章弯曲变形§7-5计算梁位移的叠加法BCFA

叠加法分析简例

FlFFxFy材料力学－第7章弯曲变形§7-5计算梁位移的叠加法

叠加法小结

材料力学－第7章弯曲变形§7-5计算梁位移的叠加法

叠加法可以是荷载的叠加、结构的叠加

叠加法中可施加相互抵消的荷载将结构所承受的荷载变为可查表的情况

使用叠加法的前提是小变形假设，梁弯矩与外力成线性关系

叠加法将复杂的荷载情况分解为简单的可查表求解的荷载情况，从而简化了计算。本节作业：

7-10（a）,（c）7-14（a）材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁

材料力学－第7章弯曲变形

多余约束与静不定次数

求解静不定梁的基本方法

求解静不定梁示例材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁

静定与静不定问题

材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁

静定与静不定问题

静定问题与静定结构——未知力（内力或外力）个数等于独立的平衡方程数Fq平衡方程（三个）：未知约束力（三个）FAyFAxFByFAyFAxM(x)平衡方程（三个）：未知约束力（三个）材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁

静定与静不定问题

静不定问题与静不定结构——未知力个数多于独立的平衡方程数Fq平衡方程（三个）：未知约束力（四个）FAyFAxFByFAyFAxM(x)平衡方程（三个）：未知约束力（四个）FByFBx静不定次数——未知力个数与独立平衡方程数之差多余约束——保持结构静定多余的约束

多余约束与静不定次数

材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁FqFAyFAxFByFAyFAxM(x)FByFBx静不定次数：1静不定次数：1

求解静不定梁的基本方法

材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁

求解静不定梁的基本方法

1.分析结构是静定或静不定，静不定次数？2.解除多余约束，代之于约束反力，使问题成为含约束反力的静定问题——称之为原静不定梁的相当系统3.通过变形协调条件补充变形协调方程，结合平衡方程和物理方程求解

求解静不定梁示例

材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁lABq3-3=04-3=1MAFAyFAxFB

求解静不定梁示例

材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁ABlMAFAyFAxq第1步.分析结构是静定或静不定，静不定次数？5－3＝26－3＝3FBxMBBFByFBxFBy材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁AlMAFAyFAxqAlMAFAyFAxq第1步.分析结构是静定或静不定，静不定次数？材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁FBxBFByAlMAFAyFAxq

由于在小变形条件下，梁的轴向位移忽略不计，因此，FAx

＝FBx=0。FBy第2步.找出多余约束，建立相当系统求解这种静不定问题只需1个补充方程：相当系统第3步.通过变形协调条件补充变形协调方程，结合平衡方程和物理方程求解

应用对称性分析可以推知某些未知量FAx=FBx=0,FAy=FBy=ql/2,MA=MB

对于两端固定的梁，同样有FBx=0，但这时的多余约束力除FBy外，又增加了MB，于是需要两个补充方程。但是，利用对称性分析，这种梁不仅结构和约束都对称，而且外加载荷也是对称的，即梁的中间截面为对称面。于是可以确定：材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁MBFByAlMAFAyFBxFAxqFAx=FBx=0,FAy=FBy=ql/2,MA=MB材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁

应用对称性分析可以推知某些未知量MBAlMAqql/2ql/2

与未知力偶MB对应的约束是对截面B转角的限制，故这种情形下的变形协调方程为

MB例题

6求:

梁的约束力。已知：A端固定、B端铰支梁的弯曲刚度为EI，长度为l。材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁BAlqBAlq解：1.列出平衡方程2.列出变形协调方程

FAy+FBy-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0MAFAyFAxFB材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁3.列出物性关系2.列出变形协调方程

wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl3/3EIwB(q)wB(FBy)lBAMAFAyFAxFB材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁BAlq解：4.综合求解FAy+FBy-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0

将平衡方程、变形协调方程和物性关系联立解出:wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl3/3EIFBy=3ql/8,FAx=0,MA=ql2/8FAy=5ql/8,材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁BAlqMAFAyFAxFB材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁例题7悬臂梁AB在自由端承受集中力F的作用。因其刚度不够，用一根短梁加固，如图所示。设二梁的抗弯刚度均为EI，计算梁AB最大挠度的减少量。Al/2FBCl/2解当无支承加固时，悬臂梁AB在自由端集中力F作用下的最大挠度为（附录E）材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁用一根短梁加固后，结构为一次超静定。选择C处的支承为多于约束，解除约束，代之以约束反力FR,如图所示。加固短梁在C处约束反力FR作用下C处的挠度为（附录）FFRFRAl/2FBCl/2材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁悬臂梁AB在自由端集中力F和约束反力FR作用下C处的挠度为（附录）Al/2FBCl/2利用变形协调条件得FFRFR材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁悬臂梁AB在自由端集中力F和约束反力FR=5F/4作用下B处的挠度（最大挠度）为Al/2FBCl/2因此材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁例题8已知AB，BC为相同的两根悬臂梁，中间用铰链相连接，抗弯刚度为EI，求两梁相联的铰链内所传递的作用力。AaqCaB解结构为一次静不定问题。AaqCyxFCy（结构A）BxyCaFCy（结构B）解除铰链C处的约束，代之于约束反力FCy，则结构变为两个静定梁，并如图建立坐标系。

材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁对于结构A，根据简单变形梁的结果，得截面C处的挠度为AaqCyxFCy（结构A）BxyCaFCy（结构B）对于结构B，截面C处的挠度为变形协调条件为由此得铰链C处传递的作用力材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁解此问题为二次静不定。解除A端的约束，代之于约束反力FAy和反力偶MA，并建立坐标系。AB

δB

AδFAyMAxyx注意本例题坐标系的取向例题9

如图所示的梁AB，若左固定端相对于右固定端垂直移动δ，确定梁的挠曲线和左固定端的内力。则梁中的弯矩为材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁利用挠曲线微分方程由边界条件：解得：B

AδFAyMAxyx可得：材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁变形协调条件为：由此得（补充方程）AB

δB

AδFAyMAxyx材料力学－第7章弯曲变形§7-6简单的静不定梁解得梁的挠曲线方程为AB

δ§7-6

梁的刚度条件与合理刚度设计

材料力学－第7章弯曲变形

刚度计算的工程意义

梁的刚度条件

材料力学－第7章弯曲变形§7-7梁的刚度问题

刚度计算的工程意义

材料力学－第7章弯曲变形§7-7梁的刚度问题

对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。

刚度计算的工程意义

材料力学－第7章弯曲变形§7-7梁的刚度问题

梁的刚度条件

材料力学－第7章弯曲变形§7-7梁的刚度问题

对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即满足弯曲刚度条件：

上述二式中

w

和

分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。材料力学－第7章弯曲变形§7-7梁的刚度问题

梁的刚度条件

例题

10

材料力学－第7章弯曲变形§7-7梁的刚度问题简支梁的中点承受集中力F的作用，已知F=35kN，l=4m，许用应力[s

]=160MPa，许用挠度[d

]=l/500，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号Al/2FBCl/2解简支梁的最大弯矩为材料力学－第7章弯曲变形§7-7梁的刚度问题（1）由强度条件Al/2FBCl/2得（2）由刚度条件得由型钢表查得(附录F)，No.22a工字钢可同时满足强度和刚度的要求。其值为

已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。规定轴承B处的许用转角

θ

=0.5°。

试求：根据刚度要求确定该轴的直径d。

B例题

11

材料力学－第7章弯曲变形§7-7梁的刚度问题解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。

B1．查表确定B处的转角由挠度表（附录E-表8）中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为材料力学－第7章弯曲变形§7-7梁的刚度问题1．查表确定B处的转角

由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为

B2．根据刚度设计准则确定轴的直径根据设计要求，有

材料力学－第7章弯曲变形§7-7梁的刚度问题B2．根据刚度设计准则确定轴的直径

根据设计要求，有

其中，

的单位为rad（弧度），而

θ

的单位为（°）（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径

材料力学－第7章弯曲变形§7-7梁的刚度问题

提高刚度的途径

材料力学－第7章弯曲变形1.合理选用材料（E）2.合理选取截面形状（I）3.梁跨度的选取（l,a）4.梁的合理加强，合理安排梁的约束和加载方式（综合以上三点）§7-7梁的刚度问题

提高梁的刚度主要是指减小梁的弹性位移。而弹性位移不仅与载荷有关，而且与杆长和梁的弯曲刚度（EI）有关。

提高刚度的途径

对于梁，其长度对弹性位移影响较大，例如对于集中力作用的情形，挠度与梁长的三次方成比例；转角则与梁长的二次方成比例。

因此,减小弹性位移除了采用合理的截面形状以增加惯性矩I外，主要是减小梁的长度l。当梁的长度无法减小时，则可增加中间支座。材料力学－第7章弯曲变形§7-7梁的刚度问题

因此,减小弹性位移除了采用合理的截面形状以增加惯性矩I外，主要是减小梁的长度l。当梁的长度无法减小时，则可增加中间支座。

例如，在车床上加工较长的工件时，为了减小切削力引起的挠度，以提高加工精度，可在卡盘与尾架之间再增加一个中间支架。材料力学－第7章弯曲变形§7-7梁的刚度问题

此外，选用弹性模量E较高的材料也能提高梁的刚度。但是，对于各种钢材，弹性模量的数值相差甚微，因而与一般钢材相比，选用高强度钢材并不能提高梁的刚度。材料力学－第7章弯曲变形§7-7梁的刚度问题

结论与讨论材料力学－第7章弯曲变形

关于变形和位移的相互关系

关于梁的连续光滑曲线

关于求解静不定问题的讨论

关于静不定结构性质的讨论材料力学－第7章弯曲变形§7结论与讨论

关于变形和位移的相互关系

材料力学－第7章弯曲变形§7结论与讨论二梁的受力(包括载荷与约束力)是否相同？二梁的弯矩是否相同？二梁的变形是否相同？二梁的位移是否相同？

正确回答这些问题，有利于理解位移与变形之间的相互关系。

关于变形和位移的相互关系

材料力学－第7