2024届五年高考数学真题分类训练：二 函数概念与基本初等函数Ⅰ

专题二函数概念与基本初等函数I

考点4函数的概念与基本性质

题组

一、选择题

1.［2023新高考卷II,5分］若/(%)=(尤+a)为偶函数，则a=(B)

1

ATB.OC,-D.l

［解析］设g(%)=InII、，易知g(x)的定义域为(一8,-习UG，+8)，且

。(一%)=In芸=In箸=-In2=一g(x),所以g(%)为奇函数.若

/(%)=(久+a)ln为偶函数，则、=久+a也应为奇函数，所以a=0,

(在公共定义域内：奇±奇=奇，偶士偶=偶，奇义奇=偶，偶乂偶=偶,奇

><偶=奇)故选B.

【速解】因为/(%)=(%+a)ln黑为偶函数,/(-l)=(a-l)ln3,/(l)=

(a+l)ln|=—(a+l)ln3，所以(a—l)ln3=—(a+l)ln3，解得a=0，故选B.

【方法技巧】常见的偶函数有y-ax+a~x(a>0且aAl),y-cosx,y-

x2n(nEZ),y=|x|等;常见的奇函数有y=ax—a~x,y=sin%,y=

tanx,y=x2n+1(jieZ),y=：,y=logaW，y=log/%++第2)等,其

中a>0且aW1.

2.［2023全国卷甲，5分］已知函数f(%)=5(%—1尸.记@=b=

峭,C"件)，则(A)

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

［解析］函数/(%)=b(久-I)?是由函数y=eu和n=-(%-l)2复合而成的复合函

数，y=e比为R上的增函数，n=-(%-I/在(-8,1)上单调递增，在

(1,+8)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，/(%)在(-8,1)上单调递

增，在(1,+8)上单调递减.易知/(%)的图象关于直线尤=1对称，所以c=

既"(2-聿，若<2W<1,所以/(曰)</(2—乎)<

/(¥)，所以b〉c>a,故选A.

3.［2022新高考卷II,5分］已知函数/(%)的定义域为H，且/(%+y)+

fix-y)=/(x)/(y),/(l)=1，则变/(/c)=(A)

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

［解析］因为/⑴=1,所以在/(%+y)+/(%-y)=/(%)f(y)中,令y=1,

得f(x+1)+f(x-1)=/(x)/(l),所以/(%+1)+f(x-1)=/(x)①，所以

f(x+2)+f(x)=f(x+1)②.由①②相加,得/(%+2)+/(%-1)=0,故

/(%+3)+/(%)=0,所以/(%+3)=-/(%),所以/(%+6)=-/(%+3)=

/(%)，所以函数/(%)的一个周期为6.在/'(%+y)+/(%-y)=f(%)f(y)中，

令y=0,得/(久)+/(%)=/(%)/(0),所以/(O)=2.令尤-1,y-1,得

/(2)+/(0)=/(1)/(1),所以/(2)=—1.由)(％+3)+/(%)=0,得/⑴+

/(4)=0,/(2)+/(5)=0,/(3)+/⑹=0,所以/(I)+/⑵+…+/⑹=

22

0,根据函数的周期性知，2f(k)=/(I)+/(2)+/(3)+/(4)=1-1-2-

k=l

1=-3,故选A.

4.［2022全国卷乙，5分］已知函数/(久)，g(K)的定义域均为R,且/(%)+

g(2-％)=5,g(%)--4)=7.若y=g(%)的图象关于直线％=2对称，

。⑵=4,则升㈤=(D)

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

［解析］由y=gO)的图象关于直线％=2对称，可得g(2+%)=g(2-%).在

/(%)+g(2-％)=5中,用一刀替换x,可得/(-%)+g(2+%)=5,可得

/(-%)=/(%)①，所以y=/(%)为偶函数.在g(£)-f(x-4)=7中，用2-%替

换％，得g(2-久)=/(-%-2)+7,代入/(X)+g(2-%)=5中，得/(%)+

/(—%—2)=—2②，所以y=f(%)的图象关于点(一1,—1)中心对称，所以

/(I)=/(-I)=一1.由①②可得/(%)+/(%+2)=-2，所以/(%+2)+

/(%+4)=—2,所以/(%+4)=/(%),所以函数/(%)是以4为周期的周期函

数.由/(久)+g(2—%)=5可得/(0)+g(2)=5,又g(2)=4,所以可得

/(0)=1,又f(x)+f{x+2)=-2，所以f(0)+/(2)=-2，得。(2)=-3,又

22

/⑶=/(-I)=-1,/(4)=/(0)=1,所以Ef(k)=6/(1)+6/(2)+

k=l

5/(3)+5/(4)=6x(-1)+6x(-3)+5x(-1)+5x1=-24.故选D.

【方法技巧】函数图象的对称性的常用结论

(1)f(a+%)=f(b一%)u＞函数/(久)的图象关于直线％=当对称；

(2)/(%+a)+f(b一％)=cQ函数y=/(%)的图象关于点(早,|)中心对

称.

5.［2021全国卷甲，5分］下列函数中是增函数的为(D)

A./(%)——XB./(%)—(：)C./(%)—x2D./(%)—V%

［解析］如图，在坐标系中分别画出A,B,C,D四个选项中函数的大致图象,

即可快速直观判断D项符合题意.故选D.

6.［2021全国卷乙，5分］设函数/(%)=三，则下列函数中为奇函数的是(B)

A.f(%—1)—1B.f(%—1)+1C.f(%+1)—1D.f(%+1)+1

［解析］因为/(%)=震，所以/(久—1)=签引=w，/(%+1)=W翳=

-X

x+2•

对于A尸(%)=/(%—1)—1=——1=亨，定义域关于原点对称，但不满足

F(x)=—F(—%)；

对于B,G(x)=/(%—1)+1=+1=|,定义域关于原点对称，且满足

G(x)=-G(—%)；

对于C,/(%+1)_1=三_1=—W,定义域不关于原点对称；

x+2x+2

对于D,/(%+1)+1=—三+1=——，定义域不关于原点对称.故选B.

x+2x+2

【速解】/(%)=尸=中3=1-1,为保证函数变换之后为奇函数，需将

J1+xl+x1+X

函数y=/Q)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到

的图象对应的函数为y=/(%-1)+1,故选B.

7.［2021新高考卷II,5分］设函数/(%)的定义域为R,且/(%+2)为偶函

数,f(2x+l)为奇函数,则(B)

A./(-习=0B./(-1)=0C.〃2)=0D.〃4)=0

［解析］因为函数/1(%+2)是偶函数,所以f(%+2)=f(-%+2),则函数/(%)

的图象关于直线％=2对称.因为函数/(2x+1)是奇函数，所以/(-2%+1)=

-7(2%+1),则/⑴=0,且函数/(%)的图象关于点(1,0)对称./(%)=

7(4-%)=-/［2-(4-%)］=-/(%-2),则/(%+4)=-/(%+2)=

—(_/(%))=/(%),所以函数/(%)是以4为周期的周期函数，所以/(1)=

/(I+4)=/(5)=0,又函数/(久)的图象关于直线％=2对称，所以/(5)=

/(4-5)=/(-1)=0,故选B.

【方法技巧】函数的奇偶性和图象的对称性的关系

(1)若/(a%+b)是奇函数，则函数/(%)的图象关于点(5,0)对称；

(2)若/(a%+匕)是偶函数，则函数/(%)的图象关于直线久=b对称；

(3)若函数/(%)是奇函数，则函数/(a%+b)(aA0)的图象关于点(-/,0)对

称；

(4)若函数/(久)是偶函数，则函数/(a%+b)(aA0)的图象关于直线久=—?

对称.

8.［2021全国卷甲，5分］设函数/(%)的定义域为H,/(%+1)为奇函数，

+2)为偶函数，当％G［1,2］时/(%)ax2+b.若/(0)+/(3)=6,则

/O(D)

9375

A「B-2CJD2

［解析］由于/(久+1)为奇函数，所以函数/(无)的图象关于点(1,0)对称，即有

/(%)+/(2—%)=0,令％—1,得/(I)—0,即a+b=O①，令％—0，得

/(0)=一/(2).由于/(%+2)为偶函数，所以函数/(无)的图象关于直线％=2对

称，即有/(%)-/(4-%)=0,令％=1，得/(3)=/(I)，所以/(0)+/(3)=

—/(2)+/(I)——4a—b+a+b——3a-6②.根据①②可得a——2,b—2,

所以当％G［1,2］时，/(%)=-2x2+2.

根据函数/(%)的图象关于直线％=2对称，且关于点(1,0)对称，可得函数/(久)

的周期为4,所以/(J=/G)=-/(|)=2x(I?-2=|•

【方法技巧】函数周期性的常用结论

设函数y=/(%),xeR,a>0,a丰b.

(1)若f(%+a)=-f(%)，则函数的周期为2a;

(2)若/Q+a)=±六，则函数的周期为2a;

/(X)

(3)若f(x+a)=f(x+b),则函数的周期为|a-b\;

(4)若函数/(为)的图象关于直线久=a与久=b对称，那么函数/(%)的周期为

2\b—a\;

(5)若函数/(久)的图象既关于点(a,0)对称，又关于点(40)对称，则函数

/(%)的周期是21b-a\;

(6)若函数/(%)的图象既关于直线久=a对称，又关于点(b,0)对称，则函数

/(x)的周期是41b-a\.

9.[2020新高考卷I,5分]若定义在R上的奇函数/(久)在(-8,0)单调递减，

且/(2)=0，则满足为/(久-1)>0的式的取值范围是(D)

A.[—1,1]U[3,+8)B.[—3,—1]U[0,1]C.[—1,0]U[1,+oo)D.[—1,0]U[1,3]

[解析]由题意知/(%)在(-8,0),(0,+8)单调递减，(奇函数在关于原点对称的

区间上单调性相同)

且/(-2)=/(2)=/(0)=0.当％〉0时，令/(%-1)>0>0<%-1<21<

x<3；当％<0时，令/(%—1)<0，得—2<%—1<0—1<x<1，又％<

0,-1<%<0；当久=0时，显然符合题意.综上，原不等式的解集为

[-1,0]U[1,3]，选D.

【速解】当％=3时,/(3—1)=0，符合题意，排除B；当％=4时，f(4—1)=

/(3)<0，此时不符合题意，排除选项A,C.故选D.

10.[2019全国卷III,5分]设/(%)是定义域为R的偶函数，且在(0,+8)单调

递减，则(C)

A-f(log3>/(2-1)>f(2-t)B.f(log3(2-t)>f(2-1)

C./(2-1)>f(2-t)>f(log3£)D./(2-t)>f(2-1)>f(log3

[解析]根据函数/(%)为偶函数可知，f(10g3y=/(-log34)=/(log34),因为

32/3、

0<2"<2-<2°<log34,且函数/(久)在(0,+00)单调递减，所以/(2一。>

f(2")>/(log34)=f(log3J.故选C.

11.[2019天津，5分]已知aGR.设函数/(%)=产—"+2a；“<L若关于％

1%—amx,x>1.

的不等式/(%)20在R上恒成立，贝Ua的取值范围为(C)

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e]

[解析]解法一当a=0时,不等式/(无)>0恒成立，排除D;当£1=e时,/(久)=

俨2_产+2e,x&1，当％K1时/(%)=/一2ex+2e的最小值为/(1)=1>

0，满足/(%)>0;当％>1时，由/(%)=%-eln%可得/'(%)=1-2=泞，易得

/(%)在％=e处取得极小值(也是最小值)/(e)=0，满足/(%)>0恒成立，排除

A,B.故选C.

解法二若％<1,/(%)-x2—2ax+2a-(x—a)2—a2+2a，当a<1时，可得

f(x)的最小值为/(a)=-a2+2a,令/(a)>0，解得0<a<2，故0<a<1;

当a>1时，可得/(%)的最小值为/(l)=1>0，满足条件.所以a>0.

若%>1，由/(久)-x-a\nx可得/'(%)=1-£=，当a<1时/'(%)>0，则

/(%)单调递增,故只需/(I)>0，显然成立;当a>1时，由/'(%)=0可得久=a，易

得/(%)的最小值为/(a)=a-alna,令/(a)>0，解得a<e，故1<aWe,所

以a<e.综上,a的取值范围是[0,e].

12.[2019全国卷II,5分]设函数/(国的定义域为R,满足/(%+1)=2/(%),

且当％E(0,1]时，/(%)=%(%-1).若对任意％E(-co,m],都有/(久)>,

则m的取值范围是(B)

9758

A.(-CX)-]B.(―8月C.(-CX)-]D.(―8月

43Z3

[解析]当-1<%W0时，0<%+1工1,贝1]/(%)=[/(%+1)=](久+1)%；

当1<%工2时，0〈光一1W1,贝U/(%)=2/(尤-1)=2(%—1)(%—2)；当

2<%W3时，0<%—2工1,则/(%)=2/(%—1)=22f(x-2)=

22(x-2)(%-3),……由此可得

1

-(%+l)x,-1<%<0,

，(”)=<2(xX-XlXx-02)l<x<2由此作出函数"%)的图象，如图所示・由

22(%—2)(%—3),2<%<3,

图可知当2〈无工3时，令22(尤一2)(%—3)=—『整理，得(3%一7)(3%—

8)=0,解得％=|或%=|,将这两个值标注在图中.要使对任意久E(-co,m］

都有/(%)>-1,必有m1,即实数m的取值范围是(一8,3，故选B.

【方法技巧】破解此类题的关键：一是会转化，把不等式恒成立问题转化为两

个函数的图象的关系问题，如本题，把“对任意％C(-8,瓶］,都有/(%)2

"转化为“xG(―8,瓶］时，函数/(%)的图象都不在直线y=-I的下

99

方”；二是会借形解题，即画出函数的图象，借助图象的直观性，可快速找到

参数所满足的不等式，从而得到参数的取值范围.

13.［2023新高考卷I,5分］(多选题)已知函数/(%)的定义域为R,f(xy)=

y2/(x)+x2f(y),则(ABC)

A./(0)=0B./⑴=0

C./(%)是偶函数D.久=0为的极小值点

［解析］取为=y=0,则/(0)=0,故A正确；取久-y-1,则/(I)=/(I)+

/(I)，所以/(I)=0，故B正确；取％=y=-1,则/(I)=/(-I)+/(-I),

所以/(一1)=0,取y=-1,则/(-%)=/(%)+%27(-1)，所以/(-%)=

/(久)，所以函数/(无)为偶函数，故c正确；由于/(0)=0,且函数/(无)为偶函

数，所以函数/(%)的图象关于y轴对称，所以久=0可能为函数/(无)的极小值

点，也可能为函数/(K)的极大值点，也可能不是函数/(久)的极值点，故D不正

确.综上，选ABC.

14.［2022新高考卷I,5分］(多选题)已知函数/(%)及其导函数/'(£)的定义

域均为R,记g(%)=/'(%).若/©-2%)，g(2+%)均为偶函数，则(BC)

A./(0)=0B.g(—3=0C./(—1)=/(4)D.g(—1)=g⑵

［解析］因为/(|-2x)为偶函数，所以/(|一2%)=/(|+2%)，所以函数/(久)的

图象关于直线％=|对称，/(|-2X|)=/(|+2X|),iP/(-l)=/(4),所以

C正确；

因为g(2+%)为偶函数，所以g(2+%)=g(2,函数g(%)的图象关于直线

%=2对称，因为g(x)=/'(%),所以函数g(x)的图象关于点(|,0)对称，

(二级结论：若函数九(久)为偶函数，则其图象上在关于y轴对称的点处的切线

的斜率互为相反数，即其导函数的图象关于原点对称.本题函数/(无)的图象关

于直线久对称，则其导函数g(K)的图象关于点(1,0)对称)

所以9(%)的周期7=4义(2-|)=2,因为/(一1)=/(4),所以/，(—1)=

—/'⑷，即g(—1)=—g⑷=—g⑵，所以D不正确；

因为/(;2)=/©+2)，即/(一£>=/()所以/'(一3=一/'(%所以

g(―§=-g0=-g(2x2—})=~9>所以9—0>所以B正

确；

不妨取/(%)=1(%GR)，经验证满足题意，但/(0)=1,所以选项A不正确.综

上，选BC.

【速解】因为/(|一2%)国(2+£)均为偶函数，所以函数/(%)的图象关于直线

%对称，函数以无)的图象关于直线％=2对称.取符合题意的一个函数

/(%)=1(%ER),则/(0)=1,排除A；取符合题意的一个函数/(%)=

sinTVX,则/'(%)=TTCOSTVX,即g(%)=TTCOSTVX,所以g(—1)=TTCOS(—TT)=

-TT,g(2)=TTCOS2TT=n,所以g(-l)Hg(2),排除D.故选BC.

二、填空题

15.［2023全国卷甲，5分］若/(%)=(%—1)2+a%+sin(%+］)为偶函数，则

a=2.

［解析］解法一因为f(%)为偶函数，所以f(一%)=/(%)，即(一％-I)2-ax+

sin(—%+^=(%—I)2+ax+sin(%+］)，得a=2.

2

解法二因为/(%)为偶函数，所以/(—§=/管)，即(_…)一声=

(］-1)+a，得a=2.

16.［2022北京，5分］函数/(%)=:+VI-%的定义域是(-8,0)u£QJJ.

［解析］因为/(%)=：+V1-%，所以％0,1-%>0,解得％G(-00,0)U

(0,1］.

17.(2022全国卷乙，5分)若/(%)=In|a+上|+b是奇函数，则。=

—1,b—In2.

［解析］/(%)=In|a+占|+b=In|a+汽|+Ineb=In|(a+1^_-aex|.：f(x)为

22fc

奇函数，；./(r)+/(久)=上『+1)；二:ex［二0,|(a+l)e-

a2e2bx2\=|1—/|.当(a+l)2e2b—a2e2、2=i_/时，则j(a+=1,

IazeZD=1,

22b22=

解得«=后，当g+2b_aex=-1+x时，则卜无

Lb=In2.(ae=T

解.综上，a=-1,b=ln2.

【速解】易知函数/(久)为奇函数，.•・由奇函数定义域关于原点对称可

得％H-1,当％=-1时，|a+上］£0.又N0恒成立，当％=

—1时，|a+--=0,•-a——鼻.又由/(0)——0可得b=In2.经检验符合题

/号、9ct—,b—In2.

2

18.［2022浙江，6分］已知函数/(无)=i+,则/(f(J)=,；若当

IX-\----1,Xx>1\

IX

xe［a，句时，1</(%)<3,则b—a的最大值是3+K.

：一1=||.作出函数/(光)的大致图象，如图所示，结合图象，令一/+2=

728

1,解得％=±1;令%+工-1=3,解得工=2±百，又％>1,所以％=2+

X

V3，所以(b—G)max=2+V3—(―1)=3+V3.

19.［2022北京，5分］设函数/(久)若/(%)存在最小值，则a

的一个取值为0(答案不唯一)；a的最大值为1.

［解析］当a=0时，函数/(%)=(:点°,存在最小值0,所以a的一个取

值可以为0；当a<0时，若X<a,/(%)=—a%+1,此时函数/(%)不可能存

在最小值；当0<aW2时，若％<a,则/(久)=-ax+1,止匕时/(%)E

(-a2+1,+oo),若%>a,则/(%)=(%-2)2e［0,+oo),若函数/(%)存在最

小值，则一a?+1>0,得0<aW1；当a>2时，若％<a,则/(%)=

—ax+1,止匕时/(%)E(—a2+1,+oo),若%>a,则/(为)=(%—2)2G

［(a-2尸,+8),若函数/(%)存在最小值，则一a?+1>(a-2)2,此时不等式

无解.综上,0<a<l,所以a的最大值为1.

20.［2021浙江，4分］已知aGR,函数/(久)=［'一若

/(/(孤))=3，则a=2

［解析］因为连>2,所以/(e)=6—4=2,所以/(/(V6))=/(2)=1+

a—3,解得a—2.

21.［2021新高考卷II,5分］写出一个同时具有下列性质①②③的函数/(%):

(答案不唯一).

①=/(%1)/(%2)；②当％C(0,+00)时，/z(x)>0；③/'(%)是奇函数.

［解析］由题意，可考虑二次函数,如函数/(%)=/,则f=好好,

/(%1)=%1,/(%2)=媛，所以=/(%1)/(%2)；因为/'(%)=2%,

/'(—%)=-2%=—/'(X),所以/'(%)为奇函数，且当％>0时，/'(%)>o.故

函数/(%)=%2符合题意.

22.［2020北京，5分1函数“北=±+In%的定义域是9+8).

［解析］函数/(久)=a+In久的自变量满足｛:：j。仇•••％>0，即定义域为

(0,+00).

2

23.［2020江苏，5分］已知y=/(%)是奇函数，当久20时，/(%)=百，则

/(—8)的值是二4.

22

［解析］由题意可得/(一8)=-/⑻=-83=-(23)3=-22=-4.

24.［2019北京，5分］设函数/(%)=e*+ae-x(a为常数).若/(%)为奇函数,

则a==1；若/(久)是R上的增函数，贝1Ja的取值范围是(-8,0］.

［解析］：为奇函数，；./(-%)=-/(%),BPe-x+aex=-ex-ae~x

(1+a)e~x+(1+a)ex—0a——1;••,/(%)是R上的增函数，/'(%)—ex—

2x

ae~x-彳J>0e2x-a>0，则a<0，故a的取值范围是(一8,0］.

考点5函数的图象

题组

选择题

1.［2023天津，5分］函数/(%)的图象如图所示，则/(%)的解析式可能为(D)

A"(%)=/?2B./(%)=券c./(%)=皑FD./(%)=含

［解析］由题图可知函数/(%)的图象关于y轴对称，所以函数/(%)是偶函数.因为

y=/+2是偶函数，y=eX—eT是奇函数，所以/(久)=巴黑岁是奇函

数，故排除A；因为y=/+1是偶函数，y=sin%是奇函数，所以/(%)=

舞是奇函数，故排除B；因为％2+2>0,eX+eT>o,所以/(%)=

5(e；+e］)>0恒成立,不符合题意，故排除C.分析知，选项D符合题意，故选

xz+2

D.

2.［2022全国卷甲，5分］函数y=(3支一3一支)・COSK在区间［―；弓］的图象大致

为(A)

［解析］解法一(特值法)取％=1，则y=(3-§cos1=geos1>0；取X=

-1,则y=(|-3)cos(-l)=-1cos1<0.结合选项知选A.

解法二令y—/(%),则/(—%)—(3-x—3z)cos(—%)=—(3Z—3-z)cosx-

-/(%),所以函数y=(3X-3-x)cosx是奇函数，且当％G(0弓)时,3芯-3T>

0,cosx>0，故f(%)>0，故选A.

【方法技巧】解图象识别题的关键：一是活用函数的性质，常利用函数的单调

性与奇偶性来排除不符合题意的选项；二是取特殊点进行排除，根据函数的解

析式，选择特殊点，即可排除不符合题意的选项.

3.［2022全国卷乙，5分］如图是下列四个函数中的某个函数在区间［一3,3］的大

致图象，则该函数是(A)

［解析］对于选项B,当％=1时，y-0,与图象不符，故排除B；对于选项

D,当％=3时，y=1sin3>0,与图象不符，故排除D；对于选项C,当％〉

0时，y-2：；；：<X=COS久W1,与图象在y轴右侧最高点大于1不符，

所以排除C.故选A.

C.D.

［解析］/(%)=左尹的定义域为｛久1%丰0),且/(一%)==一生二0=

-/(%),所以函数/(%)是奇函数，函数/(%)的图象关于原点对称，故排除选项

C,D;因为I/-1|>0，所以当％>0时/(%)20,当“<0时/(%)<0，故排除选

项B.故选A.

5.［2021浙江，4分］已知函数/(%)=/+］应(%)=sin久,则图象如图的函数可

能是(D)

/(%)g(%)D.y=若

［解析］易知函数/(%)=%2+；是偶函数，gO)=sin%是奇函数，给出的图象对

4

应的函数是奇函数.选项A,y-/(%)+g(久)一:=/+sin%为非奇非偶函

数，不符合题意，排除A；选项B,y=/(久)一g(K)-［=/一sin%也为非奇

非偶函数，不符合题意，排除B；因为当为6(0,+8)时，/(%)单调递增，且

/(%)>0，当为C(0弓)时，g(%)单调递增，且。(%)>0,所以y=在

(0,3上单调递增，由图象可知所求函数在(0,9上不单调，排除C.故选D.

6.12019全国卷I,5分］函数/(%)=也坐在［―n,n］的图象大致为(D)

cosXI%

A.

sin(-x)-xsinx+x

［解析］易知函数/(%)的定义域为

R.•••/(-%)cos(-x)+(-x)2cosx+x2

一/(%)，・•・f(%)为奇函数，排除A；-/(TT)==三＞0，・•・排除C；

v/(l)=-......，且sin1>cos1，・•.f(1)>1，.,・排除B・选D.

JCOS1+1J

考点6指数函数、对数函数、幕函数

题组

选择题

1.[2023天津，5分]若。=1.O105,b=1.O106,c=O.605,则a,b,c的大小关

系为(D)

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

[解析]因为函数/(%)=1.0y是增函数，且0.6>0.5>0,所以

1.O105>1,即b>a>l；因为函数g(%)=0.6X是减函数，且0.5>0,所以

O.605<0.6°=1,即c<1.综上，b>a>c.故选D.

2.[2023新高考卷I,5分]设函数/(久)=2以"。)在区间(0,1)单调递减，贝南

的取值范围是(D)

A.(-oo,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+^)

[解析]解法一由题意得y=x(x-a)在区间(0,1)单调递减，所以久=^>1,

解得a>2.故选D.

解法二取a=3,则y=x(x—3)=(%—：在(o］)单调递减，所以

/(%)=2皿-3)在(0,1)单调递减，所以a=3符合题意，排除A,B,C,故选D.

Q7

07

3.［2022天津，5分］已知a=2',b=',c=log2|，则(C)

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

07

［解析］因为a=2'>2°-1,0<b=Q)<Q)=1,c-log21<

log2l=0,所以a>b>c,故选C.

4.［2022天津,5分］化简⑵og43+log83)(log32+log92)的值为(B)

A.1B.2C.4D.6

［解析K210g43+log83)(log32+log92)=(21og223+log233)(log32+log322)=

(log23+|log23)(log32+|log32)=|xlog23x|xlog32=2,故选B.

5.［2022北京，4分］已知函数/(久)=备，则对任意实数无，有(C)

A./(—%)+/(%)=0B./(—%)—/(%)=0C./(—%)+

1

/(%)=1D./(-%)-/(%)=］

［解析］函数/(%)的定义域为R,/(-X)=号工=3不，所以/(-%)+/(%)=

总+a=1,故选j

6.［2022浙江,4分］已知2a=5,log83=b，则4"3b=(c)

2555

ABD-

3

［解析］由2a=5得a=log25.又匕=log83=?og23,所以a—3b=log25—

55

310-

2=2--g4-所以4-3b=41og居=弓，故选

310g423

c

7.［2022全国卷甲，5分］已知9加=10,a=10m-11,b=8m-9,^lj(A)

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

［解析］因为9M=10,所以m=log910,所以。=10徵—ll=10iog910—

11=10】og910—lObgioll.因为logglO-logioll=翳一昌=

Qg?：g9-igii>agio：-产丹=HzfS>o，所以a>0,b=8bg91。-9=

1g91g101g91g101g9

81Og91<

°-8*，因为晦1°-log89=翳噜lg8=咒院詈尸

（―明Qg9）2J譬）笃（叫2

<0,所以b<0.综上,a>0>b.故选A.

lg91g8Ig91g8

8.[2021新高考卷II,5分]若a=log52,b=log83,c=|,则（C）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

［解析］a=logs2=log5V4<log5V5=(=c,b-log83=log8M>log8V8=

|=c,所以a<c<b.故选C.

9.［2021全国卷甲，5分］青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助

视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据

L和小数记录法的数据U满足L=5+IgU.已知某同学视力的五分记录法的数据

为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为CVTUX1.259)(C)

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

［解析］4.9=5+lgUnlg，=-0.1V-lO-io=-^―〜〜0.8，所以该同

学视力的小数记录法的数据约为0.8.

10.［2020全国卷I,5分］设alog34=2，则=(B)

1111

A.—B.-C.-D.-

16986

［解析］解法一因为alog34=2,所以log34a_2,则有4a-32-9,所以

4Y=2=2，故选B-

解法二因为alog34=2,所以-alog34=-2,所以logs，。=-2,所以

4-a=3-2=2=—故选B.

349

11.［2020新高考卷I,5分］基本再生数&与世代间隔T是新冠肺炎的流行病

学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间

传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：/(t)=ert

描述累计感染病例数/(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与

Ro，T近似满足品=1+rT.有学者基于已有数据估计出品=3.28,7=6.据

此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为

(In2-0.69)(B)

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

(/(以)=e038tl,

038t

［解析］：A。=1+厂73.28=1+6rr=0.38.若｛7(t2)=e2,则

(/(切=2/Qi),

eo.38(t2-tl)=2,o.38(t2-=In2«0.69,t2-~1.8，选B.

12.［2020新高考卷II,5分］已知函数f(%)=lg(x2-4x-5)在(a,+8)上单调

递增，则a的取值范围是(D)

A.(-oo,-l］B.(―8,2］C.［2,+8)D.［5,+8)

［解析］由久2-4%一5>0,解得%〉5或久<一1,所以函数/(%)的定义域为

(—co,—1)u(5,4-00).又函数y-x2—4x—5在(5,+oo)上单调递增，在

(-oo,-l)上单调递减，所以函数/(%)=lg(x2-4%-5)在(5,+8)上单调递

增，所以a>5,故选D.

【方法技巧】函数y=loga/(%)的单调性与函数a=/(%)(/(%)>0)的单调性

在a>1时相同，在0<a<1时相反.注意研究对数型复合函数的单调性，一定

要坚持“定义域优先”原则，否则所得范围易出错.

13.［2020全国卷II,5分］设函数/(%)=In|2%+1|-ln|2x-1|,则/(久)(D)

A.是偶函数，且在(［,+8)单调递增0B.是奇函数，且在单调递减

C.是偶函数，且在单调递增D.是奇函数，且在(-8,-9单调递减

［解析］由J&得函数/(%)的定义域为(_8,_习UU@,+8),

其关于原点对称，因为/(一%)=ln|2(-x)+1|-ln|2(-x)-1|=ln|2x-1|-

ln|2x+l|=-/(%),所以函数f(%)为奇函数,排除A,C.当上«_4

时，/(%)=ln(2久+1)-ln(l-2%),易知函数/(%)单调递增，排除B.当％C

(一叫一f时，/(%)=ln(-2x-1)-ln(l-2x)=In含=In(1+后)，易

知函数/(%)单调递减，故选D.

【方法技巧】解答本题的关键点：(1)判断函数的奇偶性通常利用定义，但必

须要先判断函数的定义域是否关于原点对称；(2)确定函数的单调性时，要注

意化简函数的解析式，并利用复合函数的单调性进行判断.

07

14.［2020天津，5分］设。=3,b=,c=log0,70.8，则a,b,c的大小关系

为(D)

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

—0.8

©=30'8,易知函数y=3X在R上单

调递增，所以6=3。8>3。，7=。>1,所以c<a<b,故选D.

15.［2020全国卷II,5分］若2久一2><3T—3->，则(A)

A.ln(y—x+1)>0B.ln(y—%+1)<0C.ln|x-y\>

0D.ln|x-y|<0

［解析］由>-2y<3-x-3-y,得才-3T<2,—3-y,即2丫_qy<A—

g)y.设/(t)=2t-，则/(%)</(').因为函数z=2t在R上为增函

数，z=—Q'在R上为增函数，所以/(t)=2t—G)'在R上为增函数，则由

/(%)</(、)，得为<y,所以y-%>0,所以+所以

ln(y—x+1)>0,故选A.

【方法技巧】解答本题的关键点：(1)对于结构相同(相似)的不等式，通常

考虑变形，构造函数；(2)利用指数函数与对数函数的单调性得到的大小

关系及ln(y-%+1)的符号.

16.［2020全国卷I,5分］若2a+log2a=4s+210g4b，则(B)

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

XX

［解析］令/(%)=2+log2x，因为y=2在(0,+8)上单调递增，y=log2x在

X

(0,+oo)上单调递增，所以/(%)=2+log2X在(0,+8)上单调递增.又2a+

b

log2a=4+210g4b=22b+log2b<22b+\Og2(2b),所以/(a)</(2b),所

以a<2b.故选B.

【方法技巧】破解此类题的关键：一是细审题，盯题眼，如本题的题眼为

ab

"2+log2a=4+21og4b"；二是巧构造，即会构造函数，注意活用初等函

数的单调性进行判断；三是会放缩，即会利用放缩法比较大小.

17.［2020全国卷III,5分］已知55<84,134<85.设a=log53力=log85,c=

log138,WA)

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

454

［解析］55<8=>In5<In8n51n5<41n8，所以'>等=log85=b;同理

5In8

134<85nIn134<In85n41n13<51n8，所以±<—=log8=

5In13o1,。3

c;34<53=>In34<In53041n3V3In5，所以三>—=log3=

4In55

3434

a;8<5=>In8<In5n31n8<41n5,所以三<等=log85=b.综上可

4In8

知，a<2<b<3<c,故选A.

45

【方法技巧】比较两数(式)大小的方法

(I)作差法：根据两数或两式的差与0的大小关系判断大小.

(2)作商法：根据两数或两式的商与1的大小关系判断大小.作商比较大小时

要注意两者的符号，否则会产生错解.比如，若£>1，则当5>0时，有a>

b；当匕<0时，有a<b.

(3)中间值法：对于两个数值，如果无法直接比较大小，那么可以考虑利用中

间值来比较大小.一般常用的中间值有0,1,［等.如比较大小：2.1。3和

0.321,显然2.163大于1,0.32工小于1,则中间值可取1；log32和

log3(log32),显然log3