（江西版）高考数学总复习 第十章10.5 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 理 北师大版（含详解）

一、选择题1．随机变量X的分布列为X124P0.40.30.3则E(5X＋4)等于()．A．15B．11C．2.2D．2.32．同时抛两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币出现不同面的次数为X，则DX等于()．A．eq\f(15,8)B．eq\f(15,4)C．eq\f(5,2)D．53．(2011湖北高考，理5)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝()．A．0.6B．0.4C．0.3D．0.24．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，若随机变量ξ＝|a－b|的取值，则ξ的数学期望Eξ＝()．A．eq\f(8,9)B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,3)5．(2012福建厦门质检)2011年7月以来，持续的高温少雨天气导致西南五省市部分地区发生较为严重的旱情，为此，某地消防大队紧急抽调1,2,3,4,5号五辆消防车，分配到附近的A，B，C，D四个村子进行送水抗旱工作，每个村子至少要安排一辆消防车．若这五辆消防车中去A村的辆数为随机变量ξ，则Eξ的值为()．A．eq\f(1,4)B．eq\f(3,4)C．1D．eq\f(5,4)6．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值范围是()．A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,12)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))二、填空题7．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为eq\f(1,3)，用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则随机变量ξ的期望Eξ＝__________.8．已知随机变量x～N(2，σ2)，若P(x＜a)＝0.32，则P(a≤x＜4－a)的值为__________．9．现有三枚外观一致的硬币，其中两枚是均匀硬币另一枚是不均匀的硬币，这枚不均匀的硬币抛出后正面出现的概率为eq\f(2,3)，现投掷这三枚硬币各1次，设ξ为得到的正面个数，则随机变量ξ的数学期望Eξ＝__________.三、解答题10．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．(1)记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；(2)求ξ的分布列和数学期望．11．(2011陕西高考，理20)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间/分钟10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望．12．设篮球队A与B进行比赛，规定7局4胜且每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定A，B在每场比赛中获胜的概率都是eq\f(1,2)，试求需要比赛场数的期望

参考答案一、选择题1．A解析：∵EX＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，∴E(5X＋4)＝5EX＋4＝11＋4＝15.2．C解析：∵X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))，∴DX＝np(1－p)＝10×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).3．C解析：根据题意，随机变量ξ的正态分布密度曲线图关于x＝2对称，故P(0＜ξ＜2)＝P(2＜ξ＜4)＝P(ξ＜4)－P(ξ＜2)＝0.8－0.5＝0.3.4．A解析：对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物线有＝126条，ξ的可能取值有0、1、2.P(ξ＝0)＝eq\f(6×7,126)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝1)＝eq\f(8×7,126)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝2)＝eq\f(4×7,126)＝eq\f(2,9)，E(ξ)＝eq\f(8,9).5．D解析：由题意知，随机变量ξ的取值是1,2，“ξ＝2”是指“有两辆消防车同时去A村”，则P(ξ＝2)＝＝eq\f(1,4)，所以P(ξ＝1)＝eq\f(3,4).所以Eξ＝1×eq\f(3,4)＋2×eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).6．C解析：由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则EX＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1.75，解得p＞eq\f(5,2)或p＜eq\f(1,2)，又由p∈(0,1)，可得p∈(0，eq\f(1,2))．二、填空题7．eq\f(5,3)解析：由题意，ξ～B(5，eq\f(1,3))，所以Eξ＝eq\f(5,3).8．0.36解析：据题意由正态分布的对称性可得P(x＜a)＝P(x＞4－a)＝0.32，因此P(a≤x＜4－a)＝1－2P(x＜a)＝0.36.9．eq\f(5,3)解析：抛掷一枚均匀的硬币，出现正面和反面的概率均为eq\f(1,2).易得ξ＝0,1,2,3，由于各枚出现正反面的概率是相互独立的，所以P(ξ＝0)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,12)；P(ξ＝1)＝＝eq\f(1,3)；P(ξ＝2)＝×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(5,12)；P(ξ＝3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,6).故Eξ＝0×eq\f(1,12)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(5,12)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3).三、解答题10．解：(1)设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x(1－y)(1－z)＝0.08，,xy(1－z)＝0.12，,1－(1－x)(1－y)(1－z)＝0.88，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0.4，,y＝0.6，,z＝0.5.))若函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数，则ξ＝0.当ξ＝0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选．∴P(A)＝P(ξ＝0)＝xyz＋(1－x)(1－y)(1－z)＝0.4×0.5×0.6＋(1－0.4)(1－0.5)(1－0.6)＝0.24，∴事件A的概率为0.24.(2)依题意知ξ＝0,2，则ξ的分布列为ξ02P0.240.76∴ξ的数学期望为Eξ＝0×0.24＋2×0.76＝1.52.11．解：(1)Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i＝1,2.用频率估计相应的概率可得P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B2)＞P(B1)，∴乙应选择L2.(2)A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由题意知，A，B独立，∴P(X＝0)＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝0.4×0.1＝0.04，P(X＝1)＝P(eq\x\to(A)B＋Aeq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))P(B)＋P(A)P(eq\x\to(B))＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54.∴X的分布列为X012P0.040.420.54∴EX＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5.12．解：事件“X＝4”表示，A胜4场或B胜4场(即B负4场或A负4场)，且两两互斥．P(X＝4)＝××＋××＝eq\f(1,8)；事件“X＝5”表示，A在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B在第5场中取胜且前4场中胜3场(即第5场A负且4场中A负了3场)，且这两者又是互斥的，所以P(X＝5)＝eq\f(1,2)＋＝eq\f(1,4).类似地，事件“X＝6”、“X＝7”的概率