2023-2024学年辽宁省锦州市九年级上学期期末考数学试卷含详解

锦州市2023-2024学年度九年级（上）期末质量检测

数皿「学,、忆试\__rx卷、/。

考试时间90分钟试卷满分120分

※考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效.

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，有且只有

一个选项是正确的）

1.小明家购买了一款新型吹风机.如图所示，吹风机主体是由一个空心圆柱体构成，手柄可近似看作一个圆柱

2.随机抛掷一枚瓶盖1000次，经过统计得到“正面朝上”的次数为520次，则可以由此估计抛掷这枚瓶盖出现

“反期朝上”的概率大约为（）

A.0.58B.0.52C.0.50D.0.50

3.矩形和菱形都具有的性质是（）

A.邻边相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等

4.关于x一元二次方程4必+4%+1=0的根的情况是（）

A.没有实数根B.有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

5.对于反比例函数y=下列说法正确的是（）

x

A.函数图象分布在第二、四象限B.点（—1,—5）在该函数图象上

C.当x〉l时，y>5D.当x>0时，y值随X值的增大而增大

6.在平面直角坐标系中，与△A/iG位似,位似中心是原点。，AABC与与G的相似比是《，若点

A的坐标为（4,-2）,则其对应点4的坐标是（)

A.(8,4)B.(-2,-1)C.(2,-1)或(一2,1)D.(8,—4)或(—8,4)

7.某中学准备建一个面积为5000平方米的矩形操场，操场的长比宽长50米，设操场的长为了米，根据题意，下

面所列方程正确的是（）

A.x（x-50）=5000B,x（x+50）=5000

C.2Mx-25）=5000D.2x（25+x）=5000

8.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影

长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳

下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的

长为（）

n\

竿\标:

I忡s

\杆\

A.五丈B.四丈五尺C.一丈D.五尺

9.如图，在RtZkABC中，ZC=90，AB=4，OE垂直平分AB分别交AC,AB于点。，E,连接BD，

点。在直线A5上方运动，设BD=x,AC=y,则y与龙之间的函数关系用图象可以大致表示为（）

小

A.4AB.4---11C.*■

D.4……\

nH―~?（j|-i----zJ~~i-

rRTJH——r

10.如图，在矩形A3CD中，OEIAC于点”，交BC于点F点E在边AB上，连接OE,EF,且

SAEG1

N£DF=45。，下列三个结论：①AAEGs八CDG；②若BE=2AE，则<°=；③

)ABC

GW?=AH.C".其中正确的结论有（）

因

BFC

A.0个B.1个C.2个D.3个

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

「「a1a

11.已知一二一，则---=.

b2a+b

12.如图，树AB在路灯。的照射下形成投影AC,已知路灯高。O=4m,树影AC=2m,树AB与路灯。的水

平距离AD=3m,则树的高度AB长是m.

13.如图，菱形A5C。对角线AC,5。相交于点。，E为AD中点，OE=4,则菱形A5CD的周长为

k

14.如图，点A,C在反比例函数>=勺。>0）的图象上，A5〃y轴交x轴于点B,8〃％轴分别交A3和〉

x

轴于。，E两点，若CD=2DE,S四边形0BCE=12,则左的值为.

15.如图，在正方形ABCD中，AB=2,E为CD的中点，F为BE上一点（不与点5重合），AF=AD，P

为A。上一点，以点A为圆心，AP长为半径画弧交A尸于点Q,分别以点尸，。为圆心，大于:尸。长为半径

画弧，两弧交于点M,射线40交5E延长线于点G,连接。G,则AG的长为.

三、解答题(本大题共8个题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)

16.用适当的方法解下列方程：

(1)(x-2)2=4x-2x2

(2)(x-l)(x+2)=4

17.一个不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.某课外学习小组做摸球试验：将球搅

匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：

摸球的次数200300400100016002000

摸到白球的

7293130334533666

频数

摸到白球的

0.36000.31000.32500.33400.33310.3330

频率

(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是,(精确到0.01),由此估计

出袋子中红球有个；

(2)现从该袋子中一次摸出2个球，请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到不同颜色

的球的概率.

18.如图，在YABCD中，点E,产分别在BC,CD±,连接AE,EF,FA,若人£=A尸，CE=CF.求

证：四边形A3CD是菱形.

19.【画图操作】

(1)如图1,三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图所

示.请在图中画出光源P的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长MV(不写画法)

【数学思考】

(2)如图2,夜晚，小明从点A经过路灯。的正下方沿直线走到点8,设他的影长为丁，他与点A之间的距离为

X,那么下列四幅图象中，能表示)与无之间函数关系的是哪一个，请说明理由(从函数的变化趋势的角度说明理

由即可).

20.如图，在一ABC中，AB=AC,延长AB到点。，使=延长到点E，连接OE，AE,且

ZD=ZAEC.

(1)求证：DBEsECA；

(2)若BC=3,CE=2,求A。的长.

21.某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产

品达到45套.

(1)求2月到4月公司销售A产品的月平均增长率；

(2)该公司4月份销售45套A产品，每套利润是2万元，因为产品供不应求，公司决定适当的涨价，经市场调

查发现，当A产品每套的销售利润每涨价0.1万元时，平均每月少售出1套，该公司要想在5月份获利100万元,

而且尽可能让顾客得到实惠，A产品每套应涨价多少万元？

22.【建立概念】

如图1,在矩形A3CD中，AB=a,BC=b,当a+Z?=aZ?时，称这个矩形为“核心矩形”.

【理解概念】

(1)当a=3b时，矩形A3CD是“核心矩形”，求。的值；

【深入研究】

(2)如图2,分别以矩形A3CD的边BC,CD所在直线为x轴，J轴建立平面直角坐标系，点A在第二象限，

若“核心矩形A3CD”的面积为12,求点A的坐标；

【拓展延伸】

(3)下面从函数的角度研究“核心矩形”，已知一个“核心矩形”的邻边长分别为x,y(x>D.

①求》与x的函数表达式；

②若该函数的图象可以通过反比例函数y=2(x>0)的图象平移得到，请你在图3中画出该函数图象的草图，观察

x

图象，写出该函数的两条性质；

③若将“核心矩形”的邻边分别增加这个新矩形还是“核心矩形”吗？请说明理由.

23.【知识回顾】

(1)如图1,在，RC中，A。是边上的中线，AB=4,AC=3,求的取值范围.

小明和小刚两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路.

①小明同学的思考过程：在一ABC中，已知两边A5和AC的长度，根据条件只能直接求出边的取值范

围.而要想求中线AD的取值范围，只有将中线AD转化到一个三角形的两边长度是已知量的第三条边上.如图

2,可以延长AD到点E，使小=AO,连接EC,这样就构造了ZkACE,将求A。的取值范围，转化为求

AACE的边AE的取值范围；

②小刚同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同.如图3,过点C作C尸〃交

延长线于点于是得到△ACF.进而将求A。的取值范围，转化为求的取值范围.

请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程.

【迁移应用】

(2)请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题.

如图4,在ABC中，。是边的中点，点E在AC边上，CE=2AE,AB=8,AC=6,求OE的取值范

围.

能力提升】

(3)如图5,在正方形A3CZ)中，。为对角线AC的中点，AB=3,点G在边上，E为平面内一点且

BE=BG=1,以AE为斜边，在AE的右侧作等腰直角三角形AEF，连接Gb,求G尸的取值范围.

锦州市2023-2024学年度九年级（上）期末质量检测

皿「,、忆\__rx、”■

数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，有且只有

一个选项是正确的）

1.小明家购买了一款新型吹风机.如图所示，吹风机的主体是由一个空心圆柱体构成，手柄可近似看作一个圆柱

【答案】C

【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形即可解答.

【详解】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是选项C.

故选：C.

【点睛】本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得

到的图形.

2.随机抛掷一枚瓶盖1000次，经过统计得到“正面朝上”的次数为520次，则可以由此估计抛掷这枚瓶盖出现

“反画朝上”的概率大约为（）

A.0.58B.0.52C.0.50D.0.50

【答案】D

【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆

动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个

事件的概率.

用得到“正面朝上”的次数除以抛掷总次数即可.

【详解】解：随机抛掷一枚瓶盖1000次，经过统计得到“正面朝上”的次数为520次，

所以由此估计抛掷这枚瓶盖出现“反面朝上”的概率为®（匕^=0.48,最接近0.5.

1000

故选：D.

3.矩形和菱形都具有的性质是（）

A.邻边相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等

【答案】B

【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握菱形和矩形的性质；

根据菱形和矩形的性质即可判断；

【详解】解：A、矩形邻边不一定相等，不符合题意，

B、矩形和菱形对边相等，符合题意，

C、矩形对角线不一定互相垂直，不符合题意，

D、菱形对角线不一定相等，不符合题意，

故选：B.

4.关于x的一元二次方程4f+4%+1=0的根的情况是（）

A.没有实数根B.有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

【答案】C

【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别

式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程依之+法+c=O（aw。）根的判别式A=〃—4ac，当△>（）时，方程

有两个不相等的实数根；当△=（）时，方程有两个相等的实数根；当A<0时，方程没有实数根是解题的关键.

【详解】解：：△=4?-4xlx4=0，

方程有两个相等的实数根，

故选：C.

5.对于反比例函数y=下列说法正确的是（

x

A.函数图象分布在第二、四象限B.点（-1,-5）在该函数图象上

C.当％〉1时，y>5D.当x>0时，y的值随X值的增大而增大

【答案】B

【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质,熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.

根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可.

【详解】解：A、左=5>0；...它的图象在第一、三象限，不符合题意；

B、-1x（-5）=5,...点（T—5）满足关系式，符合题意；

C、当％>1时，y<5,不符合题意；

D、当x>0时，它的图象在第一象限，y随x的增大而增小，不符合题意.

故选：B.

6.在平面直角坐标系中，与△44G位似，位似中心是原点。，JRC与△A51G的相似比是若点

A的坐标为(4,-2),则其对应点4的坐标是()

A.(8,4)B.(-2,-1)C.(2,-1)或(-2,1)D,(8,—4)或(—8,4)

【答案】D

【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心,

相似比为左，那么位似图形对应点的坐标是原坐标乘以上或—左.

【详解】解：点A的坐标为(4,-2),且位似中心是原点。，与的相似比是

对应点A的坐标是(2,-1)或(-2,1),

故选：D.

7.某中学准备建一个面积为5000平方米的矩形操场，操场的长比宽长50米，设操场的长为无米，根据题意，下

面所列方程正确的是()

A.x(x-50)=5000B,x(x+50)=5000

C.2x(x-25)=5000D.2x(25+x)=5000

【答案】A

【分析】首先用x表示出矩形的宽，然后根据矩形面积=长、宽列出方程即可.

【详解】解：设该场地的长为无，则宽为(1-50)；

根据长方形的面积公式可得：x(x-50)=5000.

故选：A.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，记住长方形面积=长乂宽是解决本题的关

键.

8.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影

长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳

下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的

长为()

、

平;标：

\杆\

A.五丈B.四丈五尺C.一丈D.五尺

【答案】B

【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论.

【详解】设竹竿的长度为x尺，

:竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，

.x_1.5

"15；

解得下45（尺），

即竹竿的长为四丈五尺.

故选B

【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键.

9.如图，在RtzXABC中，ZC=90，AB=4,OE垂直平分AB分别交AC,AB于点D,E,连接BD，

点C在直线A5上方运动，设班＞=无，AC=y,则y与x之间的函数关系用图象可以大致表示为（）

【答案】B

【分析】本题主要考查了垂直平分、勾股定理、直角三角形的性质及反比例函数图像等知识点，根据题意求得v

与X解析式是解答本题的关键.根据勾股定理+£）02=432—402+。。2可得出y与X解析式，注

意X的取值范围即可.

【详解】解：；OE垂直平分AB,

AAD=DB=x,CD=y-x

•/ZC=90°

DB-=BC2+DC2=AB2-AC2+DC2

即x2=42-y2+(y-x)-,

解得x2=42-y2+y2+x2-2xy

8

y=-

X

:点。在直线AB上方运动

:・BD>BE,

x>2

Q

•••）与工之间的函数关系为丁=—@>2）,

故选：B.

10.如图，在矩形ABC。中，DF，AC于悬H,交BC于点口，点E在边AB上，连接。E,EF,且

S]

/EOF=45。，下列三个结论：①AAEGS^CDG；②若BE=2AE，则三巫=不；③

»ABC1，

G"2=AH.C".其中正确的结论有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，

根据矩形的性质有A5CD,即可得NE4G=NGCE>,ZGEA=ZGDC,即可证明①；根据①的结论可得

ApFGAFFG1

—=—,根据班=2AE,可得一=—=",再根据相似三角形的性质证明②；根据等腰三角形的判定

CDGDCDGD3

与性质可证明GH=DH,再证明,ADHsDCH即可判定③.

【详解】：在矩形A3CD中，ABCD,AB=CD,

：.ZEAG=ZGCD,ZGEA=ZGDC,

:.AAEGs^CDG,故①正确；

.AEEG

"CD~GD'

"：BE=2AE,

：.AB=AE+BE=3AE,

：.AB=CD=3AE,

.AEEG1

"CD~GD~3J

q1s1

.-AEG=_土AEG__

,,<?9'qa'

0,CDGy°.AGD°

•CQCCQC

,,0,CDG—=7。AEG,AGD=—安AEG'

••c=q=q19c

,°ABC-°ADC一°ADG丁0CDG=~、Q_AEG，

si

•••三巫=不，故②正确；

'ABCI'

VZEDF=45°,DF1AC,

/.ZGHD=90°,

：.ZEDF=ZDGH=45°,

：.GH=DH,

•：ZGHD=ZADC=90°,

:.ZDAH+ZADH=ZDAH+ACD=90°,

：.ZADH=ACD,

■:ZGHD=ZDHC=90°,

A_ADH^DCH,

.AHPH

,•而一方’

DH-=AH-CH，

"：GH=DH,

•1•GH~=AHCH，故③正确；

即正确的有三个，

故选：D.

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.已知色=」",则―--=.

b2a+b

【答案】7

3

【分析】根据比例的性质变形后计算即可.

【详解】V-=-,

b2

b-2a,

.a_a_1

••———，

a+ba+2a3

故答案为：—.

3

【点睛】本题考查比例的性质，由比例性质得到b=2a是解题的关键.

12.如图，树A3在路灯。的照射下形成投影AC,已知路灯高DO=4m,树影AC=2m,树A3与路灯。的水

平距离AD=3m,则树的高度A3长是m.

Q

【答案】I

【分析】利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】解：,••■〃。口，

△CABs/xCDO,

.ABAC

••而一而‘

.AB2

••二,

42+3

Q

AJB=—(m),

Q

答：树的高度AB长是§m,

Q

故答案为：—.

【点睛】本题考查中心投影以及相似三角形的应用.测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性

质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决.

13.如图，菱形A3CZ)的对角线AC,相交于点。，E为A。中点，OE=4,则菱形A3CD的周长为

【答案】32

【分析】此题考查了菱形的性质和中位线定理，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和中位线定理的应用.

【详解】：四边形A3CD是菱形，

AB=BC=CD=DA,OB=OD,

,/E为AD中点，

：.0E=-AB=4,

2

:.AB=BC=CD=DA=8,

菱形ABCD的周长为32,

故答案为：32.

k_

14.如图，点A,C在反比例函数y=—(%>0)的图象上，轴交光轴于点与，CD〃工轴分别交和V

x

轴于。，E两点，若CD=2DE,S四边形08位二12,则女的值为.

BD---,利用S四边形O8CE=S四边形08DE+SBCD=12,列出方程求解即可.

3x

【详解】解：•••A5〃y轴交X轴于点3,CD〃x轴分别交和y轴于

，ABJ.X轴，CE_Ly轴，

ZBOE=9Q°,

...四边形OBDE为矩形，

OB=DE,OE=BD,

设=贝!J：CD=2x,

:.CE-3x,

k

・・,点A,C在反比例函数y=—(x>0)的图象上，

X

k\k2

=

•,S四边形QBCES四边形OBOE+SBCD—x•—+5•2x•—=§Z=12,

・•・左=18；

故答案为：18.

15.如图，在正方形A5C。中，AB=2，/为CD的中点，尸为BE上一点（不与点8重合），AF=AD^P

为AD上一点、,以点A为圆心，AP长为半径画弧交A尸于点Q,分别以点尸，Q为圆心，大于:尸。长为半径

画弧，两弧交于点M,射线40交5E延长线于点G,连接。G,则AG的长为.

【分析】作AH,6G于H,利用已知条件及等腰三角形的性质证明一AE是等腰直角三角形，再利用相似三角形

的性质和判定求出AH的长，进而用勾股定理求出AG的长.

【详解】解：如图，作AH,6G于"，

由题意可知，AG平分NB4F，

.-.Z3=Z4,

AD=AF,正方形ABC。中，AD=AB,

:.AB=AF,

AH±BG,

.-.Z1=Z2，

Zl+Z2+Z3+Z4=90°,

.-.Z1+Z3=45O,

.-.Z5=45°,

AH=HG,

Z2+Z6=90°,Z6+Z7=90°,

:.Z2=Z7,

ZAHB=ZC=90°,

ABHs：BEC,

BHAHBHEC

---=----即Hn----=----,

ECBCAHBC

E为CD的中点，BC=CD,

:.CE=-BC,

2

:.BH=-AH,

2

BH?+AH?=AB?=4,即+AH2=4,

【点睛】此题是四边形综合题，主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股

定理等知识，解题关键是学会用添加辅助线，构造相似三角形、直角三角形解决问题，属于中考压轴题.

三、解答题(本大题共8个题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)

16.用适当的方法解下列方程：

(1)(x-2)2=4x-2x2

(2)(x-l)(x+2)=4

2

【答案】(1)X1=-,X2=2

(2)：x\=-3,X2=2

【分析】(1)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；

(2)整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可.

【小问1详解】

解：(1)(x-2)』4x-212,

(x-2)2+2x(x-2)=0,

(x-2+2x)(x-2)=0,

x-2+2x=0或x-2=0,

2

解得：X1=-,X2=2；

【小问2详解】

解：(尤-1)(x+2)=4,

整理，得N+尤-6=0,

(x+3)(尤-2)=0,

x+3=0或尤-2=0,

解得：Xi=-3,xi=1.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法求解是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开

平方法，公式法，配方法，因式分解法等.

17.一个不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.某课外学习小组做摸球试验：将球搅

匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：

摸球的次数200300400100016002000

摸到白球的

7293130334533666

频数

摸到白球的

0.36000.31000.32500.33400.33310.3330

频率

(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是,(精确到0.01),由此估计

出袋子中红球有个；

(2)现从该袋子中一次摸出2个球，请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到不同颜色

的球的概率.

【答案】(1)0.33,2；

⑵-.

3

【分析】(1)根据表中频率的变化范围求得频率，再利用频率表示概率计算求值即可；

(2)画出树状图，根据概率=所求事件的结果数+总的结果数计算求值即可；

本题考查了由频率估计概率，画树状图法求概率，掌握概率=所求事件的结果数十总的结果数是解题的关键.

【小问1详解】

解：观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在0.33附近，

设红球有尤个，则,=0.33,

1+x

解得%»2,

故答案为：0.33,2；

【小问2详解】

解：画树状图为：

（白，红1）（白，红2）（红1,白）（红1,红2）（红2,白）（红2,红1）

由树状图可得，共有6种可能性的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中恰好摸到不同颜色的两个球的结果有

4种，即（白，红1）（白，红2）（红1，白）（红2,白），

.p

,•r（恰好摸到不同颜色的球〉一%一§•

18.如图，在YABCD中，点E，尸分别在BC,CD上，连接AE,EF,FA,若=CE=CF.求

证：四边形A3CD是菱形.

【答案】见解析

【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和全等三角形的判定与性质.先由平行四边形的性质和题意证明

AAEBQAAFD，得到A3=A。，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可证明.

【详解】证明：四边形A3CD是平行四边形，

:.ZB=ZD.

AE=AF9CE=CF,

:.ZAEF=ZAFE,ZCEF=ZCFE.

:.180°-(ZAEF+ZCEF)^18C)-(ZAFE+ZCFE).

:.ZAEB^ZAFD.

又，AE=AF,ZB=ND，

AEB^.AFD(AAS).

:.AB=AD.

ABCD是菱形.

19.【画图操作】

(1)如图1,三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图所

示.请在图中画出光源P的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长(不写画法)

VII

【数学思考】

(2)如图2,夜晚，小明从点A经过路灯。的正下方沿直线走到点8,设他的影长为,，他与点A之间的距离为

X,那么下列四幅图象中，能表示y与X之间函数关系的是哪一个，请说明理由(从函数的变化趋势的角度说明理

由即可).

【答案】画图操作：见解析；数学思考：④；理由见解析

【分析】本题综合考查了中心投影的特点和规律.中心投影的特点是：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离

点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.

画图操作：根据中心投影，直接画图即可；

数学思考：等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.

【详解】画图操作：

如图，点尸和线段即为所求.

数学思考：

理由如下：从点A出发时到达点B的整个运动过程中，小明与点A之间的距离x逐渐增大.当从点A到路灯

c运动时，小明离路灯c的距离越来越近，此时影长y随着x值的增大而逐渐减小，到达路灯。正下方时，

y=0；从小明从路灯。正下方向点8运动时，小明与点A之间的距离越来越远，此时影长y随着X值的增大而逐

渐增大.所以表示y与x之间函数关系的图象是④.

20.如图，在一ABC中，AB=AC,延长A3到点。，使80=3。，延长到点E，连接OE,AE,且

ZD=ZAEC.

(1)求证：DBE—cECA；

(2)若BC=3,CE=2,求AD的长.

【答案】(1)见解析(2)=§

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质.

(1)利用等角的补角相等求得NDBE=NEC4,再根据相似三角形的判定定理即可证明结论成立；

(2)根据..QBEs,E6,推出20=股，代入相关数据求得A3=AC=W,进一步计算即可求解.

ECCA3

【小问1详解】

证明：AB=AC,

:.ZABC=ZACB,

.-.180°-ZABC=180°-ZACB,

.-.ZDBE=ZECA,

ZD=ZAEC,

:二DBEs：ECA；

【小问2详解】

解：DBEjECA,

DBBE

…拓―白’

BC=3,CE=2,BD=BC,

:.BE=BC+CE=5,BD=3,

35

2CA

AB=AC=—

3

AD=AB+BD=1-3=—

33

21.某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产

品达到45套.

(1)求2月到4月公司销售A产品的月平均增长率;

(2)该公司4月份销售45套A产品，每套利润是2万元，因为产品供不应求，公司决定适当的涨价，经市场调

查发现，当A产品每套的销售利润每涨价0.1万元时，平均每月少售出1套，该公司要想在5月份获利100万元，

而且尽可能让顾客得到实惠，A产品每套应涨价多少万元？

【答案】(1)50%

(2)万元

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

(1)设该公司销售A产品每次的增长率为无，根据2月份及4月份该公司A产品的销售量，即可得出关于尤的一

元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

(2)设每套A产品需涨价y万元，则平均每月可售出145-自义11套，根据总利润=每套的利润x销售数量，即

可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论.

【小问1详解】

解：设该公司销售A产品的月平均增长率为无，

依题意，得20(l+x)2=45,

解得玉=0.5=50%,々=—2.5(不合题意，舍去)，

答：该公司销售A产品月平均增长率为50%.

【小问2详解】

解：设每套A产品应涨价了万元，则平均每月可售出145义,套，

依题意，得(2+y)145-肃■xl]=100,

整理方程，得2y2—5y+2=0,

解得X=5，%=2

•尽可能让顾客得到实惠，

y=2不合题意，舍去，

y=0.5,

答：每套A产品应涨价0.5万元.

22.【建立概念】

如图1,在矩形ABCD中，AB=a,BC=b,当a+Z?=aZ?时，称这个矩形为“核心矩形”.

【理解概念】

(1)当a=3b时，矩形A3CD是“核心矩形”，求。的值；

【深入研究】

(2)如图2,分别以矩形A3CD的边BC,CD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，点A在第二象限，

若“核心矩形A3CD”的面积为12,求点A的坐标；

【拓展延伸】

(3)下面从函数的角度研究“核心矩形”，已知一个“核心矩形”的邻边长分别为x,y(x>l).

①求》与x的函数表达式；

②若该函数的图象可以通过反比例函数y=E(x>0)的图象平移得到，请你在图3中画出该函数图象的草图，观察

x

图象，写出该函数的两条性质；

③若将“核心矩形”的邻边分别增加这个新矩形还是“核心矩形”吗？请说明理由.

【答案】(1)。=4

2)4(-6-2^6,6-276),^(-6+276,6+276)

1

(3)①)-r3或y=l+—-；②见解析；③不是“核心矩形”；理由见解析

XTx-1

【分析】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，新定义，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图

象与性质，理解“核心矩形”的定义，是解题的关键.

(1)根据“核心矩形”得a+Z?=ab,把a=3b代入即可求解；

(2)根据“核心矩形”得0+/?=。/?,根据矩形有面积公式得=代入整理方程，得4―i2a+12=0.求

解得出。，即可求解；

(3)①根据“核心矩形”得x+y=孙，贝ij(x—1卜=龙.即可求解；

②根据函数解析式画出函数图象，再根据函数图象抽象出函数性质即可；

③根据“核心矩形”的定义判定即可.

【详解】解：(1)依题意，知〃+/?=〃/?,a=3b,

.\3b+b=3b2-

4

解得4=—,4=0(不合题意，舍去).

3_

:・a=3b=4.

(2)依题意，知Q+b=〃/?,ab=12,

二.Q(12-Q)=12.

整理方程，得〃2一12。+12=0.

二.q=6+2A/6,%=6-2A/6.

A(-6-276,6-276),A(-6+2A/6,6+2A/6).

(3)①依题知尤+y=个，

x—i1

■,•y=­；或y=l+—

x-lx—1

②如图1,画出草图

答案不唯一，只要正确即可.

当天〉1时，y的值随x值的增大而减小；图象关于直线y=%成轴对称;

③不是“核心矩形”.

方法1：

理由如下：依题意，知x+y=孙，

新矩形的邻边长为x+g和y+g，

则x+g+y+g=[x+g][y+g]，即x+y+l=|(x+y)+；.

若新矩形是“核心矩形”

E3

则x+y=5.

3

y——xH—.

2

3丫

则''核心矩形”同时满足函数y=—x+—和y=*.

2

3一

画出函数y=—x+,的图象如图2所示,

根据图象可知，

3丫

函数y=—x+—与函数y=*图象没有交点,

,满足条件的x,y的值不存在.

•.・新矩形不是“核心矩形”.

方法2：

理由如下：依题意，知％+丁=冲，

新矩形的邻边长为x+g和y+g，

111T

若新矩形是“核心矩形”，则x+g+y+5=X+]

2

一+尸3,即，二-x.

22

35—x),即2x?-3x+3=0.

—=X

2

..(—3)2—4x2x3=-15<0,

，原方程无实数根.

••・X的值不存在.

二新矩形不是“核心矩形”.

23.【知识回顾】

(1)如图1,在ABC中，A。是边上的中线，A3=4，AC=3,求的取值范围.

小明和小刚两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路.

①小明同学思考过程：在一ABC中，已知两边A5和AC的长度，根据条件只能直接求出边的取值范

围.而要想求中线AD的取值范围，只有将中线AD转化到一个三角形的两边长度是已知量的第三条边上.如图

2,可以延长AD到点E，使小=AD，连接EC,这样就构造了"。石，将求AD的取值范围，转化为求

△ACE的边AE的取值范围；

②小刚同学解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同.如图3,过点C作交

B4延长线于点于是得到△ACF.进而将求A。的取值范围，转化为求b的取值范围.

请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程.

【迁移应用】

(2)请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题.

如图4,在中，。是边的中点，点E在AC边上，CE=2AE,AB=8,AC=6,求OE的取值范

围.

【能力提升】

(3)如图5,在正方形ABCD中，。为对角线AC的中点，AB=3,点G在边上，E为平面内一点且

BE=BG=1,以AE为斜边，在AE的右侧作等腰直角三角形AEF，连接G产，求Gb的取值范围.

【答案】(1)见解析；(2)3<DE<5；(3)回一拒

22

【分析】(1)按小明的法，证明ADB^AEDC(SAS),再利用三角形三边之间的关系求出AE的取值范围，进而可

求AD的取值范围；

(2)方法1：按小明的思路，过点B作B尸〃上交C4延长线于点/，构造三角形中位线，利用三角形中“两边之

和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求出。E的取值范围；

方法2：按小刚的思路，取AC中点尸，连接。尸，构造三角形中位线，利用三角形中“两边之和大于第三边，两

边之差小于第三边”即可求出DE的取值范围；

方法3：延长AD到点口，使DF=AD,取CE中点G,连接b,F