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文档简介

1、 PAGE20 / NUMPAGES20 2017年某市高考数学试卷(理科)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)设集合A=1,2,6,B=2,4,C=xR|1x5,则(AB)C=()A2B1,2,4C1,2,4,5DxR|1x52(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为()AB1CD33(5分)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为()A0B1C2D34(5分)设R,则“|”是“sin”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5(5分)已知双曲线=1(a0,b0)的左

2、焦点为F,离心率为若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A=1B=1C=1D=16(5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x)若a=g(log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()AabcBcbaCbacDbca7(5分)设函数f(x)=2sin(x+),xR,其中0,|x若f()=2,f()=0,且f(x)的最小正周期大于2,则()A=,=B=,=C=,=D=,=8(5分)已知函数f(x)=,设aR,若关于x的不等式f(x)|+a|在R上恒成立,则a的取值X围是()A,2B,C2,2D2,二.填空题

3、:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9(5分)已知aR,i为虚数单位,若为实数,则a的值为10(5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为11(5分)在极坐标系中,直线4cos()+1=0与圆=2sin的公共点的个数为12(5分)若a,bR,ab0,则的最小值为13(5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2若=2,=(R),且=4,则的值为14(5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个(用数字作答)三.解答题:本大题共6小题,共80分解答应写出文字说明,证明过程或

4、演算步骤15(13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知ab,a=5,c=6,sinB=()求b和sinA的值;()求sin(2A+)的值16(13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,()设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;()若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率17(13分)如图,在三棱锥PABC中,PA底面ABC,BAC=90点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2()求证:MN平面BDE;()求二面角

5、CEMN的正弦值;()已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长18(13分)已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN+),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a42a1,S11=11b4()求an和bn的通项公式;()求数列a2nb2n1的前n项和(nN+)19(14分)设椭圆+=1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为已知A是抛物线y2=2px(p0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;(II)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于A),直线BQ与x轴相交于点D若APD的

6、面积为,求直线AP的方程20(14分)设aZ,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x33x26x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数()求g(x)的单调区间;()设m1,x0)(x0,2,函数h(x)=g(x)(mx0)f(m),求证:h(m)h(x0)0;()求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且1,x0)(x0,2,满足|x0|2017年某市高考数学试卷(理科)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)设集合A=1,2,6,B=2,4,C=xR|1x5,则(AB)C=()A2B1,2,4C1,2,4,5DxR

7、|1x5【分析】由并集概念求得AB,再由交集概念得答案【解答】解:A=1,2,6,B=2,4,AB=1,2,4,6,又C=xR|1x5,(AB)C=1,2,4故选:B【点评】本题考查交、并、补集的混合运算,是基础题2(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为()AB1CD3【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解即可【解答】解:变量x,y满足约束条件的可行域如图:目标函数z=x+y结果可行域的A点时,目标函数取得最大值,由可得A(0,3),目标函数z=x+y的最大值为:3故选:D【点评】本题考查线性规划的简单应用,考查计算能力以及数形结合思想的应用3(5分)

8、阅读上面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为()A0B1C2D3【分析】根据程序框图,进行模拟计算即可【解答】解:第一次N=24,能被3整除,N=3不成立,第二次N=8,8不能被3整除,N=81=7,N=73不成立,第三次N=7,不能被3整除,N=71=6,N=23成立,输出N=2,故选C【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用,根据条件进行模拟计算是解决本题的关键4(5分)设R,则“|”是“sin”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解:|0,sin+2k+2k,kZ,则(0,)+2k,+2k,kZ,可得“|”是“sin

9、”的充分不必要条件故选:A【点评】本题考查充分必要条件的判断,同时考查正弦函数的图象和性质,运用定义法和正确解不等式是解题的关键,属于基础题5(5分)已知双曲线=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A=1B=1C=1D=1【解答】解:设双曲线的左焦点F(c,0),离心率e=,c=a,则双曲线为等轴双曲线,即a=b,双曲线的渐近线方程为y=x=x,则经过F和P(0,4)两点的直线的斜率k=,则=1,c=4,则a=b=2,双曲线的标准方程:;故选B【点评】本题考查双曲线的简单几何性质,等轴双曲线的应用,属于中档题6(5

10、分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x)若a=g(log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()AabcBcbaCbacDbca【分析】由奇函数f(x)在R上是增函数,则g(x)=xf(x)偶函数,且在(0,+)单调递增,则a=g(log25.1)=g(log25.1),则2log25.13,120.82,即可求得bac【解答】解:奇函数f(x)在R上是增函数,当x0,f(x)f(0)=0,且f(x)0,g(x)=xf(x),则g(x)=f(x)+xf(x)0,g(x)在(0,+)单调递增,且g(x)=xf(x)偶函数,a=g(log25.1

11、)=g(log25.1),则2log25.13,120.82,由g(x)在(0,+)单调递增,则g(20.8)g(log25.1)g(3),bac,故选C【点评】本题考查函数奇偶性,考查函数单调性的应用,考查转化思想,属于基础题7(5分)设函数f(x)=2sin(x+),xR,其中0,|x若f()=2,f()=0,且f(x)的最小正周期大于2,则()A=,=B=,=C=,=D=,=【解答】解:由f(x)的最小正周期大于2,得,又f()=2,f()=0,得,T=3,则,即f(x)=2sin(x+)=2sin(x+),由f()=,得sin(+)=1+=,kZ取k=0,得=,=故选:A【点评】本题考

12、查由三角函数的部分图象求解析式,考查y=Asin(x+)型函数的性质,是中档题8(5分)已知函数f(x)=,设aR,若关于x的不等式f(x)|+a|在R上恒成立,则a的取值X围是()A,2B,C2,2D2,【分析】讨论当x1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得x2+x3ax2x+3,再由二次函数的最值求法,可得a的X围;讨论当x1时,同样可得(x+)a+,再由基本不等式可得最值,可得a的X围,求交集即可得到所求X围【解答】解:当x1时,关于x的不等式f(x)|+a|在R上恒成立,即为x2+x3+ax2x+3,即有x2+x3ax2x+3,由y=x2+x3的对称轴为x=1,可得x=处取得最大

13、值;由y=x2x+3的对称轴为x=1,可得x=处取得最小值,则a当x1时,关于x的不等式f(x)|+a|在R上恒成立,即为(x+)+ax+,即有(x+)a+,由y=(x+)2=2(当且仅当x=1)取得最大值2;由y=x+2=2(当且仅当x=21)取得最小值2则2a2由可得,a2故选:A【点评】本题考查分段函数的运用,不等式恒成立问题的解法,注意运用分类讨论和分离参数法,以及转化思想的运用,分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键,属于中档题二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9(5分)已知aR,i为虚数单位,若为实数,则a的值为2【解答】解:=i由为实数,可得=0,解得a=

14、2故答案为:2【点评】本题考查复数的乘除运算,注意运用共轭复数,同时考查复数为实数的条件:虚部为0,考查运算能力,属于基础题10(5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为【分析】根据正方体和球的关系,得到正方体的体对角线等于直径,结合球的体积公式进行计算即可【解答】解:设正方体的棱长为a,这个正方体的表面积为18,6a2=18,则a2=3,即a=,一个正方体的所有顶点在一个球面上,正方体的体对角线等于球的直径,即a=2R,即R=,则球的体积V=()3=;故答案为:【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系,利用正方体的体对角线等于直径,结合球的体积

15、公式是解决本题的关键11(5分)在极坐标系中,直线4cos()+1=0与圆=2sin的公共点的个数为2【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心到直线的距离d,与半径比较即可得出位置关系【解答】解:直线4cos()+1=0展开为:4+1=0,化为:2x+2y+1=0圆=2sin即2=2sin,化为直角坐标方程:x2+y2=2y,配方为:x2+(y1)2=1圆心C(0,1)到直线的距离d=1=R直线4cos()+1=0与圆=2sin的公共点的个数为2故答案为:2【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题12(5分

16、)若a,bR,ab0,则的最小值为4【解答】解:a,bR,ab0,=4ab+2=4,当且仅当,即,即a=,b=或a=,b=时取“=”;上式的最小值为4故答案为:4【点评】本题考查了基本不等式的应用问题,是中档题13(5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2若=2,=(R),且=4,则的值为【分析】根据题意画出图形,结合图形,利用、表示出,再根据平面向量的数量积列出方程求出的值【解答】解:如图所示,ABC中,A=60,AB=3,AC=2,=2,=+=+=+()=+,又=(R),=(+)()=()+=()32cos6032+22=4,=1,解得=故答案为:【点评】本题考查了平面向量的线性运算

17、与数量积运算问题,是中档题14(5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有1080个(用数字作答)【分析】根据题意,要求四位数中至多有一个数字是偶数,分2种情况讨论:、四位数中没有一个偶数数字,、四位数中只有一个偶数数字,分别求出每种情况下四位数的数目,由分类计数原理计算可得答案【解答】解:根据题意,分2种情况讨论:四位数中没有一个偶数数字,即在1、3、5、7、9种任选4个,组成一共四位数即可,有A54=120种情况,即有120个没有一个偶数数字四位数;、四位数中只有一个偶数数字,在1、3、5、7、9种选出3个,在2、4、

18、6、8中选出1个,有C53C41=40种取法,将取出的4个数字全排列,有A44=24种顺序,则有4024=960个只有一个偶数数字的四位数;则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个;故答案为:1080【点评】本题考查排列、组合的综合应用,注意要分类讨论三.解答题:本大题共6小题,共80分15(13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知ab,a=5,c=6,sinB=()求b和sinA的值;()求sin(2A+)的值【分析】()由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB,再由余弦定理求得b,利用正弦定理求得sinA;()由同角三角函数基本关系式求得cosA

19、,再由倍角公式求得sin2A,cos2A,展开两角和的正弦得答案【解答】解:()在ABC中,ab,故由sinB=,可得cosB=由已知及余弦定理,有=13,b=由正弦定理,得sinA=b=,sinA=;()由()及ac,得cosA=,sin2A=2sinAcosA=,cos2A=12sin2A=故sin(2A+)=【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用,考查倍角公式的应用,是中档题16(13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,()设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;()若有2辆车独立

20、地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率【分析】()随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,求出对应的概率值,写出它的分布列,计算数学期望值;()利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值【解答】解:()随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3;则P(X=0)=(1)(1)(1)=,P(X=1)=(1)(1)+(1)(1)+(1)(1)=,P(X=2)=(1)+(1)+(1)=,P(X=3)=;所以,随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望为E(X)=0+1+2+3=;()设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z

21、=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=+=;所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题,是中档题17(13分)如图,在三棱锥PABC中,PA底面ABC,BAC=90点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2()求证:MN平面BDE;()求二面角CEMN的正弦值;()已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长【分析】()取AB中点F,连接MF、NF,由已知可证MF平面BDE,NF平面BDE得到平面MFN

22、平面BDE,则MN平面BDE;()由PA底面ABC,BAC=90可以A为原点,分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系求出平面MEN与平面CME的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值得二面角CEMN的余弦值,进一步求得正弦值;()设AH=t,则H(0,0,t),求出的坐标,结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为列式求得线段AH的长【解答】()证明:取AB中点F,连接MF、NF,M为AD中点,MFBD,BD平面BDE,MF平面BDE,MF平面BDEN为BC中点,NFAC,又D、E分别为AP、PC的中点,DEAC,则NFDEDE平面BDE,NF平面BDE,NF平面BDE又MF

23、NF=F平面MFN平面BDE,则MN平面BDE;()解:PA底面ABC,BAC=90以A为原点,分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系PA=AC=4,AB=2,A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,0),E(0,2,2),则,设平面MEN的一个法向量为,由,得,取z=2,得由图可得平面CME的一个法向量为cos=二面角CEMN的余弦值为,则正弦值为;()解:设AH=t,则H(0,0,t),直线NH与直线BE所成角的余弦值为,|cos|=|=|=解得:t=4当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为,此时线段AH的长为4

24、【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查了利用空间向量求解空间角,考查计算能力,是中档题18(13分)已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN+),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a42a1,S11=11b4()求an和bn的通项公式;()求数列a2nb2n1的前n项和(nN+)【分析】()设出公差与公比,利用已知条件求出公差与公比,然后求解an和bn的通项公式;()化简数列的通项公式,利用错位相减法求解数列的和即可【解答】解:(I)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q+q26=0

25、又因为q0,解得q=2所以,bn=2n由b3=a42a1,可得3da1=8由S11=11b4,可得a1+5d=16,联立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n2所以,数列an的通项公式为an=3n2,数列bn的通项公式为bn=2n(II)设数列a2nb2n1的前n项和为Tn,由a2n=6n2,b2n1=4n,有a2nb2n1=(3n1)4n,故Tn=24+542+843+(3n1)4n,4Tn=242+543+844+(3n1)4n+1,上述两式相减,得3Tn=24+342+343+34n(3n1)4n+1=(3n2)4n+18得Tn=所以,数列a2nb2n1的前n项和为【点评】本题考查等

26、差数列以及等比数列的应用,数列求和的方法,考查计算能力19(14分)设椭圆+=1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为已知A是抛物线y2=2px(p0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;(II)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于A),直线BQ与x轴相交于点D若APD的面积为,求直线AP的方程【分析】(I)根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a,b,p即可得出方程;(II)设AP方程为x=my+1,联立方程组得出B,P,Q三点坐标,从而得出直线BQ的方程,解出D点坐标,根据三角形的面积列方程解出m即可得出【解答】()解:设F

27、的坐标为(c,0)依题意可得,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2c2=所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x()解:直线l的方程为x=1,设直线AP的方程为x=my+1(m0),解得点P(1,),故Q(1,),消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0,或y=B(,)直线BQ的方程为()(x+1)()(y)=0,令y=0,解得x=,故D(,0)|AD|=1=又APD的面积为,=,整理得3m22|m|+2=0,解得|m|=,m=直线AP的方程为3x+y3=0,或3xy3=020(14分)设aZ,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x33x26x+a在区间(

28、1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数()求g(x)的单调区间;()设m1,x0)(x0,2,函数h(x)=g(x)(mx0)f(m),求证:h(m)h(x0)0;()求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且1,x0)(x0,2,满足|x0|【分析】()求出函数的导函数g(x)=f(x)=8x3+9x26x6,求出极值点,通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可()由h(x)=g(x)(mx0)f(m),推出h(m)=g(m)(mx0)f(m),令函数H1(x)=g(x)(xx0)f(x),求出导函数H1(x)利用()知,推出h(m)h(x0)0()对于任意的正整数p,q,且,令m=,函数h(x)=g(x)(mx0)f(m)由()知,当m1,x0)时,当m(x0,2时,通过h(x)的零点转化推出|x0|=推出|2p4+3p3q3p2q26pq3+aq4|1然后推出结果【解】()由f(x)=2x4+3x33x26x+a,得

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