2023-2024学年湖南省株洲市高二年级上册期中数学试题（含答案）

2023-2024学年湖南省株洲市高二上册期中数学试题

一、单选题

1.已知向量α=(T,l,0),6=(-2,，％0),且α与b互相平行，则〃?=().

A.-2B.2C.1D.-1

【正确答案】B

【分析】根据。与人互相平行，可设”=∕½,列方程，可求出

JI=一/211

【详解】。与人互相平行，可得α=4?，且/1*0,得I,，解得彳=彳，m=2

[1=痴2

故选：B

2.经过两点A(0,T),8(2,4)的直线的斜率为()

A.ɪB.-C.-D.-

2523

【正确答案】C

【分析】直接由斜率公式计算可得.

【详解】解：经过两点A(0,T),6(2,4)的直线的斜率氏=黑=£.

故选：C

3.直线X-y+4=0与圆f+y2=/相切，贝IJr的值是()

A.2√2B.2C.√2D.ɪ

【正确答案】A

【分析】利用圆心到直线的距离等于半径求出L

【详解】解：根据题意，得圆/+V=产的圆心为(0,0),半径为r,

由直线与圆相切，得圆心到直线的距离d=r,

∣0-0+4∣

即而后故r=2"

故选：A.

4.抛物线y=2/的焦点坐标是().

【正确答案】D

【分析】先把抛物线化为标准方程，直接写出焦点坐标.

【详解】抛物线y=2χ2的方程为所以焦点在y轴，

由2p=；,所以焦点坐标为(0*).

故选：D.

5.圆(x+2)?+y2=5关于直线＞=—X对称的圆的方程为()

A.(Λ-2)2+∕=5B.x2+(y-2)2=5

C.(jc+2)2+(y+2)2=5D.x2+(γ+2)2=5

【正确答案】B

【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，利用点关于直线对称点的求法可求得对称圆的圆心,

由两圆半径相同可得圆的方程.

【详解】由圆的方程知：圆心(—2,0),半径r=石;

ɪ=!

Q=O

设圆心(-2,0)关于y=τ的对称点为(a,。)，则，2吁2解得:

b=2

.2-一^2^

，所求对称圆的圆心为(0,2),半径为石,

•••所求对称圆的方程为∙V+(y-2)2=5

故选：B.

6.直线3x+2y-1=0的一个方向向量是()

A.(2,-3)B.(2,3)C.(-3,2)D.(3,2)

【正确答案】A

根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量,然后根据方向向量均共线，求解出结果.

【详解】因为直线3x+2y-l=0的斜率为-|,所以直线的一个方向向量为，3

又因为(2,-3)与［,-∙∣)共线，所以3x+2y—1=0的一个方向向量可以是(2,-3),

故选：A.

7.在直三棱柱ABC-ABiG中，CA=CB≈CCl,AClBC,JF分别是AC,B∣C∣的中点，

则直线AE与CF所成角的余弦值等于（）

4c12-3r5

A.-B.—C.-D.—

513513

【正确答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，求得向量AE,CF的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解.

【详解】由题意，以CACB,CC∣所在的直线分别为X轴、>轴和Z轴建立空间直角坐标系,

如图所示，

设CA=CB=CG=1,可得A(I,O,O)，A(I,O,I)，G(O,O,I),《；,O,I),F(O,；,I

则AE=(-<,0,l),CF=(0q,l),

22

所以3(JrCa=\_何AE阿CF=_J(T+“1夕_4

故选：A.

22

8.已知椭圆C∕∙^+%∙=l（a>6>0）的左、右焦点分别为耳，F1,离心率为e∣,椭圆G的

上顶点为M,且M∕ME=o,曲线G和椭圆G有相同焦点，且双曲线C2的离心率为g,

尸为曲线Cl与C?的一个公共点，若N耳尸片=],则（）.

A.y=2B.el∙e2ɪɪC.e；+e；=|D.4+e：=l

【正确答案】B

【分析】根据岫∙Λ^=0.可得b=c,可得吗，设IP制=加，=可得

mn

mnJt).,根据余弦定理化简，利用离心率计算公式即可得出.

4

22

【详解】如图所示，设双曲线的标准方程为：与-5=l(q,4>0),半焦距为J

%"1

•・,椭圆G的上顶点为〃，且MG∙MR=0.

ΛZFMF=-,：.b=c,：.a2=2c2.e.

122xa2

不妨设点尸在第一象限,^∖PF∖=m,∖PF2∖=n.

；・m+n=2a,m-n=2al.〃加=("?±")一二("二"L="―"

41

在aPKK中，由余弦定理可得:

4C2=∕n2+n2-2mncosy=(πz+n)2-3mn=4α2—3(ɑ2一)

222

Λ4c=a+3a1.两边同除以C?,得4=1+2,解得：牛=Ji

54-√22

殳5

=√τ6

对选项故A错误，

A,。

√22

√叵患

4W

对选项B,一2=T-故B正确,

7

对选项C,D,e[+el=→-=2,故C,D错误.

故选：B

二、多选题

9.下列说法错误的是()

A.直线2(m+l)x+(m-3)y+7-5/M=O必过定点(1,3)

B.过点A(-2,-3)且在两坐标轴上的截距相等的直线/的方程为x+y=-5

C.经过点P(Ll),倾斜角为0的直线方程为y-l=tan6(x-l)

D.已知直线丘-y-k-l=0和以M(-3,l),N(3,2)为端点的线段相交，则实数人的取值范

围为弓1≤%≤3]

【正确答案】BCD

【分析】A选项由含参直线方程过定点的求法计算即可；B选项没有考虑直线过原点的情况,

故错误；C选项，由倾斜角与斜率的关系即可判断；D选项计算出端点值后，由线段MN与

y轴相交判断斜率的范围应取端点值两侧，故错误.

【详解】A选项，直线方程变形为(2x+y-5)w+2x-3y+7=0,令；解得

x=l,y=3,即原直线必过定点(1,3),A正确；

B选项，当直线/过原点时,也满足在两坐标轴上的截距相等,此时直线/的方程为3x-2y=0,

B不正确；

TT

C选项，当。=5时，tan。无意义，故C不正确；

D选项，直线"-y-%-1=0经过定点(1,-1),当直线经过M时，斜率为Z=上#=-:，

当直线经过N点时，斜率为A=WD=由于线段MN与y轴相交，故实数上的取值范

3—12

13

围为％≤-＜或％≥],D不正确.

22

故选：BCD.

10.若｛%｝为等差数列，¾=11,¾=5,则下列说法正确的是()

A.all=15-2/?

B.-20是数列｛《,｝中的项

C.数列｛4｝单调递减

D.数列｛《,｝前7项和最大

【正确答案】ACD

【分析】由｛可｝为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐

一判断即可.

a+d=W

【详解】因为数列｛%｝为等差数列，且%=n,%=5,则qx+4d=5'解得4=.=2

a„=13+(M-1)×(-2)=-2H+15,故A选项正确,

由—20=—2〃+15,得"==KN*,故B错误，

2

因为d<(),所以数列｛4｝单调递减，故C正确,

由数列通项公式为=15-2〃可知，前7项均为正数，⅞=-l,所以前7项和最大,故D正确.

故选：ACD

22

II.设双曲线C：与-方=l(6>0)的焦点为小ɛ,若点P(2,l)在双曲线C上，贝IJ()

A.双曲线C的离心率为2B.双曲线C的渐近线方程为丫=日

ULUHUUU

CIlP耳HPKil=26

D.PF1PF2=2

【正确答案】BC

【分析】根据给定条件，求出从并求出双曲线实半轴长、半焦距，再逐项计算判断作答.

【详解】依题意，U=ι,解得b=G双曲线C：与4=ι的实半轴长半焦

品巨C=√6，

双曲线C的离心率e=£=7LA不正确；

a

双曲线C的渐近线方程为y=±χ,B正确；

IlP与ITPKII=2=2力,C正确;

--UUUlLUUUL

^(-√6r,0),∕⅛(√r6,0),则PK=(-#-2,—1),PE=(而-2,-1),

LlUUIUUUr-L

PF1PF2=(-√6-2)(√6-2)+(-l)∙(-l)=-1,D不正确.

故选：BC

12.如图，正方体ABCZ)-4耳GA的棱长为2,E是。。的中点，则()

A1Dx

A.BC工BDl

B.点E到直线与。的距离为3亚

C.直线BE与平面8CC所成的角的正弦值为:

D.点CI到平面BCE的距离为。

【正确答案】AC

【分析】以点A为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断分析各个选项即可.

【详解】如图以点A为原点，建立空间直角坐标系，

则B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,2,l),B,(2,0,2),D1(0,2,2),C,(2,2,2),

B1C=(0,2,-2),BD1=(-2,2,2),

贝IJBlC∙3.=0+4-4=0,所以BCJ.BQ,故A正确;

∕clcNBE-BC4+2√2

桃=(-2,21),则COS伯瓦=t1=赤

所以SinNCBIE=与,

所以点E到直线BC的距离为,耶in∕C8∣E=乎，故B错误；

因为CQ，平面BCC,所以E>C=(2,0,0)即为平面BCC的一条法向量,

DtClB1E4

则直线BiE与平面B1C1C所成的角的正弦值为^os(RG，qEl=故

2^3C

DlCl∖∖BiE

正确;

CC1=(0,0,2)

设平面BCE的法向量为"=(χ,y,z),

n.BC=2y-2z=O

则有《i可取〃=(1,2,2),

n∙B}E=-2x+2y-z=O

CC1-«4

则点G到平面BCE的距离为=故D错误.

i3

故选：AC.

三、填空题

13.两平行直线4：3x+4y+l=O,"：6x+8y-3=。之间的距离为

【正确答案】ɪ##0.5

【分析】用平行线间的距离公式d=夕节!,代入即可.

y∣A2+B2

【详解】直线3*+4y+l=0,即为6x+8y+2=0,所以两平行直线6x+8y+2=0与

6x+8y-3=O之间的距离为d==9=

√6Γ7F102

故T

14.点尸到两定点A(-2,0),8(2,0)的距离之和为6,则点P的轨迹方程是.

【正确答案】工+工=1

95

【分析】由椭圆的定义求解即可

【详解】因为IE4|+|冏=6>|4叫=4,

由椭圆的定义可知，

动点点尸的轨迹是以A(-2,0),3(2,0)为焦点，长轴长为6的椭圆,

所以c=2,α=3,b1=a1-c2=5.

所以点P的轨迹方程是片+片=1,

95

15.已知平面心的一个法向量为〃=(2,3,5),点A(l,2,4)是平面ɑ上的一点，则点P(TI,5)

到平面ɑ的距离为.

【正确答案】f

∖AP∙n∖

【分析】利用空间向量法可得出点尸到平面ɑ的距离为d=即为所求.

H

∣AP∙"2J38

【详解】由已知可得AP=(—2,—1,1),所以，点户到平面α的距离为d=L十=夜=%.

故答案为.我

19

16.已知实数X,y满足：(x+2)2+(y-l)2=l,则∣l-2x+y∣的取值范围是

【正确答案】［6-6,6+逐］

【分析】方法一：采用三角换元法，然后利用两角差的正弦公式集合求解；

方法二：利用|1-2x+N的几何意义：可以看作圆心(-2,1)到直线2x-y-1=0距离的6倍,

然后利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】解法一:因为(x+2)2+(y-l)2=1,所以令x+2=CoS6,y-l=sind,

则x=-2+cos6,y=l+sinθ,

故∣l-2x+y∣=∣6+sin8—2cosd∣=∣6+6—sin^-^^-cos0I=I6+豆sin(6—夕)「其中

、55J

cosφ=^~,=,因为一石≤石Sin(。一夕)≤6，

所以6—百≤6+石sin(6—g)≤6+√^,

所以6-√^≤6+Ain(6∙-*)∣≤6+>A,

故∣l-2x+y∣的取值范围为［6-右,6+逐］.

∣-4-l-l∣

解法二:因为圆心(一2,1)至IJ直线2x-y—1=0的距离1=年,

所以圆心上的点到直线2x-y-l=0的距离的取值范围为∣√5-1,∣√5+1

又因为∣2x-y-l∣=括•吐浮口

75

所以∣2x-y-l∣的取值范围是［6-百6+括］.

⅛k［6-√5,6+√51.

四、解答题

17.(1)已知在递增的等差数列｛%｝中，%纭=55,%+%=16.求｛%｝的通项公式；

(2)已知数列｛α,,｝中，4=∕,,-α向=2。"证明：数列,是等差数列.

【正确答案】(1)4=2〃—1("∈N*);(2)证明见解析.

【分析】(1)根据已知条件解方程组可得为=5,延=11，再列出关于4，d的方程组,求出q,d,

从而可求出通项公式；

(2)根据等差数的定义结合已知进行证明.

【详解】(1)解：由|“必=5：＜且数列｛%｝递增，

［¾+¾=16

得“3=5,&6=1L

设数列｛。.｝的公差为d,

a.+2d=54=1

所以q+5d=H,解得

4=2'

所以““=α∣+=

(2)证明:因为q=g,%-a,*1=2aπan+i,

所以_L__L=-=幺&L=2,

。用%加4M用

所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列.

18.在中，内角4,B,。所对的边分别为a,b,c,已知加in(A+C)=2αsinC,且

a=b.

⑴求sinB；

(2)若AABC的面积为求AABC的周长.

【正确答案】(1)姮

4

(2)10

(分析［(1)根据正弦定理，化简得分2=20c,结合题意可得6=2C,由余弦定理即可求得COSB

的值，再应用同角三角函数关系式，求得结果；(2)利用三角形的面积公式，可得c=2,

进而得到三角形的周长.

【详解】(1):Asin(A+C)=2αsinC,则bsin8=2wSinC,

由正弦定理可得∕√=24c,

又♦:a=b,则b=2c,即a=b=2c,

.cr+c^-b1c21

•∙COSDo=--------------=--------=一,

2ac2×2c×c4

又;8∈(0,π),故sinB=JI-CoS?B=—ɪɪ.

4

(2);Z∖A8C的面积为S=LaCSin8=Lx2cxcx@ɪ=Ji,则c=2,

224

/.a=b=4f

故4A8C的周长为α+A+c=l().

2t-

19.已知函数f(x)=芸^为fl奇函数.

(1)求实数4的值并证明/(x)是增函数；

(2)若实数满足不等式∕(*)+∕(T)>0,求r的取值范围.

【正确答案】(1)α=l,证明见解析；(2)r∈(2,3).

(1)依题意可得/(τ)=-∕(x),即可求出参数。的值，从而求出函数解析式，再利用作差法

证明函数的单调性；

(2)根据函数的奇偶性及单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，再解分式不等式

即可;

【详解】(1)因为y=∕(χ)是定义域为R奇函数，

由定义f(-x)=-/(X),所以马二@=-马二q

2'Λ+12'+l

所以2"(。—1)=1—α,

•∙6Z—1.

所以/(x)=∣⅛}

证明：任取-8<X∣<+8,

〃'〃、—2J2^-12(2j'-2∙t9

⑵、

/(ΛI)-∕(Λ2)-2VI+Ι2-+]-+1)(2+1).

-∞<xl<x2<+oo,.∙.2*<24•

.∙./(X1)-Z(X2)<0,即小)</(々).

∙∙∙/(x)在定义域上为增函数.

(2)由(1)得y=∕(x)是定义域为R奇函数和增函数

/[^j>-/(-D=Z(I)

=>'>1

t-2

3-t

=>----->0

t-2

=>α-2)(r-3)<0

=>2<t<3

所以E∈(2,3).

正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数y(x)

为奇函数或偶函数的必要非充分条件：(2求-X)=-AX)或人一X)=∕U)是定义域上的恒等

式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于)，轴对称，反之也成立.利用这一性质

可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.

20.己知圆C:x?+炉+znχ-2y-2=0(meR),其圆心在直线x+y=0上.

⑴求m的值;

(2)若过点(1,4)的直线/与C相切，求/的方程.

【正确答案】(1)，及=2：

⑵X=I或5x-12y+43=0.

【分析】(1)将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心，代入直线方程即可求解；

(2)对直线的斜率是否存在讨论,若存在，设直线/的方程为：y-4=Λ(x-l),利用圆心到

直线的距离即可求解.

【详解】(1)圆C的标准方程为：++(y-l)2=3+f,

所以，圆心为(一£」).

由圆心在直线χ+y=0上，得m=2.

所以，圆C的方程为.(χ+l>+(y-T=4

(2)当直线/的斜率不存在时，即/方程为x=l,此时直线与圆相切；

当直线/的斜率存在时，设斜率为&,则直线/的方程为：y-4=Z(x-1),

即6—y—々+4=0,

由于直线/和圆C相切，得卜+=

解得：Z=II,代入整理可得5x-12y+43=0.

所以，直线方程为：x=l或5xT2y+43=0.

21.如图,四边形ABCD为正方形,£4，平面ABCD,EA//BF//CG,^.

CG=I,BF=3,AB=4,£4=5.

(1)证明：平面CZ)G平面45在

(2)求平面BFG与平面EFG所成角的余弦值.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵够

6

【分析】⑴根据面面平行的判定定理,先由8〃AB,证明AB7平面CE）G,再由BE〃CG证

明所「平面CDG,一个面中两条相交直线平行于另一个面，进而证明面面平行即可；

（2）根据题意建立合适的空间直角坐标系,写出点的坐标,分别求出平面BFG和平面EFG的法

向量,求出两个法向量夹角的余弦值的绝对值,即面与面夹角的余弦值.

【详解】（1）证明:由题知四边形ABCD为正方形，

.∙.AB//CD,

A5Z平面COG,CDu平面COG,

.-.AB/平面C3G,

8尸〃CG,8尸（z平面CDG,CGU平面COG,

..BF平面CZ）G,

ABBE=aAfiu平面AB庄，3/U平面AB庄;，

•••平面CDG7平面ABFE得证；

（2）由题知,E4，平面ABC。,且四边形ABCD为正方形，

.∙.AE±AB,AE±AD,ABlAD,

则以A原点,A3方向为X轴,AD方向为＞轴,AE方向为Z轴建立空间直角坐标系如图所示：

CG=LBE=3,AB=4,£4=5,

.∙.A(0,0,0),B(4,0,0),E(0,0,5),F(4,0,3),G(4,4,l),

.∙.AB=(4,0,0),=(4,0,-2),FG=(0,4,-2),

AB1AE,AE//BF,:.ABlBF,

.AB±BC,BCΓBF=B,BCu平面BFG,BFu平面BFG,

∙:ABI平面3尸G,

平面G法向量为AB=(4,0,0),

记平面EFG法向量为〃=(x,y,z),

n∙EF=0f4x-2z=0

.-J,即《,

小FG=O[4y-2z=0

不妨取x=l,可得”(1J2),

则卜OS(A8,=产=-r=~~:,

I'八IAθ∣∣∕ι∣Λ∕16∙Vl+1+46

故平面B/G与平面EFG所成角的余弦值为&.

6

22.已知椭圆C的左、右焦点分别为目，尸2,离心率为点P在椭圆C上，PK，耳心,

附IV

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知M是直线/:x=r上的一点，是否存在这样的直线/,使得过点M的直线与椭圆C相

切于点M且以MN为直径的圆过点居？若存在，求出直线/的方程，若不存在，说明理由,

【正确答案】(1)二+』=1

43

(2)存在，直线X=4

【分析】(1)根据尸耳，耳6可