2023年中考数学几何模型-对角互补的三种模型（讲+练）（原卷版）

专题03对角互补的三种模型

对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90。与

120°的两种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明

两个三角形全等或者相似.

模型一、含90°的全等型

1.如图，已知NAOB=NDCE=90。，OC平分NAOB.

则可以得到如下几个结论：①CD=CE,②OD+OE=丫今OC，③

2.如图，已知NDCE的一边与AO的延长线交于点D,ZAOB=ZDCE=90°,OC平分/

AOB.

则可得到如下几个结论：①CD=CE,@OE-OD=y/2OC,③一=J。。.

例1.如图，在RtZ\ABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,RtAMPN,NMPN=90°，点

尸在AC上，PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2P尸时，AP=.

【变式训练1】如图，正方形4BCD与正方形。例NP的边长均为10,点。是正方形A8C。

的中心，正方形

OMNP绕。点旋转，证明：无论正方形。MNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的

面积总是一个定

值，并求这个定值.

A।---------1DAII口

o2一…L

【变式训练2】四边形ABCO被对角线8。分为等腰直角和直角△CB。，其中和

NC都是直角，

另一条对角线AC的长度为2,求四边形A8C。的面积.

【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A(0,2),B点在立轴

上，对角线AC、BD交于点M,OM=3-72,则点C的坐标为.

模型二、含60°与120。的全等型

如图，已知/AOB=2/DCE=120。，OC平分/AOB.

则可得到如下几个结论：①CD=CE,②OD+OE=OC,③+£^（冶=毕。。？.

例.如图，在ZiABC中，AB=AC,点D为BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，若NA=60°,

ZEDF+ZA-18O0,求证：BE+CF=^AB.

【变式训练】在等边4ABC中，点D是线段BC的中点，ZEDF=120°,射线DE与线段

AB相交于点E,射线DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.

（1）如图1,若DFLAC,直接写出DE与AB的位置关系；

（2）如图2,将（1）中的/EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于

点F,

求证：DE=DF；

（3）在NEDF绕D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关

系.

模型三、相似型

例.【提出问题】

(1)如图1,在等边△4BC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,

以AM为边作等边连结CN.求证：BM=CN.

【类比探究】

(2)如图2,在等边△ABC中，点M是8c延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件

不变,(1)中结论BM=CN还成立吗？请说明理由.

【拓展延伸】

(3)如图3,在等腰△ABC中，B4=BC,AB=6,AC=4,点M是8C上的任意一点(不含端

点、B、C),连结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角NAMN=/ABC.连结CM试探究

8M与CN的数量关系，并说明理由.

课后训练

1.如图所示，在四边形ABCD中，AD=3,CD=2,/ABC=/AC8=NAOC=45。,则80的长

2、如图，在AABC中,NABC=6(r,A8=2%三8,以AC为腰，点A为顶点作等腰△

ACQ且NOAC=120。,贝！|BD的长为.

A.\>E

3.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E在对角线AC上，连接BE,作EF_LBE,

EF

垂足为E,直线EF交线段DC于点F,则石石=.

4.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,E、F分别为AD、CD上的点,

若AE=4,CF=3,且OE_LOF,求EF的长.

6.如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B,

直角顶点P在射线AC上移动，另一边交D